人教版2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：圖形規(guī)律問題（解析版）

專題4.3圖形規(guī)律問題

?典例分析

【典例11如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的點和三角形組成.第1個圖案中有3個點和1

個三角形，第2個圖案中有6個點和3個三角形，第3個圖案中有9個點和6個三角形，……依此規(guī)律，第

10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為.

△

OOO

△△△

OOOOOO

△△△△△△

OOOOOOOOO

第1個圖案第2個圖案第3個圖案

【思路點撥】

本題考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)圖形得出第"個圖案點和三角形的個數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵.根據(jù)圖案得

到第"個圖案點的個數(shù)為3n個；三角形有變尹個，再求出第10個圖案點的個數(shù)為30個；三角形有55個,

問題得解.

【解題過程】

解：由所給圖案可得：

第1個圖案點的個數(shù)為3x2-3=3個；三角形有1個；

第2個圖案點的個數(shù)為3x3—3=6個；三角形有1+2=3個；

第3個圖案點的個數(shù)為3x4—3=9個；三角形有1+2+3=6個;

所以第〃個圖案點的個數(shù)為3(n+1)-3=3n個；三角形有1+2+3+…+n=等2個;

所以第10個圖案點的個數(shù)為3x1。=30個；三角形有竽=55個,

所以第10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為30+55=85個.

故答案為：85

?學(xué)霸必刷

1.（23-24七年級上.陜西渭南.期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有黑色棋

子7顆，第②個圖案中有黑色棋子10顆，第③個圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第w

個圖案中有黑色棋子（）

?OOO?

?OO?O?OO?

?O?O?O?OO?O?…

O??OO??OOO??

????????????

①②③

A.301顆B.304顆C.307顆D.310顆

2.（23-24九年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個小黑點，圖2中有7個小

黑點.圖3中有12個小黑點，圖4中有19個小黑點，…，按此規(guī)律圖9中的小黑點個數(shù)為（）

圖1圖2圖3圖4

A.64B.67C.84D.87

3.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）將一些相同的“。”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個圖中“?！钡膫€

數(shù)，則第10個圖中“?！钡膫€數(shù)是（).

O

°OOOOO

O

O0000oOO

OOO

OO°°oOO

O

OO°°oOO

OO

°°oO

①②③④

A.90B.95C.100D.105

4.（23-24九年級下.重慶沙坪壩?開學(xué)考試）如圖，是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的“紙杯蛋糕”，其中第①

個圖案用了5個石子，其中第②個圖案用了11個石子，其中第③個圖案用了18個石子，其中第④個圖案

用了26個石子，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中石子的個數(shù)為（）

A.45B.56C.58D.60

5.（2024九年級下?重慶?專題練習(xí)）下列圖形都是由?按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖共有四個?，第

②個圖中共有8個?，第③個圖中共有13個?，第④個圖中共有19個?，...，照此規(guī)律排列下去，則第10

個圖形中?的個數(shù)為（）

①②③④

A.50B.53C.64D.76

6.（23-24七年級上?湖北襄陽?期末）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9

根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)

律排列下去，則第20個圖案用的木棍根數(shù)是（）

008COOO…

①②③④

A.104B.109C.123D.129

7.（23-24七年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是（）

A.2022B.3035C.3029D.3036

8.（23-24七年級上.福建寧德?期中）觀察圖中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，可知第506個正方形的左

上角標的數(shù)是（）

327611101514

48-----591613

第I個第2個第3個第4個

正方形正方形正方形正方形

A.2020B.2021C.2022D.2023

9.（23-24七年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺

成下列圖形，第1幅圖形中“?”的個數(shù)為的,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為。2,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為。3,

依次類推,

第1幅圖

44924462

10.（23-24七年級上?福建漳州?階段練習(xí)）漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟

片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上;

（1）每次只能移動1個碟片.

（2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面.

