相交線與平行線 教材講練-2021-2022學年北師大版七年級數(shù)學下冊專項突破（原卷版）

專題01相交線與平行線教材同步講練

知識點11余角、補角、對頂角的概念和性質(zhì)

1）余角：/1+/2=90。=/1與/2互為余角；

2）補角：/1+/2=180。=/1與/2互為補角.

3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等.

4）鄰補角的概念：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角。（兩條相交

線可組成4對鄰補角）

5）對頂角的概念：兩個角只有一個公共頂點，一個角的兩條邊是另一個角兩條邊的反向延長線。（兩條相

交線組成2對對頂角）

6）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等（利用鄰補角的性質(zhì)可證明）

例1.（2021?黑龍江?哈爾濱市第四十七中學七年級階段練習）如圖中，/I和N2是對頂角的是（）

A.

變式1.（2021?廣東揭陽市?七年級期中）下面各圖中，N1與N2是對頂角的是（）

變式2.（2021?成都?七年級課時練習）如圖所示，有一個破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個

扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是一度，你的根據(jù)是.

例2.（2021?山東臨沂市?七年級期末）已知4=43.6°,Z2=46°24',則N1與N2的關系為（）

A.相等B.互余C.互補D.以上都不對

5.（2021?浙江寧波市?七年級期末）如圖，點。在直線48上，NCOB=NEOD=90°,那么下列說法錯

誤的是（）

A.N1與N2相等B.ZAOE與N2互余C.與N1互補D.ZAOE與NC0D互余

例2.（2021?吉林?長春外國語學校七年級階段練習）如圖，直線CD相交于點。，平分/8OC,若

ZBOD：ZBOE=1；2,則N/OE的大小為（）

變式3.（2021?安徽合肥市?七年級期末）如果Na和NP互余，則下列式子中表示Na補角是（）

①180°-Na；②Na+2/P；③④4/?+90。

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

例3.（2021?北京海淀區(qū)?北大附中七年級期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中Na與一定互

補的是（）

變式4.（2021?湖北隨州市?七年級期末）如圖，直線Z3,CD交于點。，射線（W平分N4OC,如果

440。=104。，那么/MOC等于（）

A.38°B.37°C.36°D.52°

變式5.（2021?浙江嘉興市?七年級期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經(jīng)過直角三角

板的直角頂點且與斜邊相交，則N1與22一定滿足的數(shù)量關系是（）

2

A.Z2=2Z1B.Z2+Zl=180°C.N2+2/1=180。D.Z2-Zl=90°

例4.（2021?江蘇揚州?七年級期末）如圖,直線AB、CD相交于點O,OE平分/BOD,OF±CD,垂足為

O,若/BOF=38。.(1)求NAOC的度數(shù);（2）過點O作射線OG,使/GOE=NBOF,求/FOG的度數(shù).

變式6.（2021?浙江溫州市?七年級期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O,射線OE在N/OD內(nèi)部,

OA平分NEOC.（1）當OEJ.CD時，寫出圖中所有與互補的角.

（2）當時，求N50。的度數(shù).

知識點12垂線的概念和性質(zhì)

1）垂線的概念：當兩條直線相交所形成的四個角中，有一個角為直角時，就稱這兩條直線相互垂直。（實

際上，四個角都為直角）

2）如下圖，兩條垂線的交點M叫作“垂足”，兩條直線用符號表示，讀作“垂直”，表示為：AB±

CD,讀作：AB垂直于CD

B

&?-D

3）垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點（直線內(nèi)或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直

注：（1）垂線的性質(zhì)中，有2點需要格外：①必須強調(diào)在同一平面內(nèi)；②點可在直線外，也可在直線上。

（2）同一平面內(nèi)，兩條直線只有相交和平行兩種關系，其中垂直是特殊的相交。

4）垂線段的性質(zhì)：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短（簡稱為：垂線段最短）

5）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度

例1.（2021?河南鄭州?七年級期末）小紅在學習垂線時遇到了這樣一個問題，請你幫她解決：如圖，線段

48和CD相交于點。，則下列條件中能說明的是（）

C

.4OB

D

A.AO=OBB.CO=ODC.NAOC=/BODD./AOC=/BOC

變式1.（2021?全國?七年級課時練習）下面四種判斷兩條直線垂直的方法正確的有（）個.

