64平面向量的應用

6．4平面向量的應用【題型歸納目錄】題型一：利用向量證明平面幾何問題題型二：利用向量解決平面幾何求值問題題型三：向量在物理中的應用題型四：已知兩邊及一角解三角形題型五：已知三邊解三角形題型六：利用余弦定理判斷三角形的形狀題型七：已知兩角及任意一邊解三角形題型八：已知兩邊及其中一邊的對角解三角形題型九：三角形形狀的判斷題型十：距離問題題型十一：高度問題題型十二：角度問題題型十三：三角形多解問題題型十四：三角形邊長、面積、周長最值與范圍問題題型十五：三角形中的圖形類問題題型十六：面積與周長求值問題【知識點梳理】知識點一：向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義．（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運用向量平行（共線）的條件：（或）．（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運用向量垂直的條件：（或）．（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式．（5）向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．知識點詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運算法則運算就可以達到解決幾何問題的目的了．知識點二：向量在解析幾何中的應用在平面直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（，）既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決．常見解析幾何問題及應對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)．（2）垂直條件運用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點的坐標的方程．（3）定比分點問題：轉(zhuǎn)化為三點共線及向量共線的等式條件．（4）夾角問題：利用公式．知識點三：向量在物理中的應用（1）利用向量知識來確定物理問題，應注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，即將物理問題抽象成數(shù)學模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象．（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論．知識點四、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．即：余弦定理的變形公式：知識點五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角．知識點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一．知識點六、正弦定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：知識點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：=1\*GB3①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊．知識點七、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素．任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角．在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學習的余弦定理等），三角學特別是測量學得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角．知識點八、正弦定理在解三角形中的應用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；知識點九：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形．特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論．在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：①若A為銳角時：一解一解兩解無解②若A為直角或鈍角時：知識點十：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知識點十一、解三角形應用題的步驟解三角形在實際中應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應認真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確．其解題的一般步驟是：（1）準確理解題意，尤其要理解應用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；（2）根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；（3）分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；（4）將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題．知識點十二、解三角形應用題的基本思路實際問題畫圖數(shù)學問題解三角形數(shù)學問題的解檢驗實際問題的解【典型例題】題型一：利用向量證明平面幾何問題例1．（2022·全國·高一專題練習）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點，設BE，CF交于一點O，連接AO，OD，證明：中線AD經(jīng)過點O，且AO=2OD【解析】取為基底.由C、O、E三點共線，可得：.同理：.則有，解得：，故.因為D是BC的中點，由向量的中線公式可得：.所以，所以即中線AD經(jīng)過點O，且AO=2OD【方法技巧與總結(jié)】用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路及步驟（1）利用線性運算證明的四個步驟①選取基底．②用基底表示相關(guān)向量．③利用向量的線性運算或數(shù)量積找出相應關(guān)系．④把幾何問題向量化．（2）利用坐標運算證明的四個步驟①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担诎严嚓P(guān)向量坐標化．