2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.log2》的定義域為.

2.直線x-夕+1=0的傾斜角.

7_

3.已知--：=i,貝！Jz=_____.

l+i

4.(x-1)6展開式中的系數(shù)為.

5.三角形/8C中，BC=2,A=^,B=^,則48=

6.已知ab=l,4a2+9〃的最小值為.

7.數(shù)列{%},an^n+c,S7<0,c的取值范圍為.

8.三角形三邊長為5,6,7,則以邊長為6的兩個頂點為焦點，過另外一個頂點的雙曲線的離

心率為.

9.已知/(x)=x2,g(x)=['fxj°八，求g(x)W2-x的x的取值范圍_____.

10.已知四棱柱/BCD-44GA底面/BCD為平行四邊形，AA,=3,2。=4且

ABiBC-ADcDC=5,則異面直線AA,與BD的夾角余弦值為.

11.正方形草地ABCD邊長1.2,￡到/氏40距離為0.2,b到8C,C。距離為0.4,有個圓形通

道經(jīng)過E,尸，且經(jīng)過上一點，求圓形通道的周長.(精確到0.01)

試卷第1頁，共4頁

12.q=2,2=4,%=&&=16,任意伉，仇，4,“￡R，滿足

{ai+aj\\<i<j<A]={bi+bj\\<i<j<^],求有序數(shù)列他,b2,b3A}有對.

二、單選題

13.a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是()

A.a+b1>a+c1B.a2+b>a1+c

C.ab2>ac2D.a2b>a2c

14.空間中有兩個不同的平面外〃和兩條不同的直線加，〃，則下列說法中正確的是()

A.若a_1_￡,加_La,"_L力，則〃_zL〃B.若a_1_￡,機J_a,優(yōu)_L",則"J■夕

C.若a//月，："http://a,?///7,則加〃〃D.若a//￡,機//a,機//〃，則〃///?

15.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品

都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國結(jié)，事件3：所選盒中有記事本，

事件C：所選盒中有筆袋，則()

A.事件A與事件5互斥B.事件A與事件8相互獨立

C.事件A與事件BuC互斥D.事件A與事件8cC相互獨立

16.現(xiàn)定義如下:當(dāng)xe(〃m+1)時(neN),若/(x+l)=/(x),則稱〃x)為延展函數(shù).已知

當(dāng)xe(OJ)時，g(x)=e，且/7(x)=P,且g(x),人(x)均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在>=丘+。(左beR,左,6#0)與y=g(無)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b?Jbw"4*0)與>=/?(x)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

試卷第2頁，共4頁

三、解答題

71

17.已知/(x)=sin(<yx+§),a>>0

⑴設(shè)。=1,求解:了=/(苫)/€[0,可的值域；

(2)a>7i(aeR),/(x)的最小正周期為兀，若在xe[兀,可上恰有3個零點，求。的取值范圍.

18.如圖，PA、PB、PC為圓錐三條母線，AB=AC.

(1)證明:尸/_L8C；

⑵若圓錐側(cè)面積為6兀,BC為底面直徑，BC=2,求二面角B-P/-C的大小

19.水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱.

(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；

二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，

并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量.

22

20.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點A為橢圓「:二+匕=1上一點，月、鳥分別為橢圓

62

的左、右焦點.

⑴若點A的橫坐標(biāo)為2,求周的長；

(2)設(shè)「的上、下頂點分別為M、M],記△/片乙的面積為幾A/必必的面積為$2，若岳2$2，

求|。/|的取值范圍

(3)若點A在X軸上方,設(shè)直線網(wǎng)與r交于點B,與y軸交于點K,KF1延長線與r交于點C,

是否存在X軸上方的點C,使得即+可§+而=2(即+行+反)(2eR)成立?若存在，

請求出點C的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

試卷第3頁，共4頁

21.記/(a)={z|，=/(x)-/(a),xN4，Z(@卜/=》一),x斗

(1)若/("=3+1,求M⑴和=1)；

⑵若/(x)=x3-3尤2,求證:對于任意aeR,都有M(a)口-4,+8),且存在。，使得

-4eA/(a).

