2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)訓(xùn)練：特殊平行四邊形（解析版）

清單01特殊平行四邊形（20個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考點(diǎn)循單

定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形

四個(gè)角是直角

性質(zhì)

-------,對(duì)角線相等

有一個(gè)角是直角的平行四邊形

角-----------------------------

判定--------三個(gè)角是直角的四邊形

對(duì)角線對(duì)角線相等的平行四邊形

定義有一組鄰邊相等的平行四邊形

邊四條邊相等

性質(zhì)對(duì)角線互相垂直

-------對(duì)角線------------------

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

有一組鄰邊相等的平行四邊形

邊

判定--------四條邊相等的四邊形

對(duì)角線對(duì)角線互相垂直的平行四邊形

有一個(gè)角是直角

定義平行四邊形------------------

-----------------------有一組鄰邊相等

邊四條邊相等

角四個(gè)角是直角

顆相等

對(duì)角線互相垂直平分

每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

邊有一組鄰邊相等的矩形

角有一個(gè)角是直角的菱形

判定--------------------------------

-------對(duì)角線相等的菱形

對(duì)■角線

------:-對(duì)角線互相垂直的矩形

三角形中位線

直角三角形斜邊上的中線

【清單01】平行四邊形的性質(zhì)

1.邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等，如下圖：AD/7BC,AD=BC,AB〃CD,AB=CD；

2.角的性質(zhì)：兩組對(duì)角分別相等，如圖：ZA=ZC,ZB=ZD

3.對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分。如圖：A0=C0,B0=D0

【清單02】平行四邊形的判定

1.與邊有關(guān)的判定：

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

2.與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

3.與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

【清單03】三角形的中位線

三角形中位線：在4ABC中，D,E分別是AC,AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣,

連接三角形一兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.B

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

【清單04】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合

定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之

間的距離

性質(zhì)：平行線之間距離處處相等

【清單05】菱形的性質(zhì)

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：(1)具有平行四邊形的性質(zhì)

(2)且四條邊都相等

(3)兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

注意：菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。

【清單06】菱形的面積

菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半

S養(yǎng)彩=4S=4x-?-AC?-BD=-AC?BD

麥形A/yCOKRtt/XMAUOijR2222

【清單07】菱形的判定

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

【清單08】矩形的性質(zhì)

※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫筌形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)（2）對(duì)角線相等（3）四個(gè)角都是直角。

【清單09】直角三角形斜邊上的中線

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【清單101矩形的判定

※矩形的判定：（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。

【清單11】正方形的概念與性質(zhì)

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）

【清單12］正方形的判定

※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對(duì)角線相等的菱形是正方形；

對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）:

圖3

單乳型循單

【考點(diǎn)題型一】菱形的性質(zhì)

【典例1-1］如圖，在菱形2BCD中,對(duì)角線4C,B。相交于點(diǎn)0,若乙48。=40。，則乙4DC的度數(shù)為

()

A.100°B.80°D.40°

【答案】B

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì),熟知菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的性

質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解；：四邊形4BCD是菱形,

1

."ABD…D=/ABC,

；4ABD=40°,

J.^ABC=80°,

：.^ADC=^ABC=80°,

故選：B.

【典例1-2】如圖，四邊形力BCD是菱形，對(duì)角線4c=8cm,BD=6cm,DH14B于點(diǎn)H,且DH與4c

交于G,貝UOH=()

D

AA.—12cmBn.—24cmC-.一5cmnD.—5cm

551224

【答案】B

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理，求出4。=4cm,8。=3cm,AB=NAO2+BO2—5cm,

根據(jù)等積法求出DH=gem即可.

【詳解】解：:四邊形ABC。是菱形，對(duì)角線AC=8cm,BD=6cm,

.\A0=4cm,8。=3cm,AC1BD

在Rt△AOB中，AB=y/AO2+BO2=5cm,

^BD-AC=AB.DH,

-X6X824.、

DH=-=—(cm).

故選：B.

【變式1-1］如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、P分別是CD、BD的中點(diǎn)，EF=6,貝必￡）的長(zhǎng)是（）

A.3B.6C.12D.24

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解

題的關(guān)鍵.由三角形中位線定理可求BC=2EF=12,由菱形的性質(zhì)可得4D=BC=12,此題得解.

