江蘇省南京民辦求真中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷

第第頁(yè)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試（求真）八年級(jí)數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共6小題，每題2分，共12分）1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A．B． C． D．2．如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，△ABO和△CDO關(guān)于直線PQ對(duì)稱，點(diǎn)A，B的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)C，D．下列不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD3．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．∠A＝∠B﹣∠C D．a(chǎn)：b：c＝8：15：174．按照下列各圖所示的折疊過(guò)程，線段AD是△ABC中線的是（）A.B.C.D.5．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆在筆筒內(nèi)部的長(zhǎng)度l的取值范圍是（）A．12cm≤l≤15cm B．9cm≤l≤12cm C．10cm≤l≤15cm D．10cm≤l≤12cm（第2題）（第5題）（第7題）（第8題）6．已知在△ABC中∠B＝30°，AB＝8，下列AC的長(zhǎng)度能夠使△ABC唯一確定的是（）A．3 B．6 C．7 D．9二、填空題（本題共10小題，每題2分，共20分）7.如圖，為了使舊木門不變形，木工在門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是．8.如圖，已知AB＝AC，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使△ABE≌△ACD（不添加輔助線或點(diǎn)）．9.已知等腰三角形的周長(zhǎng)是10，一邊長(zhǎng)是4，則等腰三角形的腰長(zhǎng)為．

10.如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE＝4cm，△ADC的周長(zhǎng)為9cm，則△ABC的周長(zhǎng)為cm．（第10題）（第12題）（第13題）11.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝6，BC＝8，則CD的長(zhǎng)為．12.借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)為．13.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，則AB的長(zhǎng)為．14.如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，若∠1比∠2大12°，則∠1的度數(shù)為．15.如圖，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，則△BCD的面積為．（第14題）（第15題）（第16題）16.如圖，已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，連接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，則下列結(jié)論：①AE垂直平分CD，②△ABD是等邊三角形，③AC平分∠BAD，④∠BCD的度數(shù)為120°，其中正確的結(jié)論為．（填序號(hào)）三、解答題（本題共10小題，共68分）17．（6分）如圖：AC⊥BC，BD⊥AD，AD與BC交于O，AD＝BC，求證：OD＝OC．

18．（6分）如圖，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對(duì)稱圖形．（1）△ABC的面積為_______；（2）利用網(wǎng)格線作出△ABC與△DEF的對(duì)稱軸l；（3）結(jié)合所畫圖形，在直線l上畫出點(diǎn)P，使PA+PC最?。?9．（6分）如圖所示的一塊草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，若每鋪1m2草坪需要花費(fèi)40元，則鋪這塊草坪共需花費(fèi)多少元？20．（6分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，連接AE．（1）求證：△CEA≌△CDB；（2）求證：BD2+AD2＝DE2．

21．（6分）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，則∠DME的度數(shù)為．22．（6分）如果三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a+b+c3=b，那么我們就把這樣的三角形叫做“均勻三角形”，如三邊長(zhǎng)分別為1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均勻三角形”．如圖，兩條線段長(zhǎng)分別為a、c（a＜（1）用含有a和c的代數(shù)式表示b，b＝．（2）求作均勻三角形ABC，使得最短邊AB＝a、最長(zhǎng)邊BC＝c（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）在（2）中的三角形內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到此三角形三邊距離相等．

23．（6分）【探索勾股數(shù)】與直角三角形三條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的3個(gè)正整數(shù)（a，b，c），稱為勾股數(shù)，《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一組最簡(jiǎn)單的勾股數(shù)，顯然，這組數(shù)的整數(shù)倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股數(shù)．當(dāng)然，勾股數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股數(shù)．怎樣探索勾股數(shù)呢？即怎樣一組正整數(shù)（a，b，c）才能滿足關(guān)系式a2+b2＝c2.設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，觀察下表回答問(wèn)題：表1表2abcabc345681051213815177242510242694041123537（1）根據(jù)表1的規(guī)律寫出勾股數(shù)（11，，）；觀察可得：表1中b、c與a2之間的關(guān)系是；（填勾股定理不得分）（2）根據(jù)表2的規(guī)律寫出勾股數(shù)（16，，）；觀察可得：表2中b、c與a2之間的關(guān)系是；（填勾股定理不得分）（3）老師告訴小明一組勾股數(shù)，但他回家后只記得其中最大的數(shù)是145，你知道這組勾股數(shù)可能是多少嗎？（請(qǐng)用勾股定理的形式直接寫出結(jié)果，例如32+42=52）

