熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理第七章

第七章Bose統(tǒng)計(jì)和Fermi統(tǒng)計(jì)理論

Bose統(tǒng)計(jì)和Fermi統(tǒng)計(jì)理論

本章主要討論以下兩種統(tǒng)計(jì)法（認(rèn)為粒子是全同的）：（1）Bose（玻色）統(tǒng)計(jì)：同一量子態(tài)上粒子數(shù)不受限制。其統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是，占據(jù)某個(gè)量子態(tài)的粒子數(shù)愈多，就促使其他粒子占據(jù)該量子態(tài)。（2）Fermi（費(fèi)米）統(tǒng)計(jì)：認(rèn)為系統(tǒng)的粒子存在相關(guān)性，放在一個(gè)量子態(tài)上只能有一個(gè)粒子，遵從Pauli不相容原理。

Pauli證明了粒子自旋和統(tǒng)計(jì)學(xué)之間的關(guān)系：自旋量子數(shù)為整數(shù)（包括0）的粒子遵從Bose統(tǒng)計(jì)，這種粒子稱為Bose子。自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子遵從Fermi統(tǒng)計(jì)，這種粒子稱為Fermi子。

Bose子：光子(σ=1)，介子，H2，4He，Bose的復(fù)合粒子。

Fermi子：電子（σ=1/2），3He（電子、中子和質(zhì)子組成的Fermi子）。

泡利,1900-1958,遷居美國(guó)的奧地利物理學(xué)家,曾獲1945年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)

Bose分布和Fermi分布熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式光子氣體電子氣體聲子Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）負(fù)絕對(duì)溫度Bose統(tǒng)計(jì)和Fermi統(tǒng)計(jì)理論

§7.1Bose分布和Fermi分布

考慮一個(gè)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)N、體積V和能量E。我們以（=1，2，…）表示粒子的各能級(jí)，表示能級(jí)的簡(jiǎn)并度，以表示處在各能級(jí)上的粒子數(shù)。滿足條件,（7.1）Bose分布和Fermi分布（1）Bose分布

在上一章中，式（6.24）給出了Bose系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)（7.2）

根據(jù)等概率原理，對(duì)處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。因此使為極大的分布，出現(xiàn)的概率最大，是最概然分布。對(duì)式（7.2）取對(duì)數(shù)，得設(shè)

，

，因而有

，

且可用Stirling(斯特靈)公式即有

（7.3）Bose分布和Fermi分布令有的變化，將因而有的變化，使為極大的分布，必使，有Bose分布和Fermi分布但是各不是任意的，必須滿足條件：，用拉氏乘子α和β乘這兩個(gè)式子，并從中減去，得根據(jù)拉氏乘子法原理，上式中每一個(gè)的系數(shù)都必須為零，有即可得（7.4）

式（7.4）就是Bose系統(tǒng)中的粒子的最概然分布，稱為Bose分布。拉氏乘子由條件（7.1），確定，即有

，（7.5）

Bose分布和Fermi分布（2）Fermi分布在上章中，式（6.25）給出Fermi系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為

（7.6）將上式取對(duì)數(shù)，得設(shè)，，，由斯特靈公式可近似為

（7.7）Bose分布和Fermi分布和Bose同樣方法可得（7.8）式（7.8）稱為Fermi分布。

拉氏乘子α和β由條件（7.1），確定，即

，（7.9）物理意義：式（7.4）和（7.8）分別給出Bose和Fermi系統(tǒng)在最概然分布下處于能級(jí)上的粒子數(shù)。

Bose分布和Fermi分布若能級(jí)有個(gè)量子態(tài)，處在其中任何一個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù)應(yīng)該是相同的。因此處在能量為的量子態(tài)上平均粒子數(shù)為這樣，式（7.5），或（7.9）也可表示為

，（7.11）其中對(duì)粒子的所有量子狀態(tài)求和。Bose分布和Fermi分布由Bose分布（7.4）和Fermi分布（7.8）可看出，如果滿足條件（7.12）式（7.4）和（7.8）分母中±1這一項(xiàng)可略去。這時(shí)Bose分布和Fermi分布都過(guò)渡到Boltzmann分布：（7.13）式（7.12）滿足時(shí)，顯然有（對(duì)所有）（7.14）Bose分布和Fermi分布上式物理意義：這時(shí)任意量子態(tài)上的平均粒子數(shù)都遠(yuǎn)小于1。式（7.12）就是式（6.26）所說(shuō)的非簡(jiǎn)并性條件。當(dāng)非簡(jiǎn)并性條件滿足時(shí)，Bose分布和Fermi分布都過(guò)渡到Boltzmann分布。

