2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓中的重要模型之圓中的翻折模型（含答案）

2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)圓中的重要模型之圓中

的翻折模含答案

捻中的凄宴樓盟之圜申的翻新接整

圓中的翻折模型是將一個(gè)圓形的紙片沿著一條直線翻折,使得紙片的邊緣與直線重合,從而形成新的圓形

或圓環(huán)。翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分。這種模型可以用于創(chuàng)建各種

不同的圖形和圖案，是一種非常有趣的幾何模型。

目錄

例題講模型

模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

習(xí)題練模型

例題講模型

【知識儲備】

1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分；

2、圓的性質(zhì):在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧、弦相等;同弧或等弧所對的圓周角相等；

3、等圓相交:如圖，圓。和圓G為兩個(gè)相等的圓，圓。和圓G相交，相交形成的弦為AB,則弦AB為整個(gè)圖形

的對稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對稱,弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對稱；

4、弧翻折（即等圓相交）:如圖，以弦為對稱軸，將弧及7翻折后交弦于點(diǎn)。，那么弧CDB所在的圓圓G

與圓。是相等的圓，且兩個(gè)圓關(guān)于8。對稱,故圓心O、G也關(guān)于BO對稱。

模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

模型解讀

1）條件:如圖，以圓O的一條弦BO為對稱軸將弧折疊后與弦AB交于點(diǎn)。，結(jié)論：CD=C4

2）條件:特別地，弧BC折疊后過圓心，結(jié)論：CD=CA,/CAB=60°

模型證明

1）證明:如圖，設(shè)折疊后的麗己所在的圓心是G,連接AC,CD

由題意得（折疊）：BC=BDC,即：后0=防+比，,ACAB=ADCB+ACBD,

?：ACDA=4DCB+ACBD,：.ACAB=4CDA,，GO=C4

2）證明:如圖，連接AC,CD,CO；由1）中證明知：CO=CA,

■：OA=OC,CO=CA=OA,/\OAC為等邊三角形，r.ACAB=60°0

模型運(yùn)用

1.（23—24九年級上?浙江嘉興?期中）如圖，在。。中，48為直徑，點(diǎn)。為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于點(diǎn)。（不與O重合），連結(jié)CD.若乙4=22°,則/4DC的度數(shù)為（）

A.102°B.112°C.108°D.68°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理以及折疊的性質(zhì).注意運(yùn)用折疊的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解此題

的關(guān)鍵.先根據(jù)圓周角定理求得/力CB的度數(shù)，從而利用直角三角形的性質(zhì)求得的度數(shù)；再由翻折的

性質(zhì)可得，弧力。所對的圓周角為/B,弧ABC所對的圓周南為乙4。。,從而得到/4DC+/B=180°,即

可求出.

【詳解】?.?AB是直徑，ZACB=90°,AZB=90°-ZBAC=90°-22°=68°.

根據(jù)翻折的性質(zhì)，弧AC所對的圓周角為乙8,弧AB。所對的圓周角為乙4。。，

AAADC+ZB=180°,/./ADC=180°-68°=112°,故選B.

2.（23-24九年級上?浙江嘉興?期末）如圖，4B是。O一條弦,將劣弧沿弦翻折,連結(jié)49并延長交

翻折后的弧于點(diǎn)C,連結(jié)BC,若2,8C=1,則47的長為（）

MS

C.-^-V5D.

57

【答案】。

【分析】本題考查了圓周角定理的推論，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理及性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵.延長AC交0O于點(diǎn)。，過點(diǎn)B作BH_LAD于點(diǎn)連結(jié)助,先根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓

周角所對的弧相等“，得到余=助，即BC=BD=1，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到AABD=

90°,利用勾股定理求出入。的長，進(jìn)一步求出■和。H的長，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得到CH=

由此即得答案.

【詳解】延長AC交OO于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BH_L人。于點(diǎn)H,連結(jié)BD,

?.?數(shù)和百萬是圓周角/A所對的弧，：.反!=玩＞,：.BC=BD=1,

?/AD是直徑，AABD=90°,AD=y/AB2+BD2=A/22+12=V5,

ABxBD

,/ABxBD—ADxAH,：.AH^

AD

：.DH=y/Blf-AH2=等If=乎"，BC=BD,BH±AD,

：.CH=DH=^,：.AC=AD-CH-DH=V5-:^--^-=~^-.

