332拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(精講)-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練(人教A版2019選擇性)

3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、四種拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形范圍對(duì)稱軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)離心率通徑二、焦半徑公式設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)為.1、拋物線，.2、拋物線，.3、拋物線，.4、拋物線，.【注意】三、直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒有公共點(diǎn)）.2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；若，直線與拋物線沒有交點(diǎn).（2）直線的斜率存在.設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，即二次方程（或）解的個(gè)數(shù).①若，則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn).②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn).四、直線與拋物線相交弦長問題1、一般弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為.（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）.（2）,推導(dǎo)：由題意，知，①②由①②，得.故，即.（3）直線的方程為.2、焦點(diǎn)弦長如圖，是拋物線過焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.（2）(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.（6）為定值.題型一由拋物線解析式研究其幾何性質(zhì)【例1】對(duì)拋物線，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點(diǎn)為B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.【變式11】下列命題中正確的是（）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．B．拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1．C．拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．D．拋物線的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.【變式12】下列拋物線中，開口最小的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)于對(duì)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，開口最大：說明一次項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最小，觀察四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：A選項(xiàng)平方項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最小，本題選擇A選項(xiàng).【變式13】在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，得表示焦點(diǎn)在軸上開口向左的拋物線.故選：D.題型二由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2的拋物線方程是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】依題意設(shè)拋物線方程為．因?yàn)榻裹c(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2，所以，所以，所以拋物線方程為或．故選：C．【變式21】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.【變式22】拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)在直線上．則拋物線方程為（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為軸可知，拋物線方程為．在中，令，得焦點(diǎn)為，故．故答案為D【變式23】點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】將轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為，即；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為，即.所以拋物線的方程為或故選：D題型三直線與拋物線的位置關(guān)系判斷【例3】設(shè)直線，拋物線，當(dāng)為何值時(shí)，與相切？相交？相離？【答案】當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交；當(dāng)時(shí)，與相離.【解析】聯(lián)立方程，得消去并整理，得.當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程.所以.當(dāng)，即時(shí)，與相切；當(dāng)，即且時(shí)，與相交；當(dāng)，即時(shí)，與相離.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，顯然與拋物線交于點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，與相切；當(dāng)時(shí)，與相交；當(dāng)時(shí)，與相離.【變式31】直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【答案】A【解析】直線過定點(diǎn)，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．【變式32】過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條【答案】C【解析】由已知，可得①當(dāng)直線過點(diǎn)且與軸平行時(shí)，方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由可得，，，解得，故直線方程.所以存在3條直線，，滿足過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).故選：C.【變式33】直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，滿足的條件是（）A．B．，C．，D．或【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.【變式34】拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，無解，故直線與拋物線沒有公共點(diǎn),如圖所示.設(shè)直線與拋物線相切，則直線與的距離即為拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離，，則，，所以兩平行直線與的距離為：.故選：B.題型四直線與拋物線相交弦長問題【例4】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線分別交于兩點(diǎn)，則（）A．1B．3C．6D．8【答案】D【解析】由題意可知，所以直線與的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，可得，設(shè)則，所以.故選：D.【變式41】過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則POQ的面積為_________.【答案】【解析】設(shè)P，Q，則，過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)（1，0），傾斜角為的直線為xy1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，∴，∴∴【變式42】入射光線由點(diǎn)出發(fā)，沿軸反方向射向拋物線：上一點(diǎn)，反射光線與拋物線交于點(diǎn)，則的值為（）A．4B．C．2D．【答案】B【解析】易得的縱坐標(biāo)為，代入可得.根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，因?yàn)槿肷涔饩€由點(diǎn)出發(fā)，沿軸反方向射向拋物線，故反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，故的斜率為.設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立可得，故故選：B【變式43】已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知，直線不可能與軸平行，設(shè)直線的方程為，由，消去，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，解得或（舍），，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取的最小值為,所以的最小值為,故選：C.題型五拋物線的中點(diǎn)弦及點(diǎn)差法【例5】已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A．4B．2C．1D．【答案】B【解析】設(shè)，，∵是AB的中點(diǎn)，∴，由，相減得，所以直線的斜率，故選：B．【變式51】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則點(diǎn)F到直線l的距離為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，，所以，即，因?yàn)锳B的中點(diǎn)為，，所以直線的斜率，所以直線的方程為，所以焦點(diǎn)到直線的距離，故選：A.【變式52】已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)．若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則()A．6B．7C．9D．10【答案】D【解析】焦點(diǎn)為，p＝4，設(shè)的中點(diǎn)為，∴，∴，即，故，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，故，故，∴，∴．故選：D．【變式53】經(jīng)過拋物線：的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于?兩點(diǎn).若，則線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由題可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，因?yàn)橹本€過拋物線焦點(diǎn)，所以，所以，中點(diǎn)，所以中點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，故選：C題型六拋物線中的定點(diǎn)定值最值問題【例6】已知拋物線的焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，滿足．（1）求拋物線的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線被拋物線截得的弦為，若在以為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，則直線的方程為．聯(lián)立可得，，設(shè)、，則．由拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為．（2）由題意知直線的方程為，聯(lián)立得，由，得．設(shè)、，得，．又，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，所以為鈍角，即，得，解得.因?yàn)?，所以的取值范圍為．【變?1】已知、、，圓，拋物線，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與圓交于、兩點(diǎn)，記面積為，面積為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，，因?yàn)?，解得，故拋物線的方程．（2）由，，得，設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離，得，，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，則且，則，令，則，，則，綜上，的取值范圍為．【變式62】如圖，已知拋物線，為拋物線焦點(diǎn)，點(diǎn)，,直線交拋物線于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)（），過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.（1）求拋物線的方程；（2）求點(diǎn)到直線距離的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，到準(zhǔn)線的距離等于，故，；（2）由題意知，則，故，整理可得，聯(lián)立方程，整理得，可得.∴，由題意，拋物線上（），過作直線的垂線，垂足為.∴，可得，設(shè)到的距離為，則有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【變式63】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線平分線段AB，求直線的傾斜角；（3）若點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線的斜率分別為、、．求證：當(dāng)時(shí)，為定值．【答案】（1）；；（2）或；（3）證明見解析.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，可得，所以，又，所以，又，可得，所以拋物線的方程為；（2）由（1）可知，設(shè)點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，則有，，由題知點(diǎn)D在直線上，所以，得或，設(shè)直線l的傾斜角為，則或，又，故直線的傾斜角為或；（3）由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，可得，即，由上知，又，所以，所以為定值．【變式64】已知點(diǎn)在拋物線E：（）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)M作直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，斜率為2的直線與拋物線E交于A，C兩點(diǎn).（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（ⅰ）求證：直線過定