（1）兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直.

（2）兩條直線相交，有一組鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直.

（3）兩條直線相交，所成的四個角相等，這兩條直線互相垂直.

（4）兩條直線相交，有一組對頂角互補，則這兩條直線互相垂直.

A.4B.3C.2D.1

變式2.（2021?全國?七年級課時練習）兩條直線相交所成的四個角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是

（）.

A.有兩個角相等B.有兩對角相等C.有三個角相等D.有四對鄰補角

例2.（2021?黑龍江?哈爾濱德強學校七年級期中）己知直線/仄CD相交于點。，且/、2和C、D分別位

于點O兩側(cè)，ZDOE=40°,則乙4OC=.

變式3.（2021?安徽?銅陵市第十五中學七年級期中）如果兩個角的兩邊分別垂直，其中一個角比另一個角的

2倍少9。，那么這兩個角的和是.

例3.（2021?遼寧?營口市老邊區(qū)教師進修學校七年級期中）平面內(nèi)兩條直線斯、相交于點。，

0c恰好平分N4O尸.（1）如圖1,若N/OE=40。，求乙8。。數(shù)；（2）在圖1中，若44OE=x。，請求出乙8。。

的度數(shù)（用含有x的式子表示），并寫出N/OE和N80D的數(shù)量關系；（3）如圖2,當。4,08在直線斯的

同側(cè)時，乙4OE和N2O。的數(shù)量關系是否會發(fā)生改變？若不變，請直接寫出它們之間的數(shù)量關系；若發(fā)生

變化，請說明理由.

變式4.（2021?江蘇吁胎?七年級期末）如圖，點。在直線上，OC.是兩條射線，OCLOD,射線

OE平分/BOC.（1）若/。?！?140。，求NNOC的度數(shù).（2）若/DOE=a,則NNOC=.（請用含

a的代數(shù)式表示）；

變式5.（2021?浙江湖州市?七年級期末）如圖，已知直線Z5與。。相交于點

O,OEA,CD,ZAOC=40°,0尸為的角平分線.（1）求NE05的度數(shù)；（2）求/￡。尸的度數(shù).

AB

D

例4.（2021?全國?七年級單元測試）幾何知識可以解決生活中許多距離最短的問題.讓我們從書本一道習題

入手進行探索（回顧）（1）如圖①，A、8是公路/兩側(cè)的兩個村莊.現(xiàn)要在公路/上修建一個垃圾站C,使

它到A、B兩村莊的路程之和最小，請在圖中畫出點C的位置，并說明理由

?B

A'①

（探索）（2）如圖②，在3村莊附件有一個生態(tài)保護區(qū)，現(xiàn)要在公路/上修建一個垃圾站C,使它到A、B兩

村莊的路程之和最小，從8村莊到公路不能穿過生態(tài)保護區(qū)，請在圖中畫出點C的位置

A.

②

（3）如圖③，A、3是河兩側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)要在河上修建一座橋，使得橋與河岸垂直，且A村到3村的

總路程最短，請在圖中畫出橋的位置（保留畫圖痕跡）

B

一條河

A

③

變式6.（2021?浙江湖州市?七年級期末）如圖，汽車站、碼頭分別位于48兩點，直線6和波浪線分別表

示公路與河流.（1）從汽車站/到碼頭2怎樣走最近？畫出最近路線，并說明理由；（2）從碼頭2到公路

6怎樣走最近？畫出最近路線并說明理由.（請畫在答題卷相對應的圖上）

變式7.（2021?浙江寧波市?七年級期末）（1）如圖，過點/畫直線5c的垂線，并注明季是為G；過點/畫

（2）線段的長度是點/到直線2c的距離.

