高考數(shù)學專項復習訓練：導數(shù)及其應用（14題型解讀）（原卷版）

清單08導數(shù)及其應用

曠=/（七）一/（演）

平均變化率電一再

導

數(shù)

及

其

應

用

考點情單

【考點題型一】平均變化率與瞬時變化率問題

I、平均的變化率的定義：包=三二21=山上3.

Axx2-x}x2-再

2、設物體運動路程與事件的關(guān)系是s=/■⑺,當"趨近于。時，函數(shù)F⑺在辦到％+加之間的平均變

化率加。土干—%。）趨近于常數(shù),我們把這個常數(shù)稱為％時刻的瞬時速度。

【例1】（2324高二下.遼寧朝陽?期中）函數(shù)〃"=3*-2在［0,3］上的平均變化率是（）

【變式11］（2324高二下?北京.期中）已知f⑴=2x+1和gQ）=3x+2在區(qū)間［m,n］上的平均變化率分別

為"和"則（）

A.a>bB.a<b

c.a=bD.“和b的大小隨著m,n的改變而改變

【變式12］（2324高二下.廣東佛山.期中）已知函數(shù).7'（力=2/_6的圖象上一點（1,-1）及附近一點

（l+Ar,T+Ay）,則與=（）

Ax

A.2AxB.2C.4+2Ax2D.4+2Ax

【變式13］（2324高二下?重慶月考）（多選）一個質(zhì)量為4kg的物體做直線運動,該物體的位移y（單

位：m）與時間f（單位：s）之間的關(guān)系為了⑺=，-2/+5/+1,且線=1mv2（《表示物體的動能，單

位：J；機表示物體的質(zhì)量，單位：kg;v表示物體的瞬時速度，單位：m/s）,則（）

A.該物體瞬時速度的最小值為lm/sB.該物體瞬時速度的最小值為2m/s

C.該物體在第1s時的動能為16JD.該物體在第1s時的動能為8J

【考點題型二】導數(shù)定義中極限的應用

導數(shù)的形式化計算主要考查對導數(shù)概念/'（%）=lim=Um/（X）-/（X。）的理解。需要

—Ax1殉x-xQ

說明的是導數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)y=/（x）在x=x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與Ax無關(guān)。

【例2】（2324高二下河南月考）已知函數(shù)/（x）=/+2x,則如1產(chǎn)±華匕&=（）

△x->oAx

A.5B.10C.15D.20

【變式21】（2324高二下.湖北期中）已知lim?止”上別=2,則/?"）=（）

-。Ax

A.-1B.1C.2D.4

【變式22】（2324高二下.河北邢臺期中）已知/'（%）=2,則1面小之注2支注1=（）

【變式23］（2324高二下?江蘇無錫月考）已知f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，若

，(2)T(2+Ar)￡

lim，則〃2）=

Ax->02Ax2

【考點題型三】求（復合）函數(shù)的導數(shù)

1、導數(shù)的四則運算法則

(1)加減法:"(X)土g(x)]'=_f(x)士g'(x)

(2)乘法:[/(%)?g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g\x)

/(x)■f(x)g(%)—/(x)g'(x)

（3）除法：(g(xwO))

g(x)[g，)]2

2、復合函數(shù)的求導法則

一般地，復合函數(shù)y=/（g（x））的導數(shù)和函數(shù)y=/（"）,“=g（x）的導數(shù)間的關(guān)系為"'=yu'-ux'

即y對x的導數(shù)等于y對"的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.

規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導，乘法連接。

[例3]（2324高二下?廣東廣州?期中）下列函數(shù)求導正確的是（）

【變式31](2324高二下?北京期中)下列導數(shù)運算錯誤的是()

A.=則尸(x)=(x+l)e*B./(x)=sin|,則f(x)=cos^

C.f[x)=4x,貝口?〃x)=F,則尸(x)J

【變式32]（2324高二下?重慶月考）下列求導運算正確的是（）

D.(fcosx)=-2xsinx

【變式33]（2324高二下?廣東廣州期中）（多選）下列求導運算正確的是（）

A,若/（x）=cos（2九+3）,貝[]/>'（x）=2siii（2x+3）

B.若〃尤）=己，則/（%）=子

C.若〃月=6幺+1,則/（x）=edM

D,若〃x)=xlnx,貝［］尸(x)=lnx+l

【考點題型四】“在“曲線上一點的切線問題

求曲線“在”某點處的切線方程步驟

第一步(求斜率)：求出曲線在點(天,/(/))處切線的斜率r(x°)

第二步(寫方程)：用點斜式y(tǒng)—/(X。)=/(%)(x—%)

第三步(變形式):將點斜式變成一般式。

【例4】(2324高二下.內(nèi)蒙古.期末)曲線〃耳=-尤2+、在點(11⑴)處的切線方程為()

A.5x+y+3=0B.5x+y-l=0

C.%-y+l=0D.x-y-l=0

【變式41】(2324高二下.廣東深圳月考)已知曲線/(x)=?xlnx+l在點(1"⑴)處的切線方程是

y=—x+b，貝！16=()

A.2B.-2C,1D.-1

【變式42】(2324高二下.湖南常德.期中)若曲線/(x)=2x+xsinx+l在點［方處的切線與直線

依->+1=0垂直,則實數(shù)。的值為.

