2024年中考數(shù)學(xué)選填壓軸題預(yù)測(cè)及答案解析

14X中有裁號(hào)送嫉恁*莫侏（

一供1?。?/p>

22

穎目Q（2023-廣州）已知關(guān)于c的方程/—（2k-2）X+k-l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則J（k—I）?一（V2^fc）的

化簡(jiǎn)結(jié)果是（）

A.—1B.1C.—1—2kD.2k—3

【分析】首先根據(jù)關(guān)于①的方程（2%-2），+fc2-l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得判別式△=[一（2%—2）『一4x1x

（fc2-i）>o,由此可得kw1,據(jù)此可對(duì)7（fc-i）2-（代工I）?進(jìn)行化簡(jiǎn).

【解答】解：：關(guān)于,的方程，2一（2卜一2）3；+/-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

判別式△=[-（2k—2）『一4x1x（fc2-l）>0,

整理得：—8k+8）0,

fc<1,

k-1&0,2—k>0,

-I）?-（A/2—fc）2

=-（fc-l）-（2-fc）

故選：4

二供1?。?/p>

「題目區(qū)（2023-溫州）【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程

相等，②③兩路段路程相等.

【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過(guò)每個(gè)景點(diǎn)都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時(shí)3小時(shí)25分鐘;

小州游路線①②⑧,他離入口的路程s與時(shí)間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處,他到出口還要

走10分鐘.

【問(wèn)題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（

A.4200米B.4800米C.5200米D.5400米

【分析】設(shè)①④⑥各路段路程為重米，⑤⑦⑧各路段路程為沙米，②③各路段路程為z米，由題意及圖象可知

三=，然后根據(jù)“游玩行走速度恒定，經(jīng)過(guò)每個(gè)景點(diǎn)都停留20分鐘，小溫游路線

4510

①④⑤⑥⑦⑧用時(shí)3小時(shí)25分鐘”可進(jìn)行求解.

【解答】解:由圖象可知:小州游玩行走的時(shí)間為75+10—40=45（分鐘）,

小溫游玩行走的時(shí)間為205-100=105（分鐘），

設(shè)①④⑥各路段路程為，米,⑤⑦⑧各路段路程為9米，②③各路段路程為z米

由圖象可得：°+"+z=*+"+z—210°

4510'

解得：c+?/+z=2700,

游玩行走的速度為：（2700—2100）+10=60（米/分），

由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為：3工+3夕=105x60=6300,

.\x-\-y=2100,

路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為：2a;+2y+z=2；+v+z+a;+v=2700+2100=4800（米）.

故選：B.

三.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象（共1小題）

【題目回（2023?河南）如圖1,點(diǎn)P從等邊三角形的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn),再?gòu)脑?/p>

點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2,罷=9,圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)V隨土變化的關(guān)系圖象，則等

【分析】如圖，令點(diǎn)P從頂點(diǎn)力出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O,再?gòu)狞c(diǎn)。沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B,結(jié)合

圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在人。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB=PC,40=2述，易知ABAO=ACAO=30°,當(dāng)點(diǎn)P在。B上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的路程為4V3,可知AO=OB=2",過(guò)點(diǎn)。作OD，AB,解直角三角形可得

AD=4>cos30°,進(jìn)而得出等邊三南形ABC的邊長(zhǎng).

【解答】解:如圖，令點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O,再?gòu)狞c(diǎn)。沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B,

結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，暮■=：!,

:.PB—PC,AO—2V3,

又「△ABC為等邊三角形，

??.ABAC=60°,AB=AC,

???/\APB空△APC(SSS),

：.ZBAO=ZCAO=30°f

當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的路程為4V3,

:.OB=2V3,即AO=OB=2V3,

???/940=/ABO=30°,

過(guò)點(diǎn)。作，AB,垂足為D,

：.AD=BD,則AD=4O?cos30°=3,

AB=AD+BD=6,

即等邊三角形48。的邊長(zhǎng)為6.

故選：A.

四.反比例函數(shù)系數(shù)A的幾何意義（共1小題）

題目3（2023-寧波）如圖，點(diǎn)4B分別在函數(shù)夕=*a>0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)交2軸

于點(diǎn)。.點(diǎn)在函數(shù)9=之。<0,2<0）圖象上，人￡〃2：軸，80〃沙軸,連結(jié)?！?；,跳；.若47=

X???