（3）線段4G、的大小關系為/GAH.（用符號〉，＜,=,2,W表示）.理由是

知識點13同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念

1）同位角概念：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角。

注：如下圖，位置相同指：①兩個角都在第三條直線c的同一側(cè)；②且兩個角都在兩條直線0、6的上方（或

下方）。例：/I與N5都在c的右側(cè)，且都在0、6的上方，則/I與N5為同位角

2）內(nèi)錯角的概念：兩直線被第三條直線所截，在兩條直線之內(nèi)，并且分別在第三條直線兩側(cè)的一對角（位

置完全錯開的角）

注：如下圖，位置完全錯開指：①兩個角在第三條直線c的不同側(cè)；②且兩個角在兩條直線0、6的上下不

同位置（即都在兩條直線的內(nèi)側(cè)）。例：/2與N8分別在c的左右兩側(cè)，且/2在。的下方，N8在6的上

方（即/2、N8在°、6內(nèi)側(cè)），則/2與N8為內(nèi)錯角

3）同旁內(nèi)角：兩直線被第三條直線所截，在第三條直線同側(cè)，并且在兩條直線之內(nèi)的一對角。

注：如下圖，同旁內(nèi)角指：①兩個角在第三條直線C的同一側(cè)；②且兩個角在。、6兩條直線的內(nèi)側(cè)

例：N2與N5,兩個角都在直線C的右側(cè)，且都在°、b兩條直線的內(nèi)側(cè)，則/2與/5為同旁內(nèi)角。

注：同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角是3條直線直角的位置關系，且無角度間大小關系。

例1.(2021?廣西欽州?七年級期末)如圖，下列各組角中是同位角的是()

/

A./I和N2B.N3和/4C./2和/4D.N1和N4

變式1.(2021?廣東?深圳市高級中學八年級開學考試)下列四幅圖中，Z1和N2是同位角的是(

t

”(1)(2)力(3)⑷

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)(4)

例2.(2021?黑龍江?哈爾濱德強學校八年級期中)如圖,直線AB與CD被直線AC所截得的內(nèi)錯角是

變式2.(2021?遼寧沈河?七年級期末)下列四個圖形中,N1和N2是內(nèi)錯角的是()

△人B.。

例3.(2021?浙江嘉興?七年級期末)如圖，直線a,6被直線c所截，/I的同旁內(nèi)角是(

b

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

變式3.（2021?江蘇?七年級期中）如圖所示，直線a力被直線c所截，則N1與22是（）

A.同位角B.內(nèi)錯角C.同旁內(nèi)角D.對頂角

例4.（2021?鹽城市?七年級月考）如圖，下列說法正確的是（）

A./2和N4是同位角B./2和/4是內(nèi)錯角C./I和NA是內(nèi)錯角D./3和/4是同旁內(nèi)角

變式4.（2021?四川渠縣?七年級期末）如圖，下列結(jié)論：①N2與/3是內(nèi)錯角；②N1與是同位角；③

與是同旁內(nèi)角；④與//C8不是同旁內(nèi)角，其中正確的是.（只填序號）

例5.（2021?黑龍江?哈爾濱市蕭紅中學七年級期中）如圖所示，用數(shù)字表示的8個角中，若同位角有。對,

內(nèi)錯角有6對，同旁內(nèi)角有。對，貝U"-c=_.

變式5.（2020?南通市啟秀中學七年級期末）復雜的數(shù)學問題我們常會把它分解為基本問題來研究，化繁為

簡，化整為零這是一種常見的數(shù)學解題思想.

h

A

（1）如圖1,直線4，4被直線,3所截，在這個基本圖形中，形成了對同旁內(nèi)角.

（2）如圖2,平面內(nèi)三條直線，2，,3兩兩相交，交點分別為/、B、C,圖中一共有對同旁內(nèi)

角.

