蘇科版八年級數學上冊重難點專項訓練：等腰三角形中易漏解或多解得問題（原卷版+解析）

專題07易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解得問題

聚焦考點

易錯點一求長度時忽略三邊關系

易錯點二當腰和底不明求角度時沒有分類討論

易錯點三三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論

A易錯點一求長度時忽略三邊關系

例題：已知一個等腰三角形的兩邊長是3cm和7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.VIcmC.13或17cmD.10cm

【變式訓練】

1.等腰三角形的兩邊長分別為4厘米和9厘米，則這個三角形的周長為（）

A.22厘米B.17厘米C.13厘米D.17厘米或22厘米

2.已知實數x,y滿足|x-5|+（y-10）2=0,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不對

3.（2022?河北?石家莊石門實驗學校八年級期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8,則它的周長等于

4.（2021?云南?富源縣第七中學八年級期中）若等腰三角形的周長為26°相，一邊為8cm,則腰長為—.

5.（2022?河南?駐馬店市第十中學八年級階段練習）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和5,則這個等腰三

角形的周長為.

6.（2022?黑龍江?肇東市第十中學八年級期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為5c7打2cm,則該等腰三角

形的周長是.

7.（1）等腰三角形一腰上的中線把周長分為15和12兩部分，求該三角形各邊的長.

（2）己知一個等腰三角形的三邊長分別為2元-l,x+l,3x-2,求這個等腰三角形的周長.

A易錯點二當腰和底不明求角度時沒有分類討論

例題：若等腰三角形的一個角等于80。，則其頂角的度數為（）

A.80°B.20°C.100°D.80°或20°

【變式訓練】

1.已知等腰三角形的一個內角是72。，那么這個等腰三角形的頂角是____度.

2.有一張三角形紙片ABC,NA=80。，點。是AC邊上一點，沿2。方向剪開三角形紙片后，發(fā)現所得兩

張紙片均為等腰三角形，則/C的度數可以是.

3.如圖，直線a,b交于點。，Z?=40°,點A是直線。上的一個定點，點3在直線6上運動，且始終位于

直線a的上方，若以點。，A,8為頂點的三角形是等腰三角形，則°.

4.（2022?山東煙臺?七年級期末）若等腰三角形中有一個角等于35。，則這個等腰三角形的頂角的度數為

5.（2022?江西吉安?七年級期末）在AMC中，NB=36°,點尸是射線BA上的任意一點，當為等腰三

角形時，/BPC的度數為.

6.（2022.江西贛州?八年級期末）如圖，AABC中，AB^AC,NABC=40。，點。在線段BC上運動（點。

不與點8,C重合），連接4D,作ZA￡>E=4O。，DE交線段AC于點E.當AADE是等腰三角形時，ZSW的

度數為.

A易錯點三三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論

例題：若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則這個等腰三角形的底角的度數為（）

A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°

【變式訓練】

1.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為56。，則這個等腰三角形底角度數是.

2.（2022?陜西?交大附中分校七年級期末）已知AABC中，ZB=20°,在AB邊上有一點若CD將AABC

分為兩個等腰三角形，則ZA=.

3.（2021?江西育華學校八年級期末）已知AABC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三

角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為AA8C的關于點8的二分割線.如圖

1,放反42。中，顯然直線2。是AABC的關于點B的二分割線.在圖2的AABC中，110°,若直線

8。是AA8C的關于點B的二分割線，則NCOS的度數是

專題07易錯易混淆集訓：等腰三角形中易漏解或多解得問

題

聚焦考點

易錯點一求長度時忽略三邊關系

易錯點二當腰和底不明求角度時沒有分類討論

易錯點三三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論

A易錯點一求長度時忽略三邊關系

例題：已知一個等腰三角形的兩邊長是3cm和7c，，z,則它的周長為（）

A.13cmB.YlemC.13或17c加D.10cm

【答案】B

【解析】

【詳解】

由題意得：三角形的三邊可能為3、3、7或3、7、7,然后根據三角形的三邊關系可知只能

是3、7、7,

周長為3+1+7=11cm.

故選B.

【變式訓練】

1.等腰三角形的兩邊長分別為4厘米和9厘米，則這個三角形的周長為（）

A.22厘米B.17厘米C.13厘米D.17厘米或22厘米

【答案】A

【解析】

【詳解】

解：若4厘米為腰長，9厘米為底邊長，由于4+4<9,則三角形不存在；

若9厘米為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊，所以這個三角形的周長為9+9+4=22

（厘米）.

故選A.

