2025年高中數(shù)學(xué)公式及知識(shí)點(diǎn)速記之集合與簡(jiǎn)易邏輯、不等式、函數(shù)、三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)、平面向量

高中數(shù)學(xué)公式及知識(shí)點(diǎn)速記(一)

一'集合與常用的邏輯用語

1'集合

(])集合與元素

①集合元翥的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.

②元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)e或C表示.

③常見數(shù)集的記法：

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集正實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN+或N*ZQRR+

(2)集合間的基本關(guān)系

①子集：集合A中的任意元素都是集合B中的元素，記作4UB

②真子集：集合AUB,但存在元素x6B,且x￡A,記作2呈B

③集合相等：集合A,B中元素相同，記作2=B

④注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即。[2,。氣4(4力0；

任何集合都是自身的子集，即AUA；

。是指不含任何元素的集合，{。}是指以。為元素的集合，即。力{。}.

(3)集合的基本運(yùn)算

①并集：AUB=(x|xGA,或xeB}

②交集：AnB={x|xeA,且XeB}

③補(bǔ)集：CUA={x|xeU,J!LxgA}

(4)集合的有關(guān)性質(zhì)

①集合的傳遞性AcB,BUCnAUC.

②集合的子集個(gè)數(shù)：若集合A中有n個(gè)元素，則A的子集有2rl個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2n-2個(gè).

③等價(jià)關(guān)系：4UB=AnB=4Q4UB=BoJA?

acBu>a=堿6*°

2、常用邏輯用語

(1)充分條件與必要條件：

若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合8的形式出現(xiàn)，即p：A={x|p(x)},q：B={x|q(x)},貝!！

①若AIB,則p是q的充分條件

②若BQA,則p是q的必要條件

③若4則p是q的充分不必要條件

④若B星4則p是q的必要不充分條件

⑤若A=B,則p是q的充要條件

(2)全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定及其真假性

①全稱量詞命題“VxeM,x具有性質(zhì)p(x)”的否定，是存在量詞命題“mxCM,x不具有性質(zhì)p(x)”

②存在量詞命題"3XGM,x具有性質(zhì)p(x)”的否定，是全稱量詞命題“VxCM,x不具有性質(zhì)p(x)”

③全稱量詞命題與存在量詞命題真假性相反

二'不等式

1、不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,且b>c,那么a>c

(2)如果a〉b,那么a>c>b+c

(3)①如果a>6,c>0,那么ac>bc

②如果a>b,c<0,那么ac<be

(4)如果a>b,c>d,那么a/cAb/d

(5)①如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd

②如果a>b>Q,c<d<0,那么ac<bd

(6)當(dāng)a>b>0時(shí)，an>bn,其中neN+，n>2

當(dāng)a>6>0時(shí)，Va>Vb,其中n€N+，n>2

2、基本不等式

>—+>^[xy>當(dāng)且僅當(dāng)久=y時(shí)"=”成立

使用條件：一正(x,y都是正數(shù))、二定(孫是定值或者％+y是定值)、三相等(x=y時(shí)等號(hào)成立)

①若積封是定值P，則當(dāng)光二y時(shí)和x+y有最小值2折

②若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積孫有最大值;$2

3、用不等式解決恒成立、有解問題

①若對(duì)V%e[a,b],m>%恒成立,則zn>b⑤若G[a,b],使m>%成立,則m>a

②若對(duì)V%G[a,b)fm>%恒成立,則)？i>b⑥若三％E(a,b],使zn>%成立,則？n>a

③若對(duì)V%e[a,b],m>%恒成立,則m>b⑦若e[a,b],使7n>%成立,則m>a

④若對(duì)V%G[。/)，m>%恒成立,則m>b⑧若e(a,b],使TH>%成立,則m>a

三'函數(shù)

1、函數(shù)的定義

(1)函數(shù)的概念

①概念：給定兩個(gè)非空數(shù)集4B,如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使得對(duì)任意一個(gè)久64存在唯一確定的數(shù)yeB與

之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)關(guān)系/為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作y=/0),XGA

②函數(shù)的判斷：若x與y一—對(duì)應(yīng)，或多個(gè)x對(duì)應(yīng)1個(gè)y,則稱y是x的函數(shù)

(2)定義域：指使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)的定義域如下：

①分式函數(shù)中分母不等于0

②偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0

③y=x°的定義域是｛x|x豐0)

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,指、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于。且不等于1