（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成對同旁內(nèi)角.

（4）平面內(nèi)〃條直線兩兩相交，最多可以形成_____對同旁內(nèi)角.

知識點14平行線的概念

1）同一平面兩條直線間的關系：①平行；②相交

2）平行線概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線

注：①平行的概念，必須加前提條件“在同一平面內(nèi)”；②必須是兩條直線間的關系（非“射線”、“線段”）

3）平行公理：經(jīng)過線外一點，有且僅有一條直線與這條直線平行

注：與垂線性質(zhì)比較相似，但也存在不同的地方。

相同點：過一點都有且僅能作一條線與已知直線平行（垂直）；

不同點：垂直性質(zhì)中，這個點可以在直線外，也可以在直線上，但在平行公理中，這個點必須在直線外。

例1.（2021?河北滄縣?七年級期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系可能是（）

A.相交或垂直B.垂直或平行C.平行或相交D.相交或垂直或平行

變式1.（2021?陜西寶雞期末）下列說法中正確的個數(shù)為（）①不相交的兩條直線叫做平行線；②平面

內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

③平行于同一條直線的兩條直線互相平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線不是平行就是相交.

1個反2個C.3個D4個

例2.（2021?河北平泉?一模）如圖，在平面內(nèi)作已知直線加的平行線，可作平行線的條數(shù)有（

m

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

變式2.（2021?河北興隆?九年級期中）已知直線旭，在同一平面內(nèi)，給定一點尸，過點尸作直線沉的平行線，

可作平行線的條數(shù)有（）

A.0條B.1條C.0條或1條D.無數(shù)條

例3.（2021?牡丹江市田家炳實驗中學初一期中）給出下列說法：

（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；

（3）相等的兩個角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；（5）若b±c,則

其中正確的有個

變式3.（2021?遼寧?初一期中）若直線a/a!Ic,則直線6與c的位置關系是.

變式4.（2021?云南鎮(zhèn)康?初一期中）已知：如圖，梯形ABCD.（1）過點A畫直線AE〃CD交BC于E；（2）

過點A畫線段AF_LBC于F；比較線段AE與AF的大?。篈EAF（直接用“=”或填空）.

知識點15平行線的判定

1）判定方法一：同位角相等，兩直線平行

2）判定方法二：內(nèi)錯角相等，兩直線平行

3）判定方法三：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

4）在同一平面內(nèi)，若兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。即：若且則?！?

5）平行線的傳遞性：若h//h,則/1〃/2（用共面知識可證明，此處不證）。

例1.（2021?漢中市南鄭區(qū)初一期中）已知平面上五條直線4，4，4和4相交的情形如圖所示，根據(jù)

圖中標出的角度，下列敘述正確的是（）

A./1和4不平行，，2和‘3平行，4和‘5平行B.1］和。不平行，，2和4不平行，4和4不平行

C./1和4平行，，2和4平行，,4和4平行D./1和。平行，4和4不平行，,4和4不平行

變式1.（2021?山西期末）如圖，點。，E,R分別在AA8C的邊BC,AB,AC±,連接DE,DF,

在下列給出的條件中，不能判定下的是（）

A.N/+22=180?！鉈.Zl=Zy4C.Zl=Z4D.N4=N3

例2.（2021?上海市市西初級中學初一期中）如圖，是我們學過的用直尺和三角板畫平行線的方法示意圖,

畫圖的原理是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.同位角相等，兩直線平行

C.內(nèi)錯角相等，兩直線平行D.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

變式2.（2021?山西初一月考）工人師傅在工程施工時，在圖紙上畫了一條管道48CD的示意圖（如圖所

示），經(jīng)測量得到N/8C=30°,ZBCD=150°,那么（）

B

A.AB!IBCB.BC//CDC.ABUCDD.N3與3相交

例3.（2021?山西模擬）下列圖形中，根據(jù)N1=N2,能得到A5〃CD的是（

變式3.（2021?洛陽市第四職業(yè)高中期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線a〃6的是（）

