北京市通州區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 含解析

通州區(qū)2024—2025學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2024年11月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特征求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故C正確.故選：C3.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】選項(xiàng)A和D，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)A和D的正誤，選項(xiàng)B和C，根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A.4.已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及，求得，再求即可.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，故可得，則.故選：A.5.設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】，為非零向量，“”平方后展開(kāi)，進(jìn)而判斷出結(jié)論.【詳解】，為非零向量，“”展開(kāi)為：∴“”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角形的性質(zhì)得到，由正弦的和角公式得，再利用正弦定理，即可求解.【詳解】因?yàn)椋玫?，又，，由正弦定理得，所以，故選：D.7.沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置.現(xiàn)有一個(gè)沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過(guò)時(shí)剩余的細(xì)沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過(guò)時(shí)，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開(kāi)始時(shí)的，需經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意有，解得，，由此能得出結(jié)果．【詳解】依題意有，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，得到，當(dāng)容器中只有開(kāi)始時(shí)的時(shí)，則有，所以，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，故選：C．8.設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用的性質(zhì)，得到和，從而得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B9.設(shè)集合，則（）A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a， B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】【分析】利用的取值，反例判斷是否成立即可．【詳解】對(duì)A，若，則，將代入不全部滿足，此時(shí)可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，則，將代入全部滿足，此時(shí)可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，，解之可得，所以C正確；對(duì)D，當(dāng)，則，將代入不全滿足，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C10.已知是的重心，過(guò)點(diǎn)作一條直線與邊，分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)，與所在邊的端點(diǎn)均不重合），設(shè)，，則的最小值是（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.【詳解】如圖：取中點(diǎn)，則，，，∵三點(diǎn)共線，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是___________．【答案】【解析】【分析】利用具體函數(shù)定義域的求法求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則且，故的定義域是.故答案為：.12.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，且，再利用數(shù)積的定義及運(yùn)算律，即可求解.【詳解】由圖知，，且，所以，故答案為：.13.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，設(shè)其前項(xiàng)和為，且，則過(guò)點(diǎn)和，且滿足的直線的斜率是________.【答案】2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解通項(xiàng)公式，再結(jié)合斜率公式求解即可.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，解得，所以，，故直線斜率為.故答案為：214.設(shè)函數(shù)①若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有________個(gè).②若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】①.3②.【解析】【分析】①，由來(lái)求得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).②，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，由解得；由，解得或.綜上所述，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有個(gè).②，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，無(wú)最值.當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，，當(dāng)時(shí)，，則，①，的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，，則①不成立.當(dāng)時(shí)，，則，解得.綜上所述，.故答案為：；15.已知無(wú)窮數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①，；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；③，使得；④，均有.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)以及即可得，進(jìn)而得，即可判斷①②③，利用，利用累加法求和即可判斷④.【詳解】由，，進(jìn)而可得，結(jié)合，以此類推可得，故，故，故①②正確，③錯(cuò)誤，由可得，故由于，故，進(jìn)而可得，故，因此，累加，故1an當(dāng)時(shí)，，故，故④正確，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：，利用累加法求和.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期及的值；（2）直線與函數(shù)，的圖象分別交于兩點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）最小正周期為，（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，求解最小正周期和函數(shù)值即可.（2）利用題意把線段長(zhǎng)度表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，的最小正周期?【小問(wèn)2詳解】由題意可知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，即，故，因?yàn)?，所以，所以，所以MN在時(shí)的最大值為.17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，.（1）求及；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解角度和邊長(zhǎng)即可.（2）首先證明條件①不符合題意，選擇條件②和條件③時(shí)利用余弦定理結(jié)合給定條件求解面積即可.【小問(wèn)1詳解】由和余弦定理可得.因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故，由變形得，由正弦定理得.【小問(wèn)2詳解】選擇條件①：，由正弦定理得，解得，因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，故，與相互矛盾，故不存在這樣的三角形，所以我們不選擇條件①，選擇條件②：，因?yàn)?，，所以，解得，由余弦定理得，化?jiǎn)得，解得或（舍），所以.選擇條件③：，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，由余弦定理得，化?jiǎn)得.解得或，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，與題干不符，故排除，所以.18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系式求出相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，判斷出數(shù)列的類型，再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用分組求和法及公式法進(jìn)行求和即可．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，①所以有，．②②①得．所以?shù)列成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．所以．又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，且，．所以，．所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以．19.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值8.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值，以及相應(yīng)x的值；（3）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形.【答案】（1），.（2），最小值為8，，最大值為24.（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)及極值可求的值；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論其符號(hào)后可得單調(diào)性，從而可求何時(shí)取何最值；（3）可證曲線上任意點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱的點(diǎn)仍在曲線上，從而可得曲線的對(duì)稱性.【小問(wèn)1詳解】，由題意函數(shù)在處取得極小值8得，解得，.此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，f′故為的極小值點(diǎn)，故，滿足條件.【小問(wèn)2詳解】由（1）分析列表得：x00,222,33

-0+

24單調(diào)遞減8單調(diào)遞增15所以當(dāng)時(shí)取得最小值為8，時(shí)取得最大值為24.【小問(wèn)3詳解】曲線的對(duì)稱中心為，證明如下：設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于(0，24)對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，所以.又.所以點(diǎn)也在圖象上.所以曲線是中心對(duì)稱圖形.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)，曲線的切線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；（2）將，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，利用反證法證明即可；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，即在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則切線方程為，假設(shè)切線過(guò)原點(diǎn)，則有，整理得：.令，則.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，，所以方程無(wú)解.綜上可知，曲線在點(diǎn)的切線不過(guò)原點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】曲線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，即，在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，令，解得，又因?yàn)?，所以，?dāng)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，只需使即可.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)），數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）寫(xiě)出數(shù)列的前6項(xiàng)；（2）試判斷與是否為數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由；（3）證明：數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)有無(wú)數(shù)多個(gè).【答案】（1），，，，，.（2）是數(shù)列中的項(xiàng)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，理由見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求得正確答案.（2）根據(jù)數(shù)列、的通項(xiàng)公式以及單調(diào)性進(jìn)行判斷.（3）首先假設(shè)存在有限個(gè)正整數(shù)使得數(shù)列中的某些項(xiàng)滿足條件，然后通過(guò)反正法證明了這一假設(shè)不成立，因此得出數(shù)列與的公共項(xiàng)有無(wú)數(shù)多個(gè).【小問(wèn)1詳解】依題意，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，，，，，.【小問(wèn)2詳解】是數(shù)列中的項(xiàng)，不是數(shù)列中的項(xiàng).；下面證明不是數(shù)列中的項(xiàng)因?yàn)?，所以?shù)列不單調(diào)遞減，，，所以不是數(shù)列中的項(xiàng).【小問(wèn)3詳解】先證明存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)k使得，（其中表示x的小數(shù)部分）假設(shè)只有有限個(gè)正整數(shù)k使得，不妨設(shè)是使成立的最大正整數(shù)，則有即①.因?yàn)槭钦某?shù)，故當(dāng)