【詳解】解：由題意可知，”是△ZBC的中位線,

BC=2EF=12,

???四邊形ZBCD是菱形,

.?.AD=BC=12.

故選：c.

【變式1-2］如圖，菱形花壇4BCD的周長(zhǎng)是32米，ND=120。，則8、。兩點(diǎn)之間的距離為（）

A.4米B.4百米C.8米D.8百米

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由菱形

的性質(zhì)可得48=4。=8米，乙4=60。，可得A2BD是等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：連接BD,

:菱形2BCD的周長(zhǎng)是32米，乙D=120°,

.MB與DC互相平行，

：.ABAD=8米，乙4=60°,

...△ABD是等邊三角形，

BD=AB=8米，

故選：C.

【變式1-3］如圖，在菱形力BCD中，AC=8,BD=6,則菱形的周長(zhǎng)等于（）

【答案】A

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，由菱形的性質(zhì)得到B。=。。=3,AO=OC=4,AC1

BD,AB=BC=CD=4。，根據(jù)勾股定理可以求得力8的長(zhǎng)，進(jìn)而得到菱形的周長(zhǎng).

【詳解】解：：四邊形4BCD是菱形，AC=8,BD=6,

：.BO=。。=3,AO=OC=4,AC1BD,AB=BC=CD=AD,

：.AB=<AO2+BO2=5/42+32=5,

二菱形的周長(zhǎng)等于5x4=20,

故選：A.

【變式1-4】如圖，菱形4BCD的對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DH，AB于點(diǎn)若NB4D=

54°,貝ikBDH的度數(shù)為.

【答案】27727

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)菱形和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得出角之間的關(guān)

系.

根據(jù)菱形的性質(zhì)求出N8AD=乙BCD=54°,乙BDA=乙BDC=63°,根據(jù)互余性質(zhì)得到=36°,

計(jì)算即可.

【詳解】解：：四邊形2BCD是菱形,

：.CD=CB,BCWAD,/.BAD=/.BCD=54°,ABDA=ABDC,

■:乙BCD=54°,

J./.ADC=126°,

：.^BDA=4BDC=63°,

'：DH1AB,

：.AAHD=90°,

：./.ADH=90°-54°=36°,

:.乙BDH=^BDA-乙ADH=27°,

故答案為：27°.

【考點(diǎn)題型二】菱形的判定

【典例2】如圖所示，BD是平行四邊形4BCD的對(duì)角線，ZC=30°.

AB

(1)作的垂直平分線，垂足為點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)尸(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，連接8F,當(dāng)ADBF=45。時(shí)，求證：平行四邊形4BCD是菱形.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)證明根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】(1)解：圖形如圖所示：

(2)證明：

???四邊形4BCD是平行四邊形，

???Z-A—Z.C—30°,

???EF垂直平分線段

??.FA=FB,

???小=AFBA=30°,

???(DBF=45°,

???乙ABD=匕ABF+乙DBF=75°,

???^ADB=180°-Z-A-/.ABD=180°-30°-75°=75°,

???乙ABD=Z.ADB,

AD=AB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，四邊形48CD是菱形.

【變式2-1］如圖，在四邊形2BCD中，對(duì)角線4&BD相交于點(diǎn)0,4。=CO,B。=D。.添加下列條件,

不能判定四邊形48CD是菱形的是（）

A.AB=ADB.AC=BDC.AC1BDD.乙ABO=KCBO

【答案】B

【分析】本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定.根據(jù)菱形

的定義及其判定、矩形的判定對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得.

【詳解】解：：4。=。。,8。=。。，

???四邊形4BCD是平行四邊形，

當(dāng)48=4?；?c1BD時(shí)，均可判定四邊形ABC。是菱形；

當(dāng)N4B。=NCB。時(shí)，

由4。||8c知"B。=AAD0,

Z.AB0=Z,AD0,

：.AB=AD,

四邊形2BCD是菱形；

當(dāng)AC=B。時(shí)，可判定四邊形&8CD是矩形；

故選：B.