如圖所示，將1號桿子上所有碟片移到2號桿子上，3號桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動

到另一根桿子為移動一次，記將1號桿子上的幾個碟片移動到2號桿子上最少需要廝次，則念=（）

C.62次D.63次

11.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,

則第12個圖案中共有小三角形的個數(shù)是

△△

△△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△

n=1n=277=3〃=4

12.（23-24七年級上?廣東深圳?期末）如圖，一張長方形的桌子可坐6人，按照圖中方式繼續(xù)擺放桌子和

椅子，若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，則共需要這種長方形桌子張

dddd

DCD

DDDDDDDDDDDD

13.（2024七年級上.全國?專題練習(xí)）下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①,

圖①圖②圖③

（1）推測第4個圖形中，正方形的個數(shù)為,周長為

（2）推測第ri個圖形中，正方形的個數(shù)為,周長為；（都用含n的代數(shù)式表示）.

14.（24-25七年級上?全國?期中）如圖，從原點4開始，以4B=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2

為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記

為第4個半圓；…按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第7個半圓的面積為.（結(jié)果保留n）

15.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，圓桌周圍有20個箱子，按順時針方向編號1?20,小明先在1號箱子

中丟入一顆紅球，然后沿著圓桌按順時針方向行走，每經(jīng)過一個箱子丟一顆球，規(guī)則如下：

①若前一個箱子丟紅球，則下一個箱子就丟綠球.

②若前一個箱子丟綠球，則下一個箱子就丟白球.

③若前一個箱子丟白球，則下一個箱子就丟紅球.他沿著圓周走了2024圈，求4號箱內(nèi)有顆紅球.

16.（23-24七年級上?浙江溫州?期中）排球比賽時，甲方6名隊員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1

號位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時是第二輪發(fā)球，此時甲方全體隊員按順時針方向轉(zhuǎn)一個位置（轉(zhuǎn)

一圈），即1號位的隊員到6號位置，6號位到5號位，…，此時2號位隊員到1號位置發(fā)球，以此類推，

如果甲方選手小花開場時站在6號位置，記的=6；甲方第二輪發(fā)球時，小花站在a2號位置，...，這場比賽

甲方發(fā)了21輪球，則的+。2+的值為

發(fā)球區(qū)

17.（23-24七年級上?安徽?單元測試）觀察下列圖形中點的個數(shù).

（1）圖2中點的個數(shù)是；

（2）若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第個圖形；

（3）若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第〃個圖形中所有點的個數(shù)為（用含〃的代數(shù)式表示）.

18.（23-24七年級上?北京通州?期末）現(xiàn)有一個長方形4BCD的寬為1,長為a（a>1）的紙片，先剪去一個

正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推,

如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請畫出（與示意圖不同）剪3

次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a的值.

BC

BBBB

111

ADAAAA

備用圖備用圖備用圖備用圖

a=l+L。

333a=a=a=a=

19.（24-25七年級上?全國?單元測試）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題:

（1）圖中的點被線段隔開分成四層，第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有5個點，第四層有

個點;

（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個點？

（3）某一層有77個點，你知道這是第幾層嗎？

（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層的和是多少？根據(jù)你的推測，前十二層的和

是多少？

20.(23-24七年級上?福建三明?期中)(1)觀察下面的點陣圖與等式的關(guān)系，并填空:

第1個點陣：

/。/=。+

1+3+1=12+22

第2個點陣:

1+3+5+3+1=.+,

1+3+5+74-5+3+1=.+

(2)觀察猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式.

(3)根據(jù)以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值.

21.（24-25七年級上?全國?單元測試）將一張等邊三角形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小等邊三角形（如

圖所示），記為第一次操作，然后將其中右下角的等邊三角形又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操

作，若每次都把右下角的等邊三角形按此方法剪成四小片，如此循環(huán)進行下去.

（1）如果剪n次共能得到個等邊三角形.

（2）若原等邊三角形的邊長為1,設(shè)即表示第〃次所剪出的小等邊三角形的邊長，如的=|.

