專題08三角函數的概念（知識串講熱考題型專題訓練）-2022-2023學年高一數學上學期期中期末考點大串講（2019）（原卷版）

專題08三角函數的概念（一）任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．(2)角的表示如圖所示：①始邊：射線的起始位置OA．②終邊：射線的終止位置OB．③頂點：射線的端點O．④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”．(3)正角、負角、零角正角：按逆時針方向旋轉形成的角負角：按順時針方向旋轉形成的角零角：射線從起始位置OA沒有作任何旋轉，終止位置OB與起始位置OA重合，稱這樣的角為零度角，又稱零角這樣，我們就把角的概念推廣到任意角，包括正角、負角和零角．（二）象限角使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合．那么，角的__終邊__(除原點外)在第幾象限，就說這個角是第幾__象限角__，即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內，不與__坐標軸__重合．如果角的終邊在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限．（三）終邊相同的角(1)研究終邊相同的角的前提條件是：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合．(2)終邊相同的角的集合：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝__α＋k·360°__，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．[拓展]1.象限角與軸線角(終邊在坐標軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}（四）弧度制1.弧度制(1)定義：以__弧度__為單位度量角的單位制叫做弧度制．(2)度量方法：長度等于__半徑長__的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．如圖所示，圓O的半徑為r，eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))的長等于r，∠AOB就是1弧度的角．【一定大小的圓心角α的弧度數是所對弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關．】(3)記法：弧度單位用符號rad表示，或用“弧度”兩個字表示．在用弧度制表示角時，單位通常省略不寫．2．弧度數一般地，正角的弧度數是一個__正__數，負角的弧度數是一個__負__數，零角的弧度數是__0__．如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數的絕對值是|α|＝eq\f(l,r)．3．弧度與角度的換算公式(1)周角的弧度數是2π，而在角度制下的度數是360，于是360°＝2πrad，即根據以上關系式就可以進行弧度與角度的換算了．弧度與角度的換算公式如下：若一個角的弧度數為α，角度數為n，則αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．(2)常用特殊角的弧度數0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)__2π__【角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時，二者不可混用.角度制是六十進制，單位“°”不能省略；弧度制是十進制，單位“rad”可以省略】(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起__一一對應__關系：每一個角都有唯一的一個__實數__(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，任一個實數也都有唯一的一個__角__(即弧度數等于這個實數的角)與它對應．4．弧長公式與扇形面積公式(1)弧長公式在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝|α|r，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示名稱角度制弧度制弧長公式l＝eq\f(nπr,180)l＝__|α|r__扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr注意事項r是扇形的半徑，n是圓心角的角度數r是扇形的半徑，α是圓心角的弧度數，l是弧長（五）任意角的三角函數1.三角函數的定義（1）定義：設α是一個任意角，α的終邊上任意一點P的坐標是(x，y)，它與原點的距離是r(r＝eq\r(x2＋y2)>0)，那么：比值eq\f(y,r)叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝eq\f(y,r)；比值eq\f(x,r)叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝eq\f(x,r)；比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)．正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(trigonometricfunction)．(2)定義域：如表所示三角函數解析式定義域正弦函數y＝sinxR余弦函數y＝cosxR正切函數y＝tanx{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}2．三角函數值的符號sinα、cosα、tanα在各個象限的符號如下：正弦、余弦和正切函數在各象限的符號可用以下口訣記憶：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含義是在第一象限各三角函數值全為正，在第二象限只有正弦值為正，在第三象限只有正切值為正，在第四象限只有余弦值為正．（六）三角函數線1.單位圓在直角坐標系中，我們稱以原點為圓心，以__單位長度__為半徑的圓為單位圓．2．有向線段：一條線段有兩個端點，如果規(guī)定其中一個端點為起點，另一個為終點，這條線段被看做帶有方向，于是把它叫做有向線段．表示有向線段時，要先寫起點的字母，后寫終點的字母．當有向線段與數軸平行時，我們可根據此線段的方向(從起點向終點)與數軸的方向相同或相反，分別把它的長度加上正號或負號，這樣所得的數，就是此有向線段的數值，它是一個實數.3．三角函數線的作法如圖，設單位圓與x軸的正半軸交于點A，與角α的終邊交于點P(角α的頂點與原點重合，角α的始邊與x軸的非負半軸重合)．過點P作x軸的垂線PM，垂足為M，過點A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點，這樣就有sinα＝__MP__，cosα＝__OM__，tanα＝__AT__.單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的__正弦__線、__余弦__線、__正切__線，統(tǒng)稱為三角函數線．4.特別提醒：①三角函數線的位置：正弦線為α的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中正弦線和余弦線在單位圓內，正切線在單位圓外．②三角函數線的方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向切線與α的終邊(或反向延長線)的交點．③三角函數線的正負：三條有向線段凡與x軸正方向或y軸正方向同向的為正值，與x軸正方向或y軸正方向反向的為負值．④三角函數線的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后．⑤三角函數線的意義：三角函數線的方向表示三角函數值的符號；三角函數線的長度等于所表示的三角函數值的絕對值．（七）同角三角函數的基本關系式1．公式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數關系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.注意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關2．常用的等價變形sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)；))tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))（八）誘導公式1.誘導公式一四，它們可概括如下：(1)記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，可以簡單地說成“函數名不變，符號看象限”．(2)解釋：“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負號；“看象限”是指假設α是銳角，要看原三角函數值是取正值還是負值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα..2.誘導公式五、六可簡記為“函數名改變（正弦變余弦，余弦變正弦），符號看象限”.題型一任意角【典例1】（2022·江西省萬載中學高一階段練習）已知角，則符合條件的最大負角為（

