截長補短模型綜合應(yīng)用（知識解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點題型專項訓(xùn)練

專題10截長補短模型綜合應(yīng)用(知識解讀)

【專莖餞明】

“截長補短”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)

量關(guān)系，即若題目條件或結(jié)論中含有“a+b=c”的條件，需要添加輔助線時可

以考慮“截長補短”的方法。

【方注技巧】

常見類型及常規(guī)解題思路：

①a+b=c可采取直接截長或補短，繞后進行證明?；蛘呋癁轭愋廷谧C明。

②a+b=kc可以將?！镭芭cc構(gòu)建在一個三角形中，然后證明這個三角形為特

殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個角為30。的直角三角形等。

截長法常規(guī)輔助線：

(1)過某一點作長邊的垂線

(2)在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相

等。

補短法常規(guī)輔助線：

(1)延長短邊。

(2)通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起

【裳刎才析】

【典例1】模型分析

當(dāng)題目中出現(xiàn)線段的和差關(guān)系時，考慮用截長補短法，該類題日中常出現(xiàn)等腰三角形、

角平分線等關(guān)鍵詞句，采用截長補短法進行證明.

問題：

如圖，在△ABC中，平分NBAC交2C于點且/B=2NC,求證：AB+BD^AC.

截長法：

在AC上截取連接。E,證明即可.

補短法：

延長AB至點F,使AF=AC,連接DF,證明BF=BD即可.

請結(jié)合右邊的證明結(jié)論.求證：AB+BD=AC.

請結(jié)合右邊的【模型分析】證明結(jié)論.

求證：AB+BD=AC.

【截長法】

【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，。為△ABC外一點，連接AQ,BD,CD,ZADB

=NA￡)C=60°,求證：AD=BD+CD.

【變式2】如圖，Rtz^ABC中，AC=BC,平分/54C交BC于點。，CEJ_A。交A。于

F點，交AB于點E.求證：AD=2DF+CE.

【變式3】如圖，△ABC內(nèi)接于。0,AC=BC,C。是。。的一條弦，且黃=而，過點A

作APLC。，分別交CD,O。于點E,P,連接BP,若CD=6,△A2P的周長為13,

求AE的長.

【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC,在AB左側(cè)作N2OC=N8AC=a,過點A作AE

于點E.

(1)當(dāng)a=90°時,

①求證：AE=DE；

②若BD=&_AE=2,請求出△ABC的面積;

(2)當(dāng)aW90°時，求證：BD+DE=EC.

【變式5】【問題背景】

如圖①，在邊長為1的正方形ABC。中，點E為射線BC上的一個動點(與點3,C不

重合)，連接AE,過點E作EFLAE,與正方形ABCD的外角ZDCG的平分線交于點F.李

老師指出，當(dāng)點E為線段BC的中點時，AE=EF.

【初步探索】

(1)如圖②，當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，其他條件不變，那么結(jié)論

是否仍然成立；

【問題解決】

(2)當(dāng)點E在線段8C上時，設(shè)的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；

【拓展延伸】

(3)如圖③，將正方形ABC。放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點。與點8重合，點C在

尤軸正半軸上，當(dāng)點E運動到某一點時，點/恰好落在直線y=-2尤+3上，求此時點E

的坐標(biāo).

圖③

【典例2】如圖1,在Rt^ABC中，AB=BC,點。，E,F分別在AB,BC,AC邊上，且

DE=EF,/DEF=/B,NA=45°.

(1)試猜想C尸與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)自主探究:如圖2,若將已知條件中含45°的直角三角形換成含30°的直角三角形,

其余條件不變，試探究BE和CF的關(guān)系.

A

AK

圖1

【變式1】如圖，在△ABC中，ZABC=45°,AOLBC于點。，點廠是AC上一點，連接

BF交AD于點E,且DE=CD,連接。R若AF=4,DF=2,則8月的長為.

A

DC

【變式2】如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，8C是。。的直徑，連接AC,BD,若A8=AC,

請?zhí)骄緼D,BD,OC之間的數(shù)量關(guān)系.

A

【變式3】如圖，在△ABC中，ZACB=120°,BC>AC,點￡■在8C上，點。在上,

CE=CA,連接DE,ZACB+ZADE=180°,CH±AB,垂足為點H.求證：DE+AD=

2MCH.

A?rr

E

【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC,/BAC=90°,點。是平面內(nèi)一點，且AO_LC。.點

。是BC的中點，連接。4,0D.

(1)如圖①，若點。是8C下方一點，過點。作分別交AC,AD于點E,F.