2.已知實數x,y滿足|工-5|+（〉-10）2=。，則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是

（）

A.20B.25C.20或25D.以上答案均不對

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據非負數的性質列式求出x、y的值，再分5是腰長與底邊兩種情況討論求解即可.

【詳解】

解：?,-|%-5|+(y-10)2=0,|^-5|>0,(y-10)2>0

---x-5=0,y-10=0,

解得x=5,y=10,

當5是腰長時，三角形的三邊分別為5、5、10,

V5+5=10,

不能組成三角形；

當5是底邊時，三角形的三邊分別為5、10、10,

能組成三角形，周長=5+10+10=25,

所以，三角形的周長為25,

故選：B.

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，絕對值非負數，平方非負數的性質，根

據幾個非負數的和等于0,則每一個算式都等于0,求出尤、y的值是解題的關鍵，難點在于

要分情況討論并且利用三角形的三邊關系進行判斷.

3.(2022?河北?石家莊石門實驗學校八年級期末)己知等腰三角形的兩邊長分別為4和8,

則它的周長等于.

【答案】20

【分析】根據等腰三角形的性質，本題要分情況討論.當腰長為4或是腰長為8兩種情況.

【詳解】解：等腰三角形的兩邊長分別為4和8,

當腰長是4時，則三角形的三邊是4,4,8,4+4=8不滿足三角形的三邊關系；

當腰長是8時，三角形的三邊是8,8,4,三角形的周長是20.

故答案為：20.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目

一定要想到兩種情況，進行分類討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點

非常重要，也是解題的關鍵.

4.(2021?云南?富源縣第七中學八年級期中)若等腰三角形的周長為26c7外一邊為8c7",則

腰長為一,

【答案】8cm或9cm##9cm或8cm

【分析】分8cm的邊是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：①8c機是腰長時，底邊為：26-8x2=10cm,

三角形的三邊長分別為8aw、8cm、10cm,

V8+8=16>10,

，能組成三角形，

②是底邊長時，腰長為：gx(26-8)=9cv7j,

三角形的三邊長分別8cM1、9cm.9cm,

能組成三角形，

綜上所述，該等腰三角形的腰長是8cm或者9cm.

故答案為：8cm或者9cm.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關系判

定是否能組成三角形.

5.(2022.河南.駐馬店市第十中學八年級階段練習)已知等腰三角形的兩邊長分別為6和5,

則這個等腰三角形的周長為.

【答案】16或17

【分析】分邊長6是等腰三角形的腰和底兩種情況討論，即可求解.

【詳解】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5,

能組成三角形，

周長=6+6+5=17,

②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5,5,

能組成三角形，

周長=6+5+5=16,

綜上所述，三角形的周長為16或17.

故答案為：16或17.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解答本題時注意分情況討論，避免出現錯漏.

6.(2022?黑龍江?肇東市第十中學八年級期末)已知等腰三角形的兩邊長分別為5c2cm,

則該等腰三角形的周長是.

【答案】12c〃z##12厘米

【分析】根據等腰三角形的性質，本題要分情況討論.當腰長為或是腰長為5c機兩種

情況.

【詳解】解：等腰三角形的兩邊長分別為2c,”和5cm,

當腰長是5的時，則三角形的三邊是5cm,5cm,2cm,5cm+2.cm>5cm,滿足三角形的三邊

關系，

三角形的周長是5+5+2=12(cm)；

當腰長是2c?t時，三角形的三邊是2CTM,2cm,5cm,2cm+2cm<5cm,不滿足三角形的三邊

關系.

故答案為：12c優(yōu).

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目

一定要想到兩種情況，進行分類討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點

非常重要，也是解題的關鍵.

7.(1)等腰三角形一腰上的中線把周長分為15和12兩部分，求該三角形各邊的長.

(2)已知一個等腰三角形的三邊長分別為2x-l,x+l,3x-2,求這個等腰三角形的周長.

【答案】(1)8,8,11或者10,10,7；(2)周長為7或者8

【解析】

【分析】

(1)根據等腰三角形的性質，列出方程求解，注意分類討論.

(2)分三種情況，進行討論，結合三角形三邊關系得出答案.

【詳解】

⑴設腰長為2x,底為y,根據題意得：

①…[(x2+x+yx==1215

解得：x=5,y=7

???三邊為10,10,7

(2x+x=12

②達

[犬+y=15

解得：x=4,y=11

二?三邊為8,8,11

故本題答案為：8,8,11或者10,10,7

(2)①當2%—1=1+1時，解x=2,止匕時3,3,4,能構成三角形.

此時周長為10

②當2%-1=3%-2時,解光=1,此時1,2,1不能構成三角形.

