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專題08三角函數(shù)的概念(一)任意角的概念(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.(2)角的表示如圖所示:①始邊:射線的起始位置OA.②終邊:射線的終止位置OB.③頂點(diǎn):射線的端點(diǎn)O.④記法:圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”.(3)正角、負(fù)角、零角正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置OB與起始位置OA重合,稱這樣的角為零度角,又稱零角這樣,我們就把角的概念推廣到任意角,包括正角、負(fù)角和零角.(二)象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的__終邊__(除原點(diǎn)外)在第幾象限,就說這個角是第幾__象限角__,即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內(nèi),不與__坐標(biāo)軸__重合.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就說這個角不屬于任何象限.(三)終邊相同的角(1)研究終邊相同的角的前提條件是:角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.(2)終邊相同的角的集合:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=__α+k·360°__,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.[拓展]1.象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示(1)象限角:象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}(2)軸線角:角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α=k·360°,k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α=k·360°+180°,k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α=k·360°+90°,k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α=k·360°+270°,k∈Z}終邊落在y軸上{α|α=k·180°+90°,k∈Z}終邊落在x軸上{α|α=k·180°,k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α=k·90°,k∈Z}(四)弧度制1.弧度制(1)定義:以__弧度__為單位度量角的單位制叫做弧度制.(2)度量方法:長度等于__半徑長__的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.如圖所示,圓O的半徑為r,eq\o\ac(AB,\s\up8(︵))的長等于r,∠AOB就是1弧度的角.【一定大小的圓心角α的弧度數(shù)是所對弧長與半徑的比值,是唯一確定的,與半徑大小無關(guān).】(3)記法:弧度單位用符號rad表示,或用“弧度”兩個字表示.在用弧度制表示角時,單位通常省略不寫.2.弧度數(shù)一般地,正角的弧度數(shù)是一個__正__數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個__負(fù)__數(shù),零角的弧度數(shù)是__0__.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=eq\f(l,r).3.弧度與角度的換算公式(1)周角的弧度數(shù)是2π,而在角度制下的度數(shù)是360,于是360°=2πrad,即根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了.弧度與角度的換算公式如下:若一個角的弧度數(shù)為α,角度數(shù)為n,則αrad=(eq\f(180α,π))°,n°=n·eq\f(π,180)rad.(2)常用特殊角的弧度數(shù)0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)__2π__【角度制與弧度制是兩種不同的度量單位,在表示角時,二者不可混用.角度制是六十進(jìn)制,單位“°”不能省略;弧度制是十進(jìn)制,單位“rad”可以省略】(3)角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起__一一對應(yīng)__關(guān)系:每一個角都有唯一的一個__實(shí)數(shù)__(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng);反過來,任一個實(shí)數(shù)也都有唯一的一個__角__(即弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng).4.弧長公式與扇形面積公式(1)弧長公式在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角大小為α,則|α|=eq\f(l,r),變形可得l=|α|r,此公式稱為弧長公式,其中α的單位是弧度.(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)=eq\f(1,2)r2,而弧長為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad,故其面積為S=eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)=eq\f(1,2)lr,將l=|α|r代入上式可得S=eq\f(1,2)lr=eq\f(1,2)|α|r2,此公式稱為扇形面積公式.(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示名稱角度制弧度制弧長公式l=eq\f(nπr,180)l=__|α|r__扇形面積公式S=eq\f(nπr2,360)S=eq\f(|α|,2)r2=eq\f(1,2)lr注意事項(xiàng)r是扇形的半徑,n是圓心角的角度數(shù)r是扇形的半徑,α是圓心角的弧度數(shù),l是弧長(五)任意角的三角函數(shù)1.三角函數(shù)的定義(1)定義:設(shè)α是一個任意角,α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離是r(r=eq\r(x2+y2)>0),那么:比值eq\f(y,r)叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=eq\f(y,r);比值eq\f(x,r)叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=eq\f(x,r);比值eq\f(y,x)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=eq\f(y,x).