【變式2-2】如圖，下列條件能使平行四邊形4BCD是菱形的為（）

@AC1BD；②NBA。=90。；?AB=BC；?AC=BD.

%-----------------#

BC

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】A

【分析】本題考查了菱形的判定：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形；一組對(duì)邊相等的平行四邊形

是菱形；四邊相等的四邊形是菱形；根據(jù)菱形的判定進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①根據(jù)對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形知，平行四邊形4BCQ是菱形，①滿足題意;

②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形知，平行四邊形力BCD是矩形，②不滿足題意；

③根據(jù)一組對(duì)邊相等的平行四邊形是菱形知，平行四邊形力BCD是菱形，③滿足題意；

④根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形知，平行四邊形4BCD是矩形，④不滿足題意；

故滿足題意的有①③；

故選：A.

【變式2-3］如圖，在回力BCD中，BD是對(duì)角線.

（1）尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線交4。于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸，交BD于點(diǎn)0（不寫作法，保留作圖痕跡,

并標(biāo)明字母）；

⑵在（1）的條件下，連接BE,DF.求證：四邊形BEDF是菱形.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法即可解決問(wèn)題;

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)證明△DOEmABOF,可得E。=F。，可得四邊

形BEDF是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可完成證明.

【詳解】（1）解：如圖所示:

???EF即為所求;

(2)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

???ADWBC.

???Z.ODE=Z-OBF,

vEF垂直平分80,

BO=D0,

在△DOE和ABOF中，

20DE=乙OBF

0D=0B,

、乙DOE=乙BOF

/.△DOE三△8。尸(ASA),

???EO=F0,

???四邊形8EDF是平行四邊形，

EF1BD,

???平行四邊形BED尸是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形

全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖作法、平

行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì).

【考點(diǎn)題型三】菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用

【典例3】如圖，在四邊形4BCD中，ABWCD,過(guò)點(diǎn)。作N4DC的角平分線交2B于點(diǎn)E,連接力C交DE

于點(diǎn)。，AC1BC,5.ADWCE.

(1)求證：四邊形4ECD是菱形;

(2)若力。=10,△力CD的周長(zhǎng)為36,求CB長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)12

【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，熟練掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)先證明四邊形4ECD是平行四邊形，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，得到=即可證明四邊形

力ECQ是菱形；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出。4=8,由勾股定理可得。6,從而得到DE=12,再證明四邊

形BCDE是平行四邊形，得到CB=DE,即可求出CB長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：ABWCD,ADWCE,

四邊形4ECD是平行四邊形，乙CDE=AAED,

■：DE平分N4DC,

Z.ADE=乙CDE,

Z.AED=乙ADE,

???AE=AD,

???四邊形4ECD是菱形；

(2)解：?.?四邊形4ECD是菱形，AD=10,

11

AD=CD=10,OD=-DE,OA=-OC,ACIDE

22f

???△ZC。的周長(zhǎng)為36,

AC=16,

OA=8,

在Rt^ZOO中，OD=7AD2一。42=6,

DE=12,

vAC1DE,AC1BC,

???DEWBC,

???CDWBE,

???四邊形BCDE是平行四邊形，

CB=DE=12.

【變式3-1］如圖，四邊形ZBCD為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)/作AF14。，交BC邊于點(diǎn)E,交0C邊延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F.連接AC、BF,過(guò)點(diǎn)。作。G18尸交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,已知CF=CD.

⑴求證：四邊形48FC為菱形；

(2)若乙4DC=25。，求4FDG的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)40°

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得出A3=CD,AB//DF.證明四邊形A3FC為平行四邊形，證出

AFLBC.由菱形的判定方法可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得出NC3尸=N3Cr=25。，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案.

【詳解】(1)證明：:四邊形Z8CD為平行四邊形，

:.AB=CD,AB//DF.

VCF=CD,

：.CF=AB.

???四邊形ABFC為平行四邊形.

,:AD]IBC,AFLAD,

:?乙CEF=^DAF=90°.

：.AF1BC.

???平行四邊形AB尸C為菱形.

(2)解：'：AD//BC,AADC=25°,

：2BCF=乙ADC=25°.