【變式43】(2324高二下?江西月考)已知曲線/(0=/+爾+萬在x=1處的切線方程為y=3x-l.

(1)求。，6的值；

(2)求曲線股/⑺過點*2,1)的切線方程.

【考點題型五】“過”曲線上一點的切線問題

求曲線“過”某點處的切線方程步驟

第一步：設切點為Q(Xo，/(%o))；

第二步：求出函數(shù)y=/(X)在點X。處的導數(shù)尸(%)；

第三步：利用2在曲線上和/'(%)=kPQ,解出/及廣(盡)；

第四步：根據(jù)直線的點斜式方程,得切線方程為y-/(/)=f'(x0)(x-x0).

［例5］（2223高二下遼寧月考）過原點且與函數(shù)/（尤）=ln（f）圖像相切的直線方程是（）

21

A.>=B.y=——xC.y=——xD.y=

ee

【變式51】（2324高二下.江西贛州?月考）已知函數(shù)/（%）=/一6/+9彳—7,直線/過點（0,1）且與曲線

V=/（%）相切，則直線/的斜率為（）

A.24B.24或一3C.45D.0或45

【變式52】（2324高二下.黑龍江哈爾濱.期中）已知直線丫=〃式-e與曲線y=xe'相切,則實數(shù)加的值為

（）.

A.-4B.1C.eD.2e

e

【變式53】（2324高二下河南月考）過點（0,間可作/（x）=e「x的斜率為1的切線，則實數(shù)

【考點題型六】兩條曲線的公切線問題

求公切線方程

已知其中一曲線上的切點，利用導數(shù)幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；若不知切點坐

標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關(guān)系式，解方程。

具體做法為：設公切線在y=/（x）上的切點片（%,/（七））,在y=g（x）上的切點8（馬送0；2））,

則,a）=g'（x2）=/a）-g（"）

X,一12

［例6］（2324高二下.湖北月考）已知直線尸質(zhì)+〃是曲線〃x）=e，與Mx）=e*”2024的公切線,則

k=（）

【變式61】（2324高二下.江蘇南通月考）已知直線、=辰+〃既是曲線y=lnx的切線，也是曲線

、=-皿-無）的切線，則（）

A.k=—,b=0B,k=\,b=0

e

C.k=-tb=-1D.k=l,b=-l

【變式62】(2223高二下?湖北?期中)若直線》+>+。=。是曲線，(同=9+笈一14與曲線g(x)=x?-31nx

的公切線，則”6=().

A.26B.23C.15D.11

【變式63】(2223高三下?安徽開學考試)已知直線/與曲線y=e\y=2+lnx者阱目切,則直線/的方程

為.

【考點題型七】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)/(尤)的定義域；

(2)求/'(尤)(通分合并、因式分解)；

(3)解不等式/'(司>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式/'(X)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

2、含參函數(shù)討論的

(1)最高次幕的系數(shù)是否為0,即“是不是”；

(2)導函數(shù)是都有變號零點，即“有沒有”；

(3)導函數(shù)的變號零點是否在定義域或指定區(qū)間內(nèi)，即“在不在”；

(4)導函數(shù)有多個零點時大小關(guān)系，即“大不大”。

【例7】(2324高二下.黑龍江哈爾濱?期中)函數(shù)y=In無的單調(diào)減區(qū)間是()

A.(0,1)B,(-8,-1)和(0,1)C.(-<?,1)D,(0,1)0(-oo,-l)

【變式71】(2324高二下福建莆田.期中)已知函數(shù)"r)=——-,其單調(diào)增區(qū)間為

3

【變式72】(2324高二下.黑龍江哈爾濱?期中)已知函數(shù).〃尤)=aln無+廣元2一5+3)無，aeR,

(1)當。=1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

【變式73】(2324高二下.吉林長春期中)已知函數(shù)/(x)=(l-b)lnx+"+L，wR.

(1)當6=0時，求曲線y=f(x)在(1)(1))處的切線方程;

(2)討論/a)的單調(diào)性.

