專題1平面向量的運算（知識點串講）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點大串講（新教材浙江）

20202021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點大串講（新教材·浙江）專題1平面向量的運算【知識網(wǎng)格】【知識講練】知識點一平面向量的概念名稱定義記法零向量長度為__0__的向量叫做零向量0單位向量長度等于__1__個單位的向量，叫做單位向量相等向量__長度__相等且方向相同的向量叫做相等向量__a＝b__說明，任意兩個相等的非零向量，都可用同一條__有向線段__來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在平面上，兩個長度相等且方向一致的有向線段表示同一個向量平行向量方向__相同__或__相反__的非零向量叫做平行向量__a∥b__規(guī)定：零向量與任何向量都__平行__0∥a說明：任一組平行向量都可以平移到同一__直線__上，因此，平行向量也叫__有線__向量例1.（2021·全國高一課時練習(xí)）給出下列命題：①向量與是相等向量；②共線的單位向量是相等向量；③模為零的向量與任一向量共線；④兩平行向量所在直線互相平行．其中不正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解析】根據(jù)向量的概念和共線向量，逐個分析判斷，即可得解.【詳解】對于①，向量與是相反向量，不一定是相等向量，①錯誤；對于②，共線的單位向量不一定是相等向量，也可能是相反向量，②錯誤；對于③，模為零的向量是零向量，它與任一向量共線，③正確；對于④，兩平行向量所在直線不一定互相平行，也可能重合，④錯誤；綜上，其中不正確的是①②④．故選：C．【變式訓(xùn)練11】（2021·全國高一課時練習(xí)）下列命題正確的是（）A．與共線，與共線，則與也共線B．單位向量都相等C．向量與不共線，則與都是非零向量D．共線向量一定在同一直線上【答案】C【解析】根據(jù)向量的基本概念和共線向量的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于中，當(dāng)時，與不一定共線，故錯誤；對于中，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故錯誤；對于中，由零向量與任意向量都共線，得到向量與不共線，則與都是非零向量，故正確；對于中，共線向量都平行于同一直線，不一定在同一直線上，故錯誤.故選：C.【變式訓(xùn)練12】（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高一月考）給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若，都是單位向量，則；③若，則或；則所有正確命題的號是（）A．③ B．① C．①③ D．①②【答案】B【解析】根據(jù)向量的有關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】零向量的長度為零，方向是任意的，故①正確單位向量是指長度為1的向量，兩個單位向量不一定相等，故②錯誤兩個向量長度相等，推不出這兩個向量相等或者是相反向量，故③錯誤故選：B【方法技巧】對平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對任意的向量a，都有0∥a，這里注意概念中提到的“非零向量”．(2)對于任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定的．(3)相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量．例2知識點二平面向量的加法1．向量的加法(1)定義：求兩個向量__和__的運算，叫做向量的加法．兩個向量的和仍然是一個__向量__．(2)三角形法則：如圖甲所示，已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做向量a與b的和，記作a＋b.這種求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法則．(3)平行四邊形法則：已知兩個不共線向量a、b(如圖乙所示)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則A、B、D三點不共線，以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形ABCD，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．2．向量加法的交換律：a＋b＝b＋a.3．向量加法的結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)例2.（2021·全國高一課時練習(xí)）如圖，已知點、、分別是三邊、、的中點，求證：.【答案】證明見解析.【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則證明即可.【詳解】證明：連接、、，如圖，、、分別是三邊的中點，，，四邊形為平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則，得①，同理在平行四邊形中，②，在平行四邊形在中，③，將①②③相加，得.【變式訓(xùn)練21】（2021·全國高一課時練習(xí)）__.【答案】【解析】根據(jù)向量加法法則求解．【詳解】故答案為：【變式訓(xùn)練22】（2021·全國高一課時練習(xí)）作五邊形，求作下列各題中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量的加法法則求解即可；（2）利用平面向量的加法法則求解即可．【詳解】（1）；（2）.【方法技巧】平面向量運算中化簡的兩種方法：(1)代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量．有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量．(2)幾何法：通過作圖，根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡．知識點三平面向量的減法1．相反向量定義如果兩個向量長度__相等__，而方向__相反__那么稱這兩個向量是相反向量性質(zhì)①對于相反向量有：a＋(－a)＝0②若a、b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量2．向量的減法定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的__相反向量__作法在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).如圖所示幾何意義如果把兩個向量a、b的起點放在一起，則a－b可以表示為從向量b的__終點__指向向量a的__終點__的向量例3.（2021·浙江高一期末）下列命題正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)向量加法、減法的幾何意義即可判斷出，都錯誤，正確，根據(jù)向量的數(shù)乘運算即可判斷錯誤．【詳解】解：，，．故選：．【變式訓(xùn)練31】（2021·江蘇高一期中）化簡（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用平面向量的加法和減法運算求解.【詳解】，，，故選：B【變式訓(xùn)練32】（2021·全國高一課時練習(xí)）中，__.