①試用含71的式子表示Q九=；

②計算

+a2+a34—an=.

22.（23-24六年級上.山東威海.期末）如圖，將一張邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分②是部

分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依此類推.

（2）以下是甲，乙兩位同學(xué)求S=+W+2+*+*的方法;

22Z2，2，2,2°

甲同學(xué)的方法：利用已給正方形圖形求，S=l-s陰影;

乙同學(xué)的方法：S=|+京+套+盤+盤+段①

2S=I+-+4+4+4+4@

②一①即可.

根據(jù)兩位同學(xué)的方法，你認為S=；

⑷計算:"或+套+*+...+康；

（5）請借助甲，乙同學(xué)的方法，分別求出:+專+*+*+…+4的值.

專題4.3圖形規(guī)律問題

?典例分析

【典例1】如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的點和三角形組成.第1個圖案中有3個點和1

個三角形，第2個圖案中有6個點和3個三角形，第3個圖案中有9個點和6個三角形，……依此規(guī)律，第

10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為.

△

OOO

△△△

OOOOOO

△△△△△△

OOoOOOOOO

第1個圖案第2個圖案第3個圖案

【思路點撥】

本題考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)圖形得出第"個圖案點和三角形的個數(shù)規(guī)律是解題關(guān)鍵.根據(jù)圖案得

到第"個圖案點的個數(shù)為3n個；三角形有變產(chǎn)個，再求出第10個圖案點的個數(shù)為30個；三角形有55個,

問題得解.

【解題過程】

解：由所給圖案可得：

第1個圖案點的個數(shù)為3x2—3=3個；三角形有1個；

第2個圖案點的個數(shù)為3x3—3=6個；三角形有1+2=3個；

第3個圖案點的個數(shù)為3x4-3=9個；三角形有1+2+3=6個;

所以第〃個圖案點的個數(shù)為3(n+1)-3=3n個；三角形有1+2+3+…+n=”羅個;

所以第10個圖案點的個數(shù)為3xl0=30個；三角形有空=55個,

所以第10個圖案中，三角形的個數(shù)與點個數(shù)的和為30+55=85個.

故答案為：85

?學(xué)霸必刷

1.（23-24七年級上?陜西渭南?期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有黑色棋

子7顆，第②個圖案中有黑色棋子10顆,第③個圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第

個圖案中有黑色棋子（）

OOO?

OO?OOO?

?09O?09OOO?

O??OO??OOO

①②

A.301顆B.304顆C.307顆D.310顆

【思路點撥】

本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得出規(guī)律“第〃個圖形中黑色棋子的個數(shù)為35+1）+1”，找到

正確的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：第一個圖形中有2X3+1=7顆黑色棋子;

第二個圖形中有3x3+1=10顆黑色棋子;

第三個圖形中有4x3+1=13顆黑色棋子;

則第n個圖形中黑色棋子的個數(shù)為3（n+1）+1,

.??第100個圖形中黑色棋子的個數(shù)為3x101+1=304個,

故選：B.

2.（23-24九年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）下圖是一組有規(guī)律的圖案，圖1中有4個小黑點，圖2中有7個小

黑點.圖3中有12個小黑點，圖4中有19個小黑點，…，按此規(guī)律圖9中的小黑點個數(shù)為（）

圖1圖2圖3圖4

A.64B.67C.84D.87

【思路點撥】

本題考查了圖形的變化類問題，仔細觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可，解題的關(guān)鍵是

仔細觀察圖形并找到圖形變化的規(guī)律.

【解題過程】

解：觀察圖形可知，

第一個圖有3+I2=4個小黑點，

第二個圖有3+22=7個小黑點，

第三個圖有3+32=12個小黑點，

第四個圖有3+42=19個小黑點，

故依此類推，第n個圖有3+/個小黑點，

,第九個圖有3+92=84個小黑點，

故選：C.

3.（24-25七年級上?全國?課后作業(yè)）將一些相同的“?！卑慈鐖D所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個圖中“?！钡膫€

數(shù)，則第10個圖中“。”的個數(shù)是（).

