高一數(shù)學(xué)期末模擬試題二

高一數(shù)學(xué)期末模擬試題二第I卷（選擇題）一、單選題1．設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合且，如果，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得P，由一元二次不等式可得Q，根據(jù)題意可得出結(jié)果.【詳解】∵，，∴.故選：B.2．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性，以及奇偶性的定義，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)；又當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；故A正確；對(duì)B：定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：定義域?yàn)?，但，故不為奇函?shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)D：定義域?yàn)?，且，為奇函?shù)；但當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A.3．若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)，，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，故，故選：A.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，所以.故選：C5．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)性分析判斷.【詳解】∵，即，∴為偶函數(shù)；又∵當(dāng)時(shí)，則，故，∴；綜上所述：A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.6．定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及奇函數(shù)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由題意可得，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因?yàn)?，則，則，因此，.故選：B.7．命題“函數(shù)對(duì)，都有”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原題等價(jià)于下，單增，分和討論，結(jié)合二次函數(shù)特征即可求解.【詳解】由題可知，當(dāng)，單增，當(dāng)時(shí)，單減，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，要使，單增，需滿足，解得.故選：D8．已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出的大致圖象，令，由題可得則或，因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，所以有3個(gè)解，結(jié)合圖象可得，即可得答案.【詳解】解：作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，令，則可化為，則或，則關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于的圖象與直線，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為5個(gè)，由圖可得函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，所以的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，即此時(shí)，解得，故選：C.二、多選題9．下列說法中不正確的是（）A．已知函數(shù)，若，有成立；則實(shí)數(shù)的值為.B．若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為C．命題“”的否定是“”.D．函數(shù)函數(shù)值域相同.【答案】BC【分析】每一個(gè)選項(xiàng)分別判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：由題可知關(guān)于對(duì)稱，所以，得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，得，滿足題意，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：命題“”的否定是“”，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：與的值域均為，故D正確.故選：BC10．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】可以利用篩選法逐個(gè)檢驗(yàn)選項(xiàng)或者構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求解.【詳解】方法一（篩選法）

由題意，．當(dāng)，即時(shí)，，而，所以，故不成立．當(dāng)時(shí)，，，不成立，故，所以，，故A錯(cuò)誤，B正確．，則，，故C正確．，故D不一定正確．故選：BC．方法二（構(gòu)造函數(shù)法）