24．（8分）已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD、BE所在直線的交點(diǎn)．（1）求證：BH＝AC；（2）如圖2，若∠A改成鈍角后，結(jié)論BH＝AC還成立嗎？若成立，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P在BC上且滿足PA＝PB，則此時(shí)t＝；（2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上且不與點(diǎn)B重合，求此時(shí)t的值；備用圖（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，t的值為．

26．（10分）折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？我們可以把AC沿∠A的平分線AD翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C′處（如圖2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．（1）【感知】①如圖2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，則∠C′DB＝°．②如圖2，在△ABC中，若∠C＝2∠B，求證：AB?AC＝CD；（2）【探究】若將圖2中AD是角平分線的條件改成AD是高線，其他條件不變（如圖3），即在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC，請(qǐng)?zhí)剿骶€段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【拓展】如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），將△APC沿AP翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′．若以B、C、C′為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則BP的長(zhǎng)度為．

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中測(cè)試八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1軸對(duì)稱圖形2軸對(duì)稱的性質(zhì)；全等三角形的判定3勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理4翻折變換（折疊問(wèn)題）；三角形的角平分線、中線和高5勾股定理的應(yīng)用6作圖—基本作圖；含30度角的直角三角形7三角形的穩(wěn)定性8全等三角形的判定9等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系10線段垂直平分線的性質(zhì)11勾股定理12等腰三角形的性質(zhì)13含30度角的直角三角形14平行線的性質(zhì)15等腰直角三角形；構(gòu)造全等16全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)17全等三角形的判定與性質(zhì)18作圖﹣軸對(duì)稱變換；軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題19勾股定理的應(yīng)用；勾股定理的逆定理20全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形21直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質(zhì)22復(fù)雜作圖；列代數(shù)式；三角形三邊關(guān)系；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)23勾股數(shù)24全等三角形的判定與性質(zhì)25三角形綜合題；軸對(duì)稱；勾股方程26幾何變換綜合題；全等；軸對(duì)稱；勾股方程

答案解析一、選擇題（本題共6小題，每題2分，共12分）123456DABCAD二、填空題（本題共10小題，每題2分，共20分）7三角形具有穩(wěn)定性1280°8AD＝AE（答案不唯一）13893或41468°10171516112416①②③三、解答題（本題共10小題，共68分）17．（6分）如圖：AC⊥BC，BD⊥AD，AD與BC交于O，AD＝BC，求證：OD＝OC．證明：∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠D＝∠C＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BAAD=BC∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠DAB＝∠CBA，∴OA＝OB，∴OC＝OD．18．（2+2+2=6分）如圖，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對(duì)稱圖形．（1）△ABC的面積為____3___；（2）利用網(wǎng)格線作出△ABC與△DEF的對(duì)稱軸l；（3）結(jié)合所畫圖形，在直線l上畫出點(diǎn)P，使PA+PC最?。?/p>

19．（6分）如圖所示的一塊草坪，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，若每鋪1m2草坪需要花費(fèi)40元，則鋪這塊草坪共需花費(fèi)多少元？解：連接AC，根據(jù)勾股定理，得AC=A在△ABC中，AB2＝1521＝BC2+AC2＝1296+225＝1521，∴△ABC是直角三角形，∴S=1＝216（m2），則鋪這塊草坪共需花費(fèi)216×40＝8640（元）．答：鋪這塊草坪共需要花費(fèi)8640元．20．（3+3=6分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，連接AE．（1）求證：△CEA≌△CDB；（2）求證：BD2+AD2＝DE2．證明：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△CDB與△CEA中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△CDB≌△CEA（SAS）；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°，由（1）得△CDB≌△CEA，∴∠EAC＝∠B＝45°，BD=AE∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AE2+AD2＝DE2∴BD2+AD2＝DE2

21．（4+2=6分）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，則∠DME的度數(shù)為．（1）證明：如圖，連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，∴DM=12BC，ME=∴DM＝ME，又∵N為DE中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，∴180°﹣∠A＝120°，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．22．（2+2+2=6分）如果三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a+b+c3=b，那么我們就把這樣的三角形叫做“均勻三角形”，如三邊長(zhǎng)分別為1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均勻三角形”．如圖，兩條線段長(zhǎng)分別為a、c（a＜（1）用含有a和c的代數(shù)式表示b，b＝．（2）求作均勻三角形ABC，使得最短邊AB＝a、最長(zhǎng)邊BC＝c（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）在（2）中的三角形內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到此三角形三邊距離相等．解：（1）∵a+b+c3=b∴b=a+c故答案為：a+c2（2）如圖所示，△ABC為所求作的三角形，（3）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．