O

O

COOOOO

OOOOO

OOOOOO

OOOO

COOO

OOOO

OOOOO

OOOO

①②③④

A.90B.95C.100D.105

【思路點撥】

本題考查圖形和數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)前幾個圖形中“?！钡膫€數(shù)得到變化規(guī)律，進而可求解.

【解題過程】

解:第1個圖形中“。”的個數(shù)為5=5+1x0,

第2個圖形中“?！钡膫€數(shù)為7=5+2x1,

第3個圖形中“?！钡膫€數(shù)為11=5+3x2

第4個圖形中“?！钡膫€數(shù)為17=5+4x3,

依次類推，第力個圖形中“?！钡膫€數(shù)為5+n5-1）,

.,.第10個圖形中“?！钡膫€數(shù)為5+10x9=95,

故選：B.

4.（23-24九年級下?重慶沙坪壩?開學(xué)考試）如圖，是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的“紙杯蛋糕”，其中第①

個圖案用了5個石子，其中第②個圖案用了11個石子，其中第③個圖案用了18個石子，其中第④個圖案

用了26個石子，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中石子的個數(shù)為（）

?????

*

??????

????

????

??????????????

①②

A.45B.56C.58D.60

【思路點撥】

本題考查了圖形的變化類.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)前四個圖形的變化尋找規(guī)律.

根據(jù)圖形的變化分別寫出前四個圖形中石子的個數(shù)，即可解答第7個圖形中的石子數(shù).

【解題過程】

解：觀察圖形的變化，可知，

第1個圖案要用的石子數(shù)為；Si=1+1x4=5；

第2個圖案要用的石子數(shù)為；$2=1+2+2x4=11；

第3個圖案要用的石子數(shù)為；S3=14-2+3+3x4=江產(chǎn)+3x4=18；

第4個圖案要用的石子數(shù)為；54=1+2+3+4+4X4=處券+4X4=26；

第7個"為正整數(shù)）圖案要用的石子數(shù)為，^9+4x7=56.

故選：B.

5.（2024九年級下.重慶.專題練習(xí)）下列圖形都是由?按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖共有四個?，第

②個圖中共有8個?，第③個圖中共有13個?，第④個圖中共有19個?，...，照此規(guī)律排列下去，則第10

個圖形中?的個數(shù)為（）

①②③④

A.50B.53C.64D.76

【思路點撥】

本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.

根據(jù)已知圖形得出圖n中點的個數(shù)為⑺+—(1+2+3+…+n-1),據(jù)此可得.

【解題過程】

解：因為圖①中點的個數(shù)為4=22—0,

圖②中點的個數(shù)為8=32—1,

圖③中點的個數(shù)為13=42-(1+2),

圖④中點的個數(shù)為19=52—(1+2+3),

■,,/

圖n中點的個數(shù)為(n+1)2—(1+2+3+…+九-1),

所以圖10中點的個數(shù)為11z一(1+2+3+…+9)=121-45=76,

故選：D.

6.(23-24七年級上?湖北襄陽?期末)用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9

根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，…，按此規(guī)

律排列下去，則第20個圖案用的木棍根數(shù)是()

omcco0300…

①②③④

A.104B.109C.123D.129

【思路點撥】

根據(jù)前幾個圖形，發(fā)現(xiàn)每一個圖形的木棍數(shù)都等于4加上圖形位置序數(shù)的5的倍數(shù)，據(jù)此規(guī)律求解即可.

本題主要考查了圖形的數(shù)字規(guī)律.根據(jù)圖形，數(shù)出木棍數(shù)，數(shù)形結(jié)合找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：由圖可知：

第1個圖案用木棍，4+5=9(根)，

第2個圖案用木棍，4+5X2=14（根），

第3個圖案用木棍4+5x3=19（根），

第4個圖案用木棍，4+5x4=24（根），

...第〃個圖案用的木棍根數(shù)是,4+5n；

當(dāng)n=20時，4+5x20=104.