⑤一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R

(3)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則：函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則(也稱函數(shù)的解析式)是表示函數(shù)的一種方式，對(duì)于不是y=/(x)的形

式，求函數(shù)的解析式時(shí)，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式

(4)函數(shù)的值域：指函數(shù)值構(gòu)成的集合，常見基本初等函數(shù)的值域如下：

①反比例函數(shù)y=A1為常數(shù)且k力0)的值域?yàn)?―8,o)u(O,+8)

x

②一次函數(shù)y=kx+6(左為常數(shù)且原0)的值域?yàn)镽

③二次函數(shù)y=a/+法+c(a,b,c為常數(shù)且aHO)

4-cic——h~

當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)閇,+oo),當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?-oo,]

4a4a

④指數(shù)函數(shù)y=a*的值域?yàn)?0,+8)

⑤對(duì)數(shù)函數(shù)y=伍x的值域?yàn)镽

(5)函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)“滿足

①對(duì)于任意的xe/,者①對(duì)于任意的xe/,者

條件

②存在x()e/,使得/(%)="②存在x()e/,使得/(%)=/

結(jié)論M為最大值M為最小值

注意：①函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在

②若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值

2、函數(shù)的性質(zhì)

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義法：對(duì)V%i，%2e[a,b],且<x2

/(%1)-f(x2)<0/(x)在[a,切上是增函數(shù)

/(%1)-/(x2)>。o/(%)在[a,切上是減函數(shù)

②求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,6]內(nèi)可導(dǎo)

若廣(%)>0,則/0)在區(qū)間[a,b]上為增函數(shù)

若f'(x)<0,則/O)在區(qū)間[a,句上為減函數(shù)

③常用結(jié)論

?若/(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)

?若左＞0,則4(%)與〃龍)的單調(diào)性相同；若左＜0,則4(兀)與"％)單調(diào)性相反

?一些重要函數(shù)的單調(diào)性和圖象：

對(duì)勾函數(shù)

①定義：若〃久)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

若/(久)為奇函數(shù)，貝行(-乃=-八＞),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若奇函數(shù)在0

處有定義，則/(0)=0

②拓展：若/■(久+a)為偶函數(shù)，貝!J/(-x+a)=y(x+a)

若/(x+a)為偶函數(shù)，貝好(一%+a)=-/0+a)

(3)函數(shù)的周期性

①定義：若對(duì)于定義域內(nèi)任意的x都有/Q+T)=/(尤)，則/(%)是周期函數(shù)，其周期為T

②拓展：若對(duì)于定義域內(nèi)任意的x都有f(x+a)=f(x+b),則/(%)是周期函數(shù)，其周期為g-a|

若對(duì)于定義域內(nèi)任意的x都有f(x+a)=-/(%+b),則f(x)是周期函數(shù)，其周期為2g-a|

(4)函數(shù)的對(duì)稱性

①定義：若/'(X)的對(duì)稱軸方程為x=a,則/(x)=f(2a-x)

若/(久)的對(duì)稱中心為(a,0),則f(x)=-f(2a-x)

②拓展：若對(duì)于定義域內(nèi)任意的x都有/Q+a)=/(—%+6),則函數(shù)/O)有對(duì)稱軸，其方程為x

若對(duì)于定義域內(nèi)任意的x都有/Q+a)=—/(r+6),則函數(shù)/⑺有對(duì)稱中心，其坐標(biāo)為(手，0)

若對(duì)于定義域內(nèi)任意的x都有/(X+a)=-f(-x+6)+c,則函數(shù)/(x)有對(duì)稱中心，其坐標(biāo)為(手,|)

3、反函數(shù)

①反函數(shù)的定義：將函數(shù)y=/(x)的久與y互換，然后通過移項(xiàng)等變形方式將y放到一邊，稱得到函數(shù)y=g(x),g(x)

與f(x)互為反函數(shù)，例如指藪函數(shù)y=a*(a為常數(shù)，a＞0且a*1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log。x(a為常數(shù)，a＞0且a*1)

互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換

②反函數(shù)的性質(zhì)：若兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

4、二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：/(x)=ax2+bx+c(a豐0)

頂點(diǎn)式：f(x)=a(x—h)2+k(a+0)

兩根式：/(x)—a(x—%!)(%—x2)(a豐0)

(2)二次函藏的圖象和性質(zhì)

/(%)=ax2+b%+c/(x)=ax2+b%+c

解析式

(a>0)(a<0)

圖象\]j/

/°\\

定義域RR

[4ac—b2、/4ac—b2]

值域2a，?)(，2a]

在(—8,—盤上單調(diào)遞減；在(—8,—/］上單調(diào)遞增；

單調(diào)性

在卜?+8)上單調(diào)遞增在+8)上單調(diào)遞減

對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=-2對(duì)稱

2a

5、塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義：一般地，形如丫=久。3為常數(shù))的函數(shù)稱為基函數(shù).

