浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省強基聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，，可得.故選：A.2.“是等腰三角形”是“是等邊三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為等腰三角形不一定是等邊三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等邊三角形”，又等邊三角形一定是等腰三角形，所以“是等邊三角形”可以推出“是等腰三角形”，所以“是等腰三角形”是“是等邊三角形”的必要不充分條件.故選：B.3.不等式的解集是（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】原不等式等價于，即.故選：C.4.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：C.5.不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為不等式對于任意恒成立，所以，即，解得.故選：D.6.已知全集，集合，，，則陰影部分對應的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得到，所以，由，得到，所以，又，得到或，由圖可知陰影部分對應的集合是集合，又，所以.故選：D.7.已知，，，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于選項A，由，可得，又，，所以，即，所以選項A錯誤，對于選項B，由，，可得，所以，所以選項B錯誤，對于選項C，取，，，，顯然滿足條件，但，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，得到，又，得到，所以選項D正確.故選：D.8.若，，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】，當且僅當，時取到最小值.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】集合為點集且都在直線上，故選項A錯誤，選項B正確；由，，選項C、D正確.故選：BCD.10.已知關(guān)于的方程，則（）A.當時，方程只有一個實數(shù)根B.是方程有實數(shù)根的必要不充分條件C.該方程不可能有兩個不等正根D.該方程不可能有兩個不等負根【答案】AC【解析】對于A，時，方程只有一個實根，A正確；對于B，方程有實數(shù)根，則，即，解得或，因此是方程有實數(shù)根的充分不必要條件，B錯誤；對于C，若方程二根為則，，不可能有兩個不等正根，C正確；對于D，當時，方程有2個不等負根，D錯誤.故選：AC.11.若關(guān)于的不等式的解集為，則下列選項正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】原不等式等價于，根據(jù)的正負討論，當時，解集為，則成立；當時解集中沒有0，不合題意，時，解集不可能為不合題意，故.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，，，，若，則____________．【答案】【解析】，，，，，，，，，.13.已知，，則的取值范圍為________．【答案】【解析】因為，所以又，兩式相加可得14.若方程有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)取值集合為______.【答案】【解析】方程有且僅有一解等價于有一個不等于3的實數(shù)解.當時，解為，滿足題意；當，且只有一解時，由，得到，解得，又時，的解為，滿足題意，當時，且有兩解時，由，解得，綜上，實數(shù)取值集合為.四、解答題：本大題共6小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，所以.（2）由，得，所以.16.解下列不等式（組）：（1）；（2）；（3）.解：（1）由題意得：，解得，故不等式的解集為.（2）由題意得：解得，故不等式組的解集為.（3）由題意得：，得：，無解，故不等式的解集為.17.為積極響應國家對于網(wǎng)絡游戲的防沉迷政策，某中學學生會對同學假期游戲時長進行調(diào)查.（1）小丁同學某天玩游戲的時長取值范圍為非空集合，合理游戲時長為，若小丁游戲時長在合理游戲時長范圍之內(nèi)，求的取值范圍；（2）某班共50人，其中10人玩游戲，12人玩游戲，7人玩游戲，已知玩游戲均不玩游戲，只玩游戲的人數(shù)與游戲和游戲都玩的人數(shù)相同，只玩游戲的人數(shù)與和都玩的人數(shù)相同，求班上這三種游戲都不玩的同學人數(shù).解：（1）由題意得，且，解得，故的取值范圍為.（2）設只玩的人數(shù)為，由圖得，解得，則人.故班上這三種游戲都不玩的同學有28人.18.現(xiàn)要在閣樓屋頂（可視作如圖所示的銳角三角形）上開一內(nèi)接矩形窗戶（陰影部分），設其一邊長（單位：）為.（1）若要使窗戶面積不小于2平方米，求的取值范圍；（2）一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應不小于，而且這個比值越大，采光效果越好.（i）若閣樓的窗戶面積與地板面積的總和為16.5平方米，則當邊長為多少米時窗戶面積最小？最小值是多少平方米？（ii）若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，采光效果是變好了還是變壞了？試說明理由.解：（1）設矩形的另一邊長為，由三角形相似得且，，所以，又矩形面積，解得，故的取值范圍為.（2）（i）設地板面積為，解不等式組，解得，故當時，窗戶面積最小，此時由（1）可得或.故當為米或米時，窗戶面積最小，最小值為平方米.（ii）設和分別表示原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，，則.因為，，所以.又，所以.因此，即.所以窗戶和地板同時增加相等面積，采光條件變好了.19.已知二次函數(shù)（，且）.（1）若，求該二次函數(shù)的最大值；（2）已知該函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，若的面積為，求的值；（3）若，，，恒成立，求的取值范圍.解：（1）當時，，當時，函數(shù)有最大值，最大值為2.（2）設，，由題知，是方程的兩個相異根，則，得到，由韋達定理知，，令，得到，所以，又，所以，解得，故的值為1或.（3）因為，則，當且僅當時取等號，由題有在恒成立，即恒成立，又，則，即，解得，故的取值范圍為.20.設數(shù)集滿足：①；②，且，有，則稱數(shù)集具有性質(zhì).（1）判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）證明：集合具有性質(zhì)；（3）求滿足性質(zhì)的所有三元素集.解：（1）若，，則，故集合不具有性質(zhì)；集合中元素均為整數(shù)，滿足①，且，，，滿足②，故集合具有性質(zhì).（2）證明：①，；②且，，則集合具有性質(zhì).（3）