2BC,A4BE的面積為9,四邊形ABDE的面積為14,則a—b的值為12,a的值為9

【分析】依據(jù)題意，設(shè)旦），再由AE〃x軸，BD〃y軸，AC=2BC,可'得-白），D（—2m,

m2m

一小一），E（—,旦），再結(jié)合△ABE的面積為9,四邊形ABDE的面積為14,即可得解.

2mam

【解答】解：設(shè)4%衛(wèi)），

m

AE〃立軸，且點(diǎn)E在函數(shù)■上，

：.E（嗎&）.

am

?：AC=2BC,且點(diǎn)B在函數(shù)v=馬上,

X

??-8(—2m,

2m

???瓦?〃。軸，點(diǎn)。在函數(shù)"=之上，

x

?*?-0(—2m,—).

2m

???△AB石的面積為9,

3(ai)

???s：=義(多+表)=—4一—仇

ZUElib/CLilL-哈號(hào)/+"C白L?—普

a-b=12.

?.?△ABE的面積為9,四邊形4BDE的面積為14,

+2+

SABDE=《DB?(地+2m)=[(一上+(旺當(dāng)皿=X(a一》?工?(-~)-m=3(-—)

2a22m2ma4maa

—5.

a=-3b.

又Q—b=12.

a=9.

故答案為：12,9.

五.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共2小題）

：題目回（2023?德州）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,3）,。是。4的中

點(diǎn)，交于點(diǎn)E,函數(shù)夕=儂士《的圖象過(guò)點(diǎn)B.E.且經(jīng)過(guò)平移后可得到一個(gè)反比例函數(shù)的圖象，

則該反比例函數(shù)的解析式（）???

n3

c.y=—D”3

X

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)E,求出a和b,再由所得函數(shù)解析式即可解決問(wèn)題.

【解答】解：由題知，

A(6,0),B(6,3),C(0,3),

令直線AC的函數(shù)表達(dá)式為yi=k1X+瓦,

6自十與=0

則

b尸3

解得

[bi—3

所以yi=―■力+3.

又因?yàn)辄c(diǎn)。為OA的中點(diǎn)，

所以。(3,0),

同理可得，直線的函數(shù)解析式為例=%—3,

由一-+3=力一3得，

力=4,

則g=4—3=1,

所以點(diǎn)E坐標(biāo)為(4,1).

6a+6

=3

將石，石兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得,3

4a+b=1

Q=4

解得

b=—15

，二4力一15

所以g

x—3'

4（力一3）—33

貝4y=+4,

x—3x—3

將此函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,

所得圖象的函數(shù)解析式為：y=—.

x

故選:D.

題瓦回如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt/\OAB的直角頂點(diǎn)A在2軸的正半軸上，=2,AAOB：30°,反比例函

數(shù)9=總/>0)的圖象經(jīng)過(guò)斜邊QB的中點(diǎn)C.

X

(l)fc=V3；

(2)。為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若DB//4。,則OZ—Blf的值為4.

???

【分析】(1)根據(jù)直角三甫形的性質(zhì)，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，作出輔助線，證得/\OPC名AAPC(HL)，利用勾股

定理及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可解答.

⑵求出AC.BD的解析式，再聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，分兩種情況討論即可求解.

【解答】解：(1)在AtAOAB中，AB=2,乙408=30°,

OB=4,OA=2A/3,

.4(273,0),5(273,2),

。是OB的中點(diǎn)，

OC=BC=AC=2,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CP_L04于P,

△OPCZ△APC(HL),

OP=AP=^-OA=V3,

在Rt^OPC中，PC=VOC2-OP2=74^3=1,

(7(73,1).