①求證：ZOAF^ZOCD；

②若CD=1,DF=2,求8c的長;

(2)如圖②，若點。是AC右側(cè)一點，試判斷A。，CD,。。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

圖①

圖②

【變式5】【問題探究】

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC,點。是平面內(nèi)一點，連接A。，BD,CD,且/

CAB=ZCDB.

(1)如圖①，當(dāng)NC4B=60°時，試探究B。，CD,之間的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖②，當(dāng)/CAB=120。時，探究辿型是否為定值，并說明理由;

【問題解決】

(3)如圖③，在四邊形AOBC中，AB=AC,NC4B=NCDB=120°,若AD=2,BD

=3,求CD的長.

圖③

【變式6】如圖，在矩形ABC。中，點E為CD延長線上一點，連接AE,過

點C作CTLAE于點RCP交于點X,過點。作。NLAE于點N,連接。足

(1)在不添加輔助線的情況下，找出一個與△CDH相似的三角形，并證明；

(2)求證：FD=2DN；

(3)求證：CF=gAF+2FD.

專題10截長補短模型綜合應(yīng)用(知識解讀)

【專莖餞明】

“截長補短”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)

量關(guān)系，即若題目條件或結(jié)論中含有“a+b=c”的條件，需要添加輔助線時可

以考慮“截長補短”的方法。

【方注技巧】

常見類型及常規(guī)解題思路：

①a+b=c可采取直接截長或補短，繞后進行證明?；蛘呋癁轭愋廷谧C明。

②a+b=kc可以將?！镭芭cc構(gòu)建在一個三角形中，然后證明這個三角形為特

殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個角為30。的直角三角形等。

截長法常規(guī)輔助線：

(1)過某一點作長邊的垂線

(2)在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相

等。

補短法常規(guī)輔助線：

(2)延長短邊。

(2)通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起

【裳刎才析】

【典例1】模型分析

當(dāng)題目中出現(xiàn)線段的和差關(guān)系時，考慮用截長補短法，該類題日中常出現(xiàn)等腰三角形、

角平分線等關(guān)鍵詞句，采用截長補短法進行證明.

問題：

如圖，在△ABC中，平分NBAC交2C于點且/B=2NC,求證：AB+BD^AC.

截長法：

在AC上截取連接。E,證明即可.

補短法：

延長AB至點F,使AF=AC,連接DF,證明BF=BD即可.

請結(jié)合右邊的證明結(jié)論.求證：AB+BD=AC.

請結(jié)合右邊的【模型分析】證明結(jié)論.

求證：AB+BD=AC.

【截長法】

【解答】證明：【截長法】

在AC上截取連接。E,

平分N2AC,

ZBAD=ZDAC,

在△AB。和△&￡￡)中,

'AE=AB

<ZBAD=ZDAC-

AD=AD

^ABD^AAED(SAS),

:.NB=/AED,BD=DE,又N2=2NC,

ZAED=2ZC,

而/AED=NC+NEDC=2NC,

：.ZC^ZEDC,

:.DE=CE,

：.AB+BD=AE+CE=AC.

證明：【補短法】

延長AB到尸，使BP=8D,連接DR

?：BF=BD,

：.ZF=NBDF,

：.ZABC=ZF+ZBDF=2ZF,且NABC=2NC,

.".ZC=ZF,S.ZCAD=ZBAD,AD=AD,

：.AADF^AADC(AAS)

：.AC=AF,

：.AC^AF^AB+BF^AB+BD.

【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，。為△ABC外一點，連接A。，BD,CD,ZADB

=/A￡)C=60°,求證：AD=BD+CD.

【解答】證明：在D4上截取。連接BE,如下圖所示,

△ABO為等邊三角形，

/.Z￡BD=60°,BE=BD,

△ABC為等邊三角形，

AZABC=60°,BA=BC,

：.ZEBD-ZEBC=ZABC-NEBC,

：.ZABE=ZCBD,

在△ABE和△C8O中，

'BE=BD

-ZABE=ZCBD-

AB=CB

.?.△ABE/ACBD(SAS),

：.AE=CD,

：.AD^AE+ED=CD+BD.

【變式2】如圖，Rt^ABC中，AC=BC,AO平分N8AC交8C于點。，CEJ_A。交AO于

F點、,交A3于點￡求證：AD=2DF+CE.