(3)已知定義在R上/(x)有最小值，求證，"(x)是偶函數(shù)"的充要條件是“對于任意正實數(shù)。,

均有M(-c)="c)”.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號13141516

答案BABD

1.(0,+co)

【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得.

【詳解】由題意可得x>0,即log?x的定義域為(o,+s).

故答案為：(0,+℃).

2.-

4

【分析】求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)直線x-y+i=o的傾斜角為。，。且。,明

易知直線V+1=0的斜率為1,

所以tan。=1,

解得。

4

故答案為：--

4

3.-1-/7-Z-1

【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運算與共拆復(fù)數(shù)定義計算即可得.

【詳解】由題意可得Z=i(l+i)=-l+i,故I=

故答案為：-1-i.

4.15

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理直接求出結(jié)果.

【詳解】(x-球展開式中令，的項為CX(-1)2=15/,

所以(x-l)6展開式中/的系數(shù)為15.

故答案為：15

53也+指

'3~

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解.

jrJr57r

【詳解】二角形中，\'A+B+C=7i,A=—,B=—,.,.C=,

答案第1頁，共13頁

.「.「兀兀、.兀71兀.兀V2+V6

sinC=sin--F—=sm—cos——Fcos—sin—=-----------

U6)46464

由正弦定理匹；=名，,兀

BC=2A=—

sinAsinC3

?V2+V6

_5CsinC_2X43d

倚"^hTr"^

T

故答案為：逑士業(yè)

3

6.12

【分析】利用不等式/+/2仍即可求解.

［詳解］4/+9/=(2“『+(36『22x2。義36=1246=12,

當(dāng)且僅當(dāng)作:即,T力=*或一口=一，時，等號成立,

故4/+處2的最小值為12.

故答案為：12.

7.(-00,-4)

【分析】先利用等差數(shù)列的定義判定｛%｝為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為見="+。，貝I]%"-%=(〃+l+c)-("+c)=l,

可知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，

貝1]邑=7%=7(4+。)<0,解得c<T,

所以c的取值范圍為(-叫-4).

故答案為：(-?,-4),

8.3

【分析】利用雙曲線的定義求解即可.

【詳解】由雙曲線的定義，2c=6,2a=7-5=2,

則e，=3.

a

故答案為：3

答案第2頁，共13頁

9.(-8,1]

【分析】分X20與x<0兩段求解二次不等式可得.

fY2r>0

【詳解】根據(jù)題意知g(x)=1一八.

當(dāng)xNO時，g(x)<2-x,gp2解得一則有OWxWl；

X+X-2<0,24XW1,

2

當(dāng)x<0時，g(x)<2-x,SP-x+x-2<0,xeR,即x<0時，不等式g(x)W2-x都成立.

綜上所述，g(x)V2r的龍的取值范圍為(一叫1].

故答案為:(-8』.

5

10.—

12

【分析】將而1,西用不共面的向量益，麴，而表示出來，從而得到戴?灰-怒?友=5,

然后由公式計算夾角余弦值即可.

【詳解】ABx=AB+'AAx^ADl=^D+'AAx,

二(在+春)紀-西+")友=5,

刀衣+數(shù)衣-15?反-羽.灰=5,

底面48CD為平行四邊形，所以方.沃<=萬5.皮，

所以而.就一數(shù).皮=5,

"麗="(質(zhì)-網(wǎng)=A^-AD-AAl-AB=AAl^BC^AAl^DC^.

—j-r~~AA-BD55

所以cosAA,,BD=itI=77----=—

9以\AA^BD\3X412，

故異面直線與BD的夾角的余弦值為

12

故答案為：—

11.2.73

【分析】利用給定條件求解圓的半徑，再求周長即可.