3

③當x+l=3x-2,解得A：二,

此時2,注,能構成三角形，周長為=7

22

綜上，三角形的周長為7或者10.

【點睛】

本題考查等腰三角形性質，以及三角形三邊關系，屬于基礎提高題.

A易錯點二當腰和底不明求角度時沒有分類討論

例題：若等腰三角形的一個角等于80。，則其頂角的度數為（）

A.80°B.20°C.100°D.80°或20°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據等腰三角形的一個角是80°,分兩種情況考慮這個角為頂角與底角解答即可.

【詳解】

解：?..等腰三角形的一個角是80。，分兩種情況考慮，

當80。的角為底角時，頂角為180°-1600=20°,

當80。的角為頂角時，頂角為80。，

...該等腰三角形的頂角是80。或20°.

故答案選：D.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質,三角形內角和，解題的關鍵是熟練地掌握等腰三角形的性質.

【變式訓練】

1.已知等腰三角形的一個內角是72。，那么這個等腰三角形的頂角是____度.

【答案】72或36

【解析】

【分析】

本題應分底角為72。、頂角為72。這兩種情況，分別計算每種情況下等腰三角形是否存在.

【詳解】

解：①當72。角是頂角時，頂角為72。，

②當72。角是底角時，頂角=180。-72以2=36。，

綜上頂角為72?；?6°.

故答案為：72或36.

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質，，樹立分類討論思想，培養(yǎng)學生全面思考問題的數學素養(yǎng)，在

計算等腰三角形有關邊、角的問題時，要注意利用分類討論的思想進行全面討論是解題的關

鍵.

2.有一張三角形紙片ABC,NA=80。，點。是AC邊上一點，沿8。方向剪開三角形紙片

后，發(fā)現所得兩張紙片均為等腰三角形，則NC的度數可以是.

【答案】25?；?0?；?0°

【解析】

【詳解】

【分析】分AB=A￡＞或或40=80三種情況根據等腰三角形的性質求出再求

出ZBDC,然后根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解.

【詳解】由題意知AABD與AOBC均為等腰三角形，

對于可能有

@AB=BD,此時NAOB=NA=80。，

ZBDC=180°-ZADB=180°-80°=100°,

ZC=1(180°-100°)=40°,

?AB=AD,此時(180°-ZA)=|(180°-80°)=50°,

ZBDC=180°-ZADB=180°-50°=130°,

ZC=1(180°-130°)=25°,

?AD=BD,止匕時，ZADB=180°-2x80°=20°,

NBDC=180°-ZADB=180°-20°=160°,

zc=y(180°-160°)=10°,

綜上所述，ZC度數可以為25?；?0?；?0°

故答案為25。或40?；?0°

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，難點在于分情況討論.

3.如圖，直線a,6交于點O,Na=40。，點A是直線a上的一個定點，點B在直線6上運

動,且始終位于直線a的上方，若以點。，A,B為頂點的三角形是等腰三角形，則N

OAB=°,

【答案】40或70或100

【解析】

【分析】

根據AOAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當02=42時，②當時，③當04=08

時，分別求得符合的點2,即可得解.

【詳解】

解：要使AOAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當。修=A修時，ZOAB=Za=4Q0；

②當OA=A4時，ZOAB=180°-2x40°=100°；

③當04=023時，ZOAB=ZOBA=^(180°-40°)=70°；

故答案為：40或70或100.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵.

4.(2022?山東煙臺?七年級期末)若等腰三角形中有一個角等于35。，則這個等腰三角形的

頂角的度數為.

【答案】35?；?10。

【分析】根據等腰三角形兩底角相等，分別討論當35。為頂角，和當35。為底角兩種情況即

可得出答案.

【詳解】解：當35。為頂角時，這個等腰三角形頂角的度數為35。；

當35。為底角時，頂角度數為：180o-35°x2=110°；

故答案為：35?；?10。.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形兩底角相等是本題解題關鍵.

5.(2022?江西吉安?七年級期末)在AABC中，48=36°,點P是射線BA上的任意一點，當

△尸3c為等腰三角形時，NBPC的度數為.

【答案】108?；?2。或36。

【分析】分三種情況討論：當=時，推出/外"=/8=36°,推出

ZB^C=180°-(ZB+Z7fCB)=108°；當88=BC時，推出ZB￡C=g(180°-ZB)=72°；當

CB=C4時，推出N3AC=NB=36°.

【詳解】解：當片B時，N￡CB=NB=36°,

：.=180°-(ZB+Z^CB)=108°,

當時，ZBP2C=1(180°-ZB)=72°,

當CB=CA時，ZBP3C=ZB=36°.

綜上，ZBPC的度數為108?；?2?；?6°.