【解答】證明：在Ab上截取/G=OR連接CG,貝1JDG=2DR

：.ZDCF+ZACF=90°,

又???b_LA。，

AZACF+ZCAF=90°,

：.ZDCF=ZCAFf

?「AD平分NCAE,

：.ZCAF=ZEAFf

■:DF=FG,CF±DGf

：.CD=CG,

:?/CDG=NCGD,

VZDGC=ZGAC+ZACG,ZADC=ZB+ZBAD,

：.ZB=ZACGf

XVAC=BC,

AAACG^ACBE(ASA),

：.AG=CE9

：.AD=AG+DG=CE+2DF.

【變式3】如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AC^BC,CD是O。的一條弦，且黃=俞，過點A

作APJ_C。，分別交C。，。。于點E,P,連接3P,若8=6,△43尸的周長為13,

求AE的長.

【解答】解：在AE上截取A尸=BP,連接CF,PC,

'：AC^BC,ZCAF^ZCBP,

:.ACAF當(dāng)ACBP,

CF=CP,

'：CD±PA,

:.EF=PE,

：.AE=AF+FE=PB+PE,

'：AC=BC,

；?AC=BC，

VBC=BD)

AAB=CD-

：.AB=CD=6,

「△ABP的周長是13,

：.AP+PB=1,

\'AE=PE+PB,

：.2AE=AP+PB,

【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC,在AB左側(cè)作N2Z)C=N8AC=a,過點A作AE

于點E.

(1)當(dāng)a=90°時,

①求證：AE=DE；

②若BD=MAE=2,請求出△ABC的面積;

(2)當(dāng)aW90°時，求證：BD+DE=EC.

【解答】（1）①證明：過點2作BfUAE,交AE的延長線于點R

A

'：AE.LCD,

：.ZDEF=90°,

又；NBDE=90°,

四邊形2￡)所為矩形，

:.DE=BF,

VZ/?AC=90°,

：.ZBAF+ZEAC=9Q°,

又；/胡。+/4?！?90°,

ZBAF=ZACE,

又曲=90°,AB=AC,

：.AABF^ACAE(A4S),

:.BF=AE,

：.DE=AE-,

②解：：四邊形3DEF為矩形，BD=?AE=2,

：.BD=EF=2,DE=BF=AE=E

：.AF=AE+EF=42+2,

.\BA2=BF2+AF2=(&)2+(V2+2)2=8+4&,

2

.\SAABC=1AB=1X(8+W2)=4+2V2^

(2)證明：過點A作AF±BD,交BD的延長線于F,連接AD,設(shè)CD與AB交于點O,

"：NBDC=ABAC,NBOD=ZAOC,

：.ZACO=ZDOB,

即/ABF=ZACE,

XVZAEC=ZAFB=90°,AC=AB,

:.△ACEWAABF(AAS),

：.AE=AF,BF=CE,

y.'：AD=AD,

：.RtAADE^RtAADF(HL),

:.DE=DF,

：.CE=BF=BD+DF=BD+DE.

【變式5】【問題背景】

如圖①，在邊長為1的正方形A8C￡＞中，點￡為射線8c上的一個動點(與點8,C不

重合)，連接AE,過點E作EFLAE,與正方形ABCD的外角ZDCG的平分線交于點F.李

老師指出，當(dāng)點E為線段BC的中點時，AE=EF.

【初步探索】

(1)如圖②，當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，其他條件不變，那么結(jié)論

是否仍然成立；

【問題解決】

(2)當(dāng)點E在線段BC上時，設(shè)產(chǎn)的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；

【拓展延伸】

(3)如圖③，將正方形ABC。放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點。與點8重合，點C在

尤軸正半軸上，當(dāng)點E運動到某一點時，點尸恰好落在直線y=-2x+3上，求此時點E

的坐標(biāo).

