河北省五校2025屆高三年級(jí)上冊(cè)第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題（含答案）

河北省五校2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知4={%，092(<2},8={%|久2一支—240},貝IJ(CR4)CB=()

A.{x|-l<x<i]B.[x|-2<x<J}

C.RD.[x\x>^

2.已知數(shù)列{a九},%=2,且出i+i=7^—(n>1),貝南2024=()

1

B2D

.2-

3.已知向量3=（4,3,—2）,b=（2,1,1）,則2在向量b上的投影向量為（）

A.（3,|,|）B.（|,舒）C.信|,|）D.（4,2,2）

1-124

4.已知.aT--a=f，aE（0,兀），貝kos2a=

sin2cosa/

17177979

A_R__r——D__—

8181128128

5.據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍制成，如圖所示，據(jù)例、子算經(jīng)》記載，算

籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中，

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如1||表示62,=7表

示26,現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方式任意表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0）,則這個(gè)兩位數(shù)不小于50的

概率為（）

縱式」IlHIIIIIHIIITn1w

橫式：——=三三皂_￡xi=

12345678

3

5

6.若low%+，。94y=2,貝葉+:的最小值為（）

1

A.苧B.iC.|D.2

7.已知拋物線/=4y,P為直線y=-1上一點(diǎn)，過P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,則方?麗的

值為（）

A.0B.1-2D.-1

8.已知函數(shù)/(%)=汽+g+31nx在％e(a,2-3a)內(nèi)有最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

111

A.a>1B.-<a<1C.0<a<-D.0<a<-

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=Ci-1,則下列說法正確的是()

A.z的虛部為i

B.\z-2i\=\z\

C.若復(fù)數(shù)Zi，Z2滿足|z/=。|=且Z1-Z2=Z,則|Zi+Z2l=2，^

D.若復(fù)數(shù)Z3滿足|Z-Z31<<2,則Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為2兀

10.設(shè)f(x),g(x)都是定義在R上的奇函數(shù),且/(X)為單調(diào)函數(shù),/(I)>1,若對(duì)任意XeR有f(g(x)-%)=

a(a為常數(shù))，g(f(久+2))+(X))=2久+2,貝1]()

A.g(2)=0B./(3)<3

C.f(x)-x為周期函數(shù)D.Xfc=i/(4/c)=2n(n+1)

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-中，P為棱上一點(diǎn)，且B1P=2PB,Q為正方形內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)(含邊界)，則下列說法中正確的是()

A.若DiQ〃平面&PD,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條長(zhǎng)為苧的線段

B.存在點(diǎn)Q,使得DiQ，平面&P。

C.三棱錐Q-力止。的最大體積為焉

D.若。1(2=苧，且D1Q與平面&PD所成的角為0,則sin。的最大值為鴛

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

525

12.若(3%—I)=a0+a1x+a2x+…+a5x,則a[+2a2+3a3+4a4+5a5=.

13.已知點(diǎn)P是雙曲線C:”，=l(a>0,b>0)左支上一點(diǎn)&尸2是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且P01

。尸2，尸尸2與兩條漸近線相交于風(fēng)可兩點(diǎn)(如圖)，點(diǎn)可恰好平分線段「尸2,則雙曲線的離心率是.

14,若函數(shù)f(x)=sin6x+cos6x+^sin4x-6在［0,勺上有兩個(gè)零點(diǎn)，則小的取值范圍是____.

o4

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

數(shù)列｛a^｝?兩足：a1—1,a^+i—2ci^+1；設(shè)—an+1

(1)證明｛b｝是等比數(shù)列，并求｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛an｝的前n項(xiàng)和立.

