重點題型訓練6第2章從位移速度力到力量含答案

北師大版（新教材）高一必修2重點題型N6第二章平面向量及其應(yīng)用考試范圍：從位移、速度、力到力量；從位移的合成到向量的加減法；從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘；考試時間：；命題人：學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題型1、向量的概念1．有下列四個命題：①互為相反向量的兩個向量模相等；②若向量與是共線的向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上；③若||＝||，則＝或＝﹣；④若?＝0，則＝或＝；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點】向量的概念與向量的模．【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對題目中的命題進行分析，判斷正誤即可．【解答】解：對于①，互為相反向量的兩個向量模相等，命題正確；對于②，向量與是共線的向量，點A，B，C，D不一定在同一條直線上，如平行四邊形的對邊表示的向量，原命題錯誤；對于③，當||＝||時，＝或＝﹣不一定成立，如單位向量模長為1，但不一定共線，原命題錯誤；對于④，當?＝0時，＝或＝或⊥，原命題錯誤；綜上，正確的命題是①，共1個．故選：D．【點評】本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2．有下列命題：①兩個相等向量，若它們的起點相同，終點也相同；②若，則；③若，則四邊形ABCD是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】向量的概念與向量的模．【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題判斷真假性即可．【解答】解：對于①，兩個相等向量時，它們的起點相同，則終點也相同，①正確；對于②，若，則、不一定相同，∴②錯誤；對于③，若，、不一定相等，∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯誤；對于④，若，，則，④正確；對于⑤，若，，當＝時，不一定成立，∴⑤錯誤；對于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，∴⑥錯誤；綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個．故選：C．【點評】本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問題，是綜合題．3．下列說法正確的是（）A．零向量沒有方向 B．向量就是有向線段 C．只有零向量的模長等于0 D．單位向量都相等【考點】向量的概念與向量的模．【分析】根據(jù)零向量，單位向量、有向線段的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：零向量的方向是任意的，故A選項錯誤；有向線段只是向量的一種表示形式，兩者不等同，故B選項錯誤；只有零向量的模長等0，故C選項正確；單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了零向量，單位向量、有向線段的定義，考查了推理能力與概念辨析能力，屬于基礎(chǔ)題．4．下列命題中，正確的個數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個平行向量是相等向量；③若，滿足||＞||且與同向，則＞；④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；⑤若∥，∥，則∥．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】向量的概念與向量的模．【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可．【解答】解：對于①，單位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①錯誤；對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤；對于④，向量是可以平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；對于⑤，＝時，∥，∥，則與不一定平行．綜上，以上正確的命題個數(shù)是0．故選：A．【點評】本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．5．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?、郐耍剑é藶閷崝?shù)），則λ必為零④λ，μ為實數(shù)，若λ＝μ，則與共線其中正確的命題個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】向量的概念與向量的模．