Bose分布和Fermi分布§7.2熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

（1）Bose系統(tǒng)系統(tǒng)的總粒子數(shù)為引入函數(shù)（7.15）是巨配分函數(shù)。取對(duì)數(shù)（7.16）那么系統(tǒng)的總粒子數(shù)為（7.17）（?。﹥?nèi)能通過(guò)可將表為

（7.18）（ⅱ）廣義力外界對(duì)系統(tǒng)的廣義作用力是的統(tǒng)計(jì)平均值通過(guò)（是的函數(shù)），可將表示為、

（7.19）

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

式（7.19）的一個(gè)特例為（7.20）（ⅲ）熵由式（7.18）和（7.19）得因是，，的函數(shù)，其全微分為故有（考慮到式（7.17））

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

（7.21）對(duì)于閉系，系統(tǒng)與外界沒(méi)有物質(zhì)交換，。這時(shí)式（7.21）簡(jiǎn)化為上式指出，是的積分因子。由熱力學(xué)知有積分因子，使比較可知（7.22）

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

所以積分得（7.23）

（7.24）

式（7.24）就是Boltzmann關(guān)系。它給出熵函數(shù)與微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系。

對(duì)于開(kāi)系，將式（7.23）式

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

將式（7.16）帶入（7.23）再與（7.3）

比較，得

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

代入（7.21）則其可變?yōu)榕c開(kāi)系熱力學(xué)基本方程比較可得：（7.25）式（7.25）給出拉氏因子與化學(xué)勢(shì)的關(guān)系。綜上述，若求得巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)，就可求得系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)，從而可確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)。所以是以，，（對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)，即，，）為變量的特征函數(shù)。在熱力學(xué)中，以，，為變量的特征函數(shù)是巨熱力勢(shì)?？汕蟮镁逕崃?shì)與巨配分函數(shù)的關(guān)系：由式（7.16）或（7.28）求巨配分函數(shù)的對(duì)數(shù)，必須知道粒子的能級(jí)和能級(jí)的簡(jiǎn)并度，并將求和計(jì)算出來(lái)。

熱力學(xué)參量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

（2）Fermi系統(tǒng)只要將巨配分函數(shù)改為

（7.27）其對(duì)數(shù)為（7.28）前面的討論和有關(guān)公式完全適用。光子氣體§7.3光子氣體

熱力學(xué)部分第三章§4中，我們討論過(guò)空窖輻射，其輻射能量密度與絕對(duì)溫度的4次方成正比（（3.36）式：），這里，我們用統(tǒng)計(jì)物理方法來(lái)處理同樣問(wèn)題。將輻射場(chǎng)看成一個(gè)系統(tǒng)，可從波動(dòng)特性出發(fā)，也可從粒子特性出發(fā)。

波動(dòng)特性：空窖內(nèi)的輻射場(chǎng)可以分解為一系列單色平面波的疊加。單色平面波的電場(chǎng)分量，有兩個(gè)偏振方向，它們與波矢k垂直，并互相垂直。具有一波矢k和一定偏振方向的單色平面波可以看作輻射場(chǎng)的一個(gè)自由度。它是以圓頻率隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧振動(dòng)方式。在輻射場(chǎng)中有無(wú)窮多個(gè)k值，相應(yīng)的k又有兩個(gè)偏振方向，所以整個(gè)輻射場(chǎng)是具有無(wú)窮多個(gè)振動(dòng)自由度的力學(xué)系統(tǒng)。由此求內(nèi)能按頻率的分布。粒子特性：將空窖的輻射場(chǎng)看作光子氣體。每個(gè)光子具有確定的能量、動(dòng)量、自旋。其自旋為±1，相應(yīng)兩個(gè)偏振的投影是+1和-1。光子的靜止質(zhì)量為零，即m=0。它是Bose子的一種特殊情況。光子氣體按相對(duì)論關(guān)系考慮到光子有，同時(shí)滿足德布羅意關(guān)系，則有

(7.29)由于窖壁不斷發(fā)射和吸收光子，在光子氣體中，光子數(shù)不是恒定的。在導(dǎo)出Bose分布時(shí)，只存在是常數(shù)的條件。因此我們只引進(jìn)一個(gè)拉氏乘子，這樣光子的分布為