【考點題型八】已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

(1)函數(shù)“X)在區(qū)間D上單調(diào)增(單減)=f\x)>0(<0)在區(qū)間D上恒成立；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)增(單減)區(qū)間=/'(X)>0(<0)在區(qū)間D上能成立；

(3)已知函數(shù)/■(%)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)=/'(x)不存在變號零點

(4)已知函數(shù)/在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)=/'(x)存在變號零點

InX

【例8】(2324高二下?四川內(nèi)江?期中)函數(shù)/(*)=——在3,y)上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為

X

()

A.(0,e)B,[e,+oo)C,[0,e-l]D.(0,e-l)

【變式81】(2324高二下?江蘇?期中)若函數(shù)〃尤)=必-alnx+1在(1,2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.[0,2]B.(-oo,2)C,[8,+co)D.(-w,2]

【變式82](2324高二下?安徽月考)已知函數(shù)〃x)=asinx+xcosx,若/⑺在[-兀,兀]上單調(diào),則實數(shù)a

的取值范圍為()

A.[0,1]B.C.S，T]D.{-1}

【變式83】(2324高二下.四川涼山.期中)已知函數(shù)/(彳)=f-5彳+°111彳在(4,5)上存在遞減區(qū)間，則實數(shù)

。的取值范圍為.

【考點題型九】原函數(shù)與導函數(shù)的圖象關(guān)系

通過圖象研究函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)觀察原函數(shù)的圖象重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點，分析函數(shù)值的變化趨勢；

（2）觀察導函數(shù)的圖象重在找出導函數(shù)圖象與x軸的交點，分析導數(shù)的正負。

【例9】（2324高二下.四川成都.期中）函數(shù)y=在定義域卜川內(nèi)可導，記y=的導函數(shù)為

y=f\x）,y=的圖象如圖所示，則產(chǎn)“X）的單調(diào)增區(qū)間為（）

【變式91]（2324高二下?全國?期末）如果函數(shù)v="X）的圖象如圖，那么導函數(shù)＞=/'（x）的圖象可能是

【變式92】（2324高二下.吉林.期中）已知函數(shù)Ax）在定義域內(nèi)可導，/⑺的大致圖象如圖所示，則其導

函數(shù)/‘（X）的大致圖象可能為（）

【變式93】（2324高二下.安徽合肥.期中）已知函數(shù)y=#'（x）的大致圖象如圖所示（其中廣⑺是函數(shù)

f（尤）的導函數(shù)），則戶/（x）的圖象可能是（）

【考點題型十】導數(shù)構(gòu)造法解函數(shù)不等式

關(guān)系式為“加”型一構(gòu)造：

(1)/'(x)g(x)+/(x)g'(x)構(gòu)造"(九)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

(2)V(X)+/(%)>0構(gòu)造W(x)I=w'(x)+/(x)

(3)/(%)+/(x)>0構(gòu)造=el[/'(x)+/(%)]

(4)獷?’(%)+((%)NO構(gòu)造=xnf\x)+nxn-lf(x)=x^lxf,ix)+nf(x)](注意x的符號)

(5)r(九)+〃(龍)構(gòu)造"(x)/r=ra)/+"(x)/=/"'(x)+"(x)]

關(guān)系式為“減”型構(gòu)造：

(6)r(x)g(x)-f(x)g'(x)構(gòu)造=/'，/⑴一/9抬'。)

g(尤)[g(尤)]

(7)xf(x)-f(x)>0構(gòu)造［----］=-------z-----

XX

(8)/'(x)-/(x)>0構(gòu)造［與］/(。，叱二八")二小)

e(e)e

(9)V'(x)—4(x)20構(gòu)造[忠I=邙⑴-仁/⑴=-J)丁x)(注意》的符號)

%〃(X)無

(10)構(gòu)造[3],=廣⑴e廠心⑴”=r(x)-好(X)

e疝[*丁*

【例10](2324高二下?內(nèi)蒙古.期末)已知尸⑺是定義域為?函數(shù)〃刈的導函數(shù)，且

/,(x)sinx+/(x)cosx>0,則不等式/1+])0^>3/1)的解集為()

A?HTB.卜汨)C.(-p°)口.苧

【變式101](2324高二下.山東棗莊月考)已知定義在R上的函數(shù)〃x)的導數(shù)為尸⑺,f(l)=e,且對

任意的x滿足/'⑺-〃x)<e1則不等式/(x)>xe，的解集是()

A.(-℃,1)B.(-oo,0)C.(0,1)D.

【變式102](2324高二下.廣東佛山月考)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，是廣⑺的導

函數(shù)，且當XW(YO，。)時，xf\x)<2f(x),"-1)=0,則不等式/(巧>0的解集為()

A.(YO,-l)u(0,l)B.1,a)U(。/)

C.+℃)D.co,—l)u(l,+oo)

【變式103](2324高二下?黑龍江哈爾濱期中)已知定義在R上的奇函數(shù)“X),其導函數(shù)為尸(x),

〃-3)=0,當尤>0時，3/(力+礦(x)<。，則使得f(x)<0成立的x的取值范圍是().

A.(―co,—3)u(0,3)B.(―3,0)o(3,-K?)