(2)哥函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義，在第一象限都有圖象，在第四象限都沒圖象

②當(dāng)a>0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(0,0)和(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞增

?當(dāng)0<a<1時(shí)，幕函數(shù)的圖象增長(zhǎng)速度越來越慢

?當(dāng)a>1時(shí)，塞函數(shù)的圖象增長(zhǎng)速度越來越快

③當(dāng)a<0時(shí)，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

P

④募函數(shù)y=x1(p、q互質(zhì))在二、三象限的圖象，用函數(shù)的奇偶性來確定

?當(dāng):為整數(shù)時(shí)，W為偶數(shù)，則f(x)為偶函數(shù)，:為奇數(shù)，則f(x)為奇函數(shù)

?當(dāng)彳為分?jǐn)?shù)時(shí)，若q為偶數(shù)，則/Q)為非奇非偶函數(shù)

若q為奇數(shù)P為奇數(shù)，則/(乃為奇函數(shù)

若q為奇數(shù)P為偶數(shù)，則/(無)為偶函數(shù)

(3)常見幕函數(shù)的圖象：---------------------------------------------->

6、指數(shù)函數(shù)

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)累

m___

an=(a>0,m,neN*,且〃>1)

-%11*

an=——=,—Qa>a,m,neN*,且〃>1)

生

Q〃7a

(2)根式的性質(zhì)

當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，=a

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，=\a\=\a，a^°

-a.a<Q

(3)有理指數(shù)嘉的運(yùn)算法則

"=優(yōu)%>0",5￡。)

(a)=a"(Q>0,r,5GQ)

{ab)r=arbr(a>0,Z?>0,re0

(4)指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，形如y=a%(a為常數(shù)，a>0且QW1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).

(5)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象

底數(shù)a>\0<a<l

\y)=帝

圖象

~~0\XO\i

定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8)

圖象過定點(diǎn)(0,1)

性質(zhì)當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>l當(dāng)尤>0時(shí)，恒有0<y<l

當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<l當(dāng)尤<0時(shí)，恒有y〉l

在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

7、對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)對(duì)數(shù)的定義：

一般地，若心=N,那么數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN=b,其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù),

即log。N=人=a"=N(a>0,aw1,N>0),且：=N(a>0,且awl,N>0)

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：

①loga(MN)=logaM+logaN

②l°gaW=10gaM-10gaN

NN

③logaMbN=-logb=log"b=loga6瓦

IV1aaN

logN

(3)對(duì)數(shù)的換底公式：logqN=--—(〃>0,且awl,相>0,且加wl,N>0)

log,”a

推論：logb=——,logb-logc=logc

alog匕aa6a

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，形如y=log。*(a為常數(shù)，a>0且a力1)的函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象：

底數(shù)a>\0<a<l

y%=1

y=loga%71,。).

圖象

07w)J0

7=10^%

定義域：(0,+°0)

值域：R

圖象過定點(diǎn)(1,0),即恒有l(wèi)ogal=0

性質(zhì)

當(dāng)x>l時(shí)，恒有y>0；當(dāng)x>l時(shí)，恒有y<0；

當(dāng)0<%<1時(shí)，恒有y<0當(dāng)0<x<l時(shí)，恒有y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

8、圖象的變換

(1)平移變換(a>0,b>0)

函數(shù)/(乂+公+人的圖象：可由函數(shù)f(x)的圖象向左平移c個(gè)單位，向上平移b個(gè)單位得到

函數(shù)/(x-a)-b的圖象：可由函數(shù)/(%)的圖象向右平移c個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到

口訣：上加下減，左加右減

(2)伸縮變換(3>1,2>1)

函數(shù)的圖象：可由函數(shù)/。)圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的工，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍得到

3

函數(shù):/?")的圖象：可由函數(shù)f(X)圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的彳導(dǎo)到

(3)對(duì)稱變換“'

①函數(shù)/(-尤)的圖象：可由函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到

函數(shù)-/(久)的圖象：可由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于％軸對(duì)稱得到