(7.30)因?yàn)?，而，意味著光子氣體的化學(xué)勢(shì)為零。在體積為的空窖內(nèi)，在到的動(dòng)量范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為見(jiàn)（6.20）式

(7.31)將式（7.29）中的帶入上式可得，在到

(7.32)光子氣體圓頻率內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為因此，在空窖內(nèi)，在圓頻率范圍內(nèi)的平均光子數(shù)為（參見(jiàn)7.10式）

（7.33）在體積為V的空窖內(nèi)，在圓頻率范圍內(nèi)，輻射場(chǎng)的能量（內(nèi)能）為

（7.34）

式（7.34）稱為普朗克（Planck）公式。是普朗克在1900年得到的，在推導(dǎo)該式時(shí)普朗克第一次引入了能量量子化的概念。這是物理學(xué)的一個(gè)重大突破，是物理概念的革命性飛躍。普朗克公式的建立是量子物理學(xué)的起點(diǎn)。

光子氣體討論兩種極限情況：（1）高頻范圍，，有?？蓪⑹剑?.34）分母中-1項(xiàng)略去因而有

（7.35）可看出，當(dāng)時(shí)，隨的增加而迅速地趨于零。這個(gè)結(jié)果指出，在溫度為的熱平衡狀態(tài)下，幾乎不存在的高頻光子。這是因?yàn)椋哳l光子的能量遠(yuǎn)大于，窖壁發(fā)射具有如此高能量的光子的概率是極為微小的。從波動(dòng)的觀點(diǎn)看，這意味著空窖中幾乎不存在高頻電磁輻射。（2）低頻范圍，，有。式（7.34）可近似為光子氣體

（7.36）

在低頻范圍，一個(gè)振動(dòng)自由度的平均能量為?？紤]到振動(dòng)能量有兩個(gè)平方項(xiàng)，這正是能量均分定理的結(jié)果。將式（7.34）對(duì)圓頻率積分，可求得空窖輻射的內(nèi)能

引入變量，上式可化為積分，得（7.37）光子氣體(Rayleigh-Jeans公式)

式（7.37）表明，空窖輻射的能量密度與絕熱溫度的4次方成正比。這與熱力學(xué)結(jié)果一致，在熱力學(xué)中比例常數(shù)由試驗(yàn)確定，而在統(tǒng)計(jì)物理中它可被求出。

根據(jù)Planck公式(7.34)，輻射場(chǎng)的能量密度隨的分布有一個(gè)極大值，以表示。它可由下式求得：由此得這個(gè)方程可由數(shù)值解出，為（7.38）光子氣體上式指出，使輻射場(chǎng)能量密度達(dá)到極大值的與溫度有關(guān)，稱它為維恩（Wien）位移定律，是維恩于1893年首先由理論導(dǎo)出的。將式（7.34）乘以就得到輻射通量隨頻率的分布。由于這個(gè)分布隨溫度而變，因此通過(guò)測(cè)量一個(gè)物體的輻射通量密度隨頻率的分布就可以確定物體的溫度。光測(cè)高溫計(jì)就是根據(jù)這個(gè)原理制成的（見(jiàn)第三章P60）

。

光子氣體電子氣體

金屬中共有化電子稱為自由電子。電子的自旋為，故遵從Fermi分布。溫度為時(shí)，能量為的一個(gè)量子態(tài)上的電子數(shù)為（7.39）考慮自旋在動(dòng)量方向的投影有兩個(gè)可能值，在體積V內(nèi)，在能量范圍dE內(nèi)，電子的量子態(tài)數(shù)為(見(jiàn)式（6.21）)：（7.40）在體積V內(nèi)，能量dE內(nèi)的平均電子數(shù)為（7.41）§7.4電子氣體在給定粒子數(shù)N,溫度T和體積V時(shí)，化學(xué)勢(shì)由下式確定：（7.42）由式（7.42）可知，是隨溫度T和電子密度N/V的函數(shù)討論：（1）K的電子分布我們用表示0K時(shí)電子氣體的化學(xué)勢(shì)。由式（7.39）可知，在0K時(shí)（7.43）是0K時(shí)電子的最大能量，可由下式定出：電子氣體

