有關(guān)圓冪定理型壓軸題-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題44有關(guān)圓塞定理型壓軸題

【方法點(diǎn)撥】

1.相交弦定理：如下左圖，圓。的兩條弦A8、PC相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,則

PAPB=PCPD.

2.切割線定理:如下右圖，PT為圓。的切線，PAB,PCD為割線，貝（）；

3.割線定理：如下右圖，PAB.PC￡＞為圓。的割線，則PAPB=PCPD.

說明：上述三個(gè)定理可以統(tǒng)一為？A-P5=PC）2—火2（其中R是半徑），統(tǒng)稱為圓森定理.

【典型題示例】

例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)AH，。），點(diǎn)尸是圓。：/+產(chǎn)=4上

的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)8（1,0）作直線BT垂直于AP,垂足為T,則2B4+3PT的最小值是

【答案】6后

【分析】從題中已知尋求以、PT間的關(guān)系是突破口，也是難點(diǎn)，思路一是從中線長定理入

手，二是直接使用圓累定理.

【解法一】由中線長公式可得P0=g衣記J而5二IF,則？42+依2=10

2PAPBPAPB

3

在RtAPBT中,PT=PBcosP,即尸T=——

PA

所以2PA+3PT=2P4+2?2M=6&(當(dāng)且僅當(dāng)尸4=±2時(shí)取等)

PA2

【解法二】-.-BT±AP,.?.點(diǎn)T的軌跡是圓，其方程是：/+儼=1,

過點(diǎn)尸作該圓的切線PC,C為切點(diǎn)，貝|尸。=百，由切割線定理得：PC2=PAPT=3

所以2E4+3PT=2E4+2?2&i=60(當(dāng)且僅當(dāng)尸4=逑時(shí)取等).

PA2

點(diǎn)評(píng)：解法二中，先運(yùn)用定直線張直角，得到隱圓，然后運(yùn)用切割線定理得出定值，最后再

使用基本不等式予以解決，思路簡潔、解法明快.在有關(guān)解析幾何的題目中，首先考慮

相關(guān)的幾何性質(zhì)是解決這類問題的首選方向.

例2在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，己知。C：f+(y-1>=5,A為。C與無負(fù)半軸的交點(diǎn)，

過A作。C的弦AB,記線段AB的中點(diǎn)為M.若。4=OM,則直線AB的斜率為.

【答案】2

【分析】看到''弦的中點(diǎn)”想到作“弦心距”，得到CML4B,故NCMA+NAOC=180。，所

以A、。、C、M四點(diǎn)共圓，AC為直徑.在該外接圓中，使用正弦定理求出sinA即可.

【解析】連結(jié)C,M,則CMLAB,

在四邊形AOCM■中，ZCMA+ZAOC=180°,故4。、C、M四點(diǎn)共圓，且AC為直徑.

/+0-1)2=5中，令y=0,得尤=±2,A(-2,0),AC=V5即為△AOM外接圓的直徑，

在中，由正弦定理得：器=遮，而0A=。冊(cè)=2,

所以sinA=3，所以tanA=2.

故直線48的斜率為2.

例3在平面直角坐標(biāo)系xQy中，過點(diǎn)”(1,0)的直線/與圓/+J?=5交于A,3兩點(diǎn),

其中A點(diǎn)在第一象限，且麗=2涼，則直線/的方程為

【答案】y=x-l

【分析】本題思路有下列幾種：①利用向量坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化，點(diǎn)參法；②設(shè)直線方程的在x

軸上的截距式，聯(lián)立方程組；③垂徑定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用“爪”

___.2—?1--

型結(jié)構(gòu)，得§04+§03,兩邊平方求得ZAOB的余弦值.

【解法一】：易知直線/的斜率必存在，設(shè)直線/的方程為1).

—>—>

由設(shè)W=2r,MA=t.

如圖，過原點(diǎn)。作OHL于點(diǎn)”，則8H巖.

設(shè)OH=d,在R30BH中，法+尚2=，=5.

在Rt^OMH中，/+42=。胎=1,解得^=1

p1

則/=7+]=1,解得左=1或左=—1.

—>—>

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，BM=2MA,由圖知％=1,

所以所求的直線/的方程為y=x-l.