正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)(trigonometricfunction).(2)定義域:如表所示三角函數(shù)解析式定義域正弦函數(shù)y=sinxR余弦函數(shù)y=cosxR正切函數(shù)y=tanx{x|x≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z}2.三角函數(shù)值的符號sinα、cosα、tanα在各個象限的符號如下:正弦、余弦和正切函數(shù)在各象限的符號可用以下口訣記憶:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.其含義是在第一象限各三角函數(shù)值全為正,在第二象限只有正弦值為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.(六)三角函數(shù)線1.單位圓在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以__單位長度__為半徑的圓為單位圓.2.有向線段:一條線段有兩個端點(diǎn),如果規(guī)定其中一個端點(diǎn)為起點(diǎn),另一個為終點(diǎn),這條線段被看做帶有方向,于是把它叫做有向線段.表示有向線段時,要先寫起點(diǎn)的字母,后寫終點(diǎn)的字母.當(dāng)有向線段與數(shù)軸平行時,我們可根據(jù)此線段的方向(從起點(diǎn)向終點(diǎn))與數(shù)軸的方向相同或相反,分別把它的長度加上正號或負(fù)號,這樣所得的數(shù),就是此有向線段的數(shù)值,它是一個實(shí)數(shù).3.三角函數(shù)線的作法如圖,設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與角α的終邊交于點(diǎn)P(角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合).過點(diǎn)P作x軸的垂線PM,垂足為M,過點(diǎn)A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點(diǎn),這樣就有sinα=__MP__,cosα=__OM__,tanα=__AT__.單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的__正弦__線、__余弦__線、__正切__線,統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.4.特別提醒:①三角函數(shù)線的位置:正弦線為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段;余弦線在x軸上;正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上,三條有向線段中正弦線和余弦線在單位圓內(nèi),正切線在單位圓外.②三角函數(shù)線的方向:正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn);余弦線由原點(diǎn)指向垂足;正切線由切點(diǎn)指向切線與α的終邊(或反向延長線)的交點(diǎn).③三角函數(shù)線的正負(fù):三條有向線段凡與x軸正方向或y軸正方向同向的為正值,與x軸正方向或y軸正方向反向的為負(fù)值.④三角函數(shù)線的書寫:有向線段的起點(diǎn)字母在前,終點(diǎn)字母在后.⑤三角函數(shù)線的意義:三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號;三角函數(shù)線的長度等于所表示的三角函數(shù)值的絕對值.(七)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1.公式(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關(guān)系:eq\f(sinα,cosα)=tanα.注意“同角”,這里“同角”有兩層含義,一是“角相同”,二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立,即與角的表達(dá)形式無關(guān)2.常用的等價變形sin2α+cos2α=1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α=1-cos2α,,cos2α=1-sin2α,,sinα=±\r(1-cos2α),,cosα=±\r(1-sin2α);))tanα=eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα=tanαcosα,,cosα=\f(sinα,tanα).))(八)誘導(dǎo)公式1.誘導(dǎo)公式一四,它們可概括如下:(1)記憶方法:2kπ+α(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,可以簡單地說成“函數(shù)名不變,符號看象限”.(2)解釋:“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名;“符號”是指等號右邊是正號還是負(fù)號;“看象限”是指假設(shè)α是銳角,要看原三角函數(shù)值是取正值還是負(fù)值,如sin(π+α),若把α看成銳角,則π+α是第三象限角,故sin(π+α)=-sinα..2.誘導(dǎo)公式五、六可簡記為“函數(shù)名改變(正弦變余弦,余弦變正弦),符號看象限”.題型一任意角【典例1】(2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí))已知角,則符合條件的最大負(fù)角為(
)A.–22o B.–220o C.–202o D.–158o【總結(jié)提升】(1)角的概念推廣后,角度的范圍不再限于0°~360°(0°~360°是指0°≤α<360°).(2)確定任意角的度數(shù)關(guān)鍵看終邊旋轉(zhuǎn)的方向和圈數(shù):①表示角時,箭頭的方向代表角的正負(fù),因此箭頭不能丟掉;順時針旋轉(zhuǎn)形成負(fù)角常常容易被忽視.②當(dāng)角的始邊相同時,若角相等,則終邊相同;終邊相同,而角不一定相等.始邊和終邊重合的角不一定是零角,只有沒作任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.題型二終邊相同的角【典例2】(2022·全國·高一課時練習(xí))如果角與角x+45°具有相同的終邊,角與角x-45°具有相同的終邊,那么與之間的關(guān)系是(