故選：C.

7.（23-24七年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是（）

A.2022B.3035C.3029D.3036

【思路點撥】

本題考查了圖形的規(guī)律變化類，根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出第ri個圖形中黑色正方形的數(shù)量即可求解，通過

圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：根據(jù)圖形變化規(guī)律可知：

第1個圖形中黑色正方形的數(shù)量為2,

第2個圖形中黑色正方形的數(shù)量為3,

第3個圖形中黑色正方形的數(shù)量為5,

第4個圖形中黑色正方形的數(shù)量為6,

.??當(dāng)n為奇數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為九+詈,

當(dāng)n為偶數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為兀+泉

.?.第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是2023+4箸=3035,

故選：B.

8.（23-24七年級上.福建寧德?期中）觀察圖中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，可知第506個正方形的左

上角標的數(shù)是（）

第I個

正方形正方形正方形正H形

A.2020B.2021C.2022D.2023

【思路點撥】

觀察圖形可知每個正方形上標4個數(shù)，則有506X4=2024,即第506個正方形左下角的數(shù)是2024,從而可

求第506個正方形左上角的數(shù).

【解題過程】

解：由題意可知每個正方形上標4個數(shù)，且所有圖形標注的數(shù)字都是從右下角開始，沿逆時針依次標注四個

連續(xù)的且依次增大的正整數(shù)，且第一個圖形右下角是從1開始標注，

.?.第506個正方形標注的最大數(shù)字是：506x4=2024,

即第506個正方形的左下角的數(shù)是2024,

.?.第506個正方形左上角的數(shù)是2024-1=2023.

故選：D.

9.（23-24七年級上.江蘇無錫.階段練習(xí)）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺

成下列圖形，第1幅圖形中“?”的個數(shù)為由,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為。2,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為

325

D.—

2244924462

【思路點撥】

本題主要考查圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是得出即=n5+2）及就萬=之又G-.）.

【解題過程】

解：a1=3=1x3,

=8=2X4,

a3=15=3x5,。4=24=4x6,

an=n(ji+2)；

1

a20

1x3+2x4+3x5++20x22

1H------------------

22122

1650

-x-----

2462

325

462

故選:D.

10.(23-24七年級上?福建漳州?階段練習(xí))漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟

片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上；

(1)每次只能移動1個碟片.

(2)較大的碟片不能放在較小的碟片上面.

如圖所示，將1號桿子上所有碟片移到2號桿子上，3號桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動

到另一根桿子為移動一次，記將1號桿子上的幾個碟片移動到2號桿子上最少需要與次，則&6=()

213

A.31次B.33次C.62次D.63次

【思路點撥】

本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題.根據(jù)移動方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩

個階段移動，用盤子數(shù)目減1的移動次數(shù)都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數(shù)

從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可.

【解題過程】

解：n=1時，an=1；

九=2時，小盤-3柱，大盤t2柱，小盤從3柱一2柱，完成，即g=3=2?—1；

九=3時，小盤->2柱，中盤->3柱，小盤從2柱->3柱，大盤-2柱，再用九=2的方法轉(zhuǎn)移,

即&3=7=23—1,

以此類推，an=2兀-1,

=26—1=63.

故選：D.

11.（2024七年級上.全國.專題練習(xí)）用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放,

則第12個圖案中共有小三角形的個數(shù)是

△△

△△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△

M=1n=2〃=3〃=4

【思路點撥】

此題考查圖形的變化規(guī)律，觀察與比較每個圖案相同點與不同點，得出后一個圖案總是在與之相鄰的前一

個圖案基礎(chǔ)上有規(guī)律地增加小三角形數(shù)，即在前一個圖案的基礎(chǔ)上增加比圖案序號數(shù)多3個的小三角形數(shù),

從而解決該題，解決本題的關(guān)鍵是找出圖形之間的運算規(guī)律.