函數(shù)-/（-久）的圖象：可由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到

②函數(shù)八|X|）的圖象：

可由函數(shù)/（*）圖象的，乂<0部分刪掉，乂>0部分左翻（關(guān)于y軸對(duì)稱到另一邊），尤>0部分保留得到

函數(shù)1"久）1的圖象：

可由函數(shù)/（久）圖象的，y<0部分上翻（關(guān)于x軸對(duì)稱到另一邊），y<0部分刪掉，y>0部分保留得到

四、三角函數(shù)'三角變換

1、弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化

1°=—radx0.017rad

180

Irad=f—?57。18'

\7T/

2、三角函數(shù)的定義

yx

若角a的終邊上存在一點(diǎn)P（%,y）,則sina=二.,cosa=-i===

y/x2+y2>Jx2+y2

3、象限角與軸線角

終邊在第一象限的角（2之植+2女江）終邊在第二象限角C+2kn,TC+2kn）

終邊在第三象限角（7T+2版冷+2附終邊在第四象限角（等+2/CTT,27r+2/CTT

終邊在無軸上的角久=kn終邊在y軸上的角％=5+々兀

4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2e+cos。8=1,tan8=s/，

cos。

5、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

(1)sin(2kn+a)=sina,cosQkn+a)=cosa,tan(2kn+a)=tana

(2)sin(ji+a)=~sina,cos(ji+a)=—cosa,tan(ji+a)=tana

(3)sin(—or)=—sina,cos(—a)=cosa,tan{—a)=—tana

(4)sin(ji—a)=sina,cos(ji—a)=—cosa,tan(ji—a)=—tana

n

(5)sin——a=cosa,cos\a=sina,tan(--a)=cota

、2\2

(6)sin+a=cosa,cos+a=—sina,tan(]+a)=—cota

口訣：對(duì)于sin(a土等)或cos(a土等)，可使用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”進(jìn)行化簡(jiǎn)

6、和角與差角公式一,

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin

cos(a±/?)=cosacosP^.sinasinJ3

tan(a±0=tana土tan)

1不tanatan0

7、二倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

C2tana

tan2a=-------------

1-tana

7a1—cosa

變形（半角公式）：cos2^=ii詈，Sin2]=上箸tanz-=--------

214-cosa

8、和差化積、積化和差公式

口訣：□口之和仍口口，口□只差負(fù)賽賽，賽賽之和是賽口，賽賽只差變□賽

和差化積積化和差

cose+coscp=2cos號(hào)，cos/cosacosfi=|[cos(a+S)+cos{a—￡)]

c.G+(p.0-(p

cos3—cos(p=—2sin------sin-----sinasinp=--[cos(a+夕)-cos^a—0)]

22

.8+(p0-(p

sind+sin(p=2Qsin----?cos-----sinacos^=-[sin(a+S)+sin(a—￡)]

22

.0-(p

sind—sincp=2cos^^~■sin-----cosasin^=-[sin(a+/?)—sin(a—/7)]

2

9、輔助角公式

y=asinx+bcosx=Va2+b2sin(x+R)其中CQTIR=g

y=asinx+bcosx=7dz+b2cos(x—g)其中tazig=三

10、圖象變換：將函數(shù)y=s譏%的圖象變成函數(shù)丁=$抽(刃工+0)的圖象

（1）先移動(dòng)后伸縮

①將函數(shù)y=s譏％的圖象向左（p>0（右（p<0）平移同個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)、=+0）的圖象

②將函數(shù)丁=s〃（％+0）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)0）<1（縮短o）>l）到原來的一倍（縱坐標(biāo)不變），

（D

得到函數(shù)y=s譏（a%+0）的圖象

③將函數(shù)y=S譏（3%+0）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)4>1（縮短AVI）到原來的4倍（橫坐標(biāo)不變），

得到函數(shù)y=Asin^x+g）的圖象

（2）先伸縮后移動(dòng)

①函數(shù)y=s譏％的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3<1（縮短o）>l）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），

CD

得到函數(shù)y=s譏3］的圖象

②將函數(shù)y=s譏3%的圖象向左甲>0（右（pV0）平移阿個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=s譏（3%+9）的圖象

co

③將函數(shù)y=s譏（3%+租）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)/>1（縮短AVI）到原來的4倍（橫坐標(biāo)不變），

得到函數(shù)y=sin（a）x+夕）的圖象

11.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

攵y=sinxy=cosx>=tan%

卜卜

yy￥2

廠、紅

圖象/1\兀22兀

~0~07T4

定義域rw左4+^,A：wZ

RR\,42\

值域-1,1;[T/R

jr當(dāng)x=2上萬（ksZ）時(shí)，

當(dāng)%=2左萬+萬（kGZ）時(shí)，

?Vmax=1；當(dāng)X=2左萬+?