)A. B.C. D.【規(guī)律方法】1.理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}要注意以下幾點(diǎn):(1)式中角α為任意角;(2)k∈Z這一條件必不可少;(3)k·360°與α之間是“+”,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),即與-30°角終邊相同;(4)當(dāng)α與β的終邊相同時,α-β=k·360°(k∈Z).反之亦然.2.把任意角化為α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k,可以用觀察法(α的絕對值較小),也可用除法.3.要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.4.要正確區(qū)分銳角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限角.銳角是0°<α<90°的角;0°~90°的角是0°≤α<90°的角;小于90°的角是α<90°的角(包括零角、負(fù)角);第一象限角是{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}所表示的角.這四個概念不能混淆.題型三終邊在某條直線上的角的集合【典例3】(2022·上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)高一階段練習(xí))如圖所示,如按逆時針旋轉(zhuǎn),終邊落在位置時的角的集合是__,終邊落在位置時的角的集合是__.【規(guī)律方法】求解終邊在某條直線上的角的集合的思路1.若所求角β的終邊在某條射線上,則集合的形式為{β|β=k·360°+α,k∈Z}.2.若所求角β的終邊在某條直線上,則集合的形式為{β|β=k·180°+α,k∈Z}.題型四區(qū)域角的表示【典例5】(2022·全國·高一課時練習(xí))如圖所示,終邊落在陰影部分的角的取值集合為______.【規(guī)律方法】區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個區(qū)域內(nèi)的角.其寫法可分為三步:(1)先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°到360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β};(3)起始、終止邊界對應(yīng)角α、β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.題型五角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化【典例6】填空:0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π【總結(jié)提升】角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法:(1)關(guān)鍵:抓住互化公式πrad=180°是關(guān)鍵;(2)方法:度數(shù)×eq\f(π,180)=弧度數(shù);弧度數(shù)×(eq\f(180,π))°=度數(shù);(3)角度化弧度時,應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度;(4)角度化為弧度時,其結(jié)果寫成π的形式,沒特殊要求不必化成小數(shù).題型六用弧度制表示區(qū)域角【典例7】(2022·全國·高一課時練習(xí))如圖,寫出終邊落在陰影部分的角的集合.(1)(2)【總結(jié)提升】1.根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟:①仔細(xì)觀察圖形.②寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示.③用不等式表示區(qū)域范圍的角.2.注意事項(xiàng):(1)用不等式表示區(qū)域角的范圍時,要注意角的集合形式是否能夠合并,這一點(diǎn)容易出錯.(2)2.角度制與弧度制是兩種不同的度量制度,在表示角時不能混用,例如α=k·360°+eq\f(π,6)(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等寫法都是不規(guī)范的,應(yīng)寫為α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+eq\f(π,3)(k∈Z).題型七扇形中的計(jì)算問題【典例8】(2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末)如果2弧度的圓心角所對的弦長為4,那么這個圓心角所對的弧長為(
)A. B. C. D.【典例9】(2022·浙江·高一期中)魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形,指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心,以其邊長為半徑作圓弧,由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點(diǎn)是:在任何方向上都有相同的寬度,機(jī)械加工業(yè)上利用這個性質(zhì),把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀,就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖,已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長度為,則該魯洛克斯三角形的面積為______.【總結(jié)提升】弧長公式與扇形的面積公式在角度制與弧度制下形式不同,解題時要看清角的度量制,選用相應(yīng)的公式,切不可混淆.題型八:利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【典例10】(2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí))已知角終邊過點(diǎn),則的值為(
)A. B. C.– D.–【總結(jié)提升】(1)已知角α的終邊在直線上的問題時,常用的解題方法有以下兩種:①先利用直線與單位圓相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.②注意到角的終邊為射線,所以應(yīng)分兩種情況處理,取射線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(a,b),則對應(yīng)角的正弦值sinα=eq\f(b,\r(a2+b2)),余弦值cosα=eq\f(a,\r(a2+b2)),正切值tanα=eq\f(a,b).(2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時,要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論.題型九:三角函數(shù)在各象限內(nèi)符號【典例11】【多選題】(2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知是第一象限角,則下列結(jié)論中正確的是(