圖①

圖③

【解答】解：【問題背景】

圖1

四邊形ABCD是正方形,

：.AB=BC,ZABC=90°=ABCD,

尸平分/OCG,

：.ZDCF=45°,

AZECF=135°,

是BC的中點,

:.BH=BE=AH=CE,

：.ZBHE=ZBEH=45°,

；?NAHE=NECF=135°,

VAEXEF,

/.ZAEB+ZFEC=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

：.ZFEC=ZBAEf

：.AAHE^AECF(ASA),

：.AE=EF；

【初步探索】

(1)仍然成立，理由如下：

如圖2,在A4的延長線上取一點M使AN=CE,連接NE

圖2

'：AB=BC,AN=CE,

；.BN=BE,

：.ZN=ZFCE=45°,

???四邊形A3CO是正方形，

：.AD//BE,

：.ZDAE=ZBEA,

ZNAE=ZCEF9

在△ANE和方中，

<ZN=ZFCE

<AN=CE，

ZNAE=ZCEF

:.LANE學(xué)/\ECF(ASA)，

：.AE=EF；

【問題解決】

(2)如圖3,在區(qū)4上截取連接”E,

同理得：AAHE咨LECF,

圖3

.".y=S^AHE--l-AH*BE--kr(1-x)=--Ij?+Ax(OWxWl)；

2222

【拓展延伸】

(3)如圖4,在BA上截取88=BE,連接HE,過點/作FM_Lx軸于Af,

.".BE=a=BH,

：.HE=y[2a,

由(1)可得△AHE2ECF,

:.CF=HE=?a,

平分NDCM,

：.ZDCF=ZFCM=45°,

\"FM.LCM,

：.ZCFM=ZFCM=45°,

：.CM=FM=a,

.\BM=l+a,

??點F(l+〃，a)f

:點尸恰好落在直線y=-2x+3上,

/?ct=-2(1+〃)+3,

?k1

3

:.點E(A,0).

3

【典例2】如圖1,在Rt^ABC中，AB=BC,點、D,E,尸分別在AB,BC,AC邊上，且

DE=EF,NDEF=NB,ZA=45°.

（1）試猜想CF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）自主探究:如圖2,若將已知條件中含45°的直角三角形換成含30°的直角三角形,

其余條件不變，試探究BE和CF的關(guān)系.

【解答】解：（1）b與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：CF=42BE.理由:

過點廠作切于點如圖,

?—BC中，AB=BC,/A=45°,

AZC=45°,ZB=90°.

ZDEF=ZB,

：.ZDEF^90°,

；.NDEB+/FEH=90°.

VZBDE+ZDEB=90°,

ZBDE=ZFEH.

在△8￡>E和△HEP中，

，ZBDE=ZHEF

<ZB=ZFHE=90°-

DE=EF

A/\BDE^/\HEF(A4S),

：.BE=FH.

"：FH.LBC,ZC=45°,

△尸HC為等腰直角三角形，

：.FC=42FH,

:*FC=?BE；

(2)CP與BE之間的數(shù)量關(guān)系為：CF=2LH.BE.理由:

3

過點尸作尸于點”，如圖，

A

：RtA48C中，NA=30°,

AZC=60°,ZB=90°.

'：ZDEF=ZB,

：.ZDEF=90°,

:./DEB+/FEH=9Q°.

VZBDE+ZDEB=90°,

ZBDE=ZFEH.

在△8DE和△"￡1/中，

fZBDE=ZHEF

，ZB=ZFHE=90°，

DE=EF

A(A4S),

：.BE=FH.

"JFHLBC,ZC=60°,

sin60°=-5H,

FC

:.FC=N^FH,

3

:.FC=2MBE.

3

【變式1】如圖，在△ABC中，ZABC=45°,A。_L8c于點。，點F是AC上一點，連接

BF交AD于點、E,且DE=CD,連接。尸，若A尸=4,DF=2,則8尸的長為.

A

【解答】解：如圖，在8尸上截取凡連接4/7,

：.AD=BD,ZADB=ZADC=90°,

在△8OE和△ADC中，

，BD=AD

<ZBDE=ZADC=90°>

DE=DC

：./\BDE^/\ADC(SAS),

：.ZEBD=ZCAD,

'：ZBED=ZAEF,

ZAFE=ZBDE=90°,

ZAHF=ZHAF^45°,

：.AH=yf2AF,

：.ZBAH=ZDAF,ZAHB=135°,

ZAEF=ABED,/AFE=NBDE=9Q°,

：.AAFE^ABDE,

?AE=BE

"FEDE，

,/ZAEB=ZFED,

：./\AEB^/\FED,

：.ZEAB=ZEFD=45°,

:./AFD=NAFH+/EFD=90°+45°=135°,

二NAHB=ZAFD,

：.XAHBsXAFD,

.??噠=妲=&,

DFAF

:.BH=?DF,

：.BF=BH+HF^yf2DF+AF=2近+4.

故答案為：2如+4.

【變式2】如圖，四邊形ABCZ）內(nèi)接于O。，BC是。。的直徑，連接AC,BD,若A8=AC,

請?zhí)骄緼D,BD,0c之間的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：作交3。于E,

,:BC是直徑，

AZBAC=90°,

VZBAE+ZEAC=ZDAC+ZEAC=9Q°,

：.ZBAE=ZCAD,

VZABD^ZACD,AB^AC,

.'.△ABE經(jīng)/\ACD(SAS),

：.BE=CD,

,/AA￡D是等腰直角三角形，

:.DE=?AD,

,:BD=DE+BE,

：.BD=\[2AD+CD.