故選：C.

5555

3.（2023?河南新鄉(xiāng)?二模）如圖，4B是。O的直徑，48=4,NABC=30°°,將。。沿8。翻折，扇與直

徑交于點(diǎn)。，則圖中陰影部分面積為

MS

【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，圓周角定理以及折疊軸對稱，掌握圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算方法

是正確解答的前提.根據(jù)圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出力再根據(jù)中位線定理求出

OD,由圖形中面積之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解:如圖，連接OC,AC,過點(diǎn)。作OD，BC于點(diǎn)D,^CD=BD,

?：AB是。。的直徑，/.AACB=90°,在RtAABC中，AB=4,ZABC=30°,

ABOC=180°-2AABC=120°,AC==2,BC=乎AB=273,

■：OA^OB,GD=BD,二。。是AABC的中位線，：.OD^1,

120兀>2?

-yx2V3X1=4?！猇3,故答案為:4

360o

4.（23-24九年級下?浙江溫州?開學(xué)考試）方方同學(xué)將圖①中圓形紙片沿直徑48向上對折得到圖②，再

沿弦向下翻折得到圖③，最后沿弦BD向上翻折得到圖④.若點(diǎn)E恰為弧BD的中點(diǎn)，則AD-.DB

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊和圓的相關(guān)知識得出乙40。=4cOD=4DOE=/EOB,再利用圓周角知識進(jìn)而得到

48。。=90°,在等腰RtABOD中，由勾股定理得到=由垂徑定理及中垂線判定與性質(zhì)可得AD=

6。=四度,數(shù)形結(jié)合求值即可得到答案.

【詳解】解:設(shè)圓的半徑為了,連接力。，CD,DE,EB,OC,OD,OE,BD,如圖所示：

由題中折疊性質(zhì)可知么已=合=統(tǒng)=卷，

；.AC=CD=DE=EB,：.AAOC=4coD=NDOE=AEOB,

?：ZAOB=180°,/.ZAOC==45°,NBOD=90°,

在等腰RtABOD中，。B=OD=r,則由勾股定理可得BD=V2r,AD=BD=V2r,

MS

如圖④所示：.?.人。=27-2丁，AD-.DB=2r"y^r=V2-1.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理,

垂直平分線判定與性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），掌握圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

5.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，將弧沿弦46翻折過圓心O點(diǎn)，交弦AC于。，AD=

1,CD=2,則48的長為（）

A.V5B.V7C.-1-D.3

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作OF，AB于F,過點(diǎn)B作BE，AC于E,連接04、OB、8。、BC,求出4CDB為等邊三

角形，求出BE和DE的長，求出AE,再根據(jù)勾股定理求出即可.

【詳解】過點(diǎn)。作OF，AB于F,過點(diǎn)B作BE，AC于E,連接04、OB、BD、BC,

vOF=yr=yOA,AZAOF=ZBOF=60°,/.ZADB=ZAOB120°,N4CB==60。,

ACDB=180°-ZADB=60°，二ZCDB=NACB=60°,/.△COB為等邊三角形,

'：CD=2,：.DE=1,BE=V3，:.AE=AD+DE=1+1=2,

AAB=^/AE2+BE2=V22+（V3）2=/故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理和垂徑定理，能構(gòu)造直角三角形是解此

題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦.

6.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）如圖，將。。沿弦人口折疊,使折疊后的弧恰好經(jīng)過圓心O,點(diǎn)P是優(yōu)弧期居上

的一個(gè)動點(diǎn)（與人、8兩點(diǎn)不重合），若。O的半徑是2cm，則面積的最大值是cm2

m

【答案】3四

MS

【分析】過點(diǎn)P作PT_LAB于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作OH_L4B于點(diǎn)H,交。。于點(diǎn)K,連接A。，AK,PO,解直角

三角形求出AB,求出PT的最大值，可得結(jié)論.

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)P作PT_LAB于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作AB于點(diǎn)H,交。。于點(diǎn)K,連接AO,AK,

PO.

由題意得AB垂直平分線段OK,.,.AO=AK.

