中考數(shù)學二輪復習：二次函數(shù)的應(yīng)用（解決實際問題）（講）原卷版

備戰(zhàn)2019年中考二輪講練測（精選重點典型題）

專題09二次函數(shù)的應(yīng)用（解決實際問題）（講案）

一銷唐皮一考點梳理

二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵在于建立二次函數(shù)的數(shù)學模型，這就需要認真審題，理解題意，利用二次函數(shù)解

決實際問題，應(yīng)用最多的是根據(jù)二次函數(shù)的最值確定最大利潤、最節(jié)省方案等問題.

應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題的一般思路：理解題意；建立數(shù)學模型；解決題目提出的問題.

（-）簡單應(yīng)用

對于題目明確給出兩個變量間是二次函數(shù)關(guān)系，.并且給出幾對變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，進行簡單

的應(yīng)用（或者直接給出二次函數(shù)的解析式，進行簡單應(yīng)用）.解一答的關(guān)鍵是熟練運用待定系數(shù)法，準確求

出函數(shù)關(guān)系式..

（二）建模應(yīng)用

利用二次函數(shù)解決拋物線型問題，一般是先根據(jù)實際問題的特點建立直角坐標系，設(shè)計合適的二次函

數(shù)的解析式，把實際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標，代入解析式求解，最后要把求出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實

際問題的答案.

（三）銷售問題

二次函數(shù)解決銷售問題是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，這類問題通常是根據(jù)實際條件建立二次函數(shù)關(guān)

系式，然后利用二次函數(shù)的最值或自變量在實際問題中的取值解決利潤最大問題.

（四）運用一二次函數(shù)求實際問題中的最值

即解二次函數(shù)最值應(yīng)用題，設(shè)法把關(guān)于最值的實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最.值問題，然后按求二次函

數(shù)最值的方法求解，求最值時，要注意求的答案要符合實際問題.包括二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值,

二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值和分段函數(shù)求最值..

1.二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值：

二次函數(shù)的一般式、=。/+6戈+0（。。0）化成頂點式懺°（》_?）2+1,如果自變量的取值范圍是全體

實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）.

2.二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值：

如果自變量的取值范圍是否%,如果頂點在自變量的取值范圍匹/內(nèi)，則需要計算當X=X],

X=Xx=_2時，對應(yīng)的函數(shù)值，比較結(jié)果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值，如果頂點

2a

不在此范圍內(nèi)，則只需要計算當X=X],x=%時的函數(shù)值，比較結(jié)果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函

數(shù)值為最小值（或者用二次函.數(shù)的增減性來解）.

二用題型——題型解析

（一）對簡單應(yīng)用的考查.

例1.一小球從距地面L"高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下.

（1）小球第3次著地時，經(jīng)過的總路程為m；

（2）小球第幾次著地時，經(jīng)過的總路程為m.

例2.小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1）,完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點A,

出水口2和落水點C恰好在同一直線上，點A至出水管的距離為12cm,洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如

圖2所示，現(xiàn)用高10.2aw的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點。和杯子上底面中心E,則點E

到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為cm.

圖1

（三）對銷售問題的考查.

例3.經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價格元

/千克）之間的關(guān)系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表：

銷售價格X（元/千克）3035404550

日銷售量P（千克）6004503001500

（1）請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過.的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定p與x之間的函數(shù)表

達式；

（2）農(nóng)經(jīng)公司應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？

（3）若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出。元（?>0）的相關(guān)費用，當40M45時，農(nóng)經(jīng)公司的日

獲利的最大值為2430元，求。的值.（日獲利=日銷售利潤-日支出費用）

（四）對運用二次函數(shù)求實際問題中的最值的考查.

例4..交通工程學理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、密度三個概念描述車

流的基本特征，其中流量q（輛/小時）指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速度v（千米/小時.）指

通過道路指定斷面的車輛速度，密度上（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù).

為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間關(guān)系的部分數(shù)據(jù)如下表：

速度V（千米/小時）51020324048

流量q（輛/小時）55010001600179216001152

（1）根據(jù)上表信息，下列三個函數(shù)關(guān)系式中，刻畫分v關(guān)系最準確的是（只填上正確答案的序號）

320002

①q=90v+100；?q=^^-.?^=-2V+120V.

v

（2）請利用（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式分析，當該路段的車流速度為多少時，流量達到最大？最大流量是

多少？

（3）已知q,V,左滿足請結(jié)合（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式繼續(xù)解決下列問題.

