人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：習題課 圓錐曲線的離心率

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1習題課圓錐曲線的離心率學習目標1.掌握圓錐曲線的離心率的求法.2.會求圓錐曲線的離心率的最值及范圍問題．一、定義法例1直線y＝－eq\r(3)x與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\r(3)－1D．4－2eq\r(3)〖答案〗C〖解析〗以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點，也必過橢圓的左焦點，過這兩個焦點及A，B兩點可作一個矩形，直線y＝－eq\r(3)x的傾斜角為120°，所以矩形的寬是c，長是eq\r(3)c，由橢圓定義知矩形的長寬之和等于2a，即c＋eq\r(3)c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.反思感悟根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，求出a，c或列出關于a，c的等式，得到關于e的方程，進而求出e.跟蹤訓練1設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為__________．〖答案〗eq\f(5,3)〖解析〗不妨設P為雙曲線右支上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(負值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).二、幾何法例2設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF1的中點在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)〖答案〗A〖解析〗如圖，設PF1的中點為M，連接PF2.因為O為F1F2的中點，所以OM為△PF1F2的中位線．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因為∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).反思感悟涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得eq\f(c,a)的值．跟蹤訓練2設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________．〖答案〗eq\r(3)〖解析〗根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設點P在第一象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最?。凇鱌F1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式兩邊同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).三、尋求齊次方程求離心率例3(1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________．〖答案〗eq\f(\r(5)－1,2)〖解析〗在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因為0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．〖答案〗2〖解析〗如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．反思感悟利用定義以及圖形中的幾何關系來建立關于參數(shù)a，b，c的關系式，結(jié)合a，b，c之間的關系，化簡為參數(shù)a，c的關系式進行求解．跟蹤訓練3已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F恰好是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，且兩條曲線的交點的連線過點F，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)－1〖答案〗C〖解析〗如圖所示，∵兩條曲線交點的連線過點F，∴兩條曲線交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，±p))，代入雙曲線方程得eq\f(\f(p2,4),a2)－eq\f(p2,b2)＝1，又eq\f(p,2)＝c，∴eq\f(c2,a2)－4×eq\f(c2,b2)＝1，化簡得c4－6a2c2＋a4＝0，∴e4－6e2＋1＝0，∴e2＝3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2，∴e＝eq\r(2)＋1.四、求離心率的取值范圍例4已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點到其漸近線的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，則離心率e的取值范圍為()A．〖eq\r(3)，＋∞) B．〖eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)〗 D．(1，eq\r(5)〗〖答案〗D〖解析〗依題意得，點(a,0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，∴eq\f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq\f(2\r(5),5)a，解得e≤eq\r(5).又e>1，∴1<e≤eq\r(5).反思感悟求離心率范圍的常用思路(1)通過幾何方法如點的坐標、三角形中的不等關系等轉(zhuǎn)化為求離心率的取值范圍．(2)通過代數(shù)方法如基本不等式、函數(shù)最值求得離心率的取值范圍．跟蹤訓練4已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．〖答案〗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))〖解析〗設P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，將y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入上式，解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2).又x2∈〖0，a2〗，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).1．知識清單：(1)圓錐曲線的離心率的求法．(2)圓錐曲線的離心率的范圍問題．2．方法歸納：定義法、數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：忽略離心率的范圍導致出錯．1．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1，則離心率等于()A．3B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D．2〖答案〗D〖解析〗由雙曲線方程可知c2＝4，所以e＝eq\f(c,a)＝2.2．(多選)已知雙曲線E的中心在原點，對稱軸為坐標軸，漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線E的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\r(5)C.eq\f(5\r(3),3)D.eq\f(3\r(5),5)〖答案〗AB〖解析〗若雙曲線焦點在x軸上，由漸近線方程為y＝±2x，得eq\f(b,a)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(5)；若雙曲線焦點在y軸上，由漸近線方程為y＝±2x，得eq\f(a,b)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2).3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標是M(－4,1)，則橢圓的離心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(5),5)〖答案〗C〖解析〗設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點差法可知yM＝－eq\f(b2,a2k)xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2).4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，P是橢圓C上一點(不在坐標軸上)，Q是∠F1PF2的平分線與x軸的交點，若|QF2|＝2|OQ|，則橢圓離心率的取值范圍是________．〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))〖解析〗∵|QF2|＝2|OQ|，∴|Q