OA=OK,：.OA=OK=AK,：./OAK=/AOK=60°.

2

AAH=OA-sin600=2X乎=?，OH=y/O^-AH=a-（付2=k

?/OH±AB,：.AH=BH,：.AB=2AH=273.

VOP+OH>PT,：.2+1=31PT的最大值為3,

AAPB的面積的最大值為1■x2V3X3=3V3.故答案為：3V3.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理,三角形的面積，垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是求出PT的最大值.

7.（2023?江西萍鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）如圖（1）AB是。。的直徑，且AB=2,點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)P是晶

上一動點(diǎn)，將AP沿直線AP折疊交AB于點(diǎn)。，連接PD,PB.

（1）求證：尸。=；（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖（2）,求靛的長.

【答案】⑴見解析⑵。

【分析】（1）如圖，作點(diǎn)。關(guān)于4P的對稱點(diǎn)。'，連接A。'，PD',OD',OP,由折疊的性質(zhì)可知AP=

APAB,PD'=PD,根據(jù)圓周角定理可知APOD'=2AD'AP,NPOB=2ZPAB,可得APOD'=APOB,繼

而得到PD=PB,即PD=PB;⑵證明△OPB是等邊三角形,可知BP所對圓心角為60°,利用弧長公式可

求磔的長.

【詳解】（1）證明：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于4P的對稱點(diǎn)。'，連接AD',PD',077,QP,由折疊的性質(zhì)可知AD'AP

=NPAB,PD=PD,

MS

又APOD'=2AD'AP,APOB=2APAB,：.APOD'=APOB,：.PD'=PB,：.PD=PB.

⑵解：由（1）知PD=PB,又?.?PD=BD,.?.△OPB是等邊三角形，/.ZPOB=60°,

.?.您所對圓心角為60°,.?.磔的長為

ISO3

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、圓周角定理和弧長公式，根據(jù)題意及軸對稱的性質(zhì)作出輔助線是解答本

8.（23-24九年級上?湖北?階段練習(xí)）有一張半徑為2的圓形紙片.

（1）如圖（1），先將紙片沿直徑左右翻折,再上下翻折，剛好完全重合，然后平鋪展開，則AAOB的大小

是；在。O上任取一點(diǎn)。（異于46）,則AACB的大小是；

（2）如圖（2）,將紙片沿一條弦AB翻折,使其劣弧AB恰好經(jīng)過圓心O,作出直徑AC,則圖中陰影部分

的面積是；

（3）如圖（3）,48是。O的直徑,將劣弧BC沿弦BC翻折，交于點(diǎn)。，再將劣弧BD沿直徑AB翻

折，交于點(diǎn)E,若點(diǎn)E恰好是翻折后的劣弧的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴90°;45°或135°;⑵京⑶2四一2.

【分析】⑴根據(jù)折疊的性質(zhì)可得乙403=90°,進(jìn)而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，即可求解；

（2）作OD_L交AB于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)D,連接5。，BD,得出△OB。是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)陰影部

分的面積即為△OBC的面積，即可求解.（3）首先添加輔助線，利用圓周角定理證明線段AC=CD=DE;=

EB,設(shè)ZEDB=NEBD=a;,則NDEC=4DCE=NEDB+AEBD=2c,構(gòu)建方程求出c=22.5°,再通過解

直角三角形求出CH,AD即可解決問題.

【詳解】（1）解:根據(jù)折疊了2次，則乙408=90°,

如圖⑴所示，當(dāng)點(diǎn)。在優(yōu)弧前上時(shí)，乙4cB=：乙4OB=45°,

當(dāng)點(diǎn)。在前上時(shí)，乙4。5=180°—45°=135°,故答案為：90°;45°或135°.