???四邊形ZBFC為菱形，

：.FB=FC,

?"CBF=乙BCF=25°.

J./-DFG=乙CBF+乙BCF=25°+25°=50°.

TDG1BG,

?"DGF=90°.

乙FDG=90°-乙DFG=90°-50°=40°.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。.D、E分別是邊AB.BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)

到點(diǎn)F,使EF=DE,連接AF,CF,CD.

A

(1)求證：四邊形2DCF是菱形；

(2)連接力E,若BC=4,AC=2,求四邊形ADCF的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)475

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理、勾股定理：

(1)先證明DE是RtAABC的中位線，進(jìn)而可證明DF18C,再由對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

即可得到結(jié)論；

(2)利用勾股定理求出AB=VBC2+4C2=2后繼而可得菱形的邊長(zhǎng)，再由菱形周長(zhǎng)定義求解即

可.

【詳解】(1)解：E分別是邊48、AC的中點(diǎn)，即2。=8。，CE=AE,

是RtAABC的中位線，

：.DE||BC,

?：^ACB=90°,

：./.AED=Z.ACB=90°,BPDF1BC,

XVEF=DE,

四邊形ADCF是菱形；

(2)解：BC=4,AC=2,AACB=90°,

：.AB=y/BC2+AC2=742+22=2V5,

'.AD=-AB=V5,

2

,/四邊形4DCF是菱形，

四邊形4DCF的周長(zhǎng)=4AD=4V5.

【變式3-3］如圖，在AABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).BE=2DE,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使得EF=

BE,連接CF.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,乙BCF=120°,求菱形BCFE的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)873

【分析】本題考查菱形判定及菱形面積求解，關(guān)鍵是掌握菱形的判定及性質(zhì).

(1)根據(jù)點(diǎn)。和E分別是4B和AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可得到DEUBC,且BC=

2DE,再等量代換，根據(jù)平行四邊形的判定定理，即可得到四邊形BCFE是平行四邊形，根據(jù)鄰邊的關(guān)

系，即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)NBEF的大小，可判定AEBC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得到邊長(zhǎng)，作

EG1BC于點(diǎn)G,運(yùn)用勾股定理，即可得到EG的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的面積公式，即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???￡)、E分別是4B、4C的中點(diǎn)，

DE||BC,且BC=2DE.

又???BE=2DE,EF=BE,

???EF=BC,EFWBC.

???四邊形BCFE是平行四邊形.

又BE=FE,

二四邊形BCFE是菱形.

(2)解：在菱形BCFE中，Z.BCF=ABEF=120°,BE=BC,

：./.EBC=60°.

??.△EBC是等邊三角形.

BE=BC=CE=4.

過(guò)點(diǎn)E作EG1BC于點(diǎn)G.

EG=<BE2-BG2=2V3.

^^}BCFE=BC,EG=4X2V3=8V3.

【考點(diǎn)題型四】菱形中最小問(wèn)題

【典例4】如圖，菱形力BCD中，對(duì)角線4C,BD相交于點(diǎn)。，AC=12,BD=16.點(diǎn)尸和點(diǎn)E分別為

BD,CD上的動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC的最小值（）

A.7.2B.8C.8.5D.9.6

【答案】D

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路徑的問(wèn)題，同時(shí)也利用了菱形的性質(zhì)和面積公式，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最短問(wèn)題.如圖，過(guò)C作CQ14D于0,交BD于P,過(guò)產(chǎn)作PE1C。于

E,則此時(shí)的P、E滿足PE+PC最小.然后利用菱形的性質(zhì)可以證明PQ=PE,從而得到PE+PC的最

小值線段CQ的長(zhǎng)度，最后利用菱形的面積公式即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)C作CQ14D于。，交BD于P,過(guò)P作PE1CD于E,,則此時(shí)的P、E滿足

PE+PC最小.

四邊形4BCD為菱形,

：.AC1BD,且力C、BD互相平分，BD平分A4DC,

：.PQ=PE,

：.PE+PC的最小值線段CQ的長(zhǎng)度,

i

,S菱形ABCD=54cxBD-CQxAD,

而AD=VOX2+OD2,

又；AC=12,BD=16.