）A．–22o B．–220o C．–202o D．–158o【總結提升】(1)角的概念推廣后，角度的范圍不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．(2)確定任意角的度數關鍵看終邊旋轉的方向和圈數：①表示角時，箭頭的方向代表角的正負，因此箭頭不能丟掉；順時針旋轉形成負角常常容易被忽視．②當角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．始邊和終邊重合的角不一定是零角，只有沒作任何旋轉，始邊與終邊重合的角才是零角．題型二終邊相同的角【典例2】（2022·全國·高一課時練習）如果角與角x＋45°具有相同的終邊，角與角x－45°具有相同的終邊，那么與之間的關系是（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】1.理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下幾點：(1)式中角α為任意角；(2)k∈Z這一條件必不可少；(3)k·360°與α之間是“＋”，如k·360°－30°應看成k·360°＋(－30°)，即與－30°角終邊相同；(4)當α與β的終邊相同時，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．2.把任意角化為α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，關鍵是確定k，可以用觀察法(α的絕對值較小)，也可用除法．3．要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值．4.要正確區(qū)分銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．銳角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、負角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．這四個概念不能混淆．題型三終邊在某條直線上的角的集合【典例3】（2022·上海財經大學附屬北郊高級中學高一階段練習）如圖所示，如按逆時針旋轉，終邊落在位置時的角的集合是__，終邊落在位置時的角的集合是__．【規(guī)律方法】求解終邊在某條直線上的角的集合的思路1．若所求角β的終邊在某條射線上，則集合的形式為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．若所求角β的終邊在某條直線上，則集合的形式為{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．題型四區(qū)域角的表示【典例5】（2022·全國·高一課時練習）如圖所示，終邊落在陰影部分的角的取值集合為______．【規(guī)律方法】區(qū)域角是指終邊落在坐標系的某個區(qū)域內的角．其寫法可分為三步：(1)先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°到360°范圍內的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}；(3)起始、終止邊界對應角α、β再加上360°的整數倍，即得區(qū)間角集合．題型五角度制與弧度制的轉化【典例6】填空：0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π【總結提升】角度制與弧度制互化的關鍵與方法：(1)關鍵：抓住互化公式πrad＝180°是關鍵；(2)方法：度數×eq\f(π,180)＝弧度數；弧度數×(eq\f(180,π))°＝度數；(3)角度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度；(4)角度化為弧度時，其結果寫成π的形式，沒特殊要求不必化成小數．題型六用弧度制表示區(qū)域角【典例7】（2022·全國·高一課時練習）如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.(1)(2)【總結提升】1.根據已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟：①仔細觀察圖形．②寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示．③用不等式表示區(qū)域范圍的角．2.注意事項：（1）用不等式表示區(qū)域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，這一點容易出錯．（2）2.角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時不能混用，例如α＝k·360°＋eq\f(π,6)(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的，應寫為α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．題型七扇形中的計算問題【典例8】（2022·浙江·杭州高級中學高一期末）如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【典例9】（2022·浙江·高一期中）魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機械加工業(yè)上利用這個性質，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長度為，則該魯洛克斯三角形的面積為______.【總結提升】弧長公式與扇形的面積公式在角度制與弧度制下形式不同，解題時要看清角的度量制，選用相應的公式，切不可混淆.題型八：利用三角函數的定義求三角函數值【典例10】（2022·江西省萬載中學高一階段練習）已知角終邊過點，則的值為（