③用向量的坐標運算找出相應關(guān)系．④把幾何問題向量化．例2．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在平行四邊形中，點是的中點，是的三等分點（，）.設，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法證明：.【解析】（1）因為點是的中點，所以.因為，,所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因為，所以，所以.例3．（2022·河南南陽·高一期中）已知四邊形ABCD的四個頂點分別為，，，．(1)求向量與夾角的余弦值；(2)證明：四邊形ABCD是等腰梯形．【解析】(1)因為，，所以．(2)因為，所以，即，而，，故不存在使，即不平行，又，，故，綜上，四邊形ABCD是等腰梯形．題型二：利用向量解決平面幾何求值問題例4．（2022·全國·高二課時練習）已知平面四邊形中，，向量的夾角為.(1)求證：；(2)點是線段中點，求的值.【解析】（1）根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示由題意可知，，所以三角形ABD為等邊三角形，則，又，所以，即為直角三角形，且，所以，所以；（2）根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，因為點是線段中點，所以，則，所以，【方法技巧與總結(jié)】（1）用向量法求長度的策略①根據(jù)圖形特點選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式求解．②建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若，則．（2）用向量法解決平面幾何問題的兩種思想①幾何法：選取適當?shù)幕祝ɑ字械南蛄勘M量已知模或夾角），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)求解．②坐標法：建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算．例5．（2022·山東菏澤·高一期末）如圖，在中，已知，，，且.求.【解析】由題意得，的夾角為，，則，又，所以，故，同理于是，，，.例6．（2022·新疆·烏魯木齊市第70中高一期末）如下圖，在中，為邊上的一點，，且與的夾角為.(1)求的模長(2)求的值.【解析】（1）因為，所以，因為，與的夾角為，所以，所以；（2）變式1．（2022·廣東·深圳市南山外國語學校（集團）高級中學高一階段練習）如圖，，分別是矩形的邊和的中點，與交于點N.(1)設，，試用，表示；(2)若，，H是線段上的一動點，求的最大值.【解析】(1)取AC的中點O，連OE，OF則，因為，所以.(2)以A為原點，AB，AD分別為x，y軸，建立直角坐標系，則，，，，直線的方程為：，設，則，，所以，當時等號成立.題型三：向量在物理中的應用例7．（2022·山東菏澤·高一期末）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河邊的A點出發(fā)到達對岸的B點，船只在河內(nèi)行駛的路程，行駛時間為0.2.已知船在靜水中的速度的大小為，水流的速度的大小為.求：(1)；(2)船在靜水中速度與水流速度夾角的余弦值.【解析】（1）因為船只在河內(nèi)行駛的路程，行駛時間為0.2，所以船只沿AB方向的速度為.由，，根據(jù)勾股定理可得：,所以，即由，得：，所以.（2）因為，所以，即，解得：.即船在靜水中速度與水流速度夾角的余弦值為.【方法技巧與總結(jié)】用向量解決物理問題的一般步驟（1）問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．（2）模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學模型．（3）參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．（4）問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．例8．（2022·全國·高二課時練習）解決本節(jié)開始時的問題：在如圖的天平中，左、右兩個秤盤均被3根細繩均勻地固定在橫梁上.在其中一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的物品，在另一個秤盤中放入質(zhì)量為1kg的砝碼，天平平衡.3根細繩通過秤盤分擔對物品的拉力（拉力分別為，，），若3根細繩兩兩之間的夾角均為，不考慮秤盤和細繩本身的質(zhì)量，則，，的大小分別是多少？【解析】由題可知，且，，兩兩之間的夾角均為，又，（為重力加速度）∴，∴，∴（牛），即，，的大小都是牛.例9．（2022·湖南·高一課時練習）已知兩個力（單位：N）與的夾角為60°，其中，某質(zhì)點在這兩個力的共同作用下，由點移動到點（單位：m）．(1)求；(2)求與的合力對質(zhì)點所做的功．【解析】(1)如圖所示，因為，可得，令因為兩個力與的夾角為60°，點移動到點，可得，則，可得，所以，可得，解得，所以.(2)與的合力對質(zhì)點所做的功為:.題型四：已知兩邊及一角解三角形例10．（2022·吉林·四平市第一高級中學高三階段練習）的內(nèi)角的對邊分別是，已知，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因為又余弦定理得：，所以.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊．例11．（2022·安徽·合肥世界外國語學校高二學業(yè)考試）在中，，，，則邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故選：C例12．（2022·四川省綿陽南山中學高三階段練習（理））在中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知的面積為4，b=4，，則a=（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴①，②，∴由①②得，∵∴∴，∴，∴.故選：C.變式2．（2022·陜西·藍田縣城關(guān)中學高二期中（理））在中，角所對的邊分別為，若，，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】，，或；當時，，解得：；當時，，解得：.綜上所述：或.故選：C.變式3．（2022·湖南省桃源縣第一中學高三期中）設的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、.已知.(1)求的值；(2)若，，求的面積.【解析】（1）由可得，所以，，即，即，即，可得，故.