【分析】根據(jù)平面向量的基本概念和共線定理，對選項中的命題判斷真假性即可．【解答】解：對于①，兩個具有公共終點的向量，不一定是共線向量，∴①錯誤；對于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比較大小，但它們的模能比較大小，∴②正確；對于③，λ＝時（λ為實數(shù)），λ＝0或＝，∴③錯誤；對于④，若λ＝μ＝0時，λ＝μ＝，此時與不一定共線，∴④錯誤；綜上，其中正確的命題為②，共1個．故選：A．【點評】本題考查了平面向量的基本概念與共線定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．題型2、已知向量作和（差）問題1．如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則+＝（）A． B．0 C． D．【考點】向量的加法．【分析】連接OB，由正六邊形的性質(zhì)可得：四邊形AOCB是平行四邊形，可得+＝，＝﹣，即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OB，由正六邊形的性質(zhì)可得：四邊形AOCB是平行四邊形，∴+＝，＝﹣，∴+＝+＝，故選：A．【點評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、向量的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．如圖，在矩形ABCD中，＝（）A． B． C． D．【考點】向量的加法．【分析】根據(jù)向量加法法則以及向量相等的定義進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，＝，則＝++＝+＝，故選：B．【點評】本題主要考查向量加法及其幾何意義，根據(jù)向量加法的三角形法則是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，在正六邊形ABCDEF中，++等于（）A． B． C． D．【考點】向量的加法．【分析】利用正六邊形ABCDEF的性質(zhì)，對邊平行且相等得到向量相等或者相反，得到所求為0向量．【解答】解：因為正六邊形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以++＝++＝；故選：A．【點評】本題考查了向量相等以及向量加法的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．4．設(shè)M是?ABCD的對角線的交點，O為任意一點（且不與M重合），則等于（）A． B．2 C．3 D．4【考點】向量的加法．【分析】因為此題為單選題，故可考慮用特殊值法去做，因為O為任意一點，不妨把O看成是特殊點，再代入，計算，結(jié)果滿足哪一個選項，就選哪一個．【解答】解：∵O為任意一點，不妨把把A點看成O點，則＝，∵M是?ABCD的對角線的交點，∴＝2＝4故選：D．【點評】本題考查了平面向量的加法，做題時應(yīng)掌握規(guī)律，認真解答．5．如圖，D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，則+﹣＝（）A． B． C． D．【考點】向量的加法；向量的減法．【分析】由向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則直接求解即可．【解答】解：∵D、E、F分別是邊AB、BC、CA上的中點，故四邊形ADEF為平行四邊形，且EF＝BE，故+﹣＝﹣＝﹣＝，故選：A．【點評】本題考查向量的加法和減法運算，屬基本運算的考查．題型3、向量的加減法運算1．＝（）A． B． C． D．【考點】向量的加法；向量的減法．【分析】直接利用向量的加法及減法法則寫出結(jié)果即可．【解答】解：由向量加法及減法的運算法則可知：向量＝．故選：B．【點評】本題考查向量的基本運算，基本知識的考查，是基礎(chǔ)題．2．+﹣+化簡后等于（）A．3 B． C． D．【考點】向量的加法；向量的減法．【分析】利用向量的加減法的運算法則化簡求解即可．【解答】解：+﹣+＝﹣＝．故選：C．【點評】本題考查向量的加減法的運算，是基礎(chǔ)題．3．下列各式不能化簡為的是（）A． B． C． D．【考點】向量的加法；向量的減法．【分析】直接利用向量的表示，求出結(jié)果即可．【解答】解：因為＝，，所以＝．故選：D．【點評】本題考查向量的加減運算，基本知識的考查．4．化簡＝（）A． B． C． D．【考點】向量的加法；向量的減法．【分析】根據(jù)向量加法的混合運算及其幾何意義即可求出．【解答】解：＝（+）﹣（+）＝﹣＝，故選：D．【點評】本題考查向量加法的混合運算及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．5．化簡：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．【考點】向量的加法；向量的減法．