)A. B. C. D.【總結(jié)提升】(1)能準(zhǔn)確判定角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值符號的關(guān)鍵;(2)要熟記三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律.(3)對于多個三角函數(shù)符號的判斷問題,要進(jìn)行分類(分象限)討論.題型十:三角函數(shù)線的應(yīng)用【典例12】設(shè)α是銳角,利用單位圓和三角函數(shù)線證明:sinα<α<tanα.【典例13】在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.(1)sinα≥eq\f(\r(3),2);(2)cosα≤-eq\f(1,2).【總結(jié)提升】1.利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及注意點(diǎn):(1)關(guān)鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點(diǎn):比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.2.解答利用三角函數(shù)線求解不等式這類題目時,一般先根據(jù)三角函數(shù)值的范圍找出角的終邊所在的區(qū)域,在找角的終邊所在的區(qū)域時,注意對正弦要找單位圓上的縱坐標(biāo),對余弦應(yīng)在單位圓上找橫坐標(biāo),根據(jù)這些坐標(biāo)找出單位圓上滿足要求的弧,即可找到角的終邊所在的區(qū)域,再根據(jù)角的終邊所在的區(qū)域?qū)懗鼋堑姆秶}型十一:根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求值【典例14】(2022·全國·高一課時練習(xí))已知,則(
)A. B. C. D.【典例15】(2022·全國·高一課時練習(xí))已知,,則(
)A. B. C. D.【總結(jié)提升】在使用開平方關(guān)系sinα=±eq\r(1-cos2α)和cosα=±eq\r(1-sin2α)時,一定要注意正負(fù)號的選取,確定正負(fù)號的依據(jù)是角α所在的象限,如果角α所在的象限是已知的,則按三角函數(shù)在各個象限的符號來確定正負(fù)號;如果角α所在的象限是未知的,則需要按象限進(jìn)行討論.題型十二:根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡三角函數(shù)式【典例16】(2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試)化簡(1)(2)(3)【總結(jié)提升】三角函數(shù)式的化簡過程中常用的方法:(1)化切為弦,即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化簡的目的.(2)對于含有根號的,常把根號下式子化成完全平方式,然后去根號,達(dá)到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡的目的.題型十三:根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系證明三角恒等式【典例17】(2022·全國·高一課時練習(xí))求證:.【總結(jié)提升】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式,其主要方法有:(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo),一般由繁到簡;(2)左右歸一,即證明左右兩邊都等于同一個式子;(3)化異為同法,即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對地變形,以消除差異;(4)變更命題法,如要證明eq\f(a,b)=eq\f(c,d),可證ad=bc或證eq\f(d,b)=eq\f(c,a)等;(5)比較法,即設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或“eq\f(左邊,右邊)=1”.題型十四:sinθ±cosθ,sinθ·cosθ三者的關(guān)系及應(yīng)用【典例18】(2022·遼寧·大連二十四中高一期中)已知,.(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.【總結(jié)提升】(1)對于三角函數(shù)式sinθ±cosθ,sinθ·cosθ之間的關(guān)系,可以通過(sinθ±cosθ)2=1±2sinθ·cosθ進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)若已知sinθ±cosθ,sinθ·cosθ中三者之一,利用方程思想進(jìn)一步可以求得sinθ,cosθ的值,從而求出其余的三角函數(shù)值.題型十五:誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【典例19】(2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試)已知α是第三象限角,且.(1)化簡;(2)若,求;(3)若,求.【總結(jié)提升】1.利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)的步驟:(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化;(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角;(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角;(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.2.三類問題:求值、化簡、證明三角恒等式.一、單選題1.(2022·西藏拉薩·高一期末)(
)A. B. C. D.12.(2019·江蘇省新海高級中學(xué)高一期中)已知,則點(diǎn)在第(
)象限A.一 B.二 C.三 D.四3.(2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí))若,則θ角是(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
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