（2）因為，則，由余弦定理可得，，，則角為銳角，故，因此，.題型五：已知三邊解三角形例13．（2022·浙江·青田縣船寮高級中學高一階段練習）在中，，則的最小角為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，在中，，因為，所以的最小角為，所以，又因為，所以.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】已知三角形的三邊解三角形的方法利用余弦定理求出三個角的余弦，進而求出三個角．例14．（2022·四川省南充高級中學高二期中）在中，分別是角的對邊，，則角的正弦值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，，，.故選：A例15．（2022·河南·駐馬店市第二高級中學高三階段練習（理））在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為．已知．則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為，得又因為得整理得由正弦定理可得得得，因為所以所以故選:B變式4．（2022·寧夏·永寧縣文昌中學高三期末（文））在△ABC中，若，則A=（

）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】C【解析】得，即，又，故選：C.題型六：利用余弦定理判斷三角形的形狀例16．（2022·甘肅酒泉·高一期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由余弦定理及得，，整理得，即，∴為等腰三角形．故選：A.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般有兩條思考路線①先化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系．②先化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）判斷三角形的形狀時，經(jīng)常用到以下結(jié)論①為直角三角形或或．②為銳角三角形，且，且．③為鈍角三角形或或．④若，則或．例17．（2022·遼寧·葫蘆島市第六高級中學高一階段練習）若三角形的三邊長度分別為2，2021，2022，則該三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定【答案】B【解析】由題意知：長度為2022的邊所對的角最大，其余弦值，則長度為2022的邊所對的角為鈍角，故該三角形為鈍角三角形，故選：B例18．（2022·江蘇·淮海中學高二開學考試）在中，，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】在中，，又由余弦定理知，，兩式相加得：，（當且僅當時取“”，又，（當且僅當時成立），為的內(nèi)角，，，又，的形狀為等邊△．故選：．變式5．（2022·北京市第三十九中學高三階段練習）在中，若，則的形狀一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故選：B題型七：已知兩角及任意一邊解三角形例19．（2022·山東聊城一中高一期中）在中，，則中最小的邊長為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，，故中最小的邊長為.由正弦定理，故.故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）正弦定理實際上是三個等式：，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．（2）因為三角形的內(nèi)角和為180°，所以已知兩角一定可以求出第三個角．例20．（2022·云南·高二階段練習）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，設的面積為S，已知．(1)若，，求c的長；(2)若，求角B的大?。窘馕觥浚?）因為，所以，又，，所以，又，，所以，即，整理得，因為，所以．（2）由（1）知，所以，整理得，因為，所以，由正弦定理得，因為，所以，因為B，，所以，即，因為，所以．例21．（2022·浙江杭州·高二期中）在中，已知，，，則等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理，，即，解得故選：B.變式6．（2022·江西贛州·高三期中（文））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】因為，由正弦定理，得．故選：C.變式7．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)華僑中學高三階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角A的大??；(2)設，且，求邊.【解析】（1）的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，因為，則由正弦定理得：，即，，又，.（2）由，，，得，，又，由正弦定理，得.變式8．（2022·上海市甘泉外國語中學高一期末）中，角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)求邊、的長度；(2)求的面積及其外接圓半徑.【解析】（1）因為，所以在中，，由正弦定理得：，也即，所以；（2）由三角形的面積公式可得：的面積，由正弦定理可得：外接圓半徑.題型八：已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例22．（2022·廣東江門·高三階段練習）在中，內(nèi)角，，的對邊長分別為，，，且，，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由可得，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以，由正弦定理與余弦定理可得，即，因為，所以，解得或（舍）故選：C【方法技巧與總結(jié)】這一類型題目的解題步驟為①用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；③根據(jù)正弦定理求出第三條邊．其中進行①時要注意討論該角是否可能有兩個值．例23．（2022·陜西·渭南市瑞泉中學高二階段練習）在三角形ABC中，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三角形ABC中，根據(jù)正弦定理：，故.故選：D例24．（2022·陜西延安·高二期中（理））在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，解得.故選：C.