【分析】根據(jù)平面向量的加法與減法的運算法則，對每一個小題進行化簡計算即可．【解答】解：（1）＝+＝﹣＝；（2）＝+（+）+＝+﹣＝；（3）＝（﹣）+（﹣）＝+＝；（4）＝（﹣）+（+）＝+＝；（5）＝（﹣）+＝+＝﹣＝；（6）＝（﹣）﹣＝﹣＝；（7）＝（+）+（﹣）＝+＝．【點評】本題考查了平面向量的加法與減法的運算問題，是基礎(chǔ)題目．題型4、三角形法則下的向量表示1．△ABC中，＝，DE∥BC，且與邊AC相交于點E，△ABC的中線AM與DE相交于點N，設(shè)＝，＝，用、分別表示向量、、、、、、．【考點】向量加減混合運算．【分析】由平行線等分線段定理及中線的定義知，，，，，，，，由此能求出結(jié)果．【解答】解：如圖，△ABC中，∵＝，DE∥BC，且與邊AC相交于點E，△ABC的中線AM與DE相交于點N，∴，，＝，，，＝，＝．∵，，∴，，，，，，．【點評】本題考查平面向量的加法法則的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，解題時要注意平行線等分線段定理的靈活運用．2．向量，，，，如圖所示，解答下列各題：（1）用，，表示；（2）用，表示；（3）用，，表示；（4）用，表示．【考點】向量加減混合運算．【分析】利用平面向量加法的三角形法則及相反向量求解即可．【解答】解：（1）＝++＝++；（2）＝+＝﹣﹣；（3）＝++＝++；（4）＝+＝﹣﹣．【點評】本題考查了平面向量加法的三角形法則及相反向量，加法比減法更簡單一些．3．在正六邊形ABCDEF中，＝，＝，求，，．【考點】向量加減混合運算．【分析】由正六邊形的性質(zhì)可知AD＝2AO，四邊形ABOF是平行四邊形，且正六邊形的對邊平行且相等，根據(jù)平面向量線性運算的幾何意義得出．【解答】解：＝2（）＝2．＝＝＝2+．＝＝．【點評】本題考查了平面向量加減運算的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．如圖，設(shè)＝，＝，＝，試用、、表示．【考點】向量加減混合運算．【分析】如圖所示，利用向量的多邊形法則可得＝，即可得出．【解答】解：如圖所示，＝＝﹣+．【點評】本題考查了向量的多邊形法則，屬于基礎(chǔ)題．5．如圖，正五邊形ABCDE中，M為CD的中點，設(shè)＝，＝，＝，＝，試用、、、表示和．【考點】向量加減混合運算．【分析】利用向量的多邊形法則即可得出．【解答】解：＝＝．＝＝．【點評】本題考查了向量的多邊形法則，屬于基礎(chǔ)題．題型5、判斷向量是否共線1．已知向量＝+3，＝5+3，＝﹣3+3，則（）A．A、B、C三點共線 B．A、B、D三點共線 C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線【考點】平行向量（共線）．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：∵＝＝＝，∴A、B、D三點共線．故選：B．【點評】本題考查了向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題．2．已知，，，則（）A．M，N，P三點共線 B．M，N，Q三點共線 C．M，P，Q三點共線 D．N，P，Q三點共線【考點】平行向量（共線）．【分析】利用向量共線定理即可判斷出結(jié)論．【解答】解：＝＝+5＝，∴M，N，Q三點共線．故選：B．【點評】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知非零向量、，且＝+2，＝﹣5+6，＝7﹣2，則一定共線的三點是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【考點】平行向量（共線）．【分析】證明三點共線，借助向量共線證明即可，故解題目標是驗證由三點組成的兩個向量共線即可得到共線的三點【解答】解：由向量的加法原理知＝+＝﹣5+6+7﹣2＝2+4＝2，又兩線段過同點B，故三點A，B，D一定共線．故選：A．【點評】本題考點平面向量共線的坐標表示，考查利用向量的共線來證明三點共線的，屬于向量知識的應(yīng)用題，也是一個考查基礎(chǔ)知識的基本題型．4．已知＝+5，＝﹣2+8，＝3﹣3，則（）A．A、B、D三點共線 B．A、B、C三點共線 C．B、C、D三點共線 D．A、C、D三點共線【考點】平行向量（共線）．【分析】根據(jù)平面向量的線性運算與共線定理，證明與共線，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵＝+5，＝﹣2+8，＝3﹣3，∴＝+＝+5，∴＝，∴與共線，∴A、B、D三點共線．故選：A．【點評】本題考查了平面向量的線性運算與共線定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．5．已知是平面內(nèi)兩個不共線向量，，若A，B，D三點共線，則k的值為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．3【考點】平行向量（共線）．【分析】由A，B，D三點共線，可構(gòu)造兩個向量共線，再利用兩個向量共線的定理求解即可．