①市交通運行監(jiān)控平臺顯示，當123<18時道路出現(xiàn)輕度擁堵.試分析當車流密度上在什么范圍時，該路

段將出現(xiàn)輕度擁堵；

②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，求流量q最大時d的值.

例5有一家苗圃計劃植桃樹和柏樹，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植桃樹的利潤%（萬元）與投資成本x（萬

元）滿足如圖①所示的二次函數(shù)為種植柏樹的利潤%（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖②

所示的正比例函數(shù)%=kx.

（1）分別求出利潤%（萬元）和利潤為（萬元）.關(guān)于投資成本x（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果這家苗圃以10萬元資金投入種植桃樹和柏樹，桃樹的投資成本不低于2萬元且不高于8萬元，

苗圃至少獲得多少利潤？最多能獲得多少利潤？

三錯方法—一方法點睛

一、轉(zhuǎn)化思想--------實際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題.

1、方案設(shè)計最優(yōu)問題：費用最低？利潤最大？儲量最大？等等.

2、面積最優(yōu)化問題：全面觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出相應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系，列出包含函數(shù)，自變量

在內(nèi)的等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，求最值問題.

二、建模思想--------從實際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程.

1、建立圖像模型.：自主建立平面直角坐標系，構(gòu)造二次函數(shù)關(guān)系式解決實際問題.

2、方程模型和不等式模型：根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程或不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決問題.

3、根據(jù)實際問題情境抽象出二次函數(shù)模型.

三、分類討論的思想--------二次函數(shù)與其他知識的綜合題時經(jīng)常用到.

西依實題——隨堂小練

1.足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，

足球距離地面的高度/7（單位："Z）與足球被踢出后經(jīng)過的時間f（單位：S）之間的關(guān)系如下表：

t01234567

h08141820201814

9

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為20儂②足球飛行路線的對稱軸是直線右二；③足球被踢出9s時

2

落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是11加，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3

2.飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時間f（單位：秒）的函數(shù)解析式是s=60f-1/，則

2

飛機著陸后滑行的最長時間為秒.

3.某商場購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內(nèi)可銷售出400件，根據(jù)銷

售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，當銷售量單

價是元/時，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤.

4.隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，

在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處

達到最高，水柱落地處離池中心3米.

（1）請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式；

（2）求出水柱的最大高度的多少？

5.某商店經(jīng)銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷

售量y（單位：個）與銷售單價無（單位：元）有如下關(guān)系：y=-x+60（30<x<60）.

設(shè)這種雙肩包每天的銷售利潤為w元.

（1）求w與x之間的函數(shù)解析式；

（2）這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）如果物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的

銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？

6.青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每間價格比淡季上.漲1.下表是去年該酒店

3

豪華間某兩天的相關(guān)記錄：

淡季旺季

未入住房間數(shù)100

日總收入（元）2400040000

（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價格為多少元？

（2）今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實行去年旺季價格，那么每天

都客滿；如果價格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數(shù)增加1間.不考慮其他因素，該酒店將

豪華間的價格上漲多少元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？

7.怡然美食店的A、8兩種菜品，每份成本均為14元，售價分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營業(yè)

額共為1120元，總利潤為280元.

（1）該店每天賣出這兩種菜品共多少份？

（2）該店為了增加利潤，準備降低A種菜品的售價，同時提高8種菜品的售價，售賣時發(fā)現(xiàn)，A種菜品售

價每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變，

那么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少？

8.某廠按用戶的月需求量尤（件）完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x>0,每件的售價為18萬元，每件的成本y

（萬元）是基礎(chǔ)價與浮動價的和，其中基礎(chǔ)價保持不變，浮動價與月需求量無（件）成反比，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)

現(xiàn)，月需求量x與月份“（w為整數(shù)，1芻S2）,符合關(guān)系式k2川-2如+9（行3）（左為常數(shù)），且得到了表

中的數(shù)據(jù).

月份n（月）12

成本y（萬元/件）1112

需求量X（件/月）120100

（1）求y與x滿足的關(guān)系式，請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元;

（2）求左，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；

（3）在這一年12個月中，若第加個月和第（/77+1）個月的利潤相差很大，求"2.

