湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以．故選：B.2.已知，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】C【解析】對于，當(dāng)時，，所以是假命題，是真命題．對于，當(dāng)時，是真命題，是假命題．故選：C.3.已知集合，則的非空真子集的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因為，所以，故其非空真子集的個數(shù)為．故選：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，若，當(dāng)時，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知a，b是非零實數(shù)，且是任意實數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；對于B，當(dāng)時，滿足，但，錯誤；對于C，因為，而，所以，則，正確；對于D，當(dāng)時，滿足，不等式不成立，錯誤．故選：C.6.設(shè)集合，則（）A. B.C.? D.【答案】D【解析】由題意可得，?，故A，C均錯誤；，D正確；，B錯誤.故選：D.7.時下，新質(zhì)生產(chǎn)力成為人們茶余飯后的熱門話題．為了解學(xué)生在這方面的興趣情況，某校選取高一（1）班全班學(xué)生進行了關(guān)于對人工智能、新能源汽車、綠色能源是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項．經(jīng)統(tǒng)計，有41人對人工智能感興趣，27人對新能源汽車感興趣，20人對綠色能源感興趣，同時對人工智能和新能源汽車感興趣的有20人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣的有8人，同時對人工智能和綠色能源感興趣的有14人，對三種都感興趣的有4人．那么該班級學(xué)生的人數(shù)為（）A.50 B.51 C.52 D.53【答案】A【解析】因為同時對人工智能和新能源汽車感興趣有20人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣的有8人，同時對人工智能和綠色能源感興趣的有14人，對三種都感興趣的有4人，所以同時對人工智能和新能源汽車感興趣但對綠色能源不感興趣的有人，同時對人工智能和綠色能源感興趣但對新能源汽車不感興趣的有人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣但對人工智能不感興趣的有人，因為有41人對人工智能感興趣，27人對新能源汽車感興趣，20人對綠色能源感興趣，所以只對人工智能感興趣的有人，只對新能源汽車感興趣人，只對綠色能源感興趣人，所以所求該班級學(xué)生的人數(shù)為．故選：A.8.在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即．下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.整數(shù)屬于同一“類”充分不必要條件是“”D.若，則【答案】D【解析】對于A，因為，所以，A錯誤；對于B，每個整數(shù)除以4所得的余數(shù)只有0，1，2，3，沒有其他余數(shù)，所以，又，所以，B錯誤；對于C，若，則，所以；若，則，不妨設(shè)，則，所以，所以a，b除以4所得的余數(shù)相同，即屬于同一“類”．故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“”，C錯誤；對于D，由，可設(shè)，則，因為，所以，D正確．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列對象能構(gòu)成集合的有（）A.接近于2025的所有正整數(shù) B.小于的實數(shù)C.未來10年內(nèi)的房價趨勢 D.點與點【答案】BD【解析】對于A，接近于2025所有正整數(shù)的標準不明確，不能構(gòu)成集合；對于B，小于的實數(shù)是確定的，能構(gòu)成集合；對于C，未來10年內(nèi)的房價趨勢不明確，不能構(gòu)成集合；對于D，點與點是兩個不同的點，是確定的，能構(gòu)成集合．故選：BD.10.已知正數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，因為，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，正確；對于B，由，得，又，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，正確；對于C，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，錯誤；對于D，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，正確．故選：ABD.11.已知對任意的，不等式恒成立，則a，b的可能取值有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】當(dāng)時，由，可得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，此時不存在；當(dāng)時，由對任意的恒成立，作出的大致圖象，如圖所示：由題意可知，又是整數(shù)，所以或或.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.命題“”的否定為_______．【答案】【解析】全稱量詞命題“”的否定為存在量詞命題“”．13.當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為，則______．【答案】【解析】圖象的對稱軸為直線．當(dāng)時，，解得或，與矛盾，舍去；當(dāng)時，，解得．綜上可知，．14.已知關(guān)于的不等式只有有限個整數(shù)解，且0是其中一個解，則______．【答案】或【解析】因為0是的解，所以．因為只有有限個整數(shù)解，所以，因為，所以或．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，寫出這些命題的否定，并判斷這些命題的否定的真假．（1）對任意的實數(shù)，都有；（2）存在實數(shù)，使得；（3）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（4）方程的每一個根都是正數(shù)．解：（1）全稱量詞命題．原命題的否定：存在一個實數(shù)，使得．原命題的否定是真命題．（2）存在量詞命題．原命題的否定：對任意的實數(shù)，都有．原命題的否定是假命題．（3）全稱量詞命題．原命題的否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)．原命題的否定是真命題．（4）全稱量詞命題．原命題的否定：方程至少有一個根不是正數(shù)．原命題的否定是假命題.16.已知集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若是的子集，求的取值范圍．解：（1）由，化簡可得，解得或，所以或；當(dāng)時，，故．（2）由于是的子集，當(dāng)時，則，解得，滿足是的子集；當(dāng)時，則滿足，解得．綜上所述，，即的取值范圍為．17.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若上述方程的兩個不同根都是負數(shù)，求的取值范圍．（2）上述方程是否存在兩根中恰有一個是正數(shù)，且為整數(shù)？若存在，求出值；若不存在，說明理由．解：（1）因為的兩個不同根都是負數(shù)，設(shè)其根為，則，，所以且，解得，即的取值范圍為．（2）由題意，上述方程的兩根中恰有一個是正數(shù)，由（1）可知，若該方程有一正一負根，則，解得，無整數(shù)解；若該方程有一正根一零根，則，解得，此時一元二次方程為，不滿足題意．故滿足條件的整數(shù)不存在．18.已知一矩形紙片的周長為，如圖，將沿向折疊，折過去后交于點．（1）證明：．（2）若改變的長度（矩形的周長保持不變），則的面積是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)折疊后點變成，在與中，，因為，又，所以，則．（2）由題意，矩形的周長為．設(shè)，則．因為為直角三角形，所以，解得，從而，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，滿足，故時，的面積取得最大值，為．19.若至少由兩個元素構(gòu)成有限集合，且對于任意的，都有，則稱為“集合”．（1）判斷是否為“集合”，說明理由；（2）若雙元素集為“集合”，且，求所有滿足條件的集合；（3）求所有滿足條件的“集合”．解：（1）因為，所以不是“一集合”．（2）設(shè)．若，則或．由，解得（舍去），此時；由化為，而，故方程無正整數(shù)解．若，則或，由，解得，此時；由化為，而，故方程無正整數(shù)解．綜上，所有滿足條件