【詳解】解：當(dāng)n=l時，第1個圖案的小三角形的個數(shù)是=2（個））.

當(dāng)n=2時，第2個圖案的小三角形的個數(shù)是=3+2=5（個）.

當(dāng)幾=3時，第3個圖案的小三角形的個數(shù)是=3x2+2=8（個）.

當(dāng)?2=4時，第4個圖案的小三角形的個數(shù)是=3x3+2=11（個）.

以此類推，第n個圖案的小三角形的個數(shù)是=3（n-l）+2=3n-l；

???第12個圖案中共有小三角形的個數(shù)是3x12-1=35（個），

故答案為：35.

12.（23-24七年級上?廣東深圳?期末）如圖，一張長方形的桌子可坐6人，按照圖中方式繼續(xù)擺放桌子和

椅子，若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，則共需要這種長方形桌子___一__張

0DCDCD

【思路點撥】

本題考查了圖形規(guī)律問題，根據(jù)圖形得出2張桌子，3張桌子拼在一起可坐的人數(shù)，然后得出每多一張桌子

可多坐4人的規(guī)律，進而得出n張桌子拼在一起可坐（4n+2）人，再列方程解答即可.

【解題過程】

解：由圖可知，

1張長方形桌子可坐6人，6=4x1+1,

2張桌子拼在一起可坐10人，10=4x2+2,

3張桌子拼在一起可坐14人，14=4x3+2,

以此類推，每多一張桌子可多坐4人，

所以，n張桌子拼在一起可坐（4幾+2）人；

若拼成一張大桌子后，座位剛好可坐38人，可得：（4n+2）=38,

解得：n=9

故答案為：9

13.（2024七年級上.全國?專題練習(xí)）下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的，如圖①,

圖①圖②圖③

（1）推測第4個圖形中，正方形的個數(shù)為,周長為；

（2）推測第幾個圖形中，正方形的個數(shù)為,周長為；（都用含n的代數(shù)式表示）.

【思路點撥】

（1）依次數(shù)出n=l,2,3,4時正方形的個數(shù)，算出圖形的周長；

（2）根據(jù)規(guī)律以此類推，可得出第n個圖形中，正方形的個數(shù)為及周長；

本題考查了根據(jù)圖示尋找規(guī)律，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：（1）因為九=1時，正方形有8個，即8=5x1+3,周長是18,即18=10x1+8,

n=2時，正方形有13個，即13=5x2+3,周長是28,即28=10x2+8,

幾=3時，正方形有18個，即18=5x3+3,周長是38,即38=10x3+8,

n=4時，正方形有23個，即23=5x4+3,周長是48,即48=10x4+8,

故答案為：①23；②48；

（2）解：由（1）總結(jié)可得，第n個圖形時，正方形有（5n+3）個，周長是10n+8,

故答案為：③5n+3,④lOn+8.

14.（24-25七年級上?全國?期中）如圖，從原點4開始，以力B=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2

為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記

為第4個半圓；…按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第7個半圓的面積為.（結(jié)果保留n）

【思路點撥】

本題以圖形作為背景考查數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第n個半圓的直徑為2時1是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)規(guī)律得出第n個半圓的直徑為2吁】，再除以2得到半徑，進而可求出第7個半圓的面積.

【解題過程】

解：根據(jù)已知可得出第n個半圓的直徑為7t,

??.第7個半圓的直徑為：27T=26=64,半徑為32,

第7個半圓的面積為：|xTTx322=512TT,

故答案為：512TT.

15.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，圓桌周圍有20個箱子，按順時針方向編號1?20,小明先在1號箱子

中丟入一顆紅球，然后沿著圓桌按順時針方向行走，每經(jīng)過一個箱子丟一顆球，規(guī)則如下：

①若前一個箱子丟紅球，則下一個箱子就丟綠球.

②若前一個箱子丟綠球，則下一個箱子就丟白球.