?/反比例函數(shù)y=—(fc>0)的圖象經(jīng)過(guò)斜邊OB的中點(diǎn)。,

X

解得k

故答案為：，

(2)設(shè)直線AC的解析式為g=k.x+b(kW0),

.f2V3fci+6=0

則n

解得卜L君，

[b=2

：.AC的解析式為沙=一空2+2,

O

???AC//BD,

直線BD的解析式為y=—乎2+4,

?.?點(diǎn)D既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線BD上,

fV3

y二一

聯(lián)立得一,

y=―-^-/+4

、O

[2：i=2A/3+3fa?2=2V3-3

=

Iyi2—A/3[y2=2+V3

當(dāng)。的坐標(biāo)為(2V3+3,2-V3)時(shí)，

B02=(2V3+3-2A/3)2+(2-V3-2)2=9+3=12,

.?.OB2-Bn2=16-12=4;???

當(dāng)。的坐標(biāo)為(2V3-3,2+V3)時(shí)，

BZ52=(2V3-3-2V3)2+(2+A/3-2)2=9+3=12,

OB2-Bn2=16-12=4;

綜上，032—B￡?2=4.

故答案為：4.

六.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題(共1小題)

>10(2023?湖州)已知在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=卜他(鼠>0)的圖象與反比例函數(shù)沙=佟(總>

0)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)中，有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)A(t,p)和點(diǎn)6(t+2,q)在函數(shù)?/=自①的圖象上

。且t2),點(diǎn)C(t,m)和點(diǎn)。(1+2,n)在函數(shù)夕=&的圖象上.當(dāng)p—m與q—n的積為負(fù)數(shù)時(shí)，力的取

X

值范圍是()

A.一~~VtV—3或~~VtV1B.-VtV—3或1V力V~~

C.——3VtV——2或i——1V力V0D.——3VtV——2或i0V力V1

【分析】將交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1代入兩個(gè)函數(shù)，令二者函數(shù)值相等，得fci=fc2.令看產(chǎn)自=k，代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式,

并分別將點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)。、。的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)函數(shù)，進(jìn)而分別求出p一小與q—n的表達(dá)式，代入解不

等式(p—m)(q—力V0并求出力的取值范圍即可.

k

【解答】解：:y=自力(自>0)的圖象與反比例函數(shù)y=，(k2>0)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)中，有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x

為1,

?**ki--AZ2.

令ki=k2=k(k>0),則g=kxx=kx,y=

(0—kt

將點(diǎn)4力，P)和點(diǎn)B(力+2,q)代入g=for,得彳

[q=k(力+2)

將點(diǎn)C(大,m)和點(diǎn)_D(力+2,九)代入g="(，得<:.

x_/c

“1+2

???0—zn=就一((=—,q一九=k(±+2)-=k(±+2-,

(0—m)(Q—n)=fc2(t—十)(力+2—之)<。，

?9*+2-

1V，,1x_t2-l(i+2)2-l_(t+l)2(t-l)(?+3)

?"小+92-E=丁+2)

...(t—l)(t+3)(0

t(t+2)

t(t—1)(t+2)(t+3)C0.

①當(dāng)力〈一3時(shí)，力(七—1)(±+2)?+3)>0,

.?.力<一3不符合要求，應(yīng)舍去.

②當(dāng)—3<t<—2時(shí),t(t—1)(t+2)(t+3)<0,

.,.-3<力<-2符合要求.

③當(dāng)-2VY0時(shí),(t+2)(t+3)>0,

.?.一2〈1VO不符合要求，應(yīng)舍去.???

④當(dāng)0VQV1時(shí)，力(t—l)(t+2)(t+3)V0,

.,.0VtVl符合要求.

⑤當(dāng)±>1時(shí)，即一1)(±+2)(￡+3)>0,

.?.方>1不符合要求，應(yīng)舍去.

綜上，土的取值范圍是一3Vt<-2或OVtVl.

故選：D.

七.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系(共3小題)

［題目叵］(2023?樂(lè)至縣)如圖，拋物線沙=&/+碗+“￡1W0)的對(duì)稱軸為直線，=—2,且過(guò)點(diǎn)(1,0).現(xiàn)有以下

結(jié)論:①abc<0；②5a+c=0；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)？n,都有2b+bmW4a—am。④若點(diǎn)A{xx,%)、B(a;2,y2)是

圖象上任意兩點(diǎn)，且E+2|<E+2］,則陰<%，其中正確的結(jié)論是()

A.①②B.②③④C.①②④D.①②③④

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本

題.