16.(本小題12分)

2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國(guó)巴黎正式開幕.人們?cè)谟^看奧運(yùn)比賽的同時(shí)，開始投入

健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)從抽取200人進(jìn)行調(diào)查，

得到如下列聯(lián)表：

周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)

年齡合計(jì)

周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)

50歲以下4060100

50歲以上(含50)2575100

合計(jì)65135200

(1)試根據(jù)a=0.05的f獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)是否與年齡有關(guān)？氏2精確到0.001)；

(2)現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取5人做進(jìn)一步訪談，

再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

2

2=Mad-bc)其中n=

參考公式及數(shù)據(jù):ya+b+c+d.

7t(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面力BCD,PB與底面4BCD所成角為45。，四邊形力BCD是梯形,

(1)證明：平面P4C1平面PCD；

(2)若點(diǎn)T是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是P7的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面力的距離.

(3)點(diǎn)7是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，PT上是否存在一點(diǎn)M,使PTL平面4BM,若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存

在，請(qǐng)說明理由.

18.(本小題12分)

已知橢圓C：各，=l(a〉6>0)的右焦點(diǎn)為F(1,O),離心率為苧，直線Z經(jīng)過點(diǎn)F,且與C相交于4B兩

點(diǎn)，記，的傾斜角為a.

(1)求C的方程；

(2)求弦4B的長(zhǎng)(用a表示)；

(3)若直線MN也經(jīng)過點(diǎn)F,且傾斜角比/的傾斜角大求四邊形AMBN面積的最小值.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(%)=21nx—：—1—2.

(1)當(dāng)。=一3時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若函數(shù)/(%)有唯一的極值點(diǎn)%o.

①求實(shí)數(shù)a取值范圍；

②證明：%Q/(XO)+2%o?er~x°+1>0.

參考答案

1.71

2.4

3.2

4.B

5.B

6.A

7.4

8.C

9.BD

1Q.BCD

ll.ACD

12.240

13.75

15.解:⑴由題意知an+i=2an+1,則冊(cè)+i+1=2(a九+1),

即bn+i=2bn,即a1=1,則瓦=a1+1=2,

故｛6n｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

nn

故6n=2",即a"+1=2,an=2—1；

(2)由于冊(cè)=2"—1,故S”=2+22+--+2n-n=2『“)—n=2n+1-n-2.

1—z

16.解：（1）零假設(shè)/：周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡無關(guān)聯(lián).

2

由2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得f=喘鬻急黑=5.128,

2

???%x5,128>x005=3.841.

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷/不成立,

即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)有差異.

（2）抽取的5人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于4小時(shí)的有5x編=2人，不少于4小時(shí)的有5x編3人,

所以X所有可能的取值為1,2,3，

Z'lZ^2QZ-?2f->\.QZ_13/"*01

所以P(X=1)=^=K，P(X=2)=等=|,P(X=3)=甯=》

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X123

331

p

105To

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lx^+2x|+3x^=|

17.解：(1)由P41平面ABC。，ABu平面4BCD,CDu平面4BCD,

得PA1AB,PALCD,PB與底面ABC。所成角為NPBA=45。.

所以三角形P4B為等腰直角三角形，AB=AP=1.

又由四邊形力BCD是直角梯形，BC//AD,可知力B1BC,

所以回A8C為等腰直角三角形，而BC=1,故

在直角梯形48CD中，過C作CE14D,垂足為E,則四邊形4BCE為正方形，

可知力E=BC=CE=1.

所以DE=1,在等腰直角三角形CDE中，CD=72.

貝！I有AC?+=2+2=4=2。2,所以j_AC.

又因?yàn)镻41DC,PACtAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC.

所以DC1平面P2C.因?yàn)镈Cu平面PC。，所以平面PAC1平面PCD.

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以4B,4D,4P所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

貝|J4(O,O,O),P(O,O,1),8(1,0,0),￡>(0,2,0),C(l,l,o).