）A． B． C．– D．–【總結提升】(1)已知角α的終邊在直線上的問題時，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數的定義求出相應三角函數值．②注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況處理，取射線上任意一點坐標(a，b)，則對應角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．(2)當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論．題型九：三角函數在各象限內符號【典例11】【多選題】（2022·江蘇·南京市第一中學高一階段練習）已知是第一象限角，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【總結提升】（1）能準確判定角的終邊位置是判斷該角的三角函數值符號的關鍵；（2）要熟記三角函數值在各象限的符號規(guī)律．（3）對于多個三角函數符號的判斷問題，要進行分類（分象限）討論．題型十：三角函數線的應用【典例12】設α是銳角，利用單位圓和三角函數線證明：sinα<α<tanα．【典例13】在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2)．【總結提升】1.利用三角函數線比較函數值大小的關鍵及注意點：(1)關鍵：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數線．(2)注意點：比較大小，既要注意三角函數線的長短，又要注意方向．2.解答利用三角函數線求解不等式這類題目時，一般先根據三角函數值的范圍找出角的終邊所在的區(qū)域，在找角的終邊所在的區(qū)域時，注意對正弦要找單位圓上的縱坐標，對余弦應在單位圓上找橫坐標，根據這些坐標找出單位圓上滿足要求的弧，即可找到角的終邊所在的區(qū)域，再根據角的終邊所在的區(qū)域寫出角的范圍．題型十一：根據同角三角函數關系求值【典例14】（2022·全國·高一課時練習）已知，則（

）A． B． C． D．【典例15】（2022·全國·高一課時練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【總結提升】在使用開平方關系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)時，一定要注意正負號的選取，確定正負號的依據是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，則按三角函數在各個象限的符號來確定正負號；如果角α所在的象限是未知的，則需要按象限進行討論．題型十二：根據同角三角函數關系化簡三角函數式【典例16】（2022·安徽省舒城中學高一開學考試）化簡(1)(2)(3)【總結提升】三角函數式的化簡過程中常用的方法：(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數都化成正弦、余弦函數，從而減少函數名稱，達到化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號下式子化成完全平方式，然后去根號，達到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數式，往往借助于因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數次數，達到化簡的目的．題型十三：根據同角三角函數關系證明三角恒等式【典例17】（2022·全國·高一課時練習）求證：．【總結提升】利用同角三角函數的基本關系證明三角恒等式，其主要方法有：(1)從左向右推導或從右向左推導，一般由繁到簡；(2)左右歸一，即證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)化異為同法，即針對題設與結論間的差異，有針對地變形，以消除差異；(4)變更命題法，如要證明eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，可證ad＝bc或證eq\f(d,b)＝eq\f(c,a)等；(5)比較法，即設法證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”．題型十四：sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的關系及應用【典例18】（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知，.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.【總結提升】(1)對于三角函數式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之間的關系，可以通過(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ進行轉化．(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想進一步可以求得sinθ，cosθ的值，從而求出其余的三角函數值．題型十五：誘導公式的應用【典例19】（2022·安徽省舒城中學高一開學考試）已知α是第三象限角，且.(1)化簡；(2)若，求；(3)若，求.【總結提升】1.利用誘導公式求任意角三角函數的步驟：(1)“負化正”——用公式一或三來轉化；(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉化為銳角；(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值．2.三類問題：求值、化簡、證明三角恒等式.一、單選題1．（2022·西藏拉薩·高一期末）（

）A． B． C． D．12．（2019·江蘇省新海高級中學高一期中）已知，則點在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四3．（2022·江西省萬載中學高一階段練習）若，則θ角是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限