第04講導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（教師版）高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019選擇性）

第04講導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2.理解求導(dǎo)法則的證明過(guò)程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，并能準(zhǔn)確應(yīng)用公式計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能解決與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的綜合問(wèn)題.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)1.和、差的導(dǎo)數(shù).2.積、商的導(dǎo)數(shù)(1)積的導(dǎo)數(shù)①.②.(2)商的導(dǎo)數(shù).【即學(xué)即練1】已知函數(shù)，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出即可【詳解】由，得，所以，故選：D【即學(xué)即練2】若，則等于（）A． B．0 C． D．6【答案】D【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，可得出，即可求出答案.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴.故選：D.【即學(xué)即練3】給出下列命題：①，則；②，則；③，則；④，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】利用求導(dǎo)公式和法則逐個(gè)分析判斷即可【詳解】①中為常數(shù)函數(shù)，故，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，∵，∴，故②正確；顯然③④正確.故選：C.【即學(xué)即練4】函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，計(jì)算，即得解【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即．故選：B【即學(xué)即練5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則，即可求出導(dǎo)數(shù).（2）利用導(dǎo)數(shù)的除法法則，即可求出導(dǎo)數(shù).【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的乘除運(yùn)算，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題目.【即學(xué)即練6】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【詳解】（1）．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用；能力拓展能力拓展考法01利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)【典例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）.（4）；（5）.【分析】對(duì)于（1）（2）直接用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可；對(duì)于（3）（4）（5）先化簡(jiǎn)，再用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求解即可【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）∵，∴.（5）∵，∴.【典例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【分析】根據(jù)初等函數(shù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可得到答案.【詳解】（1）．（2）．考法02導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用【典例2】設(shè)f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝xsinx＋cosx．【分析】已知f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及求導(dǎo)公式求出，又知f′(x)＝xcosx，利用兩者相等，建立等量關(guān)系，求解即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx．又因?yàn)閒′(x)＝xcosx，所以解方程組，得因此f(x)的解析式為f(x)＝xsinx＋cosx．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，在求解過(guò)程中，熟記求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是正確解題的關(guān)鍵.【典例3】已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【答案】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程.【詳解】∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查曲線的切線方程的求解問(wèn)題，方法如下：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，求其導(dǎo)函數(shù)；（2）將代入導(dǎo)函數(shù)解析式得切線斜率，代入解析式求得切點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用點(diǎn)斜式方程寫出所求直線方程，化簡(jiǎn)整理得到一般式，即為所求.【典例4】設(shè)函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為，求a，b的值．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】f′（x）=aex﹣，∴f′（2）=，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=x，∴=，f（2）=+b=3，又a＞0，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、切線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．【典例5】已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx的導(dǎo)數(shù)為，（1）求；（2）若曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）3a＋1；（2）.【分析】(1)先求導(dǎo)得，再分別計(jì)算與即可得解；(2)根據(jù)給定條件可得切線斜率為0，利用方程在內(nèi)有解即可計(jì)算作答.【詳解】（1）依題意，f(x)=ax2+lnx的定義域?yàn)?0，+∞)，由f(x)=ax2+lnx求導(dǎo)得：，于是得，而，所以；（2）因曲線y=f(x)存在垂直于y軸的切線，則此時(shí)切線斜率為0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，方程在內(nèi)有解，于是得方程，即在內(nèi)有解，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【典例6】曲線C：在點(diǎn)處的切線為：，在點(diǎn)處的切線為：，求曲線C的方程．【答案】．【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算即可求解【詳解】由已知得點(diǎn)與點(diǎn)均在曲線C上，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，，，解得：．所以曲線C的方程為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，求切線常見(jiàn)考法：(1)已知切點(diǎn)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：．(2)已知斜率k，求切點(diǎn)，即解方程.(3)若求過(guò)點(diǎn)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為，由，求解即可．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．已知函數(shù)，則等于（）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，從而可求得的值.【詳解】∵，∴，則，∴.故選：D.2.下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④.A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷．【詳解】解：①，故錯(cuò)誤；②，故正確；③，故錯(cuò)誤；④，故錯(cuò)誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為1.故選：A.3.曲線在處的切線也為的切線，則（）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出切線方程，設(shè)出切線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再借助導(dǎo)數(shù)幾何意義即可得解.【詳解】由求導(dǎo)得：，則曲線在處的切線斜率為1，切線方程為：y=x，設(shè)直線y=x與曲線相切的切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得，于是得，解得，所以，故選：C4.若函數(shù)，則的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)函數(shù)，解不等式，結(jié)合定義域即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得．故選：B．5.若函數(shù)，則（）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計(jì)算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A6.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可判斷【詳解】∵，∴，∴，∴為奇函數(shù)，故選：C.7.函數(shù)y＝(a＞0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0，那么x0＝（）A．a(chǎn) B．±a C．－a D．a(chǎn)2【答案】B【分析】求導(dǎo)得y′＝，解方程－a2＝0即得解.【詳解】y′＝′＝＝，由－a2＝0，得x0＝±a.故選：B8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，然后把代入，可列出關(guān)于的等式，即可解出，從而得出的解析式，即可求出.【詳解】解：因?yàn)?，所以，把代入，得，解得：，所以，所?故選：C.9.已知是奇函數(shù)，則（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【詳解】試題分析：由題意知,所以.所以，則.所以.故A正確.考點(diǎn)：1函數(shù)的奇偶性;2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.10.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是（表示時(shí)間，表示位移），則瞬時(shí)速度為0的時(shí)刻是A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒【答案】D【分析】對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)為瞬時(shí)速度，令其為0得瞬時(shí)速度為0米每秒的時(shí)刻．