Xnax=1；

最值（左eZ）時(shí)，Jmin=-l.既無最大值也無最小值

當(dāng)尤二2左萬一5（ZEZ）時(shí)，

Xnin=T?

周期性2712TT71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k/v--,2k7v+—

一22_

在［2左萬一萬,2左萬］（kEZ）上是（7717*

（keZ）上是增函數(shù)；在krc----，左"+一

增函數(shù)；122；

單調(diào)性

在［2左肛2左右十句（左￡Z）上是

在2k7v+—,2k7v+—（左eZ）上是增函數(shù).

_22減函數(shù).

（keZ）上是減函數(shù).

%?+/,（）］（左

對(duì)稱中心（左肛0）（左eZ）eZ）（年，°）（左eZ）

對(duì)稱中心對(duì)稱中心

對(duì)稱性兀

對(duì)稱軸%=左萬十萬（左GZ）

對(duì)稱軸X二ki（kGZ）無對(duì)稱軸

五、統(tǒng)計(jì)

1、樣本均值與方差

均值：一個(gè)容量為九的樣本，它們的變量值分別為%廣上，……外則均值（平均數(shù)）元=1當(dāng)產(chǎn)1=5￡憶］

方差：一個(gè)容量為九的樣本，它們的變量值分別為%1，上，……Xn,均值為元，

則方差s2=：￡Ni（々一君2,標(biāo)準(zhǔn)差s=金犬1（々一元）2

2、百分位數(shù),

計(jì)算一組幾個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算i=nxp%

若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為/,則第p百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)

若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)空

3、頻率分布表、頻率分布直方圖及其相關(guān)的計(jì)算、-------

由頻率分布表或頻率分布直方圖進(jìn)行有關(guān)計(jì)算時(shí)，要掌握下列結(jié)論萬一--廠

①小長(zhǎng)方形的面積=組距X黑=頻率廠廠

②各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1III」__U__.

ah組距

③券=頻率，可變形為禁=樣本量，樣本量X頻率=頻數(shù)

樣本量頻率

④頻率分布直方圖中P百分位數(shù)的計(jì)算方法

如圖，若貝物百分位落在區(qū)間（a㈤內(nèi)，且「=。+竺『（i

4、一元性回歸

（1）散點(diǎn)圖:兩組容量為n的樣本，它們的變量值分別為小,X2,……/和％，為，……%，將點(diǎn)（%,％）在平面直角

坐

標(biāo)系中描出得到的圖稱為散點(diǎn)圖

（2）線性擬合：在散點(diǎn)圖中，如果所有點(diǎn)（看,力）分布在某條直線附近，則可以用一條直線去擬合它們，由于不可能

所有點(diǎn)都在擬合曲線上，故用Q=-（匕陽+a）f來衡量所有點(diǎn)與直線的整體接近程度（即相關(guān)性強(qiáng)弱）

①所有點(diǎn)（%,％）距直線越近（豎直距離的平方和越?。?，誤差Q最小，相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r最大，稱該直線

方程為兩組變量的線性回歸方程

②所有點(diǎn)（久〃%）距直線越遠(yuǎn)（豎直距離的平方和越大），誤差Q最大，相關(guān)性越弱，相關(guān)系數(shù)r最小，此時(shí)直線

方程無意義

（3）樣本相關(guān)系數(shù)

對(duì)于兩組樣本變量孫％,樣本相關(guān)系數(shù)r=I器?=漆小車"雙，且|川<1,

222

gg-WjEk（yt-y）^tx?-x^iy?-y

|r|越大，兩組樣本變量的相關(guān)性越強(qiáng)''

|r|越小，兩組樣本變量的相關(guān)性越弱

\r\=0,兩組樣本變量不相關(guān)

\r\=1,此時(shí)所有的樣本對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都會(huì)在線性回歸方程的圖象上，但仍然不能認(rèn)為兩組樣本變量是函數(shù)關(guān)系（樣

本只是總體的一部分，保證不了沒被抽取到的樣本對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在回歸方程的圖象上）

（4）線性回歸方程

兩組容量為n的樣本，它們的變量值分別為%,X2,久n和乃，刃，%,通常設(shè)線性回歸方程為y=bx+a

,_（%一/（尢-9）_Id=1xiyt-nxy

2a=y—bx

{x