MS

（2）解:如圖（2）所示，作OD_LAB交于點(diǎn)H,交。。于點(diǎn)。，連接BC,BD,OB,

由折疊可知，OE=JOD=JOAOE，AB,.?.sin/OAB=*=

AOAB=30°,/.乙COB=60°,ZAOD=60°，:.ZDOB=2BOC=60°,

?.?OB=OC,.?.△08。和ABOO是等邊三角形，：.DB=OD=BC,

弓形DmB的面積等于弓形BnC的面積，扇形。OB的面積等于扇形OBC的面積，

陰影部分的面積即為△OBC的面積；

?.?04=2,則OE=1,AE=y/ACP-OE2=V3,:.AB=2底,

...陰影部分面積=SAOBC=SAAOB=3ABxOE=；x2盜x1=遍，故答案為：瓜;

（3）解:如圖（3）,連接AC,CD,DE,過點(diǎn)、C作CH_LAB于H,

?/NABC=/LDBC=ADBE,：.CA=CD=DE：.AC=CD=DE,

,:CHLAD,：.AH=HD,；E是益的中點(diǎn)，，施=摩，：.ED=EB,：.NEDB=NEBD,

設(shè)4EDB=NEBD=a;,則/DEC=ADCE=AEDB+4EBD=2x,：.ZA=ACDA=4DCE+4EBD=

3a:,

「AB是直徑，=90°,/.ZA+ZB=90°,A3c+2：=90°,：.x^22.5°,

：.乙4=ACDA=67.5°,ZABC=22.5°,/.4coH=45°,則△QOH是等腰直角三角形，

,:CO=2,：.OH=CH=^x2=0：.AH=AO-HO=2-0：.AD=2AH=4-W1,

VAC=CD,：.弓形Am。，Ch_D的面積相等，

陰影部分面積為=5000=/40*8=/義（4-26）*，^=2，^一2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、等腰直角三角形判定和性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積等知識，學(xué)會添

加常用輔助線，利用特殊角解決問題是解答本題的關(guān)鍵.

習(xí)題練模型

1.（2023?福建龍巖?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，4口、AC為。。的兩條弦，4口=3魚，入。=4,將AB折疊后剛

好過弦AC的中點(diǎn)。，則。。的半徑為（）

A.2V2B.V5C.5D.V7

MS

【答案】B

【分析】連接BD,作BE_L4。于E,連接A。、BO、。。、BC,過點(diǎn)。作OF_LBE于F,可由zLDAB=

/CAB推出BD=BC,進(jìn)而利用勾股定理求得DE,BE,然后證明四邊形ODEF是矩形，可得OF=DE=

1,EF=8,再利用勾股定理構(gòu)建方程求出EF,然后可求半徑04

【詳解】解:如圖，連接BD,作BE_LAC于E,連接AO,BO,DO、BC,

?：ADAB=ACAB,：.BD=BC,：.BC=BD,：.DE=CE=^-CD=j-AC=l,

在Rt/\ABE中，AB=3V2,AE=AD+DE=3,/.BE=y/(3A/2)2—32=3,

過點(diǎn)。作OF,BE于F,?.?點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，OD±AC,

：.2ODE=4DEF=AEFO=90°,/.四邊形ODEF是矩形，,OF=DE=1,EF=OD,

又OF2+BF2=OB2,OD2+AD2=OA2,JLOA=OB,

OF2+BF2=OD2+AD2,：.I2+(3-.EF)2=EF?+2?,解得：EF=1,

OD=EF=1,；.OA=y/AD2+OD2=V22+l2=VK,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識,

解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，求出DE,BE.

2.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，。。的直徑AB=4,。是。O上一點(diǎn)，將/沿直線AC翻折，若翻

折后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn)O,則圖中陰影部分的面積為（）

C.^-2V3

O

【答案】B

【分析】連接OC,BC,可證得OC=BC=OB=^-AB=2,ZCOB=60°,ZOAC=30°,再過點(diǎn)。作OC,

AC于點(diǎn)。，可求得OD、AD,最后根據(jù)S陰影=S扇.me—So”，即可求得.

【詳解】解:連接OC,BC,?.?/C49=/CAB,=君0,二OC=BC,

：.OC=BC=OB=^-AB=^-x^=2,：.ZCOB=60°,ZOAC=30°,

ZAOC=180°-60°=120°,過點(diǎn)。作OC_LAC于點(diǎn)D,

MS

：.OD=^-AO=^-X2=l,AC=2AD,：.AD=y/AO2-OD2=V22-l2=V3,

AC=2V3S弭爵=S扇形AO°—S^AOC=I2靠0'*2瓜x1故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，扇形的面積公式，作出輔助

線是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2024?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是?O的直徑，是弦,沿對折劣弧BC,交AB

于點(diǎn)O,E、R分別是卷和質(zhì)的中點(diǎn)，令O為無心所在圓的圓心，若40=1,48=5,則即的長

為（）

C.V3

【答案】A

【分析】連接OFOEQDO'F交4B于點(diǎn)P,由垂徑定理和對稱的性質(zhì)得出OE，AB,OF，DB,進(jìn)而得

到PB=PD,O，F(xiàn)〃。石，證出四邊形OEFO是平行四邊形，得出EF=O。，求出OP=OB—PB,在

Rt^PO'D中，由勾股定理得出07,再利用勾股定理求出OO,,即可得出答案.