【解法二】由否必=2雙5,設(shè)BM=2t,MA=t

又過點(diǎn)M的直徑被M分成兩段長為6-1、6+1

由相交弦定理得2t2-(75-1)(75+1),解之得t=72

過原點(diǎn)。作0H，/于點(diǎn)兒

在RtAOBH中，心+掰2=d=5,解得(下同解法一，略).

【解法三】設(shè)A(xi,yi),5(X2,m)，則5M=(1一及，一")，MA=(X[—19%).

[1—X2=2(X1—1),

因?yàn)?M=2肱4,所以c

[一以=2>1.

—?—?

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，BM=MA,不符合題意.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線A3的方程為丫=左。-1）,

＜一2k

力+"=Rp'

y=攵（x—1）,

聯(lián)立一,‘得（1+嚴(yán)）丁2+26-43=0,則＜一以2

L?+y2=5,yry2=-^^,

j—〉2=2yi,

r_2k

y，

'1+產(chǎn)—Qp_4p

解得＜_4k所以"少2=（[+.）2=]+d，即二=1.又點(diǎn)A在第一象限,

產(chǎn)用，

所以％=1,即直線AB的方程為y=x-l.

【解法四】設(shè)A（X1,力），8（X2,m），則2〃=（1一電-y2）,M4=（X1-1,弘）.

f1—X2—2(xi-1),[—X2—2xi—3,

因?yàn)?M=2A￡4,所以[即《

[~y2=2yi,[—y2=2yi.

'xi+yi=5,[xi+yi=5,

又2「2代入可得L.八2,、=解得制=2,代入可得以=±1.又點(diǎn)A在

施+免=5,[（2尤i—3）2+4冗=5,

第一象限，故A（2,l）,由點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)可得直線AB的方程為y=x-l.

點(diǎn)評(píng)：

上述各種解法中，以解法一、解法二最簡、最優(yōu).

【鞏固訓(xùn)練】

1.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，M是直線1=3上的動(dòng)點(diǎn)，以Af為圓心的圓M,若圓Af截

x軸所得的弦長恒為4,過點(diǎn)。作圓M的一條切線，切點(diǎn)為尸，則點(diǎn)P到直線

2尤+y—10=0距離的最大值為.

2.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，圓C：（x-tn）2+y2=r2（m>0）.已知過原點(diǎn)。且相互垂直

的兩條直線和e其中/i與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，%與圓C相切于點(diǎn)。.若AB=

OD,則直線/i的斜率為.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=-x+2與圓Y+y2=/（廠>0）交于43兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿足玩=一畫+—而，貝!|r=.

44

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)尸（0,1）在圓C：%2+y2+2mx-2y+m2-4m+l=0

若存在過點(diǎn)P的直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，且APBC的面積是APAC的面積的2倍，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圓C:（尤+2>+（y-a）2=3.若圓C存在以G為中點(diǎn)的弦A3,

且AB=2GO,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

6.已知直線y=?x+3與圓X2+；/+2%—8=0相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x0,y0）在直線

y=2x上且Q4=PB,則/的取值范圍為.

【答案與提示】

1.【答案】34

2.【答案】土半

【解析一】作CELA2于點(diǎn)E,則CE2=BC2-BE2=BC2--AB2=BC2--OD1

44

r2_l(w2_r2)=ldzrE

44

5rm22

由OECD是矩形，知CE2=OD2,/.~=m-r,化簡得二=倉

4m3

CDrA/5正

即cos/OCD=——=—=—,tanZCOB=tanZOCD

OCm3

...直線li的斜率為土f.

【解析二】作CE±AB于點(diǎn)E,則OECD是矩形

設(shè)。。=f(f>0),則由切割線定理002=04XOBW?2=(r-1)(r+1),即/=1.產(chǎn)(※)

Q7

又加2=產(chǎn)+產(chǎn)，將(※)代人得加2=乙/，即r_L=.

4m3

r2

RtACOE,sinZCOE=-=-

m3

2J5

???直線h的斜率為土

168165

過點(diǎn)O作AB的垂線交A8于。，

,3,1

則COSZAO3=2COS2ZAOD—1=—M,得cc^ZAODu^.

o1cn?o___

又圓心到直線的距離00=7=所以cos2/AOD=—==▼，r=