由題意，．設(shè)函數(shù)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，故由，得，故，故A錯(cuò)誤．，B正確；由，得，故，C正確；，故D不一定正確，故選：BC．11．已知函數(shù)在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．在有三個(gè)極值點(diǎn) B．在上單調(diào)遞減C． D．的取值范圍是【答案】BCD【分析】函數(shù)在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求得，根據(jù)函數(shù)解析式討論極值點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、值域等性質(zhì).【詳解】，當(dāng)，有，得，由，函數(shù)在有且僅有3個(gè)零點(diǎn),，得對(duì)于A選項(xiàng)，由，得的極值點(diǎn)為，由，函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，得，函數(shù)在有三個(gè)極值點(diǎn)，得，已知，∴函數(shù)在可能有兩個(gè)極值點(diǎn)也可能有三個(gè)極值點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，有，，，，有，所以在上單調(diào)遞減；B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，時(shí)，當(dāng)，有最大值1，當(dāng)，有最小值所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，D選項(xiàng)正確.故選：BCD12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在上為減函數(shù)C．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心 D．方程僅有個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】CD【分析】根據(jù)和的奇偶性可推導(dǎo)得到，，由可知A錯(cuò)誤；推導(dǎo)可得，知C正確；作出圖象，結(jié)合圖象知B錯(cuò)誤；將解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象可知D正確.【詳解】為奇函數(shù)，，即，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；為偶函數(shù)，，即，關(guān)于對(duì)稱；由，得：，，即是周期為的周期函數(shù)；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，C正確；對(duì)于BD，由周期性和對(duì)稱性可得圖象如下圖所示，由圖象可知：在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，，結(jié)合圖象可知：與共有個(gè)交點(diǎn)，即有個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確.故選：CD.第II卷（非選擇題）三、填空題13．若函數(shù)是奇函數(shù)，且，則________．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合已知條件，求得的關(guān)系，賦值即可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，即又，令，則.故答案為：.14．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式為______________．【答案】【分析】由冪函數(shù)的定義可求出m的值，再根據(jù)偶函數(shù)和單調(diào)性的性質(zhì)確定k的值，即可求出的解析式【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，由冪函數(shù)定義可知，解得，又冪函數(shù)是偶函數(shù)并且在上單調(diào)遞增，為正偶數(shù)，又由，解得，代入可得，故答案為：15．若正數(shù)x，y滿足，則的值為______．【答案】12【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，設(shè)為，即可得，，，則，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算法則即可求值.【詳解】解：因?yàn)?，則設(shè)，可得，，所以.故答案為：12.16．己知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】##【分析】首先根據(jù)題意得到，根據(jù)題意得到，從而得到，，，即可得到答案.【詳解】，因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以.所以，，解得，，，，解得，，所以，，.所以.綜上：.故答案為：四、解答題17．求下列各式的值(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換得到，整體法求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)伸縮變換和平移變換得到，根據(jù)，得到，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求解出值域.【詳解】（1），令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：．（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)椋?9．設(shè)函數(shù).(1)解方程；(2)設(shè)不等式的解集為，求函數(shù)的值域.【答案】(1)或(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)，由解得可得答案；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出，化簡(jiǎn)，令，轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)和的范圍可得答案.【詳解】（1），由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；（2）由得，即，解得，，，令，所以，則為開口向上對(duì)稱軸為的拋物線，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?20．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)若的最小正周期為，求的解析式；(2)若，，是否存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)最小正周期為得到，再根據(jù)的圖象過點(diǎn)，得到，即可得到的解析式；（2）根據(jù)得到是的一條對(duì)稱軸，代入得到，，再根據(jù)的圖象過點(diǎn)得到，，聯(lián)立得到，根據(jù)在上單調(diào)得到，最后驗(yàn)證在上是否單調(diào)即可得到的取值集合.（1）因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所?因?yàn)椋?因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，，即，.因?yàn)?，所?故.（2）因?yàn)椋灾本€為圖象的對(duì)稱軸，又的圖象經(jīng)過點(diǎn).所以①，②，.②①得，所以因?yàn)椋?，所以，即為正奇?shù).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，解得.當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所以，此時(shí).令，.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上不單調(diào)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所以，此時(shí).令，.在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所以，此時(shí).令，.在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)，符合題意，綜上，存在實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)，且的取值集合為21．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值域；(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；(3)是否存在正數(shù)，使得不等式對(duì)任意的及任意的銳角都成立，若存在，求出正數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)在上是增函數(shù)，證明見解析(3)存在，．【分析】（1）化簡(jiǎn)得，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到的值域即可.（2）利用單調(diào)性的定義法進(jìn)行證明即可.（3）利用的單調(diào)性，得到，化簡(jiǎn)得到，利用不等式恒成立的條件，問題轉(zhuǎn)化為求，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為，最后利用三角函數(shù)的恒等變換即可得證.（1）定義域?yàn)?，，∵，∴，∴∴，∴的值域?yàn)椋唬?）在上是增函數(shù)，證明：且，，∵∴又；∴，∴，∴在上是增函數(shù)；（3）由（2）知在上是增函數(shù)，則，，∵，∴又，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，則，該不等式對(duì)任意銳角都成立，則，令，則，在上單調(diào)遞減，則，∴，又，則∴，∴正數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題使用不等式恒成立問題的兩種方法：1.分離參數(shù)法；2.最值分析法；本題通過分離參數(shù)得到，再次通過分離參數(shù)，得到，最后，利用最值分析法求證成立22．已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意的都存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”．(1)試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；(2)求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；(3)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)不是的“2重覆蓋函數(shù)”理由見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）：根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即；（2）：可根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷即可；（3）：將題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，有2個(gè)實(shí)根，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由可知：，函數(shù)的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得，所以不是的“2重覆蓋函數(shù)”；（2）證明：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因，可得為奇函?shù)且單調(diào)遞增，作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖像，如圖所