【答案】【解析】直接利用向量加法法則即可求出答案.【詳解】故答案為：.【方法技巧】進(jìn)行向量的加減運算時，常用的變形如下：(1)運用eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))化減為加；(2)運用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))化繁為簡；(3)運用eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))轉(zhuǎn)化為共起點的兩個向量的差。知識點四平面向量的數(shù)乘1．向量的數(shù)乘定義一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個__向量__，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa長度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向與a的方向__相同__λ＝0λa＝0λ<0λa的方向與a的方向__相反__2．?dāng)?shù)乘的幾何意義λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍．3．向量數(shù)乘的運算律向量的數(shù)乘運算滿足下列運算律：設(shè)λ、μ為實數(shù)，則(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．5．向量的線性運算向量的__加__、__減__、__數(shù)乘__運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a、b以及任意實數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．例4．（2021·浙江高一期末）已知是不共線向量，且，，，則（）A．，，三點共線 B．，，三點共線C．，，三點共線 D．，，三點共線【答案】A【解析】根據(jù)向量共線以及向量有一個公共的端點，從而得出對應(yīng)的點共線，由此對每一選項進(jìn)行驗證得出答案.【詳解】選項A.由，即,所以，，三點共線，故選項A正確.選項B.由，，可得向量與不共線所以，，三點不共線，故選項B不正確.選項C.由，，可得向量與不共線所以，三點不共線，故選項C不正確.選項D.由，即又，顯然可得向量與不共線所以，三點不共線，故選項D不正確.故選：A【變式訓(xùn)練41】（2021·浙江高一期末）如圖所示，已知在中，O是重心，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】連接并延長交于點，則是的中點，，，進(jìn)而用三角形法則可以求得.【詳解】連接并延長交于點，因為是重心，則是的中點.，所以.故選：B.【變式訓(xùn)練42】（2021·全國高一課時練習(xí)）已知非零向量與共線，下列說法不正確的是（）A．或 B．與平行C．與方向相同或相反 D．存在實數(shù)，使得【答案】A【解析】根據(jù)向量共線的概念，以及向量共線定理，逐項判斷，即可得出結(jié)果．【詳解】非零向量與共線，對于，，，故錯誤；對于，向量與共線，向量與平行，故正確；對于，向量與共線，與方向相同或相反，故正確；對于，與共線，存在實數(shù)，使得，故正確.故選：A.【方法技巧】用向量法證明三點共線時，關(guān)鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使得b＝λa(a、b為這三點構(gòu)成的其中任意兩個向量)．證明步驟是先證明向量共線，然后再由兩向量有公共點，證得三點共線．知識點五平面向量的數(shù)量積1．兩向量的夾角與垂直定義已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則__∠AOB__叫做向量a與b的夾角圖示特殊情況θ＝0°a與b__同向__θ＝180°a與b__反向__θ＝90°a與b__垂直__，記作a⊥b2．平面向量的數(shù)量積的定義定義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，其中θ是a與b的夾角記法記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積3．兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量，(1)a⊥b?a·b＝0．(2)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)．(3)|a·b|≤|a||b|．4．平面向量數(shù)量積的運算律已知向量a、b、c和實數(shù)λ．(1)交換律：a·b＝b·a．(2)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．例5.（2021·金昌市第一中學(xué)（理））若，，與的夾角是，則（）A．12 B． C．1 D．【答案】C【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積的計算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】由題意，向量，，與的夾角是，所以.故選：C.例6.（2021·浙江高一期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為_________．【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，由算出即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，所以因為，所以故答案為：例7.（2021·浙江高一期末）非零平面向量，滿足，且，則的最小值為___________．【答案】【解析】根據(jù)已知條件先求解出的夾角，然后作出圖示，利用圖示分析的最小值.【詳解】因為，，設(shè)的夾角為，所以，當(dāng)時，成立，此時，當(dāng)時，則，所以的夾角為，如下圖，的終點在射線上，所以綜上可知：，故答案為：.【變式訓(xùn)練51】（2021·浙江高一期末）已知正三角形的邊長為2，設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)為的中點，連接，利用向量的線性運算可判斷A的正誤，判斷出的夾角后可判斷BD的正誤，利用數(shù)量積的運算律和定義可判斷C的正誤.【詳解】設(shè)為的中點，連接，則，因為，故.因為，故A錯誤.的夾角即為與的夾角，而與的夾角為，故B錯誤.，故.，故D錯誤，故選：C.【變式訓(xùn)練52】（2021·浙江高一期末）已知兩非零向量與的夾角為，且，則（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律，借助于可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，整理可得：，解得：或（舍）.故選：C.【變式訓(xùn)練52】【多選題】（2021·浙江高一期末）已知是三個平面向量，則下列敘述錯誤的是（）A．若，則B．若，且，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】根據(jù)向量共線的概念可判斷A；利用向量數(shù)量積的運算律可判斷B；根據(jù)與任意向量共線可判斷C；將與平方可判斷D.【詳解】A，若，可取，，則，故A錯誤；B，若，且，當(dāng)，時，則與不一定相等，故B錯誤；C，若，當(dāng)時，與不一定平行，