【解答】解析：∵＝2e1﹣e2，＝3e1﹣2e2，∴＝﹣＝（3e1﹣2e2）﹣（2e1﹣e2）＝e1﹣e2．∵A、B、D三點共線，∴與共線，∴存在唯一的實數(shù)λ，使得3e1﹣（k+1）e2＝λ（e1﹣e2）．即解得k＝2．故選：A．【點評】本題考查三點共線和向量共線的轉(zhuǎn)化和向量共線的條件，屬基本題型的考查．題型6、已知向量共線求參數(shù)取值范圍1．設(shè)兩個非零向量與不共線．（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求證：A，B，D三點共線；（2）試確定實數(shù)k，使k+和+k共線．【考點】平行向量（共線）．【分析】（1）根據(jù)所給的三個首尾相連的向量，用其中兩個相加，得到兩個首尾相連的向量，根據(jù)表示這兩個向量的基底，得到兩個向量之間的共線關(guān)系，從而得到三點共線．（2）兩個向量共線，寫出向量共線的充要條件，進而得到關(guān)于實數(shù)k的等式，解出k的值，有兩個結(jié)果，這兩個結(jié)果都合題意．【解答】解：（1）∵＝＝＝，∴與共線兩個向量有公共點B，∴A，B，D三點共線．（2）∵和共線，則存在實數(shù)λ，使得＝λ（），即，∵非零向量與不共線，∴k﹣λ＝0且1﹣λk＝0，∴k＝±1．【點評】本題考查向量共線定理，是一個基礎(chǔ)題，本題從兩個方面解讀向量的共線定理，一是證明向量共線，一是根據(jù)兩個向量共線解決有關(guān)問題．2．設(shè)兩個非零向量與不共線，如果和共線那么k的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．±1【考點】平行向量（共線）．【分析】利用向量共線定理即可得出．【解答】解：由題意可得：存在實數(shù)λ使得＝λ（）＝λ+λk，∵兩個非零向量與不共線，∴，解得k＝±1．故選：D．【點評】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)向量，不平行，向量λ+與+2平行，則實數(shù)λ＝．【考點】平行向量（共線）．【分析】利用向量平行的條件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+與+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得實數(shù)λ＝．故答案為：．【點評】本題考查實數(shù)值的解法，考查平面向量平行的條件及應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．4．已知向量，不共線，若向量（+3）∥（k﹣），則實數(shù)k＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考點】平行向量（共線）．【分析】根據(jù)向量共線定理，求出即可．【解答】解：向量，不共線，向量（+3）∥（k﹣），得+3＝λ（k﹣），得，3k＝﹣1，k＝，故選：A．【點評】考查向量共線定理，基礎(chǔ)題．5．設(shè)是兩個不共線的向量，已知，若A，B，C三點共線，則實數(shù)m＝6．【考點】平行向量（共線）．【分析】由已知得，即2+m＝，由此能求出實數(shù)m．【解答】解：∵是兩個不共線的向量，，若A，B，C三點共線，∴，即2+m＝，∴，解得實數(shù)m＝6．故答案為：6．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查平面向量坐標運算法則、向量平行等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．題型7、三點共線定理的綜合應(yīng)用1．O為△ABC內(nèi)一點，且2++＝，＝t，若B，O，D三點共線，則t的值為（）A． B． C． D．【考點】平行向量（共線）．【分析】以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與BC相交于點E，E為BC的中點．2++＝，可得＝﹣2＝＝2，因此點O是直線AE的中點．可得B，O，D三點共線，＝t，∴點D是BO與AC的交點．過點O作OM∥BC交AC于點M，點M為AC的中點．利用平行線的性質(zhì)即可得出．【解答】解：以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與BC相交于點E，E為BC的中點．∵2++＝，∴＝﹣2＝＝2，∴點O是直線AE的中點．∵B，O，D三點共線，＝t，∴點D是BO與AC的交點．過點O作OM∥BC交AC于點M，則點M為AC的中點．則OM＝EC＝BC，∴＝，∴，∴AD＝AM＝AC，＝t，∴t＝．另解：由2++＝，∴點O是直線AE的中點．∵B，O，D三點共線，∴存在實數(shù)k使得＝k+（1﹣k）＝k+（1﹣k）t＝，∴k＝，（1﹣k）t＝，解得t＝．故選：B．【點評】本題考查了向量三角形法則、平行線的性質(zhì)定理、向量共線定理三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．