題型九：三角形形狀的判斷例25．（2022·陜西西安·高二期中）在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】D【解析】由正弦定理，因，則，又A，B為三角形內(nèi)角，得B=A.而對于A，B，C選項，因題目條件不足，所以無法判斷，則根據(jù)現(xiàn)有條件可得該三角形為等腰三角形.故選：D【方法技巧與總結(jié)】判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等．利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：（1）化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①（為外接圓的半徑）；②；（2）化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：①（為外接圓的半徑）；②．例26．（2022·陜西·渭南市三賢中學高二期中）的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理可知，設，所以，所以，所以的形狀是直角三角形，故選：B例27．（2022·湖北·高三階段練習）在中，已知，則的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根據(jù)正弦定理，由，因為，所以，所以有，或，或，當時，有，此時有，即，所以此時該三角形是等腰直角三角形；當時，即，所以此時三角形是直角三角形；當時，即，不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去，綜上所述：的形狀一定是直角三角形，故選：B變式9．（2022·陜西·白水縣白水中學高二階段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】由已知，在中，，由正弦定理可知，，所以,整理得，，即，所以或（舍去）.所以為等腰三角形.故選：B.題型十：距離問題例28．（2022·江蘇徐州·高三期中）如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達C處，走私船到達D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時的速度沿著直線追擊(1)當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解析】（1）由題意知，當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距海里.（2）當巡邏艇經(jīng)過小時經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【方法技巧與總結(jié)】求不可達的兩點間的距離時，由于構(gòu)造的三角形的兩邊均不可直接測量，故只能尋求構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形．例29．（2022·江西省豐城中學高三階段練習（理））某自然保護區(qū)為研究動物種群的生活習性，設立了兩個相距的觀測站A和B，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，．（注：點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）(1)求的面積；(2)求點之間的距離．【解析】（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面積為．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即點C，D之間的距離為．例30．（2022·湖北·高二階段練習）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為的公路，根據(jù)規(guī)劃在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求．(1)當時，求線段的長度；(2)問如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪音對居民的影響最?。浚垂S與村莊的距離最遠）【解析】（1）因為且，故，故，故，則（2）設，由題意，在中，由正弦定理，所以在中，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，當且僅當，即時，取得最大值，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小，此時題型十一：高度問題例31．（2022·全國·高三專題練習）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽區(qū)太保山麓，古塔建設于唐代南詔時期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見面．如圖，某同學在測量塔高AB時，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C和D．測得，在點C測得塔頂A仰角為，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù)）．【解析】（1）在中，因為，所以，則，所以，所以，又，所以，則；（2）在中，因為，所以米，則中，米，所以塔高AB為47米.【方法技巧與總結(jié)】此類問題特點：底部不可到達，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點所在直線不經(jīng)過“目標物”，解決辦法是把目標高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題．例32．（2022·四川樂山·高一期末）如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得點M的仰角，C點的仰角以及；從C點測得．已知山高，求山高．【解析】在中，因，則，在，，則，由正弦定理可得，即，解得，在中，，，則．所以山高為.例33．（2022·全國·高三專題練習）康平滕龍閣，位于康平縣中央公園中心，建在有“敖包朝霞”之稱的敖包山舊址上，是老百姓心中的祥瑞之地.如圖，小明同學為測量滕龍閣的高度，在滕龍閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為8米，在地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，滕龍閣頂部C的仰角分別為和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，試替小明求滕龍閣的高度？