【詳解】解：連接O'FQEQ'D,O'F交AB于點(diǎn)P,如圖所示：

?.?點(diǎn)H、F分別是卷和品的中點(diǎn)，，。七，AB,O'F_LDB.?.PB=P”O(jiān)'E〃OF,

四邊形OFEO'是平行四邊形，EF=O'O,

51

?：AD=1,AB=5,/.OB=-|-,BZ?=4,：.PB=PD=2f：.OP=OB-PB=—

?.?折疊，,OB=OB=|■，二1■，在RtNPO'D中，OP=y/O'D2-PD2

O'O=y/OP2+O'P2=--,故選:4

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定

理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?浙江寧波?九年級?？计谀┤鐖D，?O是△48。的外接圓，4B=BC=4,把弧48沿弦AB向

下折疊交于點(diǎn)。，若點(diǎn)。為中點(diǎn)，則AC長為（）

A.1B.2C.2V2D.V6

【答案】。

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得NACB=/24C,由折疊的性質(zhì)和圓周角定理可得/ACS=NABD+

ABAD可得NABD=ACAD,可證&ACD?/XBCA,可得$=條，即可求解.

AGBQy

【詳解】解:如圖，連接AD,

：AB=BO=4,二/ACB=/BAC,?.?點(diǎn)。為中點(diǎn)，:.BD=CD=2,

?.?弧4B沿弦4B向下折疊交BC于點(diǎn)。，.?.金=九而，/.AACB=AABD+ABAD,

■：ABAC=ABAD+ACAD,/./ABD=ACAD,又?/AACB=AACD,：./XACD?ABCA,

1='f，，:.AC=V8=2-72（負(fù)值舍去），故選：C.

ACJDUAC4

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明

三角形相似是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，為。。的直徑，點(diǎn)。為圓上一點(diǎn)，乙艮40=20°,將劣弧AC沿弦

AC所在的直線翻折，交于點(diǎn)。，則乙4co的度數(shù)等于（）.

A

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】B

【分析】連接BC,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出乙4cB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出再根據(jù)

優(yōu)弧AC所對的圓周角為得到AADC+ZB=180°,然后根據(jù)NDCA=4CDB-ZA,計(jì)算求得

乙4CD的度數(shù).

【詳解】解:如圖，連接

?.?AB是直徑，=90°,VZBAC=20°,A/B=90°-/皿。=90°-20°=70°.

根據(jù)翻折的性質(zhì)，念所對的圓周角為優(yōu)弧念所對的圓周角為/ADC,

ZADC+ZB=180°,ANB=NCDB=70°,

：.ZACD=ACDB-AA=70°-20°=50°,故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).根據(jù)題意作出直徑所對的圓周角，構(gòu)造

出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.難點(diǎn)是理解AADC+/B=180°.

6.（2023?寧夏吳忠?統(tǒng)考二模）如圖，4B是。O的直徑，且48=4,。是。O上一點(diǎn),將AC沿直線AC翻

折,若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為（）.

A.^-V3B.幻C.舒D.爭

【答案】。

【分析】作。于E,交20于點(diǎn)D、毋于點(diǎn)F,求得AEOA=60°,因?yàn)?。F垂直平分AC,求得

ACOB=60°,即而進(jìn)行求解.