【變式3】如圖，在△ABC中，ZACB=120°,BC>AC,點E在8C上，點。在AB上,

CE=CA,連接DE,ZACB+ZAZ)E=180°,CH1.AB,垂足為點H.求證：DE+AD=

243CH.

AH

D

【解答】證明：如圖，作/PCZ)=NAC8,交BA延長線于尸,

ZFCA+ZACD=ZACD+ZDCB,

：.NFCA=/DCB,

VZACB=120°,ZACB+ZADE=180°,

AZEDB=120°,ZEDA=6Q°,

VZE4C=120°+ZB,ZCED=12Q°+ZB,

：.NFAC=NCED,

在和△E￡>C中，

,ZFAC=ZCED

<AC=CE，

ZFCA=ZDCE

AAFC^AEDC(ASA),

：.AF=DE,FC=CD,

:CHUD,

：.FH=HD,ZFCH=ZHCD=60°,

：.DH=y/3CH,

?/AD+DE=AD+AF=FD=2DH=273CH,

:.AD+DE=2如CH.

【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC,NA4c=90°,點。是平面內(nèi)一點，且AOLCZX點

。是BC的中點，連接。4,0D.

(1)如圖①，若點。是8C下方一點，過點。作0E，。。分別交AC,于點E,F.

①求證：ZOAF=ZOCD；

②若CD=1,DF=2,求BC的長；

(2)如圖②，若點。是AC右側(cè)一點，試判斷AD,CD,之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

圖②

【解答】(1)①證明：???A8=AC,。為3c的中點,

：.OA=OB=OC,OALOC,

丁OELOD,

：.ZAOC=ZEOD=90°,

???ZAOF=/COD,

VZAOM=ZMDC=90°,ZAMO=ZCMD,

：.ZOAM=NMCD,

：./\OAF^/\OCD(ASA),

：.ZOAF=ZOCD；

②解：VAOAF^AOCD,

：.AF=CD=\,

???￡＞尸=2,

???AD=AF+DF=1+2=3,

'：AD±DCf

AZADC=90°,

.*.AC=^AD24CD2=^32+12=7IO,

9

\AC=ABf

：.BC=42AC=y/2XVI^=2遙；

(2)解：AD+CD=4^OD.

理由：過點。作OE，。。，交ZM的延長線于點E,

圖②

'：ZDOE=ZAOC=9Q°,

ZAOE=ZCOD,

VZODC+Z+ODA=90°,ZODA+ZOEA=90°,

：.ZODC=ZOEA,

又：OA=OC,

.,.△OCD^AOAE(AAS),

:.CD=AE,OD=OE,

:*DE=&OD,

：.AD+AE=AD+CD=y/2OD.

【變式5】【問題探究】

如圖，ZXABC是等腰三角形，A8=AC,點。是平面內(nèi)一點，連接A。，BD,CD,且/

CAB=ZCDB.

ci)如圖①，當(dāng)/C4B=60°時，試探究3DCD,A。之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖②，當(dāng)/CA8=120。時，探究處&是否為定值，并說明理由；

AD

【問題解決】

(3)如圖③，在四邊形AOBC中，AB=AC,ZCAB=ZCDB=nO°,若AD=2,BD

=3,求CD的長.

圖③

【解答】解：(1)BD,CD,A￡)之間的數(shù)量關(guān)系為：BD=CD+AD,理由如下：

在上取一點E,使BE=CD,連接AE,設(shè)AC交2。于"，如圖①所示：

NCAB=NCDB,ZAHB=ZCHD,

：.ZABE=ZACD,

在△ABE和△AC。中，

rAB=AC

-ZABE=ZACD-

BE=CD

/.AABE^AAO)(SAS),

：.AD=AE,ZDAC=ZEAB,

：.ZDAC+ZCAE=ZEAB+ZCAE^ZCAB^60°,

...△AOE是等邊三角形，

：.DE=AD,

：.BD=BE+DE=CD+AD；

(2)BD-CD是定值,理由如下：

AD

在8。上取一點E,使BE=CD,連接AE,設(shè)AC交于X,過點A作A尸工8。于R

如圖②所示：

■:NCAB=NCDB,ZAHB=ZCHD,

：.ZABE=ZACD,

在△ABE和△ACQ中，

rAB=AC

<ZABE=ZACD>

BE=CD

AAABE^AACD(SAS),

：.AD=AE,ZDAC=ZEAB,

：.ZDAC+ZCAE=ZEAB+ZCAE=ZCAB=120°,

J.ZADE^ZAED^l.(180°-