③若前一個箱子丟白球，則下一個箱子就丟紅球.他沿著圓周走了2024圈，求4號箱內(nèi)有顆紅球.

【思路點撥】

本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意先找到各個紅球都在那個箱內(nèi)，然后找到哪一圈會在4號箱內(nèi)丟紅球,

從而得到規(guī)律即可求解，根據(jù)題意找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：根據(jù)題意可知,

第1圈紅球在1、4,7,10,13,16,19號箱內(nèi),

第2圈紅球在2、5、8、11,14,17,20號箱內(nèi),

第3圈紅球在3、6、9、12,15、18號箱內(nèi),

第4圈紅球在1、4、7、10、13.16、19號箱內(nèi),

.?.第1、4,7、10…2023圈會在4號箱內(nèi)丟一顆紅球，

V（2023-1）4-3=674,

二紅球顆數(shù)為674顆，

故答案為：674.

16.（23-24七年級上.浙江溫州?期中）排球比賽時，甲方6名隊員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1

號位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時是第二輪發(fā)球，此時甲方全體隊員按順時針方向轉(zhuǎn)一個位置（轉(zhuǎn)

一圈），即1號位的隊員到6號位置，6號位到5號位，…，此時2號位隊員到1號位置發(fā)球，以此類推，

如果甲方選手小花開場時站在6號位置，記的=6；甲方第二輪發(fā)球時，小花站在a2號位置，…，這場比賽

甲方發(fā)了21輪球，則a1+a?+…+a21的值為.

乙

球網(wǎng)

甲

【思路點撥】

此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意列舉發(fā)現(xiàn)發(fā)球輪數(shù)與所占位置的規(guī)律是解題關(guān)鍵.分別列舉出

發(fā)球與所占位置的規(guī)律，進而得出兩者之間的數(shù)字規(guī)律進而得出答案.

【解題過程】

解：小花上場時，站在6號位置，第1輪發(fā)球時，站在⑥號位置，則的=6；

第2輪發(fā)球時，站在⑤號位置，則。2=5；

第3輪發(fā)球時，站在④號位置，則。3=4；

第4輪發(fā)球時，站在③號位置，則。4=3；

第5輪發(fā)球時，站在②號位置，則。5=2；

第6輪發(fā)球時，站在①號位置，則。6=1；

第7輪發(fā)球時，站在⑥號位置，則。7=6；

第8輪發(fā)球時，站在⑤號位置，則。8=5；

由此可得，每6輪重復(fù)出現(xiàn)相應(yīng)的位置上，

???21+6=3……3,6+5+4+3+2+1=21,

????21=4

?,*0]++…+

=6+5+4+3+2+1+6+…+6+5+4

=21X3+6+5+4

=63+15

=78.

故答案為：78

17.（23-24七年級上?安徽?單元測試）觀察下列圖形中點的個數(shù).

圖I圖2圖3

（1）圖2中點的個數(shù)是；

（2）若按其規(guī)律再畫下去，如果圖形中有36個點，那它是第個圖形；

（3）若按其規(guī)律再畫下去，可以得到第“個圖形中所有點的個數(shù)為（用含力的代數(shù)式表示）.

【思路點撥】

此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

(1)圖2中點的個數(shù)為：1+3+5=9;

(2)由第1個圖形中點的個數(shù)為：1+3=4=22,第2個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5=9=32,第3

個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+7=16=42,得出第〃個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5++(2九+1)=

(n+1/，進一步得出36=(5+也就是第5個圖形；

(3)利用(2)中的規(guī)律得出答案即可.

【解題過程】

(1)解：圖2中點的個數(shù)是：1+3+5=9,

故答案為：9；

(2)解：第1個圖形中點的個數(shù)為：1+3=4=22,

第2個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5=9=32,

第3個圖形中點的個數(shù)為：1+3+5+7=16=42,

...第w個圖形中點的個數(shù)為:

1+3+5+…+(2建+1)=O+1尸,

A36=(5+I)2,

是第5個圖形，

故答案為：5；

(3)解：第"個圖形中點的個數(shù)為:

1+3+5++(2n+1)=(n+l)2.