OA=6,OD=8,

：.AD=10,

故選：D.

【變式4-1]如圖，在菱形4BCD中，E,尸分別是邊CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接分別為的中

點(diǎn)，連接G”.若NB=45。,8。=2&，貝!]G”的最小值是（）

A.V2B.2V2C.2D.1

【答案】D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短

等知識(shí)，連接2F,利用三角形中位線定理，可知GH=|4F,求出4F的最小值即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：連接AF,如圖所示：

:四邊形48CD是菱形，

：.AB=BC=2V2,

,:G,〃分別為AE,EF的中點(diǎn),

GH是AAEF的中位線，

1

：.GH=-AF,

2

當(dāng)AFIBC時(shí)，4F最小，GH得到最小值，

則N2FB=90。，

；4B=45°,

.,.△ABF是等腰直角三角形，

：.AF=—AB=—X2V2=2,

22

GH=1,

即GH的最小值為1,

故選：D.

【變式4-2］如圖，在菱形4BCD中，ND=135。，AD=3/，CE=2,點(diǎn)P是線段2C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F

是線段4B上一動(dòng)點(diǎn)，貝IPE+PF的最小值

【答案】V10

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理.先作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G,再連接

BG,過(guò)點(diǎn)B作BH1CD于H,運(yùn)用勾股定理求得和GH的長(zhǎng)，最后在RtABHG中，運(yùn)用勾股定理求得

BG的長(zhǎng)，即為PE+PF的最小值.

【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于4c的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G,連接PG、PE,貝UPE=PG,CE=CG=2,

連接8G,過(guò)點(diǎn)B作1CD于“，貝！UBC”=NCBH=45。，

DHG

四邊形2BCD是菱形，AD=3A/2,

???BC=AD=3Vx

ARtABHC中，BH=CH=BC-sin乙BCH=BC-sinz45°=3V2X—=3,

HG=HC-GC=3-2=1,

RtABHG中，BG=y/BH2+//G2=V32+l2=V10,

???當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合時(shí)，PE+PF=PG+PB=BG（最短）,

PE+PF的最小值是V1U.

故答案為：VTo.

【變式4-3］如圖，己知菱形2BCD的邊長(zhǎng)為4,乙4=60。，點(diǎn)M、N分別是邊AD,CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足4M+CN=4,設(shè)ABMN的面積為S,貝US的最小值是.

【答案】3V3

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問(wèn)題，熟練掌握菱

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.證明ABDEmABCF,得到ABEF為正三角形，然后做輔助線求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作B”1CD于點(diǎn)H,

?.?菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,Z71=60°,

???AB=BC=CD=AD=BD,

Zf=乙CBD=^ADB=60°,

vAM+DM=AD=4,AM+CN=4,

??.AM+DM=AM+CN,

??.DM=CN,

在△BCN和△BOM中，

BC=BD

Z.C=乙ADB,

.CN=DM

.*.△BDM三△BOV(SAS),

???乙DBM=乙CBN,BM=BN,

???乙DBC=乙DBN+乙CBN=60°,

???乙DBN+乙DBM=60°,

??.Z.MBN=60°,

??.△BMN是正三角形，

設(shè)BM=BN=MN=x,

則S=-%?%?sin60°=—x2,

24

當(dāng)時(shí)，工最小為：4xsin60°=2V3,

???S最小=中X（2圾2=3V3.

故答案為：3忌

【考點(diǎn)題型五】矩形的性質(zhì)

【典例5-1］如圖所示，矩形4BCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、0,4E1BD于點(diǎn)E,Z.BAE=22.5°,則

4及4。的度數(shù)為（）

A.45°B.40°

【答案】A

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)可知04=。8,則可求得4員4。，則可求得NEZO.

【詳解】???四邊形是矩形，

OA=OBf

C.^LOAB=(OBA

vAE1BD,^BAE=22.5°

???AABE=90°一(BAE=90°-22.5°=67.5°,

??.Z.OAB=(ABE=67.5°,

???4瓦4。=AOAB-ABAE=67.5°-22.5°=45°,

故選：A.