2．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點．過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若＝m，＝n，則m+n的值為2．【考點】平行向量（共線）．【分析】三點共線時，以任意點為起點，這三點為終點的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數(shù)和為一．【解答】解：＝（）＝+，∵M、O、N三點共線，∴+＝1，∴m+n＝2．故答案：2【點評】本題考查三點共線的充要條件．3．在△ABC中，點P滿足，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若，（λ＞0，μ＞0），則λ+μ的最小值為（）A． B． C． D．【考點】平行向量（共線）．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性運算與共線定理，即可求得2λ+μ的最小值．【解答】解：∵△ABC中，，點P滿足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因為B，P，C三點共線，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝當且僅當μ＝λ時取“＝”，則λ+μ的最小值為故選：B．【點評】本題考查了平面向量的線性運算與共線定理以及基本不等式的應(yīng)用問題，是中檔題．4．如圖，已知C為△OAB邊AB上一點，且＝2，＝m+n（m，n∈R），則mn＝．【考點】平行向量（共線）．【分析】由題意可得＝＝＝+，結(jié)合條件可得m＝，n＝，從而求得結(jié)果．【解答】解：∵＝2，∴＝＝＝＝+．再由可得m＝，n＝，故mn＝，故答案為：．【點評】本題考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，用待定系數(shù)法求出m＝，n＝，是解題的關(guān)鍵．5．已知△OAB中，點C是點B關(guān)于點A的對稱點，點D是線段OB的一個靠近B的三等分點，設(shè)．（1）用向量與表示向量；（2）若，求證：C、D、E三點共線．【考點】平行向量（共線）．【分析】（1）由點C是點B關(guān)于點A的對稱點，則A為BC的中點，由于＝+，＝+＝+＝+（+），結(jié)合已知條件，及向量加減法的三角形法則，我們易得結(jié)論．（2）要證明C、D、E，我們可以證明與共線，即存在一個實數(shù)λ，使＝λ成立．【解答】解：（1）∵∴＝+＝＝+＝+＝+（+）＝＝（2）∵∴與共線，又∵與有公共點C，∴C、D、E三點共線．【點評】本題考查的知識點是向量加減法的三角形法則和向量的共線定理，后者是難點，在利用向量法證明三點共線時，我們可利用三點構(gòu)造出兩個向量，先證明這兩個向量共線，再說明它們有公共點，進而得到三點共線．題型8、利用向量的線性運算解決平面幾何問題1．已知點O在△ABC內(nèi)部，且有，則△OAB與△OBC的面積之比為4：1．【考點】平行向量（共線）．【分析】利用共線向量的充要條件作出，利用向量的運算法則知OB′A′C′；結(jié)合圖形得到△OAB與△OBC的面積之比．【解答】解：如圖，作向量，，．則S△OBC＝S△OBC'＝S△OB'C'＝S△OB'A'＝S△OB'A＝S△AOB．故答案為4：1【點評】本題考查向量共線的充要條件、向量的運算法則：平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法．2．已知O在△ABC內(nèi)，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，則λ+μ＝【考點】向量數(shù)乘和線性運算．【分析】本題可以采用特值法，設(shè)△ABC為以AB＝4，AC＝3，BC＝5的直角三角形，建立坐標系進行計算．【解答】解：如圖，根據(jù)題意不妨設(shè)△ABC的邊，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如圖坐標系，則BC的方程為x+2y﹣4＝0，則3a﹣4＜0，設(shè)O點坐標為（a，a），點O在三角形內(nèi)，則O到BC的距離d＝＝，則根據(jù)S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（?4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），由，得，解得，，所以：λ+μ＝，故填：【點評】如何將面積比轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題屬難題．3．點M在△ABC內(nèi)部，滿足2+3+4＝，則S△MAC：S△MAB＝3：4．【考點】向量數(shù)乘和線性運算；數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】分別延長MA至D，MB至E，MC至F，使MD＝2MA，ME