【詳解】作OE，AC于E,交怒于點(diǎn)。、前于點(diǎn)F,如圖所示：

MS

由翻折可知。E=EO,AB=4,.?.r=2,.?.DE=EO=/r=l,

在RtSAEO中，AO=2,OE=1,/EAO=30°,AAEOA=60°,

?/直徑。F_LAC,.?.弧A。=弧CDZAOE=AEOC=60°，二ACOB=180°-60°-60°=60°,

?里=丁4二=生

由對稱性可知陰影部分面積等于扇形QOB的面積，，S扇OOB=兀產(chǎn)

36063,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)陰影的面積，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?山東九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，將。O上的房沿弦翻折交半徑。人于點(diǎn)。,再將BD沿BD翻

折交8。于點(diǎn)E,連接DE.若40=200，則第的值為（)

D.華

0

【答案】。

【分析】如圖，連接AC,CD,OC,過點(diǎn)。作于X.設(shè)。4=3%則48=6以首先證明AC=CD

=DE,求出AC（用a表示），即可解決問題.

【詳解】解:如圖，連接AC,CD,OC,過點(diǎn)。作CH，4B于瓦設(shè)。4=3a,則AB=6a.

?.?在同圓或等圓中，乙4BC所對的弧有方CD,DE,：.AC=CD=DE,

?：CH±AD,：.AH=DH,'：AD=2OD,：.AH=DH=OD=a,

在RtZXOCH中，CH=J。。?一OH?=J（3&丫一（2a）?=,

在RtAACH中，AC=y/AH'2+CH'2=Va2+（V5a）2=V6a,

.?.蜷=爭=*=造.故選：。.

ABAB6a6

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理,翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決

問題.

8.（2023?湖北黃石??？寄M預(yù)測）如圖,在半圓。中，直徑=4,。是半圓上一點(diǎn),將弧AC沿弦AC折

疊交AB于。，點(diǎn)E是弧AD的中點(diǎn).連接OE,則OE的最小值為（）

A.V2-1B.4-V2C.V2+1D.272-2

【答案】。

【分析】把弧AEC的圓補(bǔ)全為OF,可知點(diǎn)F與點(diǎn)。關(guān)于AC對稱，求出/F=90°,CE長,OE的最小值為

EC-OC.

【詳解】解:把弧力EC的圓補(bǔ)全為0F,可知點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于力。對稱，半徑為2,

AFCA=AACO,?：OA^OC,：.AACO=ACAO,：.AFCA=ACAO,：.CF//AB,

；E是弧AD的中點(diǎn)，/.FE±AB,：.NF=ABGE=90°,

?：FC=FE=2,:.EC=2四，YOENEC—OCW1OEN2/—2,OE的最小值為22一2,故選：。.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱、垂徑定理、勾股定理和圓的有關(guān)知識，解題關(guān)鍵是通過作輔助線，根據(jù)三角形三

邊關(guān)系確定OE的取值范圍.

9.（23-24九年級上?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖1,已知AB.AC分別是圓形紙片的直徑、弦，以弦AC為折線將

弓形紙片AmC折疊至如圖2所示的弓形紙片AnC的位置，A^C與直徑AB交于點(diǎn)。，若屬=35°,

A.105°B.110°C.120°D.145°

【答案】B

【分析】本題考查圓周角定理，折疊問題，關(guān)鍵是由圓周角定理得到?的度數(shù)=晶的度數(shù)=35°.

由圓周角定理得到ACB的度數(shù)=180°，求出念的度數(shù)=180°—35°=145°,而①的度數(shù)=方己的度數(shù)=

35°,即可求出么力的度數(shù)=么已的度數(shù)—①的度數(shù)=110°.

【詳解】解：〈AB是圓的直徑，，員為的度數(shù)=180°,

?/BC的度數(shù)=35°,AC的度數(shù)=180°-35°=145°,

?/CD的度數(shù)=晶的度數(shù)=35°,二么力的度數(shù)=々的度數(shù)一?的度數(shù)=145°-35°=110°.故選：B.

10.（2024?遼寧大連?三模）如圖，在半徑為2的。。中，為。O的一條弦，將所對的劣弧沿著翻

折后恰好經(jīng)過圓心，連接OA并反向延長交。。于一點(diǎn)，則如圖所示的陰影面積為（）

A—B.2V3—C.4A/3—。兀D.4A/3+

4ooo

【答案】8

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，求不規(guī)則圖形面積；作。關(guān)于AB的對稱點(diǎn)。，連接OD交AB于E,連接

OB、DB,則得四邊形ODBC是菱形，且乙0=60°,利用S菱彭一S^OBD即為陰影部分面積，即可求解.