因?yàn)?是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PT的中點(diǎn)，所以7弓,|,0),

設(shè)平面4BM的法向量為元=(x,y,z),AB=(1,0,0),AM=LIY

4Z/

(x=0

則儼-AB=O,得[3+白+卜=。，

'tn-AM=0

取y=4,貝口=一6,得平面48M的一個(gè)法向量為元=(0,4,—6),

而布=(0,0,1)，所以點(diǎn)P到平面42M的距離為粵==搐=智—

(3)設(shè)和,=AlC+(1-A)AD=(A,A,0)+(0,2-22,0)=(2,2-2,0),注意到2(0,0,0),

所以7(4,2-尢0),

所以丙=(尢2-尢一1),

設(shè)兩=iiPT=MU,2-2,-1)=(附2〃-眼一〃),注意到P(0,0,l),

所以尢2〃—〃尢1—〃)，

因?yàn)?(0,0,0),8(1,0,0),所以通=(1,0,0),宿=(q,2〃一〃尢1一〃)，

若PT1平面力BM,

則當(dāng)且僅當(dāng)償,雪二七。，即當(dāng)且僅當(dāng)上；,

(PT,AM=4a2+〃(2—A)+〃—1=0—5

此時(shí)M(0,|,J

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)T,n重合，此時(shí)存在M(0,|,g,使PT1平面力8M.

(C=1,

18.解：(1)由題意知收=苧,

解得Q=b=19

U2-b2

C2,

2

所以C的方程為v券+y2=i.

(2)當(dāng)aH5時(shí)，設(shè)，的方程為y=々(％-1)，=tana,^(上,力)，

y=k(x-1),

聯(lián)立%27得(2/+1)%2-4k2%+2肥-2=0,

12+y=L

4k22k2-2

其中/=8(/c2+1)>0,且％1+犯=2,%i%2=7

2k'+l2k'+l

所以|4B|=月(/+1)(/一冷)2==卡卻

2聿2k+：1f)1+sina

當(dāng)仇=即寸，|28|二等=/^

綜上，對(duì)任意的ae[0,7T),\AB\=上'

1+sina

(3)由題意知a￡[0片),由⑴知1=2/2I2v_2

41+sin2a，|MN|=1+sin2(a+打

71

二匚[、[2yl~22y/~2y/~2

所以、Sc四邊形AMBN=12I\4AmB\I\n>MfANM\s-m-=-1x耳砧x"訴而X-

_________8/2______________________8/2____________

(3+sin2a)(3—cos2a)9+3(sin2a—cos2a)—sin2acos2a,

令sin2a—cos2a=t,tG[—1,V-2],

貝Usin2acos2a=三，SmAMBN=昌鬟育

因此，當(dāng)t=2時(shí)，四邊形4MBN的面積取得最小值塔|產(chǎn)

Zoy

19.解:(1)由函數(shù)/(x)=21n久—三―2,可得其定義域?yàn)?0,+8),且(⑺=|+9

2(x2+2x+a)

當(dāng)a=-3時(shí)，可得10)=2%尸)=2。一普+3),

則當(dāng)ov%vi時(shí)，/(%)<0；當(dāng)%>1時(shí)，/(%)>0,

所以/(久)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)/(%)的極小值為/(1)=一3,無極大值.

(2)①由(1)可知，分析h(%)=/+2%+a的圖像特征，

可得九(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且h(0)=a,

當(dāng)a>。時(shí)，則((久)=2(，：y+a)>0恒成立，

故函數(shù)f(X)在(0,+8)恒單調(diào)遞增，即無極值點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí)，令/'(%)=0,解得%0=-1-V1-a<0舍去，%0=-1+，1-a>0,

則函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—I+VT^,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-1+YTF)

即此時(shí)/(%)有唯一的極值點(diǎn)第0，且滿足%。+2%o+a=0成立；

綜上所述：當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)f(%)有唯一的極值點(diǎn)%°；

②由①可知，函數(shù)/(%)有唯一的極值點(diǎn)第o=-1+V1-a>0,且a=-(%o+2%o),

故%行(%o)+