【典例5-2］如圖，矩形A8C0面積為40,點(diǎn)尸在邊CD上，PE1AC,PFLBD,垂足分別為&F.若

AC=10,貝IJPE+PF=()

A.4B.510

【答案】A

【詳解】此題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積公式.令4C與相交于點(diǎn)。，連接。P,由矩形的性質(zhì)得

出。4=OC=OB=OD=-XC=5，SAC0D=[S矩形的。?！Y(jié)合S4COD=^APOC+^ADOP=5°。,

FP+|0C-PF=Ix5X(PE+PF),計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：如圖，令北與BD相交于點(diǎn)。，連接0P,

?..四邊形2BCD是矩形，

0A=OC=OB=OD=-AC=5,

2

:矩形4BCD面積為40,

:?SACOD=[S矩形ZBco=10，

9：PELAC,PF1BD,

-1-11

??S^coo=S^poc+S&DOP=-OD,FP+~0C,PE=-x5x(PE+PF),

.?彳x5x(PE+PF)=10,

：.PE+PF=4,

故選：A.

【變式5-1］如圖，直線a||6,矩形48CD的頂點(diǎn)A在直線b上，若N2=41。，則41的度數(shù)為（）

A

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)8作BE||。，得到BE||a||依推出乙4BC=

Z1+Z2,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???矩形4BCD,

：.Z-ABC=90°,

過(guò)點(diǎn)B作BE||a,

a\\b,

：.BE||a||b,

zl=Z.ABE,z2=Z,CBE,

/.Z.ABC=乙ABE+Z.CBE=Z1+Z2,

Vz2=41°,

?"1=90。-41。=49。；

故選C.

【變式5-2］如圖，在矩形ABOD中，AC,80相交于點(diǎn)。，AE平分立B4D交BC于點(diǎn)E.若乙。。4=30。,

則NB0E的度數(shù)為（）

A.45°B.60°75°

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形和等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知

識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的性質(zhì)及4E平分482。分別判定BE=B4及

△A0B為等邊三角形，然后求得NOBE=30。，貝I」可在AB0E中求得NB0E的度數(shù).

【詳解】解：在矩形A8CD中，/.BAD=90°,AD||BC,0A=OB=OD,

?ZE平分

??.ABAE=LEAD=45°,

???乙AEB=^EAD=45°,

^AEB=^BAE=45°,

BE=BA.

???Z.OAD=乙ODA=30°,

/.ABAC=60°,又OA=OB,

??.△ZOB為等邊三角形，

BO=BA,

：.BO=BE,

9：AD\\BC,

:?乙OBE=A.ADO=30°,

???乙BOE=(180°-30°)+2=75°.

故選：D.

【變式5-3］如圖，矩形48CD中，CD=2,NDBC=30。，則矩形的對(duì)角線BD的長(zhǎng)度為()

A.2A/2B.4C.2V3D.4遮

【答案】B

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì).

根據(jù)矩形的性質(zhì)得NC=90°,再利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：：四邊形2BCD是矩形，

.,.ZC=90°,

在RtADBC中，/.DBC=30°,CD=2,

：.BD=2CD=4.

故選：B.

【變式5-4］如圖，四邊形4BCD是面積為30的矩形，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，連接4F,作DE垂直于4F于點(diǎn)

E,已知AE=DE=4,貝IJEF的值為（）

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，根據(jù)題意得出4。=

&AE=4立,NE2D=45。，根據(jù)四邊形ABCD是面積為30的矩形，得出4B=竺也，AF=皿3=

4

y,進(jìn)而根據(jù)EF=2F—4E,即可求解.

【詳解】解：???￡>￡■AE=DE=4,

：.AD=yjAE2+DE2=42AE=4Vx^EAD=45°,

?..四邊形ABC。是面積為30的矩形，

：.AD\\BC,

J./.AFB=/.DAE=45°,ABXAD=30

：.AB=個(gè)=—,AF=y[2AB=-

4V242

15

：.EF=AF-AE=--4=3.5,

2

故選：D.

【變式5-5]如圖，在矩形ABC。中，AD=4,CD=3,對(duì)角線/C的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)、

E、F,垂足為。，貝!J/E的長(zhǎng)為

【答案】Y

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)

鍵.連接EC,設(shè)力E=x,則ED=4-x,在RtAEDC中，勾股定理，即可求解.