故答案為：(n+l)2.

18.(23-24七年級上.北京通州.期末)現(xiàn)有一個長方形A8CD的寬為1,長為a(a〉1)的紙片，先剪去一個

正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推,

如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應(yīng)a的值，請畫出(與示意圖不同)剪3

次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應(yīng)a的值.

BC

BB

11111

?

?

AaDAAAA

.115備用圖備用圖備用圖備用圖

a=14—F—=—

333a=a=a=a=

【思路點撥】

a有四個值：當(dāng)a=4時，三個最大的正方形邊長都為1,余下的正方形邊長為1；當(dāng)a=|時，第一個和第二

個正方形邊長都為1,第三個正方形邊長為也余下的正方形邊長為a當(dāng)a=|時，第一個正方形邊長為1,

第二個正方形邊長為|,第三個正方形邊長為右余下的正方形邊長為|；當(dāng)&=決寸，第一個正方形邊長為1,

第二個和第三個正方形邊長都為（余下的正方形邊長為

【解題過程】

解：①如圖,

19.（24-25七年級上?全國?單元測試）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題:

（1）圖中的點被線段隔開分成四層，第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有5個點，第四層有

個點；

（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個點？

（3）某一層有77個點，你知道這是第幾層嗎？

（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層的和是多少？根據(jù)你的推測，前十二層的和

是多少？

【思路點撥】

本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

(1)由圖形即可得出答案；

(2)由題意得出規(guī)律：第九層有(2n-1)個點，由此計算即可得解；

(3)由(2)可得，第n層有(2n—l)個點，令2n—l=77,計算即可得解；

(4)分別計算出第一層與第二層的和，前三層的和、前四層的和，得出規(guī)律前n層的和是"，即可得解.

【解題過程】

(1)解：由圖可得：第四層有7個點；

(2)解：:,第一層有1=2x1-1個點，

第二層有3=2x2-1個點，

第三層有5=2x3-1個點，

第四層有7=2x4—1個點，

...,

.,?第n層有(2n-l)個點，

...第五層有2x5—1=9個點；

(3)解：由(2)可得，第九層有(2n-1)個點，

令2?1—1=77,

解得：n=39,

...某一層有77個點，這是第39層；

(4)解：第一層與第二層的和是：1+3=4=22,

前三層的和是：1+3+5=9=32；

前四層的和是：1+3+5+7=16=42；

...9

故前n層的和是：n2,

.?.前十二層的和是：122=144.

20.(23-24七年級上?福建三明?期中)(1)觀察下面的點陣圖與等式的關(guān)系，并填空：

第1個點陣：

/O/=04-

1+3+1=12+22

第2個點陣:

O

O+???

1+3+5+3+1=.+,

第3個點陣:

/O/O/O/OOO

/O/O/Q/OOO+

/O/Q/Q/OOO

1+3+5+7+5+34-1=.+

（2）觀察猜想，寫出第n個點陣相對應(yīng)的等式.

(3)根據(jù)以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值.

【思路點撥】

（1）根據(jù)點陣圖即可求解;

（2）根據(jù)（1）中的3個等式得出規(guī)律，進而寫出第九個點陣相對應(yīng)的等式;

（3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律，進行計算即可.

【解題過程】

解：(1)由圖可得：1+3+5+3+1=22+32,1+3+5+7+5+3+1=32+42,

故答案為：22,32,32,42；

（2）???第1個點陣:

。/=O+

1+3+1=M+22

第2個點陣:

OO

OO+???

???1+34-5+3+1=22+32

第3個點陣:

/O/O/O/O

=oOO+

OO

，%%%1+3+5+7+5+3+1=32+42

???第九個點陣相對應(yīng)的等式為：

1+3+5+■■■+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+-??+5+3+1=n2+(n+I)2；

(3)由(2)可得：

1+3+5+…+(2n-