將上式積分，可求出為（7.44）上式稱為Fermi能級(jí)。令，可得（7.45）

是0K時(shí)電子的最大動(dòng)量，稱為Fermi動(dòng)量。0K時(shí)電子氣體的總能量是（7.46）電子氣體

由式（7.46）可知，0K時(shí)一個(gè)電子的平均能量是（2）K時(shí)自由電子分布由式（7.39）知（7.47）

電子氣體

如圖7.3所示，式（7.47）說(shuō)明在K時(shí)，在的每一個(gè)量子態(tài)上，平均電子數(shù)大于1/2，在的每一個(gè)量子態(tài)上，平均電子數(shù)小于1/2。只在附近，數(shù)量級(jí)為的能量范圍內(nèi)，電子的分布與時(shí)的分布有差異。只有能量在附近，數(shù)量級(jí)為范圍內(nèi)的電子對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。以表示能量在附近范圍內(nèi)對(duì)熱容量作出貢獻(xiàn)的有效電子數(shù)將能量均分定律用于有效電子，每一個(gè)有效電子對(duì)熱容量貢獻(xiàn)為，則金屬中的電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)為(簡(jiǎn)單估計(jì)）（7.48）電子氣體

下面討論自由電子熱容量的定量計(jì)算。

電子數(shù)N滿足（見(jiàn)式（7.42）（7.49）由上式確定自由電子氣的化學(xué)勢(shì)或者Fermi能級(jí)。電子氣的內(nèi)能為（7.50）上兩式中的積分可寫成下述形式：（7.51）電子氣體

其中分別為和，是一個(gè)常數(shù)。對(duì)式（7.51）作變數(shù)變換：，式（7.51）改寫為電子氣體

等號(hào)右方第一項(xiàng)中的因子可表示為代入上式可得值得注意的是：上式右方第二項(xiàng)中，我們把積分上限都取為∞，這是因?yàn)?，貢獻(xiàn)主要是來(lái)自z小的范圍。故將被積函數(shù)的分子展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù)，只取z的一次項(xiàng)，得電子氣體

（7.52）因此式（7.49）和（7.50）的積分為（7.53）（7.54）由式（7.53）得電子氣體

當(dāng)時(shí)，。將C代入，正是式（7.44）。上式右方第二項(xiàng)很小，可用代替，得將上式右邊展開(kāi)可得到：（7.55）電子氣體

代入式（7.54），并用相應(yīng)的近似，得（7.56）式（7.56）給出電子氣體的內(nèi)能，由此得電子的熱容量為

（7.57）電子氣體

此結(jié)果與前面分析[式(7.48)：]的相比只有系數(shù)的差異。常溫下電子的熱容量遠(yuǎn)小于晶格振動(dòng)的熱容量。但在低溫范圍，晶格振動(dòng)的熱容量迅速下降，按趨向零（見(jiàn)下一節(jié)）；而電子熱容量與成正比，下降緩慢。所以在足夠低的溫度下，電子熱容量就不能忽略。以表示電子的熱容量，以表示離子的熱容量，在低溫下兩者之比為

（7.58）

式中為德拜（Debye）溫度。電子氣體

聲子在第六章中我們用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)討論了固體的熱容量，結(jié)果是：在室溫和高溫下與實(shí)驗(yàn)符合得較好，但在低溫下，固體熱容量更快地隨溫度下降。雖然在上章的最后一節(jié)中，Einstein（愛(ài)因斯坦，1879—1955，美籍德國(guó)猶太人，理論物理學(xué)家，創(chuàng)立相對(duì)論）用諧振子具有相同圓頻率的假設(shè)定性地說(shuō)明了固體的熱容量在低溫下隨溫度趨于零。但它比實(shí)驗(yàn)趨于零還是更快。對(duì)此，德拜把固體看成為聲子系統(tǒng)來(lái)討論固體的熱容量。