【詳解】如圖，以A為原點建系，易知￡(0.2,0.2),尸(0.8,0.8),連接￡尸,

答案第3頁，共13頁

不妨設(shè)跖中點為河(0.5,0.5),直線EF中垂線所在直線方程為了-0.5=-(x-0.5),

化簡得了=-尤+1,所以圓心為半徑為。，且經(jīng)過瓦廠點

即(。-0.2)+(-a+l-0.2)=a~,化簡得/—2a+0.68=0,

MWa=^^i=l±V032=l±-,

25

結(jié)合題意可得“=1-迪。0.434,故圓的周長為C=2儂。2.73.

5

故答案為：2.73

12.48

【分析】先確定{%+”6,10,12,18,20,24},再結(jié)合{?,+ay11</<j<4}=也+b]\\<i<j<A},

設(shè)4<%<&<"，可得到々+&=6,4+4=10,8+a=20,4+"=24,進而求出這四個數(shù),

從而求得答案.

【詳解】由題意知{生+“6,10,12,18,20,24},

滿足以+明141<>4}=也+。|1勺<"4},

不妨設(shè)a<b2<b3Vb4,

則必有t\+b2=6,t>i+b3=10,b2+4=20,b3+4=24,

若仇+&=12,4+4=18,解得仇=2也=4,4=8,4=16；

若&+4=18,4+a=12,解得6]=-1也=7,4=11,64=13,

由此可知此時有2種情況，

結(jié)合任意生卻%d?R，共有2P：=48對，

故答案為：48

答案第4頁，共13頁

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合｛%+%|14，<加4｝=也+%|14，<八4｝推出

〃時，這四個數(shù)的值，進而結(jié)合題意求得答案.

13.B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若c<6<0,則從<02,選項不成立，故A錯誤；

對于B,因為6>c,故a2+6>02+c,故B成立，

對于C、D,若a=0,則選項不成立，故C、D錯誤；

故選：B.

14.A

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷AB；根據(jù)面面平行的性

質(zhì)結(jié)合線線以及線面的位置關(guān)系可判斷CD；

【詳解】對于A,若（/_!_/?,，"_La,則機//月或優(yōu)u￡,

又n，/3,當(dāng)〃?//0時，在月內(nèi)必存在直線/和加平行，則"，加；

當(dāng)mu/?時，顯然有所以〃z_L〃，故A正確；

對于B,若_△加J_a,則加〃月或mu夕，由優(yōu)"L〃，則”與斜交、垂直、平行均有可

能，故B錯誤；

對于C,若a〃/，僅//a,則加//月或加u6，由〃〃￡,則加與"相交、平行、異面均有

可能，故C錯誤；

對于D,若a//6，mlla,則加//￡或加u￡,又加〃力，則”//〃或"u/，故D錯誤.

故選：A.

15.B

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義，逐一判斷選項即可.

【詳解】選項A,事件A和事件3可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結(jié)，又有記

事本，事件A與事件8不互斥，A錯誤；

選項B,...2（/）=；,P（5）=1,P（4B）=:，

.-.P（A）P（B）=P（AB）,B正確;

選項C,事件A與事件BUC可以同時發(fā)生，即第四個禮盒中可以既有中國結(jié)，又有記事本

或筆袋，C錯誤；

答案第5頁，共13頁

選項D,?./(/)=；,p(sp|c)=i,p(^n(5Qc))=1,

.?.P(/)P(8CC)HP(/C(5CC)),

二4與8p|C不獨立，故D錯誤.

故選：B.

16.D

【分析】由延展函數(shù)的定義分段求出g(x),〃(x)解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得.

【詳解】當(dāng)xe(l,2)時，x-le(O,l),則g(f=ej

又g'(x-1)=尸,則由延展函數(shù)定義可得g(x)=g,(x-l)=尸；

同理可得，當(dāng)x?2,3),g(x)=e2；L.

任意〃eN,當(dāng)xe(凡〃+1)時，g(無)=e'-".

當(dāng)xe(l,2)時，x-le(O,l),則3-1)=(x-l)'。,則〃(無)=101-1)9；

同理可得,當(dāng)x42,3)時,〃(x)=10x9(尤-2)8；L.