【詳解】解：連接EC,設(shè)=則ED=4—尤，

E

AD

FC「EF是AC的中垂線,

EC=AE=x,

在RtAEDC中，x2=32+(4-x)2,

解得：x=^,

o

25

故答案為：

o

【考點(diǎn)題型六】直角三角形斜邊上的中線

【典例6】如圖，△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在DE上，且NAFB=90。，若EF=2,

BC=10,貝l|4B的長(zhǎng)為（）

B

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形中位線定理求出DE,進(jìn)而

求出。尸，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：YD,E分別是AB,4c的中點(diǎn)*

；.￡）￡1是△ABC的中位線，

?.?DE=：BC,

?:BC=10,

：.DE=5,

VEF=2,

：.DF=5—2=3,

在RtAAFB中，。是AB的中點(diǎn),

：.AB=2DF=6,

故選：D.

【變式6-1］如圖，在RtAABC中，NC=90。，。為4B的中點(diǎn)，連接CD,若CD=5,4。=6,則8c的長(zhǎng)

為（）

A.5V2B.8C.5V3D.10

【答案】B

【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得4B=2CD=10,再由勾股定理求解即可.

【詳解】解：：在Rt△ABC中，ZC=90°,。為的中點(diǎn)，CD=5,

：.AB=2CD=10,

：.BC=7AB2-AC?=V102-62=8,

故選：B.

【變式6-2】如圖，菱形4BCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作力E1BC于點(diǎn)E,若。B=4,

S菱形4BCD=16「則OE的長(zhǎng)為（）

A.2V5B.4

【答案】C

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.由菱形的性質(zhì)得出BD=8,由菱形的面積得出4C=4,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可

得出結(jié)果.

【詳解】解：,??四邊形/BCD是菱形，

：.0A=OC,OB=0D=4,BDLAC,

：.BD=20B=8,

YS菱形.co=，BD=16,

???ZC=4,

*：AE1BC,

：.^AEC=90°,

TO為AC的中點(diǎn)，

：.OE=-AC=2,

2

故選：c.

【變式6-3］如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。,。為AB的中點(diǎn)，乙4=3(T,BC=2,貝UCD的長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜

邊的一半的性質(zhì)，以及勾股定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半求出CD,

【詳解】解：N4CB=90。/4=302BC=2,

AB=2BC=4.

???AACB=90°,。為AB的中點(diǎn)，

1

???CD=-AB=2.

2

故答案為：2.

【考點(diǎn)題型七】矩形的判定

【典例7】如圖，已知A/IBC中，。是BC邊上的一點(diǎn)，E是4。的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線，交CE的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E且2F=BD,連接8F.

(1)求證：BD=CD；

(2)如果ZB=AC,試判斷四邊形4FBD的形狀，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)四邊形4FBD為矩形，證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定：

(1)證明AAEF三△￡?￡1(：,得到4F=CD,即可得出結(jié)論；

(2)先證明四邊形4FBD為平行四邊形，根據(jù)三線合一，得到4D1BD,得到四邊形為矩形.

【詳解】(1)證明：:AF||BC,

：./-AFC=Z.DCF,

是4D的中點(diǎn)，

：.AE=DE,

?：^AEF=MED,

AAEF=△DEC,

：.AF=CD,

'：AF=BD,

：.BD=CD-,

(2)四邊形4FBD為矩形，證明如下：

'：AF||BC,AF=BD,

二四邊形MB。為平行四邊形，

'：AB=AC,由(1)知BD=CD,

：.AD1BD,

：.^ADB=90°,

四邊形4F8D為矩形.