【解答】解：由圖象可得，

a>0,fe>0,c<0,

/.abc<0,故①正確，

拋物線y—ax2+bx+c(aW0)的對(duì)稱軸為直線力=—2,且過(guò)點(diǎn)(1,0).

—~~——2,<z+fe+c—0,

2a

：.b=4a,

???a+b+c=Q+4a+c=0,故5a+c=0,故②正確,

當(dāng)x=—2時(shí)，g=4a—2b+c取得最小值，

/.a病+bm+c>4a—2b+c,即2b+bm>4a—am2(m為任意實(shí)數(shù)),故③錯(cuò)誤，

?.?拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線⑦=-2,

若點(diǎn)A(xlf.)、B(X2,7/2)是圖象上任意兩點(diǎn)，且|—+2|<|T2+2|,

???依〈統(tǒng)，故④正確；

故選：C.

〔題目回(2023-丹東)拋物線y=ax2+bx+c(a/0)與c軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-3,0)，與9軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)D是

拋物線的頂點(diǎn),對(duì)稱軸為直線c=—1,其部分圖象如圖所示，則以下4個(gè)結(jié)論:①abc>0；②E(X1,yi),F

2(

(電,V2)是拋物線y—ax-\-bx(aW0)上的兩個(gè)點(diǎn)，若xx<x2，且xl-\-x2<—2，則yx<y2;③在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)

P,當(dāng)PC+PD的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-y,0)；④若關(guān)于2的方程ax2+b(x-2)+c=-4(aW0)無(wú)

實(shí)數(shù)根，則b的取值范圍是b<l.其中正確的結(jié)論有()

???

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象可得出a,b,c的正負(fù)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性和增減性即可解決問(wèn)題.

【解答】解:根據(jù)所給函數(shù)圖象可知，

a>0,6>0,c<0,

所以abc<0,

故①錯(cuò)誤.

因?yàn)閽佄锞€y=的圖象可由拋物線y=a^+bx+c的圖象沿g軸向上平移\c\個(gè)單位長(zhǎng)度得到,

所以拋物線g=Q/+6力的增減性與拋物線期=ai+bx+c的增減性一致.

則當(dāng)x<—1時(shí)，g隨力的增大而減小，

又力i<力2，且劣1+劣2<—2,

若x2<—1,

則E,尸兩點(diǎn)都在對(duì)稱軸的左側(cè)，

此時(shí)yY>y2.

故②錯(cuò)誤.

作點(diǎn)。關(guān)于力軸的對(duì)稱點(diǎn)。，連接。。與力軸交于點(diǎn)P,連接P。，

此時(shí)PC+PO的值最小.

將4(—3,0)代入二次函數(shù)解析式得，

9。-3b+c=0,

b1

又

即b=2Q,

所以9Q—6Q+C=0,

則c=-3Q.

又拋物線與g軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,c),

則點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,-3a),

所以點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,3a).

又當(dāng)x——\時(shí)，y——^a,

即D(-l,-4a).

設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+3a,

將點(diǎn)。坐標(biāo)代入得，

—k+3a=-4a,

貝Uk=7a,

所以直線。。的函數(shù)表達(dá)式為U=7QI+3Q.

將g=0代入得，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-y,0）.

故③正確.

將方程aa/'+Mrc—2）+c——4整理得，

ax2+bx+c=26—4,

因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)根，

所以拋物線夕=ax2+bx+c與直線g=2b—4沒有公共點(diǎn),

所以26—4V—4a,

則26-4<-2fe,

解得6<1,

又90,

所以0<b<l.

故④錯(cuò)誤.

所以正確的有③.

故選：A.

題目口口（2023-河北）已知二次函數(shù)y=—/+/712c和y=a;2-m2（m是常數(shù)）的圖象與c軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，且

這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，則這兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱軸之間的距離為（）

A.2B.TTLC.4D.2m2

（分析】求出三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，再構(gòu)建方程求解.

【解答］解:令g=0,則―/=0和T2—m2=0,

六%=0或a;=m或x=—m或6=m,

??,這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，

若7n>0,則m2=2m,

m=2,

若7nV0時(shí)，則m2=-2m,

m=—2.