（精確到0.01米）【解析】由題意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.答：滕龍閣的高度約為37.86米.題型十二：角度問題例34．（2022·山東東營·高一期末）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在處測得燈塔底部在北偏東方向上，勻速向北航行分鐘到達處，此時測得燈塔底部在北偏東方向上，測得塔頂?shù)难鼋菫?，已知燈塔高為?1)求巡邏船的航行速度(2)若該船繼續(xù)航行分鐘到達處，問此時燈塔底部位于處的南偏東什么方向【解析】（1）在直角中，，故在中，由正弦定理得解得：，從A到B共花20分鐘，故巡邏船的航行速度（2）在中，由余弦定理可得：，在中，由正弦定理得：，則，而，則，故，所以此時燈塔底部位于處的南偏東方向．例35．（2022·重慶八中高一期末）從某點的指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，叫方位角．某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我國海軍護航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45°，距離為20海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105°的方向．以20海里/小時的速度向前行駛，我海軍護航艦立即以海里/小時的速度，以直線軌跡行駛前去營救，求護航艦的航向（方位角）和靠近貨船所需的時間．【解析】設護航艦靠近貨船所需時間為t小時，營救地點為，可得，．在△ABC中，由余弦定理可得，∴，化簡可得，∴或（舍去）．∴護航艦需要1小時靠近貨船．∴，BC＝20，在△ABC中，根據(jù)正弦定理得：，∴，為三角形內(nèi)角，∴，∴可得護航艦航行的方位角為75°，所需時間為1小時．例36．（2022·福建·三明一中高一期中）如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為20海里的C處有一艘緝私艇奉命以海里/小時的速度追截走私船，此時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間．【解析】設緝私艇在點D處追上走私船，所需t小時，則海里，海里，因為，在中，由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得，所以，所以BC為東西方向，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，即，即（小時），所以緝私艇沿北偏東行駛才能最快追上走私船，所需時間小時.題型十三：三角形多解問題例37．（2022·河南南陽·高三期中（理））在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理，即，所以，因為只有一解，若，則，若顯然滿足題意，所以或，所以或，解得或；故選：D例38．（2022·全國·高一課時練習）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖所示．若A為銳角，且有兩解，則．對于A選項，，，但，此時沒有兩解，A選項不滿足條件；對于B選項，，此時有兩解，B選項滿足條件；對于C選項，，且，此時只有一解，C選項不滿足條件．對于D選項，，此時沒有兩解，D選項不滿足條件；故選：B．例39．（2022·河南河南·高一期末）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，A＝45°，若三角形有兩解，則b的可能取值是（

）A．2 B．2.3 C．3 D．4【答案】B【解析】如圖，有兩解的充要條件是，解得，故b的取值范圍是，結(jié)合各選項可知B正確．故選:B變式10．（2022·江西·二模（文））設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，即，所以，因為不唯一，即有兩解，所以且，即，所以，所以，即；故選：A變式11．（2022·廣東·高一期末）在中，，，．若利用正弦定理解有兩解，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，B=45°，CD⊥AB，則，以C為圓心，CA=b=2為半徑畫圓弧，要使△ABC有兩個解，則圓弧和BA邊應該有兩個交點，故CA>CD且CA<CB，即，解得．故選：B．題型十四：三角形邊長、面積、周長最值與范圍問題例40．（2022·甘肅武威·高三階段練習（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．(1)求B；(2)若的面積等于，求的周長的最小值．【解析】（1）因為，所以，因為，所以，所以，∵，所以，所以，∴；（2）依題意，∴ac＝4，所以，當且僅當時取等號，又由余弦定理得，∴，當且僅當a＝c＝2時取等號，所以的周長最小值為．例41．（2022·福建·高三階段練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，.(1)若，求的值；(2)求的最小值.【解析】（1），且，，，由正弦定理可知，，，即，，整理得，；（2），由余弦定理可知，，且，，當時，的最小值為．例42．（2022·江蘇南通·高三階段練習）在銳角三角形ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角B；(2)若的面積為，求b的最小值.【解析】（1），∴，，即，∵為銳角三角形，∴，則.（2），∴，，當且僅當時取“=”，∴.變式12．（2022·江蘇·南京師大附中高二開學考試）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C．(1)求角C；(2)設D為邊AB的中點，△ABC的面積為，求CD的最小值.【解析】（1）cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C，即，由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得，又，故可得.（2）由三角形面積可得，解得；又，故即，當且僅當時取得等號.故CD的最小值為.變式13．（2022·湖北·鄖陽中學高一階段練習）在中，角所對的邊分別，已知且.(1)求角的大?。?2)若是的中點，，求面積的最大值.【解析】（1）由且得：，由正弦定理得，又，即；（2）由，得到，則，化簡得，當且僅當時，等號成立，面積，即面積的最大值為；變式14．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學高三階段練習）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求三角形面積的最大值．