【詳解】因?yàn)槲矬w的運(yùn)動(dòng)方程為，則可知，令得t=0或t=4或t=8，故選：D11.曲線f(x)＝xlnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為()A． B．C． D．【答案】B【詳解】；所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是，則，因?yàn)椋?，故選B.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)上點(diǎn)的斜率為導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，可求得切線方程為，求出切線方程與x軸、y軸的交點(diǎn)即可求出三角形面積．詳解：因?yàn)?，所以函?shù)在處的切線斜率為當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以切線方程為切線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為所以圍成的三角形面積為所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的意義為在某一點(diǎn)切線方程的斜率，關(guān)鍵是區(qū)分點(diǎn)是否在曲線上，屬于簡(jiǎn)單題．13.已知函數(shù)，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先根據(jù)“曲線存在垂直于直線的切線”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性.【詳解】由題得切線的斜率為2，所以因?yàn)?所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件.故答案為B14.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】故選A．題組B能力提升練1.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則a=（）A．4 B．8 C．2 D．1【答案】B【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)得到的值.【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即.由于切線與曲線相切，可聯(lián)立，得，又，兩線相切有一切點(diǎn)，所以有，解得.故選：B.2.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行且距離為，則直線的方程為()A．B．或C．或D．以上均不對(duì)【答案】C【詳解】∵，點(diǎn)在直線上.∴切線的斜率∴切線的方程為，即設(shè)直線，∵切線與直線平行且距離為，∴，∴∴直線的方程為或，故選C【點(diǎn)晴】?jī)善叫芯€之間的距離公式是對(duì)兩平行線方程分別為，，則距離為，要注意兩直線方程中的系數(shù)要分別相等.3.若函數(shù)，則的值為（）A．2 B．C．6 D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入先求，進(jìn)而得到解析式，再求的值.【詳解】∵，∴∴，∴，∴∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，求解本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)其解析式的情況確定出先求，屬于中檔題.4.已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【詳解】,且又，當(dāng)且僅當(dāng).5.曲線在處的切線方程為_(kāi)_____________．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而可求出切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，，所以切線的斜率，所以切線方程為.故答案為：.6.若函數(shù)滿足（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則___________.【答案】0【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得，即，結(jié)合，可得，即，，代入即得解【詳解】令，則，∴.又，∴，∴，∴，于是，.故答案為：07.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，則______.【答案】1【分析】首先根據(jù)的中心對(duì)稱性質(zhì)和已知條件求出，然后再根據(jù)求出，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，故，即，解得，，所以，又因?yàn)椋?，解得，，所?故答案為：.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為的導(dǎo)函數(shù)，則________．【答案】【分析】根據(jù)和是的兩個(gè)零點(diǎn)和關(guān)于直線對(duì)稱，可確定和是的兩個(gè)實(shí)根，利用韋達(dá)定理可求得，得到和，由此可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：和是的兩個(gè)零點(diǎn)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，和也是的零點(diǎn)，和是的兩個(gè)實(shí)根，，，，，，．故答案為：.9.設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線為l，若l的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)a=______.【答案】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用基本不等式可得導(dǎo)數(shù)的最小值為，根據(jù)傾斜角的范圍可得，即可解出.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，l的傾斜角的取值范圍是，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，解題的關(guān)系是求出導(dǎo)數(shù)的最小值，得出最小值為1，即可求解.10.則______．【答案】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，代入直接計(jì)算即可.【詳解】,又，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求導(dǎo)公式，屬于中檔題.11.已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則的最小值是_______________.【答案】4【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得、，進(jìn)而可得，再利用，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)橹本€y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(diǎn)(x0，y0)，所以即，所以，所以切點(diǎn)為，由切點(diǎn)在切線y=x－a上可得即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為_(kāi)______.【答案】3【分析】根據(jù)解析式可得到解析式，可求得；求導(dǎo)后可得到，從而代入的值可求得結(jié)果.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值的問(wèn)題，涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠通過(guò)函數(shù)解析式得到原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì).C培優(yōu)拔尖練1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）y=3x2+xcosx；（3）；（4）y=lgxex；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【分析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則分別對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)即可作答.【詳解】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).2.已知函數(shù).（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)證明【分析】（Ⅰ）的分母和分子同時(shí)除以即得解；（Ⅱ）利用商的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)再化簡(jiǎn)即得證.【詳解】（Ⅰ）由題得得，即.解得.（Ⅱ）.故得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，考查求導(dǎo)和二倍角的正弦，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3.設(shè)曲線在處的切線與直線所圍成的三角形面積為，求a的值.【答案】【分析】先求導(dǎo)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，分別令，求得交點(diǎn)，再由三角形的面積公式，解方程即可求解【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以曲線在處的切線方程為：，令，可得，令，可得，則三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，所以三角形的面積為，解得4.已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，求曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程.【答案】或.【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程的點(diǎn)斜式即可寫出切線方程，把原點(diǎn)代入切線方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，令，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€方程過(guò)原點(diǎn)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為，所以曲線過(guò)原點(diǎn)的切線方程為或.5.已知函數(shù).（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b的值.【答案】（1）；（2），.【分析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則直接求導(dǎo)；(2)利用切點(diǎn)與切線及曲線的關(guān)系，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可計(jì)算得解.【詳解】（1）由，得；（2）因?yàn)榍悬c(diǎn)既在曲線上，又在切線上，于是將代入切線方程，得，又，則，解得，而切線的斜率為，即，又，則，解得，所以，.6.已知函數(shù)f(x)＝，且f(x)的圖象在x＝1處與直線y＝2相切.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f(x)的圖象切于P點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.【答案】（1）