2

拋物線g=/2—vn?的對(duì)稱軸為直線力=0,拋物線y=—x2+m2￡C的對(duì)稱軸為直線力二青-,

2

這兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱軸之間的距離=~~2~=2,

故選：4

八.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）

「題目回（2023-廣東）如圖,拋物線夕=遍+c經(jīng)過(guò)正方形0ABe的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,。，點(diǎn)B在沙軸上，則ac

A.-1B.一2C.—3D.-4???

【分析】過(guò)4作4H"_L）軸于舊;根據(jù)正方形的性質(zhì)得到乙406=45°,得到4ff=OH,利用待定系數(shù)法求得

a、c的值，即可求得結(jié)論.

【解答】解：過(guò)A作Aff_L力軸于H,

???四邊形ABCO是正方形，

???乙406=45°,

???45°,

??.AH=OH,

設(shè)A(m,rn),則B(0,2m),

.(m=aw^-\-c

\2m=c'

解得am=-1,m=-y,

ac的值為—2,

故選：R

九.二次函數(shù)與不等式（組）（共1小題）

［題目］叵（2023-西寧）直線陰=ax+b和拋物線統(tǒng)=ax2+bx（a,b是常數(shù)，且a#0）在同一平面直角坐標(biāo)系

中，直線y產(chǎn)ax+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4,0）.下列結(jié)論:①拋物線統(tǒng)=a^+bx的對(duì)稱軸是直線c=—2；②拋物線y2

=aa?+bx與多軸一定有兩個(gè)交點(diǎn);③關(guān)于，的方程&/+皈=a,+b有兩個(gè)根2尸―4,◎=1；④若a>0,當(dāng)

力V—4或力>1時(shí)，%>例.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

2

【分析】根據(jù)直線y、=ax-\-b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一4,0）.得到6=4a,于是得到y(tǒng)2=ax+bx=Q/=4Q/,求得拋物線y2

22

=ax-\-bx的對(duì)稱軸是直線x-=2;故①正確；根據(jù)A=16Q2>0,得到拋物線y2=ax-\-bx與⑦軸一定

22

有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確；把b=4a,代入ax-\-bx—ax-\-b得到rc+3rc—4=0,求得g=-4,x2—1;故③正確；

21

根據(jù)a>0,得到拋物線y2—ax-\-bx的開口向上，直線yx—ax+b和拋物線y2—ax+bx交點(diǎn)橫坐標(biāo)為一4,

1,于是得到結(jié)論.

【解答】解：:直線y、=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一4,0）.

4a+b=0,

b=4a,

2

y2=ax-\-bx=aa?+4ac,

1

拋物線y2—aa?-\-bx的對(duì)稱軸是直線x=一半—=2;故①正確；

2a

2

*.*y2—aa?-\~bx—arc+4aT,

:.A=16a2>0,

拋物線紡=aa?-\-bx與力軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確；

Vb=4a,

/,方程ax2+bx=are+b為ax2-{-4：ax=ar+4Q得，

整理得/+3力-4=0,

解得力i=-4,x2—1;故③正確；

2

丁a>0,拋物線例=ax+bx的開口向上，直線m=ax-\-b和拋物線y2—ax1-\-bx交點(diǎn)橫坐標(biāo)為一4,1,

當(dāng)x<—4或力>1時(shí)，yi<y2.故④錯(cuò)誤，

故選：

一十.三角形中位線定理（共1小題）???

遮目H（2023?廣州）如圖，在Rt/\ABC中，AACB=90°,=10,AC=6,點(diǎn)M是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D,

E分別是AB，乂8的中點(diǎn)，當(dāng)AM^2.4時(shí)，OE的長(zhǎng)是1.2.若點(diǎn)N在邊6。上，且CN=AM,點(diǎn)F,G

分別是MN,4V的中點(diǎn)，當(dāng)2.4時(shí)，四邊形。EFG面積S的取值范圍是34SW4.

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)三角形中位線定理可得=44W=L2;設(shè)w=*從而￡＞石=白，由。石〃4河,

且DE=^AM，入FG〃AM,FG=^AM,進(jìn)而DE〃FG,DE=FG,從而四邊形DEFG是平行四邊形，

結(jié)合題意可得DE邊上的高為（4——2），故四邊形DEFG面積5=42—1小,進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可

得S的取值范圍.