【詳解】解:如圖，作。關(guān)于AB的對稱點(diǎn)。，連接OD交4B于E,連接OB、DB,

由折疊知，OB=DB=2,OD^AB,

；OD=OB=2,OB=OD==2,即△OBD是等邊三角形，且/DOB=/OBD=60°;

?：OA=OB,：.乙4=/O歷1=30°,AAOB=2ADOB=120°,/."00=60°;

?：OB=OC,.?.△OB。是等邊三角形，/.OC=OB=OD=BD=BC=2,即四邊形ODBC是奏形,

'：BE—OB?sin60°=V3,/.S菱衫=OD-BE=2V3;

由于。是ADB所在圓的圓心，由對折知，D是AOB所在圓的圓心，

2

影=S菱形ODBC-S扇形OB。=2^3—7C;故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，求不規(guī)則圖形的面積等

知識.利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?廣東?九年級專題練習(xí)）如圖，已知△4BC是。O的內(nèi)接三角形，。O的半徑為2,將劣弧AC（虛

線）沿弦AC折疊后交弦于點(diǎn)。，連接AD.若AACB=60°,則線段AD的長為?.?

【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為。，，則。。與。O,設(shè)等圓，乙4CD是公共的圓周角，所以可以證得

=AD,設(shè)。。的半徑為R,過。作OG_LAB于G,可得AOAB^AOBA=30°,AB^2AG,即OG=1,根

據(jù)勾股定理可得AG=遍，即可求得.

【詳解】設(shè)折疊后的AC所在圓的圓心為。，,連接。/,O'D

：./AOZ）=2乙4cB=120°

連接。A,OB

同理，AAOB=120°/.AAOB=AAO'DV?。與。O'是等圓/.AB=AD

設(shè)。。的半徑為R過。作OGL4B于G

?/OA=OB,AAOB=120°：.ZOAB=ZOBA=30°,AB=2AG

：.OG=-yOA=1.-.AG=VOA2-OG2=V3AB=2AG=2四故答案為：2?.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓中的折疊變換，垂徑定理等，注意等圓中的公共角，公共弦，公共弧，這些都是相等的，

利用這些等量關(guān)系，是解決此類題的突破口.

12.（2023上?江蘇連云港?九年級校考階段練習(xí)）圖1為一圓形紙片,A.B、。為圓周上三點(diǎn)，其中AC為直

徑，以4B為折線將紙片向右折疊，紙片蓋住部分的AC,且愈交AC于點(diǎn)。，如圖2所示,若就為

37°，則么力的度數(shù)=.

圖1圖2

【答案】106°

【分析】由折疊的性質(zhì)得到：助=晶，又AC是圓的直徑，即可求出么力的度數(shù).

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得：命=￡0,：京=37°,.?.反3=37°,

???4。為直徑，.?.么力=180°—37°-37°=106°.故答案為：106°.??

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理,折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得到BD^BC.

13.（23-24九年級上?安徽淮南?階段練習(xí)）如圖，已知半圓。O的直徑48=4,沿弦EF翻折防，翻折后

的俞與直徑AB相切于點(diǎn)。，且AD=3DB,則折痕EF的長度是；

【答案】，TT

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得折疊后的圓與圓。半徑一樣，設(shè)折疊后的圓弧所對的圓心為根據(jù)相交圓的

性質(zhì)可以得到與EF互相垂直平分，由勾股定理就可以求出和'的值，從而求得結(jié)果.

【詳解】解:設(shè)折疊后的圓弧所對的圓心為O，,連接OO,O'D,OE,與EF交于點(diǎn)Af,如圖所示：

與EF互相垂直平分，.?.0暇=。00，，EF=2EM,

?：AB=^,：.OA=OB=OE=2,以點(diǎn)O'為圓心的圓半徑也是2,O，D=2,

AD=3DB,DB=+AB=1,OD=1,

O'O=y/OD2+O'D2=Vl2+22=：.EM=y/OE2-OM2=J4T=,

EF=2EM=Vil,即折痕EF的長為JU,故答案為：，IT.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)的運(yùn)用，相交圓的性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理的運(yùn)用，垂直平分線性質(zhì)的運(yùn)用，根

據(jù)相交圓的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

14.（2023?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖L將長為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到OB,點(diǎn)人的運(yùn)

動軌跡為弱,P是半徑上一動點(diǎn)，Q是筋上的一動點(diǎn)，連接PQ.