【變式7-1】依次連接四邊形4BCD各邊中點(diǎn)，得四邊形EFGH是矩形，則四邊形48CD必須滿足的條件

是（）

A.矩形B.等腰梯形C.AC=BDD.AC1BD

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意，運(yùn)用

中位線可得EFGH是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，

點(diǎn)、E,F,G,"分別是力B,BC,CD,4D的中點(diǎn)，連接AC,BD,交于點(diǎn)。,

：.EF||AC,EF=-AC,GH||AC,GH=-AC,

22

：.EF||GH,EF=GH,

：.四邊形EFG"是平行四邊形，

A、若四邊形A8CD是矩形，如圖所示，貝

：.EF=GH=-AC,EH=FH=-BD,

22

：.EF=FG=GH=EH,

二平行四邊形EFGH是菱形，不符合題意；

B、若四邊形ABCD是等腰梯形，如圖所示，則力C=BD,

AHD

同理可得，平行四邊形EFGH是菱形，不符合題意;

C、若4C=BD,證明方法同上，平行四邊形EFGH是菱形，不符合題意;

D、若AC1BD,如圖所示，設(shè)EH與2C交于點(diǎn)M,EF與BD交于點(diǎn)、N,

：.^AOB=90°,

"：EF||BD,EF||AC,

：.EH1AC,EF工BD,

.??四邊形ENOM是矩形，

：.^FEH=90°,且四邊形EFG”是平行四邊形，

平行四邊形EFGH是矩形，符合題意；

故選：D.

【變式7-2】如圖，在團(tuán)力BCD中，增加一個(gè)條件四邊形2BCD就成為矩形，這個(gè)條件是（）

A.AB=CDB.4BAD+乙BCD=180°C.BD=2ABD.AC1BD

【答案】B

【分析】本題考查了矩形的判定的應(yīng)用，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解題即可.

【詳解】解：A.由=CD無(wú)法判斷四邊形48CD為矩形，故不符合題意；

B.?.?四邊形2BCD是平行四邊形，

：.4BAD=Z-BCD

'：^BAD+^BCD=180°,

：.^BAD=乙BCD=90°,

二四邊形4BCD為矩形，故符合題意；

C.由BD=24B無(wú)法判斷四邊形48CD為矩形，故不符合題意；

D.由471BD可判斷四邊形力BCD為菱形，故不符合題意；

故選B.

【變式7-3】小穎和小亮參加數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，檢驗(yàn)一個(gè)用斷橋鋁制作的窗戶是否為矩形，下面的測(cè)量方

法正確的是()

A.度量窗戶的兩個(gè)角是否是90°

B.測(cè)量窗戶兩組對(duì)邊是否分別相等

C.測(cè)量窗戶兩條對(duì)角線是否相等

D.測(cè)量窗戶兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等

【答案】D

【分析】本題考查了矩形判定的應(yīng)用，掌握矩形判定方法是關(guān)鍵；根據(jù)矩形的判定即可解答.

【詳解】解：A、度量窗戶的兩個(gè)角是否是90。，不能保證窗戶是矩形；

B、測(cè)量窗戶兩組對(duì)邊是否分別相等，只能保證是平行四邊形，不能保證是矩形；

C、測(cè)量窗戶兩條對(duì)角線是否相等，無(wú)法保證是矩形；

D、測(cè)量窗戶兩條對(duì)角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等，根據(jù)對(duì)角線相互平分且相等的四邊形是矩

形，保證是矩形；

故選：D.

【變式7-4】如圖，在團(tuán)4BCD中，DE平分4WB,交2B于點(diǎn)E,BF平分NCBD,交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

(2)若=求證：四邊形DEBF是矩形.

【答案】(1)見(jiàn)詳解

(2)四邊形DEBF是矩形

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出NADB=NCBD,由角平分線的定義得出NEDB=ADBF,則DEIIBF,可

證出結(jié)論；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得出DE14B,則可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???四邊形28CD是平行四邊形，

AD||BC,ABWCD,

???Z-ADB=Z.CBD,

????！?平分“。8,BF平分乙CBD,

???乙EDB=-^ADB,乙DBF=-^CBD,

22

???Z.EDB=(DBF,

：.DE\\BF,

又???ZB||m

???四邊形DEBF是平行四邊形.

⑵證明：4。=BD,DE平分乙4DB,

DE1AB,

又???四邊形DEBF是平行四邊形，

四邊形DEBF是矩形.

【變式7-5］如圖，在菱形48CD中，對(duì)角線4C、BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)。作

(1)求證：AAOE