【解答】解：由題意，點(diǎn)。，后分別是4B,MB的中點(diǎn)，

DE是三角形48Al的中位線.

DE=JAM=1.2.

如圖，

設(shè)AM=x,

由題意得，DE〃AM,且DE=gAM,

又FG"AM,FG^^-AM,

：.DE//FG,DE=FG.

：.四邊形DEFG是平行四邊形.

由題意，GF到的距離是1,BC=“AB?—,

.?.DE邊上的高為（4—0力.

四邊形DEFG面積S=2c—=小，=一二（,_4）2+4.

44

V2.4<x<6,

???3&S&4.

故答案為：1.2;3&S&4.

一十一.矩形的性質(zhì)（共2小題）

逾百?（2023-寧波）如圖，以鈍角三角形ABC的最長(zhǎng)邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD,設(shè)

的面積分別為S,g,S2,若要求出S—Si—52的值，只需知道（）

A.△ABE的面積B.A4CD的面積C.ZVIB。的面積D.矩形BODE的面積

【分析】作AG_LED于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,可證明四邊形BFGE是矩形，4F_LBC,可推導(dǎo)出S—Sx-S2=

：。。,所以只需知道

、ED-AG-BE-EG-^-CD-DG=^-ED-AG--FG-ED=AF=SSAABC,

zzzzzz

就可求出S—Si—$2的值，于是得到問(wèn)題的答案.

【解答】解:作AG_LED于點(diǎn)G,交B。于點(diǎn)F,

?.?四邊形8CDE是矩形，

2FBE=4BEG=2FGE=90°,BC//ED,BC=ED,BE=CD,

：.四邊形BFGE是矩形，NAFB=4FGE=90°,

:.FG=BE=CD，AF_LBC,

：.S-S1-S2=^-ED-AG--BE-EG-±CD-DG=^-ED-AG--FG-ED=^-BC-AF=S^c，

zzzzzz

.?.只需知道S△及sc,就可求出S—Si—52的值，

故選：C.

「題目即（2023?河南）矩形ABCD中，河為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊A。上，且AN=4B=1.當(dāng)以點(diǎn)

。，河,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為2或1+2.

【分析】以點(diǎn)。，M,N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：如圖1,當(dāng)/AiND=90°時(shí)，如圖2,當(dāng)

NNMD=90°時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：以點(diǎn)。，河，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：

①如圖1,當(dāng)乙MND=90°時(shí)，

則的V_L4D,

?.?四邊形4BCD是矩形，

ZA=90°,

?.?Af為對(duì)角線RD的中點(diǎn)，

AN=DN,

?：AN=AB=1,

AO=2AN=2;

如圖2,當(dāng)乙MWD=90°時(shí)，

則MN_LBD,

?.?Af為對(duì)角線的中點(diǎn)，

:.BM=DM,

.?.AW垂直平分BD,

:.BN=DN,

?：ZA=90°,AB=AN=1,

:.BN=?AB=?,

：.AD=AN+DN=1+V2,???

綜上所述，49的長(zhǎng)為2或l+2.

故答案為：2或1+2.

一十二.正方形的性質(zhì)（共2小題）

題目回如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)G是上的一點(diǎn)，且BG=3GC,DE_LAG于點(diǎn)、E,BF

〃。后，且交AG于點(diǎn)F,則tan/EDF的值為（）

【分析】由正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4及BG=3CG,可求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AG的長(zhǎng)，證△ADE?

/XGAB,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得AE,DE的長(zhǎng),證△ABFW/\DAE,

得AF=DE,根據(jù)線段的和差求得EF的長(zhǎng)即可.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是正方形，4B=4,

：.BC=CD=DA=AB=4：,ABAD=NABC=90°,AD//BC,

：.NDAE=AAGB,

?：BG=3CG,

：.BG=3,

：.在Rt^ABG中,AB2+BG2^AG2,

47=〃+3?=5,

?：DE±AG,

：.NDEA=ZDEF=ZABC=90°,

AADE?&GAB,

：.AD:GA=AE-.GB=DE：AB,

.\4:5=AE:3=DE:4,

：.AE=^-,DE^^~,

55

又,：BF//DE,

：./AFB=/DEF=90°,

又???AB=ADf/DAE=/ABF（同角的余角相等），

△48斤空AZ14E,

AF=DE=單，

5

EF=AF—AB=單一孕=二，

555

EF1

：MEDF=榻*，

故選：A.