（1）當(dāng)NPOQ=時(shí)，PQ有最大值,最大值為;

（2）如圖2,若P是中點(diǎn)，且QPLO8于點(diǎn)P,求配的長；

（3）如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)日恰好落在OA的延長線上,求陰影部分面

【答案】（1）90°,10四;（2）孚兀；（3）25兀-100V2+100

O

【分析】⑴先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)論;

MS

⑵先判斷出/POQ=60°,最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；（3）先在瓦△B0P中，Op2+（io四—

10尸=（10—OP）2,解得0P=102一10，最后用面積的和差即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）：P是半徑OB上一動點(diǎn)，Q是叁上的一動點(diǎn)，

當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

此時(shí)，APOQ=90°,PQ=VOA2+OB2=10V2,故答案為90°,1072;

（2）解:如圖，連接OQ,?.?點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，：.OP=^OB=^-OQ.

?：QP±OB,：.ZOPQ=90°在Rt/^OPQ中，cosZQOF=2=-y,

ZQOP=60°,/.IBQ=黑兀x10=孚元；

lot）3

（3）由折疊的性質(zhì)可得，BP=BP,。AB'=AB=WV2,

在Rt/^B'OP中，O尸+—IO）2=（10—OP）2,解得OP=10V2—10,

（10A/2

2

S時(shí)彩=S^AOB-2SAAOP=黑兀x10-2xx10X（1072-10）=25n-10072+100.

oOU/

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長公式，扇形的面積公式，熟記公式是解本題的關(guān)鍵.

15.（2023?江西萍鄉(xiāng)??？寄M預(yù)測）如圖（l）AB是。O的直徑，且48=2，點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)P是

后。上一動點(diǎn)，將46沿直線4P折疊交AB于點(diǎn)。,連接PD,PB.

圖⑴圖（2）

⑴求證：=PB；（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖（2）,求靛的長.

【答案】⑴見解析⑵看

【分析】（1）如圖，作點(diǎn)。關(guān)于AP的對稱點(diǎn)。,連接AD',PD,OD,OP,由折疊的性質(zhì)可知AD'AP=

APAB,PD'=PD,根據(jù)圓周角定理可知APOD'=24DAP,ZPOB=2NPAB,可得/POD'=ZPOB,繼

而得到PD'=PB,即PD=PB-,（2）證明&OPB是等邊三角形，可知BP所對圓心角為60°,利用弧長公式可

求靛的長.

【詳解】⑴證明：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于AP的對稱點(diǎn)。'，連接AD',PD,OD,OP,由折疊的性質(zhì)可知/O'AP

=APAB,PD'=PD,

又???/POD，=2/D，AP,APOB=2ZPABf

：./POD=ZPOB,：.PD，=PB,/.PD=PB.

⑵解：由⑴知PO=P8,又???PO=B。，.?.△OPB是等邊三角形，

??.APOB=60°,???靛所對圓心角為60°,??.彘的長為”>=4?

1803

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、圓周角定理和弧長公式，根據(jù)題意及軸對稱的性質(zhì)作出輔助線是解答本

題的關(guān)鍵.

16.（2023?陜西安康?九年級統(tǒng)考期末）在。。中，AB為直徑，。為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交4B于

點(diǎn)。，連接CD.（1）如圖1,若點(diǎn)。與圓心O重合，OO的半徑r為2,則AC的長為；

（2）如圖2,若點(diǎn)。與圓心O不重合，連接BC,求證：CB=CD；⑶如圖3,琳琳家小區(qū)有一半徑13米

的圓形綠化區(qū)整個(gè)綠化區(qū)被4DC和弦AC分成3塊區(qū)域（兩塊弓形區(qū)域和一塊彎月形區(qū)域）分別種植

有不同顏色的花卉，其中弓形人。。與弓形AEC關(guān)于分界線4。對稱,為方便居民穿越綠化區(qū)，設(shè)計(jì)師

決定從直徑