故答案為：108?；?2?；?6。.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的存在性，解決問題的關鍵是熟練掌握等邊對等角的性

質，三角形的三個角都有可能是頂角，分類討論.

6.（2022?江西贛州.八年級期末）如圖，AABC中，AB=AC,NABC=40。，點。在線段3c

上運動（點。不與點B,C重合），連接AD,作ZAPE=4O。，交線段AC于點E.當AADE

是等腰三角形時，ZBAO的度數為.

【答案】30?；?0°

【分析】根據三角形內角和定理可得/BAC的度數，AAOE是等腰三角形，分情況討論：①

AO=AE時，②EA=EL＞時,③D4=OE時，分別求解即可.

【詳解】解：'：AB=AC,ZABC=40°,

ZACB=ZABC=40°,

AZBAC=100°,

ZADE=4Q°,

△ADE是等腰三角形，分情況討論：

①A￡）=AE時，ZAED=ZADE=40°,

：.ZDAE=W0°,

此時。點與B點重合，不符合題意；

②EA=E。時，ZEAD=ZADE=40°,

：.ZBAD=l00°-40°=60°；

③以二?！皶r，ZDAE=ZDEA=10°,

AZBAD=100°-70°=30°,

綜上，/瓦⑦的度數為60?；?0。，

故答案為：60?；?0。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質

是解題的關鍵，注意分情況討論.

?易錯點三三角形的形狀不明時與高線及其他線結合沒有分類討論

例題：若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則這個等腰三角形的底角的度數為

()

A.20°B.50°或70°C.70°D.20?；?0°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當為等腰直角三角形時不可能出現

題中所說情況，所以舍去不計，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況.

【詳解】

(1)當這個三角形是銳角三角形時，如圖所示：

:高與另一腰的夾角為50。，即NABD=5O。，

頂角ZA=90°-50°=40°,

?：ZABC=ZACB,

ZABC=ZACB=1(180°-40。)=70°；

(2)當這個三角形是鈍角三角形時，如圖所示:

ZABD=50°,BDLCD,

ZBA￡>=90°-50°=40°,

VZABC^ZC,ZABC+ZC=40°,

/.ZABC=ZC=-x40°=20°；

2

綜上所述，這個等腰三角形的底角的度數為70?；?0。.

故選：D.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，三角形外角的性質，等腰三角形的高線，

可能在三角形的內部，邊上、外部幾種不同情況，因此遇到與等腰三角形的高有關的計算時

應分類討論.

【變式訓練】

1.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為56。,則這個等腰三角形底角度數是.

【答案】73?；?7°

【解析】

【分析】

在等腰AABC中，AB=AC,3。為腰AC上的高，ZABD=56°,討論：當8。在AABC內

部時，如圖1,先計算出4AD=34。，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出ZACB；

當3D在AABC外部時，如圖2,先計算出3）=34。，再根據等腰三角形的性質和三角形外

角性質可計算出ZACB.

【詳解】

解：在等腰AABC中，AB=AC,8。為腰AC上的高，ZABD=56°,

當3D在AABC內部時，如圖1,

QBD為高,

:.ZADB=90°,

ZBAD=90°-56°=34°,

-.-AB=AC,

NABC=ZACB=g（180。-34。）=73°；

當BD在AABC外部時，如圖2,

QBD為高,

:.ZADB=90°,

ZBAD=90P-56°=34°,

■.■AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

而ZBAD=ZABC+ZACB,

ZACB=-ZBAD=17°,

2

綜上所述，這個等腰三角形底角的度數為73?；?7。.

故答案為：73?；?7。.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質，熟悉相關性質是解題的關鍵.

2.（2022?陜西?交大附中分校七年級期末）已知“IBC中，ZB=20°,在48邊上有一點

若CD將AA5c分為兩個等腰三角形，則/A=.

【答案】100°,70°,40?；蛘?0°

【分析】分BD=CD、BC=CD、三種情況討論即可求解.

【詳解】第一種請況：時，如圖，

,:BD=CD,NB=20。,

：.ZB=ZDCB=20°,

：.ZADC=ZB+ZDCB=40°,

(1)當0A=OC時，ZA=ZACD,

VZA+ZACD+ZAZ)C=180°,ZADC=40°,

/.ZA=ZACD=70°；

(2)當ZM=AC時，即有NA￡>C=/ACZ)=40。,

ZA=180°-ZADC-ZACD=100°；

(3)當CD=C4時，ZA=ZA￡)C=40°；

第二種請況：BC=a)時，如圖，

VZB=20°,BC=CD,

：.ZB=ZBDC=20°,

：.ZADC=180