貴州省遵義市紅花崗區(qū)2024-2025學年高二上學期開學聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省遵義市紅花崗區(qū)2024-2025學年高二上學期開學聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.過點且斜率為的直線的點斜式方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】過點且斜率為的直線的點斜式方程為，故選：2.直線：與：的交點坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】聯(lián)立方程組解得，故與的交點坐標為.故選：A.3.已知向量，，若，則（）A. B.4 C.或1 D.4或【答案】C【解析】因為，所以，解得或1．故選：C.4.若直線：與：平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以解得，則：與：之間的距離．故選：D.5.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】對于因為，故三個向量共面；對于假設(shè)，，共面，則，使得，故有，方程組無解，故假設(shè)不成立，即，，不共面；對于,，故三個向量共面；對于，故三個向量共面，故選：6.若直線：經(jīng)過第四象限，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若，則方程為，不經(jīng)過第四象限．若，則的方程為，經(jīng)過第四象限．若且，將的方程轉(zhuǎn)化為，因為經(jīng)過第四象限，所以或,解得或或．綜上知，的取值范圍為，故選：7.如圖，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，，分別為，的中點，是的中點，，則折后直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接、，依題意可得，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，為兩個單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得，易得與共線的一個向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故選：A.8.已知為直線上的一點，則的最小值為（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】如圖，為點到原點和到點的距離之和，即．設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則得，即．易得，當A，，三點共線時，取到最小值，且最小值為．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，分別為，的中點，則（）A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上的投影向量為【答案】ACD【解析】因為平面，平面，所以，又底面為矩形，所以，如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則,所以，則在方向上的投影向量為，故A正確；又，所以在方向上的投影向量為，故B不正確；又，，所以所以在方向上的投影向量為，故C正確；又，所以在方向上的投影向量為，故D正確．故選：ACD．10.直線：與：在同一平面直角坐標系內(nèi)的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A選項，兩條直線的斜率和截距均大于0，且其中一條直線的斜率和截距均大于另一條直線的斜率和截距，不符合題意，A不正確．對于B選項，當時，符合題意，B正確．對于C選項，當或時，符合題意，C正確．對于D選項，其中一條直線斜率不存在，不符合題意，D不正確．故選：11.若三條不同的直線：，：，：不能圍成一個三角形，則的取值可能為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】BCD【解析】若，則解得．若，則解得．由解得即與的交點坐標為，若過點，則，解得．故選：BCD．12.在空間直角坐標系中，若四點可以構(gòu)成一個平行四邊形，則的坐標可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意得.設(shè)坐標為，若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，，此時的坐標為.若四邊形為平行四邊形，則，則，此時的坐標為，故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為________．【答案】【解析】點關(guān)于軸對稱的點的坐標為．14.已知，，三點在同一條直線上，則________．【答案】【解析】因為，，三點在同一條直線上，所以，即，解得．15.如圖，已知二面角的平面角大小為，四邊形，均是邊長為4的正方形，則________．【答案】【解析】因為，所以,又二面角的平面角大小為，四邊形，均為邊長為4的正方形，所以，，，所以，則．16.某公園的示意圖為如圖所示的六邊形，其中，，，，且，米，米．若計劃在該公園內(nèi)建一個有一條邊在上的矩形娛樂健身區(qū)域，則該娛樂健身區(qū)域面積（單位：平方米）的最大值為________．【答案】【解析】以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，娛樂健身區(qū)域為矩形．由題可知，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)，其中，則，，則，，四邊形的面積．當時，取得最大值．四、解答題：本題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過點．（1）若與直線：垂直，求的方程；（2）若在兩坐標軸上的截距相等，求的方程．解：（1）由題可知，的斜率為，設(shè)的斜率為，因為，所以，則，又經(jīng)過點，所以的方程為，即；（2）若在兩坐標軸上的截距為0，即經(jīng)過原點，設(shè)的方程為，將代入解析式得，解得，故的方程為，若在兩坐標軸上的截距不為0，則設(shè)的方程為，由，得，故的方程為，綜上，的方程為或.18.《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，平面，為的中點，．（1）設(shè)，，，用表示；（2）若，求．解：（1）如圖所示，連接，可得，因為為的中點，則，所以，所以.（2）因為，所以，因為平面，平面，且平面,平面，所以，又因為，所以，所以.19.如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分別為，，的中點，．（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求點到平面的距離．解：（1）連接．因為底面是菱形，所以．因為，分別為，的中點，所以，則平面，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由，，得，，，，則，，，故直線與所成角的余弦值為；（2）由（1）知．設(shè)平面的法向量為，貝，解得，令，得，故，點到平面的距離為.20.在平面直角坐標系中，四邊形為等腰梯形，，點，．（1）求點的坐標；（2）求等腰梯形的面積．解：（1）因為，所以．又，所以直線的方程為，即．設(shè)，由，得，解得或．當時，，不符合題意，當時，與不平行，符合題意，故點的坐標為．（2），，點到直線：的距離，故等腰梯形的面積．21.如圖,在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點，是上一點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）取的中點，連接，．因為是的中點，所以，．又底面為正方形，是的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以,因為平面，平面，所以平面.（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，．設(shè)，得，則，．因為，所以，解得，從而，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得,設(shè)平面的法向量為，則令，得,,故平面與平面的夾角的余弦值為.22.已知的三個頂點是，，．（1）過點的直線與邊相交于點