C.(-OO,-3)U(3,-H?)D.(f,-3)5-3,0)

【變式104](2324高二下.貴州貴陽月考)已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足：

43)=-5e6,2/(x)-r(x)<2e”,則不等式〃lnx)Wx2-2/lnr的解集為.

【考點題型十一】利用導數(shù)求函數(shù)的極值或極值點

1、函數(shù)的極值

(1涵數(shù)的極小值：函數(shù))，=%)在點x的函數(shù)值加)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,了(4=0；

而且在點x=<2附近的左側(cè)了(X)<0,右側(cè)了(尤)>0,則點。叫做函數(shù)y=危)的極小值點，仙)叫做函數(shù)>=段)

的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y=段)在點x=b的函數(shù)值型)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,f(b)=0；

而且在點x=b附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)了(無)<0,則點b叫做函數(shù)y=/U)的極大值點，型)叫做函數(shù)尸危)

的極大值.

2、利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟

(1)求導數(shù)/'(X)；

(2)求方程/'(幻=0的所有實數(shù)根；

(3)觀察在每個根飛附近，從左到右導函數(shù)r(x)的符號如何變化.

①如果/'(x)的符號由正變負，則/(%)是極大值；

②如果由負變正，則/(%)是極小值.

③如果在/'(X)=0的根x=x0的左右側(cè)/'(x)的符號不變，則不是極值點.

【例11】(2324高二下.廣東潮州.期中)已知函數(shù)/(元)的定義域為R且導函數(shù)為尸(x),如圖是函數(shù)

A.函數(shù)外”的增區(qū)間是(-2,0),(2,+8)

B.函數(shù)的減區(qū)間是(-X,-2),(2,+力)

C.x=-2是函數(shù)的極小值點

D.x=2是函數(shù)的極小值點

【變式山】(2324高二下?廣東佛山月考)函數(shù)/'(%)=(尤2-8衣、的極大值點為.

【變式112](2324高二下?廣東廣州?期中)已知函數(shù)〃司=+3+6尤2+CX+3在(-00,-1)和(3,+00)上為增函

數(shù)，在(-1,3)上為減函數(shù).

(1)求〃》)的解析式；

(2)求〃。的極值.

【變式113]（2324高二下?四川達州?期中）已知函數(shù)7'（》）=；/-（a-l）x+alnx（aeR）,/⑺的圖象在

⑴）處的切線交x軸于點,0）.

（1）求實數(shù)”的值；

（2）求函數(shù)Ax）的極值

【考點題型十二】已知函數(shù)的極值或極值點求參數(shù)

1、已知可導函數(shù)的極值求參數(shù)問題的解題步驟：

①求函數(shù)的導數(shù)/'（x）；②由極值點的導數(shù)值為0,列出方程（組），求解參數(shù)

注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是夠滿足題目的條件。

2、對于函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)無機制的問題，往往轉(zhuǎn)化為其導數(shù)的值非負或非正在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，即

轉(zhuǎn)化為r（x）之?；騬a）wo在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題,此時需注意不等式中的等號是否成立。

【例12】（2324高二下.寧夏吳忠期中）若〃力=。山+丁在％=1處有極值，貝心=（）

A.0B.-2C.1D.-1

【變式121]（2324高二上.天津濱海新?期中）函數(shù)了（幻=4/_依2_2法+2在x=l處有極小值-3,貝畀-a

的值等于（）

A.0B.-2C,-4D.6

【變式122]（2324高二下.廣東廣州.期中）函數(shù)=xlnx—/cx2—x在定義域內(nèi)有兩個極值點，則實數(shù)々的

取值范圍為（）

AFTB.卜7C.foD.fo

【變式123]（2324高二下.安徽阜陽?期中）已知函數(shù)f（x）=lna-3）-依（aeR）.

（1）若”1,判斷了（元）的單調(diào)性；

（2）若/（元）在（5,+8）上沒有極值點，求。的取值范圍.

【考點題型十三】利用導數(shù)求函數(shù)的最值

1、函數(shù)的最值

（1）在閉區(qū)間,加上連續(xù)的函數(shù)兀0在傳,功上必有最大值與最小值.

（2）若函數(shù)4X）在團,切上單調(diào)遞增，則知）為函數(shù)的最小值，型）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)危）在口,切上

單調(diào)遞減，則知）為函數(shù)的最大值，段）為函數(shù)的最小值.

2、利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法

（1）若函數(shù)y=/（尤）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在曲線（七。）內(nèi)只有一個導數(shù)值為o的點，且在這

一點處取得極值，則該點一定是函數(shù)的最值點.

（2）求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，一定是找出該區(qū)間上導數(shù)值為。的點，無需判斷出是極大值點還

是極小值點，只需將這些點對應的函數(shù)值與端點處的函數(shù)值進行比較，期中最大的