A./1=/3B.N2=N3C.Z4=Z5D.Z2+Z4=180°

變式4.（2021?沈陽市第一二七中學初一期中）如圖，下列條件:①Nl=N2；②N4=N5；③N2+N5=180。；

Zl=Z3;@Z6+Z4=180°；其中能判斷直線〃心的有（）

A.②③④B.②③⑤C.②④⑤D.②④

變式5.（2020?江蘇徐州市?七年級期末）如圖，給出下列條件：@Z3=Z4；②/1=/2；③/5=/B；@AD

//BE,且其中能說明的條件有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

知識點16平行線的性質(zhì)

1）兩直線平行，同位角相等；2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

注：①僅當兩直線平行式，3類角才有數(shù)量關系；當兩直線不平行是，3類角只有位置關系，沒有大小關系。

②3類角若有大小關系，也可用于證明兩條直線平行。

4）同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段長度，叫作這兩條平行線間的距離。

注：。.只有平行線間才存在距離這一說法。（重疊，距離為0）；6.平行線間的距離，處處相等；c.垂直于一

條直線，一定垂直于另一條平行線（易證）

例1.（2021?山東濟南市?八年級期末）如圖，如果Nl=/3,Z2=60°,那么/4的度數(shù)為（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

變式1.（2021?山東濰坊市?八年級期末）一把直尺與30。的直角三角板如圖所示，Z1=50。，則N2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

例2.（2021?河北張家口?初三二模）如圖，直線I]//%，以直線L上的點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分

別交直線L、U于點B、C,連接AC、BC.若/ABC=67°，則=（）

A.23°B.46°C.67°D.78°

變式2.（2021?陜西初三其他）如圖，直尺一邊與量角器的零刻度線CA平行，若量角器的一條刻度線

O尸的讀數(shù)為70。，O尸與48交于點E,那么//即=（）

iat>

114

A.70°B.110°C.20°D.120°

例3.（2021?河北初三其他）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折

射.如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的.若水面和杯底互相平行，

C.48°D.41°

變式3.（2021?山西初一月考）小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如

圖所示的模型，已知N5垂直于水平地面NE.當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點8緩慢向

上旋轉(zhuǎn)，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即3與ZE始終平行），在該過程中NZ8C+/6C。始終等

D.270°

例4.（2021?深圳市高級中學初二月考）己知：如圖AB//EF,BC1CD,則Na,二Y之間的關

A.N|3=Na+NYB.Na+N[3+NY=18O°C.Na+N[3-=90°D.Na=90°

變式4.(2021?海安市白甸鎮(zhèn)初級中學七年級月考)如圖，若AB〃CD,CD〃EF,那么NBCE=()

A-------^51^8

w：

A.Z1+Z2B.Z2-Z1C.18O°-Z1+Z2D.18O°-Z2+Z1

例5.（2020?四川鄲都?期末）如圖,五邊形45C7）￡中，AE//BC,則NC+NO+NE的度數(shù)為（

A.180°B.270°C.360°D.450°

變式5.（2021?河南沁陽?初一期末）3知ABIICD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,若NE=66。，則

33

NF為（）

C.44°D.46°

例6.（2021?山東新泰?七年級期末）(1)已知：如圖1,/B+/C=/BEC,求證：AB//CD

（2）如圖2,已知45//CD,在的平分線上取兩個點M、N,使得/BMN=/BNM,求證:

ZCBM=ZABN.

變式6.（2021?湖北十堰?七年級期末）已知/3〃CD,點￡、尸分別在/8、CA上，點G為平面內(nèi)一點，連

接EG、FG.（1）如圖1,當點G在/5、CD之間時，請直接寫出//EG、/CFG與/G之間的數(shù)量關

系；（2）如圖2,當點G在AB上方時，且/EG尸=90。，求證：ZBEG-ZDF