題目?（2023?湖州）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③,④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤的正方形恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的

四邊形ABCD，相鄰圖形之間互不重疊也無(wú)縫隙,①和②分別是等腰Rt/\ABE和等腰Rt^BCF,③和④分

9

別是母/XCDG和9△D4H,⑤是正方形EFGH,直角頂點(diǎn)及F,G,H分別在邊BF,CG,DH,AE上.

(1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,則的長(zhǎng)是4cm.

⑵若弟=言，則tan/D4H的值是3.

Crl74-----------------

【分析】（1）將AE和FC用BE表示出來(lái)，再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的長(zhǎng)；

（2）由已知條件可以證明ADAH=ACDG，從而得到tan/D4H=tanZCDG，設(shè)⑷7=c,OG=5%,GH=

4%,用2和％的式子表示出CG,再利用tan/D4H=tanZCDG列方程，解出。，從而求出tan/D4H的值.

【解答】解:（1）VRt^ABE和RtABCF都是等腰直角三角形，

AAE=BE,BF=CF,

?：AE+FC^llcm,

BE+BF=11cm,

即BE+BE+EF—11cm,

即2BE+M=llcm,

?：EF—3cm,

2BE+3cm=11cm,

/.BE=4cm,

故答案為：4;

⑵設(shè)Aff=;z：,

..DG_=5_

'GH4'

可設(shè)。G=5k,GH=4k,

?：四邊形EFGH是正方形,

:.HE=EF=FG=GH=4k,

?：R心ABE和RtABCF都是等腰直角三角形，

AE=BE,BF=CF,NABE=NCBF=45°,

CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+Uk=x+12k,

Z.ABC=/LABE+ACBF=45°+45°=90°,

?/四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，

ZADC=90°,

：./ADH+/CDG=90°,

四邊形EFGH是正方形,

：./AHD=/CGD=90°,

AADH+NDAH=90°,

NDAH=ACDG,

tanZ.DAH=tan/CDG,

.DH=CG即5k+4k=c+12k

**AHDGfx5k，

整理得：x2+12kx-45fc2=0,

解得X1—3k,力2=—15k（舍去）,

tan/DAH==3.

AH3fc

故答案為：3.

一十三.正多邊形和圓（共1小題）

1目回（2023?河北）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上,其俯視圖如圖1,正六邊形邊長(zhǎng)為2且各

有一個(gè)頂點(diǎn)在直線Z上.兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后,其俯視圖如圖2,其中，中間正六邊

形的一邊與直線/平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn).則圖2中:

⑴/&=30度;

（2）中間正六邊形的中心到直線I的距離為2瓜（結(jié)果保留根號(hào)）.

圖1圖2

【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可得到結(jié)論；

（2）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，首先作出圖形，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線/的距離轉(zhuǎn)化為求

ON=OM+BE,再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，分別求出OM,跳;即可.

【解答】解：（1）作圖如圖所示，

-/多邊形是正六邊形，

AACB=6Q°,

???BC〃直線Z,

/ABC=90°,

J.a—30°;

故答案為：30°;

（2）取中間正六邊形的中心為O,

作圖如圖所示，由題意得，AG〃BF,AB〃GF,BF_LAB,

：.四邊形ABFG為矩形，

AAB=GF,

?：ABAC=2FGH,ZABC=ZGFH=90°,

△ABCZ^GFH（SAS）,

:.BC=FH,

在RtNPDE中，OE=1,PE^V3,

由圖1知AG=BF=2PE=2g，OM=PE=A,

?：BC=^-{BF-CH）=V3-1,

BCV3-1

AB=3—通,圖2

tanABAC￡

3

BD—2—AB=A/3—1,

=.X2=l,

???

BE=BD+DE—A/3,

ON=OM+BE=2V3.