23．（6分）【探索勾股數(shù)】與直角三角形三條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的3個(gè)正整數(shù)（a，b，c），稱為勾股數(shù)，《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一組最簡(jiǎn)單的勾股數(shù)，顯然，這組數(shù)的整數(shù)倍，如（6，8，10）（9，12，15）（12，16，20）等都是勾股數(shù)．當(dāng)然，勾股數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如（5，12，13）（8，15，17）等也都是勾股數(shù)．怎樣探索勾股數(shù)呢？即怎樣一組正整數(shù)（a，b，c）才能滿足關(guān)系式a2+b2＝c2.設(shè)（a，b，c）為一組勾股數(shù)，觀察下表回答問(wèn)題：表1表2abcabc345681051213815177242510242694041123537（1）根據(jù)表1的規(guī)律寫出勾股數(shù)（11，60，61）；觀察可得：表1中b、c與a2之間的關(guān)系是a2＝b+c；（2）根據(jù)表2的規(guī)律寫出勾股數(shù)（16，63，65）；觀察可得：表2中b、c與a2之間的關(guān)系是12a2＝b+c（3）老師告訴小明一組勾股數(shù)，但他回家后只記得其中最大的數(shù)是145，你知道這組勾股數(shù)可能是多少嗎？（請(qǐng)用勾股定理的形式直接寫出結(jié)果，例如32+42=52）172+1442=1452或242+1432+=145224．（4+4=8分）已知：如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD、BE所在直線的交點(diǎn)．（1）求證：BH＝AC；（2）如圖2，若∠A改成鈍角后，結(jié)論BH＝AC還成立嗎？若成立，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：∵∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴AD＝BD．在△BDH和△ADC中∠EBC=∠DACBD=AD∴△BDH≌△ADC（ASA）．∴BH＝AC．（2）解：如圖，HB＝AC仍然成立．證明：∵∠H+∠HAE＝90°，∠C+∠CAD＝90°，又∵∠HAE＝∠DAC，∴∠H＝∠C．∵∠ABC＝45°，∠ADB＝90°，∴三角形ABD是等腰直角三角形．∴AD＝BD．在△BDH和△ADC中∠H=∠C∠HDB=∠CDA∴△BDH≌△ADC（AAS）．∴BH＝AC．25．（2+2+4=8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)P在BC上且滿足PA＝PB，則此時(shí)t＝；（2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上且不與點(diǎn)B重合，求此時(shí)t的值；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，t的值為．解：（1）如圖，設(shè)PB＝PA＝x，則PC＝4﹣x，∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，∴AC＝3cm，在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x=258，∴BP∴t=AB+BP2故答案為：6516（2）如圖，過(guò)P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝4，∴AD＝5﹣4＝1，設(shè)PD＝PC＝y(tǒng)，則AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴12+y2＝（3﹣y）2，解得y=43，∴CP∴t=AB+BC+CP當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P也在∠ABC的角平分線上，此時(shí)，t=AB綜上所述，點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，t的值為316或5（3）分四種情況：①如圖，當(dāng)P在AB上且AP＝CP時(shí)，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中點(diǎn)，即AP=12AB=∴t=AP②如圖，當(dāng)P在AB上且AP＝CA＝3時(shí)，t=AP③如圖，當(dāng)P在AB上且AC＝PC時(shí)，過(guò)C作CD⊥AB于D，則CD=AC?BC∴Rt△ACD中，AD=95∴AP＝2AD=18∴t=AP④如圖，當(dāng)P在BC上且AC＝PC＝3時(shí)，BP＝4﹣3＝1，∴t=AB+BP2綜上所述，當(dāng)t=54或32或9故答案為：54或32或

26．（2+3+3+2=10分）折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖1），怎樣證明∠C＞∠B呢？我們可以把AC沿∠A的平分線AD翻折，因?yàn)锳B＞AC，所以點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C′處（如圖2）．于是，由∠AC′D＝∠C，∠AC′D＞∠B，可得∠C＞∠B．（1）【感知】①如圖2，在△ABC中，若∠B＝35°，∠C＝70°，則∠C′DB＝°．②如圖2，在△ABC中，若∠C＝2∠B，求證：AB?AC＝CD；（1）①解：∵AC沿∠A的平分線AD翻折，∴∠AC′D＝∠C＝70°，∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∠B＝35°，∴∠C′DB＝35°，故答案為：35；②證明：∵AC沿∠A的平分線AD翻折，∴△AC′D≌△ACD，∴∠AC′D＝∠C，AC′＝AC，C′D＝CD．∵∠C＝2∠B，∴∠AC′D＝2∠B．∵∠AC′D＝∠B+∠C′DB，∴∠C′DB＝∠B，∴C′D＝C′B．∵AB﹣AC＝AB﹣AC′＝C′B，