當(dāng)xe(9,10)時，A(x)=10!(x-9)；

當(dāng)/z(x)=10!；當(dāng)x〃(x)=0；L.

則任意“eN,”211時，當(dāng)xe(〃,”+l),〃(X)=O.

又因為當(dāng)xe（9,10）,/7（X）=1O!（X-9）,

故當(dāng)上=10!,6=-9xl0!時，

答案第6頁，共13頁

直線〉=10!X-9、10!與h0)的圖象在區(qū)間(9,10)的函數(shù)部分重合,

即有無窮個交點，故(2)成立;

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題目的關(guān)鍵在于理解新定義“延展函數(shù)”，能夠依次求解出函數(shù)

在各段的解析式及作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖象與直線的交點個數(shù)問題.

rV3"

17.(1)--J;

【分析】(1)利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合換元法求出單調(diào)性，再求解值域即可.

(2)利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)即可.

【詳解】(1)因為0=1,所以/(x)=sin(x+

因為xe[0,7t],所以令+，

由正弦函數(shù)性質(zhì)得y=g(f)=sint在上單調(diào)遞增，在py上單調(diào)遞減,

(2)由題意得T吟=兀，所以0=2,可得〃尤)=sing+g

當(dāng)/(x)=。時,2x+—=kit,keZ,BPx=--+—,keZ,

362

5兀

當(dāng)左=2時，X=L<71,不符合題意，

6

47r

當(dāng)左=3時，x=3->兀，符合題意，

]]兀

當(dāng)左=4時，X=——>71,符合題意，

6

7兀

當(dāng)左=5時，X=—>TI,符合題意，

47r4冗

所以把+T?Q〈竺+

33

口口7兀/17兀,,

即—《。<---,故a

36

18.(1)證明見解析

答案第7頁，共13頁

1

（2）兀-arccos—

【分析】（1）取2C中點。，連接4。、PO,則/OLBCPOLBC,故可得8CL面尸NO,

從而得到尸

（2）利用向量法可求面尸/C、面P4B的法向量，計算出它們的夾角的余弦值后可得二面角

的余弦值.

【詳解】（1）取2c中點O,連接NO、PO,

因為4B=AC,PB=PC,

又因為POu面尸/O,4Ou面尸/O,POc/O=O,所以8CJ_面尸/。,

因為P4u面尸/O,所以尸8c.

（2）因為3C為直徑，故。為底面圓的圓心，故尸平面A4C,而/O1.8C

故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為圓錐側(cè)面積為內(nèi)力，8c為底面直徑，BC=2,所以底面半徑為1,母線長為百，

所以尸。=ylPA2-AO2=V2,

則可得尸（0,0,收）,N（O,1,O）,B（1,O,O）C（。,0,0）,

故沙=（O,1,-V^）,麗=（1,0,金），元=（-1,0,角,

—/、n}'PA=Qy]-V2z.=0

設(shè)％=（再,%,zj為平面的法向量，則{-----=>{匚

?PB-0[再一J2Z1=0

令國=拒，則必=也，4=1,所以々=（亞,C,l）.

設(shè)〃2=（工2%/2）為平面尸4。的法向量，

答案第8頁，共13頁

n-PA=Q歹2一=0

則2

PC=0A/2Z2=0

所以％=卜也，后,1）.

令馬=-V2,則y2=V2,z?=1,

則cos"巧產(chǎn)麗=-而2+2環(huán)+1=]

設(shè)二面角5-R4-C為。，則。為鈍角，

所以二面角3——C的大小為兀-arccos：.

17

19.（1）—

v745

（2）一'級果抽取6箱，二級果抽取2箱

（3）方差1427.27克2,平均數(shù)285.44克，預(yù)估平均質(zhì)量為287.69克

【分析】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案;

（2）利用分層抽樣的定義進行求解;

（3）根據(jù)公式計算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.