9.如圖，某日的錢塘江觀潮信息如圖:

'3S174XJIX9,1七仙BlUt：Ilf

；II:?育，,也或㈱舞觸出精遍

:12;/*叁添財也誄物*。軍和哥妣2蚓5諭*向伶】

<12t3$時，案*用越用急射鹿，幅04.都也1零&*T,

按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離S（千米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系用圖3

表示，其中：“11：40時甲地，交叉潮，的潮頭離乙地12千米”記為點A（0,12）,點8坐標為Gn，0）,曲

線可用二次函數(shù)s=▲產(chǎn)+4+c屯c是常數(shù)）刻畫.

125

（1）求機的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；

（2）11：59時，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，問她幾分

鐘后與潮頭相遇？

（3）相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車

最高速度為0.48千米/分，小紅逐漸落后.問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間？（潮水加

2

速階段速度v=%+—-30）,w是加速前的速度）.

10.某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），己知計劃中的建筑材料可建圍墻

的總長度為50機.設(shè)飼養(yǎng)室為長為無（機），占地面積為.

（1）如圖1,問飼養(yǎng)室為長x為多少時，占地面積y最大？

（2）如圖2,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2%的門，且仍使飼養(yǎng)室占地面積最大.小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比

（1）中的長多2機就行了."請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確.

12.（2017金華）甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在。點正

上方的P處發(fā)出一球,羽毛球飛行的高度與水平距離尤（旭）之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=a（x-4）2+/?,

已知點0與球網(wǎng)的水平距離為5m,球網(wǎng)的高度為1.55根.

（1）當斫-工時，①求//的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng).

24

12

（2）若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到點O的水平距離為7加，離地面的高度為不根的Q處時，乙扣球成功,

求。的值.

“r：

到——預測提升

i.某旅游景點的收入受季節(jié)的影響較大，有時候出現(xiàn)賠本的經(jīng)營狀況.因此，公司規(guī)定：若無利潤時，該

景點關(guān)閉.經(jīng)跟蹤測算，該景點一年中的利潤w（萬元）與月份X之間滿足二次函數(shù)W=-x2+16x-48,則

該景點一年中處于關(guān)閉狀態(tài)有（）月.

A.5B.6C.7D.8

2.某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車.已知在甲、乙兩地的銷售利潤y（單位：萬元）與銷售

量x（單位：輛）之間分別滿足+10x，＞=2x，若該公司在甲，乙兩地共銷售15輛該品牌

的汽車，則能獲得的最大利潤為

A.30萬元B.40萬元C.45萬元D.46萬元

3.一件工藝品進價為100元，標價135元售出，每天可售出100件.根據(jù)銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降價1

元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數(shù)為（）

A.5元B.10?元C.0元D.3600元

4.如圖，在梯形■8CD中，=■.點■，■分別在邊修，■上運

動，并保持MN趺?/趺城E,ME劍團B,N尸劍團B,垂足分別為E，F(xiàn).四邊形MEFN面積的最大值是（）

5.某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售價為25元時平均每天能售出8件,

而當銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件.當每件的定價為元時，該服裝店平均每天的銷

售利潤最大.

6.國際風箏節(jié)在濰坊市舉辦，王大伯決定銷售一批風箏，經(jīng)市場調(diào)研：蝙蝠型風箏進價每個為10元，當售

價每個為12元時，銷售量為180個，若.售價每提高1元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：

（1）用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量y（個）與售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系（12WXW30）；

（2）王大伯為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，售價應(yīng)定為多少？

（3）當售價定為多少時，王大伯獲得利潤最大，最大利潤是多少？

7.某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元.旅行社對超過30人的團給予優(yōu)惠，即旅行

團的人數(shù)每增加一人，每人的單價就降低10元.當一個旅行團的人數(shù)是人時，這個旅行社可以獲得

最大的營業(yè)額.

8.“丹棱凍耙”是眉山著名特色小吃，產(chǎn)品暢銷省內(nèi)外，現(xiàn)有一個產(chǎn)品銷售點在經(jīng)銷時發(fā)現(xiàn)：如果每箱產(chǎn)品盈

利10元，每天可售出50箱；若每箱產(chǎn)品漲價1元，日銷售量將減少2箱.

（1）現(xiàn)該銷售點每天盈利600元，同時又要顧客得到實惠，那么每箱產(chǎn)品應(yīng)漲價多少元？

（2）若該銷售點單純從經(jīng)濟角度考慮，每箱產(chǎn)品應(yīng)漲價多少元才能獲利最高？

9.經(jīng)統(tǒng)計分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流

密度達到220輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流

速度為80千米/小時，研究表明：當20WXW22