【解析】（1）因為，所以，所以，因為，所以，所以，可得，又，可得．（2）由余弦定理及，可得：，則，得，當且僅當時等號成立，所以，所以△ABC面積的最大值為．變式15．（2022·江蘇·高三階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知B為銳角，且．(1)求B；(2)求的最大值．【解析】（1）因為，所以．在中，由正弦定理，得，所以．因為，所以，所以．又因為B為銳角，所以．（2）因為，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值是．變式16．（2022·吉林·東北師大附中高三階段練習）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)求；(2)若，求最大值.【解析】（1）在中，由及正弦定理得：，，，則，而，有，于是得，即，又，，因此，解得，則，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得：，則，，顯然，即，因此當，即時，，所以的最大值是.變式17．（2022·黑龍江·綏棱縣第一中學高三階段練習）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，．(1)證明：；(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．【解析】（1）證明：∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴A，B，C∈（0，π），∴即．（2）∵，且a＝2，∴∵A＝2C，∴，∵為銳角三角形，所以,∴，∴，由a＝2，，所以，則，且，設,，設，則，∴，，所以,為減函數(shù)，∴．變式18．（2022·山東聊城一中高一期中）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求內(nèi)角；(2)若為銳角三角形且，求周長的取值范圍.【解析】（1）在中，因為，由正弦定理得：化簡得：.因為，所以，所以，即，所以，即.因為，所以.所以.（2）在中，由正弦定理得，所以.同理，所以周長：，因為為銳角三角形，所以，由，所以，所以，所以周長的取值范圍是：變式19．（2022·江蘇蘇州·高三階段練習）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.(1)求B；(2)若為銳角三角形，且，求的面積S的取值范圍.【解析】（1）由題意知中，，由正弦定理，為外接圓半徑，得，，，，∴，又，所以，即.（2）∵，∴，即，又，∴由正弦定理得，∴，∵為銳角三角形，∴，解得，從而，即.變式20．（2022·山東·高三階段練習）在銳角中，角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大??；(2)求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，即，即，又，所以，因為，所以；（2），因為為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為．變式21．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習（理））已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)設點是邊的中點，若，求的取值范圍.【解析】（1）在中，依題意有，由正弦定理得：，而，即，則有，即，而，所以.（2）在中，由（1）知，，又，點是邊的中點，則,于是得，顯然，當且僅當時取等號，因此，，即，所以的取值范圍是.題型十五：三角形中的圖形類問題例43．（2022·全國·高一）如圖，在平面四邊形中，，，，，，則（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C【解析】設，在中，由正弦定理可得①，由可得，則，，在中，由正弦定理可得②，①②兩式相除，得，即，整理得，化簡得，故.故選:C例44．（2022·四川成都·高一期中（理））如圖，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三角形BCD中，由余弦定理得：，因為，所以角C為銳角，所以，在三角形ABC中，故選：A例45．（2022·全國·高一課時練習）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，角C的平分線交AB于點D，且，，則c的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】在△BCD中，，即，在△DCA中，即，由，解得.故選:C.變式22．（2022·山東聊城一中高一期中）某農(nóng)戶有一個三角形地塊，如圖所示.該農(nóng)戶想要圍出一塊三角形區(qū)域（點在上）用來養(yǎng)一些家禽，經(jīng)專業(yè)測量得到.(1)若，求的長；(2)若，求的周長.【解析】（1）在中，，且，所以.因為，，所以.在，由正弦定理可得，所以.（2）因為，所以，所以，即：，可得.在中，由余弦定理可得，所以，解得或（舍去）.因為，所以.在中，由余弦定理可得所以的周長為.變式23．（2022·河南河南·高一期末）如圖，在中，，AB＝8，點D在邊BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，∴，則．所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，則BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．題型十六：面積與周長求值問題例46．（2022·上?！げ軛疃懈咭黄谀┰谥?，角、、的對邊分別為、、，且．(1)求角的大?。?2)若，的面積，求的周長．【解析】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，即，因為，所以.（2），所以，由余弦定理得，所以的周長為．例47．（2022·新疆·克拉瑪依市高級中學高一階段練習）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，己知且．(1)求角A的大??；(2)若，求三角形的面積．【解析】（1）∵，∴，，∵，∴，又，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴；例48．（2022·浙江·高一期中）在△中，內(nèi)角對應的邊分別為，請在①；②；③這三個條件中任選一個，完成下列問題：(1)求角的大小；(2)已知，，設為邊上一點，且為角的平分線，求△的面積.【解析】（1）選①，因為，所以，得，即，由正弦定理得：，因為，所以()，所以．選②，因為，所以，()得，即，，所以()，所以．選③，因為，所以，，，，，，即，因為，所以，所以．