【詳解】（1）設(shè)/事件為恰好選到一級果和二級果各一箱,

樣本空間的樣本點的個數(shù)?=C2=坐詈=9180,

A事件的樣本點的公式m=C；02.C；4=3468,

scrjp（4、=巴=3468=￡7.

所'（）”918045'

（2）因為一級果箱數(shù)：二級果箱數(shù)=102:34=3:1,

31

所以8箱水果中有一級果抽取8x「=6箱，二級果抽取8x「=2箱;

3+13+1

（3）設(shè)一級果平均質(zhì)量為總方差為S3二級果質(zhì)量為亍，方差為S；,

總體樣本平均質(zhì)量為白方差為廣，

因為￡=303.45,7=240.41,￡=603.46,S；=648.21,

所以彳=120x303.45+—x240.41=285.44克，

120+48120+48

12048

S2=]20~48*[603.46+(303.45-285.44)2]+[648.21+(240.41-285.44)11427.27克2.

預(yù)估平均質(zhì)量為1士07了+￡34?貢=287.69克.

答案第9頁，共13頁

20.（1）—；

3

⑵也可］;

⑶存在，。（-；，/）

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點A的縱坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式計算即得.

（2）設(shè)/（x,y）,切20,求出席邑，再利用給定關(guān)系求出F的范圍，進而求出的范圍.

（3）設(shè)/（占,必）,%>01色,%）,利用向量坐標(biāo)運算及共線向量的坐標(biāo)表示可得%+2弘=0,

再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理求解即得.

22^22）

【詳解】（1）設(shè)/（2沙），由點A為橢圓「土+匕=1上一點，得二+匕=1,即又

62623

片（一2,0）,

所以|/周=^2-（-2）］2+（J-0）2=^.

（2）設(shè)孫中0,而|片8|=4,|河［河21=2‘，

則工=；閨用削=2m，邑=；M陽2卜|=拒忖，由512邑,得2可之夜國，

BP2y2>x2,又工+匕=1,貝lj2『26-3/，解得

625

\OA\=yjx2+y2=J(6—3y2)+y2=個6—2y2G(V2,,

,由圖象對稱性，得A、C關(guān)于>軸對稱，則C（一看,必）,

又與(—2,0),F2(2,0),于是￡4=(石+2,%)，鼻8=(%+2,%)，耳。=(f+2",

答案第10頁，共13頁

則FXA+RB+F1C=(x2+6,y2+2%),同理6Z+F2B+F2c=(x2-6,y2+2y),

由即+而+隹=X⑥2+孽+爐)，得用+耳§+京//區(qū)1+可+成)，

因此(%2+6)(%+2%)=(%2-6)(%+2%)，即12(%+2%)=0,則必+2%=0,

設(shè)直線:x=my+2,由]：2_^：：6消去工得(加2+3)/+4叼-2=0,

-2f-2

%為=~2~~7=-2~~~

則m+3,，即m.+3,而%>0,解得/=也/-，出=也r-,

4m4m54

M+%=---T一切=------f-r

Im+3Im+3

由巧=機弘+2,得再=',所以c(_；,手).

【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或用

建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系;

涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

21.⑴〃(1)=[0,+8)；1(1)=[-1,+?);

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)將/(x)=V+l代入求解即可；

(2)根據(jù)函數(shù)g(x)=x3_3x2-/+3"的單調(diào)性，對。進行分類討論，然后求出“⑷即可

證明；

(3)利用偶函數(shù)的定義，即可證明必要性，利用M(-c)=￡(c),得出兩個集合中最小的元

素相同，從而/(，)=/(-。)，即可證明充分性.

答案第11頁，共13頁

【詳解】(1)由題意得:河⑴=,，=/+1-2,xZl}=[0,+”)；

"1)=,|=X24-1-2,x<1|=[-1,+a?)；

(2)由題意矢口M(“)={%|—3——+3。2,%2。},記8(%)=%3-3%2一〃3+3。2,有

g'(無)=3x2-6x=0=>x=0ng2,

X(-8,0)0（0,2）2(2,+8)