二.中間正六邊形的中心到直線Z的距離為2，S,

故答案為：2盜.

一十四.扇形面積的計(jì)算（共1小題）

［題目|19］（2023?溫州）圖1是4x4方格繪成的七巧板圖案，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為血，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“房

子”造型（如圖2）,過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)作圓,并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形CDEF作為題字區(qū)域（點(diǎn)A,E,。,

B在圓上，點(diǎn)在AB上），形成一幅裝飾畫,則圓的半徑為5,若點(diǎn)■在同一直線上，AB

〃PN,DE=，百EF,則題字區(qū)域的面積為然典.

【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，根據(jù)對(duì)稱性得出圓心的位置，進(jìn)而垂徑定理、勾股定理求得r,連接

OE,取磯）的中點(diǎn)T,連接OT,在Rt/^OET中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解:如圖所示，依題意，GH=2=GQ,

?.?過(guò)左側(cè)的三個(gè)端點(diǎn)Q,K,L作圓，QH=HL=4,

文NK1QL,

.?.O在K2V上，連接OQ,則OQ為半徑，

,：OH=T—KH=T—2,

在Rt/\OHQ中，OHlQ*QO2,

：.（『-2）2+42=r,

解得：r=5;

連接OE,取即的中點(diǎn)T,連接OT,交AB于點(diǎn)S,連接PB,⑷W,過(guò)點(diǎn)O作OU_L4河于點(diǎn)U.連接04

由△°UN?△NPM,可得器=爵=線,

：.OU^^~.MN=24,

5

：.NU=^~,

5

AU=y/O^-OU2=,

5

??.AN=AU—NU=2瓜

??.AN=MN,

???AB//PN,

.?.AB±OTf

??.AS=SB,

：.NS//BM,

：.NS//MP,

???加;尸，8共線,???

叉NB=NA,

??.AABM=90°,

??,MN=NB,NP_LMP,

:?MP=PB=2,

：.NS=^MB=2,

???KH+HV=2+4=6,

ON—6—5=1,

??.OS=3,圖1

\'DE—4QEF,

設(shè)EF=ST=a,則政=^口￡=乎（1,

在Rt/XOET中，OE'OT2+TE2,^52=（3+a/+（*，

整理得5a?+12a—32=0,

即（a+4）（5a—8）=0,

解得:a=或a=-4,

5

題字區(qū)域的面積為V6a2=-^76.

故答案為：5,黑份.

一十五.軸對(duì)稱一最短路線問(wèn)題（共1小題）

:題目遠(yuǎn)〕（2023?安徽）如圖，E是線段AB上一點(diǎn)，△ADE和4BCE是位于直線AB同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形,

點(diǎn)P,F分別是CD,的中點(diǎn).若4B=4,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.PA+PB的最小值為B.PE+PF的最小值為2遍

C.△CDE周長(zhǎng)的最小值為6D.四邊形ABCD面積的最小值為34

【分析】延長(zhǎng)A。，BC交于河，過(guò)P作直線（〃4B,由△4DE和△BO￡是等邊三角形，可得四邊形DECM是

平行四邊形，而P為CD中點(diǎn)，知P為百中點(diǎn)，故P在直線/上運(yùn)動(dòng)，作A關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)Ar,連接

4B,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到4B與直線1的交點(diǎn)，即4,P,B共線時(shí)，PA+PB=P4+PB最小，即可得P4+PB最

小值A(chǔ)'B=y/AA2+AB2=277,判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由PM=PE，即可得當(dāng)M,P,F共線時(shí)，PE+PF最小，

最小值為MF的長(zhǎng)度，此時(shí)PE+PF的最小值為2遍,判斷選項(xiàng)B正確；過(guò)。作DK_LAB于K,過(guò)。作CT

_LAB于T,由△4DE和△BCE是等邊三角形，得KT=KE+TE==2,有CD>2,故△CDE周長(zhǎng)

的最小值為6,判斷選項(xiàng)。正確；設(shè)AE=2w，可得S嗎現(xiàn)曲ABCD=V3（m-1尸+30,即知四邊形ABCD面積的

最小值為判斷選項(xiàng)。正確.

【解答】解:延長(zhǎng)AD,