（2）在△中，由余弦定理，則，那么；由角平分線定理,則,那么.變式24．（2022·廣東·高一階段練習）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，.(1)求角；(2)求的面積.【解析】（1）因為，所以由余弦定理可知：；（2）由正弦定理可知：，，，.變式25．（2022·黑龍江·大慶實驗中學高一階段練習）的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)求角C；(2)若，的面積為，求的周長．【解析】（1）由已知由正弦定理，得，即．所以，又，所以；（2）由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周長為.變式26．（2022·四川瀘州·高一期末）設內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角的大小；(2)若，且___________，求的周長.請在下列三個條件中，選擇其中的一個條件補充到上面的橫線中，并完成作答.①的面積為；②；③.注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一解答計分.【解析】（1）因為，由正弦定理可得，所以，在中，，所以，因為，所以；（2）若選①，因為的面積為，所以，所以.若選②，因為，所以，所以.若選③，由正弦定理，所以，，因為.所以，由余弦定理得：，即，所以，則或（舍去），所以的周長為.變式27．（2022·重慶市銅梁區(qū)教師進修學校高一期末）在中，角所對的邊分別為，且(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長．【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理得：，又，代入上式得：，又，所以，又，所以；（2）由題意：的面積為：由余弦定理得：，即：，所以的周長為.【同步練習】一、單選題1．（2022·上海理工大學附屬中學高一期中）中，，的對應邊分別為，，且，，，那么滿足條件的三角形的個數(shù)有（

）A．一個； B．兩個； C．0個； D．無數(shù)個【答案】C【解析】有已知及余弦定理可得：故所以方程無實數(shù)根.故選：C2．（2022·全國·高一課時練習）中，，，，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【解析】因為，，所以由正弦定理知：，所以.故選：B3．（2022·江蘇蘇州·高一期末）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C．6 D．【答案】A【解析】由正弦定理，整理得故選：A．4．（2022·山東臨沂·高一期末）一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A處測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進60m到達點B，在點B處測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是（

）A．25m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】如圖所示，設水柱CD的高度為h，在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h，∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴是以C為直角頂點的直角三角形，在中，∠CBD=30°，∴BC=，在中，由余弦定理可得，∴，即，解得．∴水柱的高度是30m，故選：B.5．（2022·吉林·長春市實驗中學高一階段練習）已知中，，則角A等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由中，可得,由于,故,故選：A6．（2022·浙江杭州·高一期中）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是銳角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，若，則，為三角形內(nèi)角，所以，三角形是等邊三角形，A正確；若，由正弦定理得，即，，則或，即或，三角形為等腰三角形或直角三角形，B錯；例如，，，滿足，但此時不是等腰三角形，C錯；時，由余弦定理可得，即為銳角，但是否都是銳角，不能保證，因此該三角形不一定是銳角三角形，D錯．故選：A．7．（2022·湖南·長沙一中高一期末）在中，內(nèi)角的對邊分別為若的面積為，且，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由及，得，所以，即，于是有，因為，所以，所以外接圓的半徑為，所以外接圓的面積為．故選：B.8．（2022·河南洛陽·高一期末（文））在中，A，B，C分別為三邊a，b，c所對的角，若，且，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】得，又，所以.在中，由正弦定理得：所以，所以.故當，即時，取得最大值故選：D二、多選題9．（2022·山東·聊城二中高一階段練習）已知的斜邊長為2．則下列關(guān)于的說法中，錯誤的是（

）A．周長的最大值為 B．周長的最小值為C．面積的最大值為2 D．面積的最小值為1【答案】BCD【解析】由題知，設斜邊為，則，．先研究面積：，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值是1．C、D選項都是錯誤的；再研究周長：，，，，，當且僅當，即時，取等號，所以的最大值為，周長的最大值為，故B選項錯誤.綜上，選BCD．故選：BCD10．（2022·全國·高一課時練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則B等于（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】因為，由正弦定理，可得，又，所以或．故選：CD.11．（2022·安徽省岳西縣湯池中學高一階段練習）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則是鈍角三角形C．若，則為等腰三角形D．若，則符合條件的有兩個【答案】AB【解析】對A選項，根據(jù)結(jié)論大角對大邊，則有，又因為正弦定理，所以，故A正確；對B選項，由可得，，為鈍角三角形，故B正確:對C選項，由可得，，或，是直角三角形或等腰三角形，故C錯誤；對D選項，由正弦定理得，故不存在滿足條件的，故D錯誤.故選：AB.12．（2022·福建福州·高一期末）在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，已