當(dāng)所有原子都處于其平衡位置時(shí)，各原子都將不受力的作用。則系統(tǒng)的能量可表為（7.59）

§7.5聲子

式（7.59）是二次型。通過(guò)線性變換將二次型化為平方和，再通過(guò)將各線性組合為，可將式（7.59）化為平方和而不含交叉項(xiàng)，為（參考（6.96）式）（7.60）稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。它是將各個(gè)粒子的坐標(biāo)加以線性組合而得到的，因此它是與全體粒子的坐標(biāo)都有關(guān)的一種集體坐標(biāo)，而不是某個(gè)粒子的坐標(biāo)。由式（7.60）可看出，3N個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)。簡(jiǎn)正振動(dòng)是特征頻率為近獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。固體中任意的彈性波都可以分解為這3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)的疊加。固體傳播的彈性波有縱波和橫波兩種，縱波是膨脹壓縮波，橫波是扭轉(zhuǎn)波。對(duì)一定的波矢k，縱波只有一個(gè)振動(dòng)方式，即在傳播方向上振動(dòng)聲子橫波有兩種振動(dòng)方式，即在垂直傳播方向的兩個(gè)相互垂直的方向上的振動(dòng)。可用波矢k和偏振來(lái)標(biāo)志這3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)。以和分別表示縱波和橫波的傳播速度，由縱波和橫波各自的波動(dòng)方程可知兩者的圓頻率和波矢分別滿足以下關(guān)系（參見(jiàn)式（7.29））

，（7.61）由于簡(jiǎn)正振動(dòng)的能量是以為單元的，可以把簡(jiǎn)正振動(dòng)的量子看作一種準(zhǔn)粒子，稱為聲子。聲子的動(dòng)量和能量分別為，（7.62）由于一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)的量子數(shù)n可以取0或者任意正整數(shù)，處在某一狀態(tài)（一定動(dòng)量和偏振）的聲子數(shù)是任意的，說(shuō)明聲子遵從Bose分布。由于各簡(jiǎn)正振動(dòng)之間的相互作用，在平衡狀態(tài)下各簡(jiǎn)正振動(dòng)的能級(jí)從微觀看來(lái)是不斷發(fā)生變化的。這相當(dāng)于各種狀態(tài)的聲子不斷被產(chǎn)生和湮滅。因此聲子數(shù)是不守恒的。聲子氣體的化學(xué)勢(shì)為0（）。溫度為T是處在能量為的一個(gè)狀態(tài)上的平均聲子數(shù)為

聲子其中每個(gè)聲子的能量為，因此溫度為T時(shí)，固體的內(nèi)能U為（7.63）其中聲子（考慮到是負(fù)的，其絕對(duì)值大于零點(diǎn)能量，因此也是負(fù)的。是固體的結(jié)合能，即絕對(duì)零度下固體的能量。式（7.63）的第二項(xiàng)是溫度為T時(shí)固體的熱運(yùn)動(dòng)能量。聲子為了求得內(nèi)能的顯式，必須知道聲子的頻譜。設(shè)固體的體積為，由式（6.20），在體積內(nèi)，在到的動(dòng)量范圍內(nèi)，縱波聲子的量子狀態(tài)數(shù)為橫波聲子的量子狀態(tài)數(shù)為（橫波有兩個(gè)波矢振動(dòng)方向）因此，在到的圓頻率范圍內(nèi)，聲子（包括縱波聲子和橫波聲子）的量子態(tài)數(shù)為（利用和關(guān)系）（7.64）聲子引入符號(hào)（7.65）可將簡(jiǎn)記為由于固體共有3N個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)方式，聲子的量子態(tài)數(shù)也應(yīng)為3N。必須假設(shè)存在一個(gè)最大的圓頻率，即不存在的聲子。令（7.66）上式給出與原子密度和彈性波傳播速度之間的關(guān)系。這個(gè)頻譜稱為德拜（Debye）頻譜。

引進(jìn)符號(hào)，（7.68）稱為Debye特征溫度，可由熱容量或彈性波在固體中的傳播速度的數(shù)據(jù)定出。引進(jìn)函數(shù)（7.69）

稱為Debye函數(shù)。內(nèi)能表為（7.70）聲子利用Debye頻譜，可將式（7.63）討論極限情況：（1）高溫時(shí)（，），在式（7.69）被積函數(shù)中，可作近似，因而這樣，在高溫下，內(nèi)能和熱容量可分別近似為（7.71）這正是能量均分定理的結(jié)果。（2）低溫時(shí)，可將式（7.69）中的積分限取作無(wú)窮大，因而有聲子這樣，在低溫下，固體的內(nèi)能和熱容量可分別近似為（）（7.72）

式（7.72）稱為Debye律。對(duì)非金屬固體，式（7.72）與實(shí)驗(yàn)符合。金屬固體在3K以上也符合律。在3K以下不能忽略電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)，式（7.72）只描述固體熱容量的原子部分。聲子Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）Fermi氣體服從Pauli不相容原理，當(dāng)K時(shí)，只有兩個(gè)粒子處于最低能級(jí)。Bose氣體不服從Pauli不相容原理，當(dāng)K時(shí)，大量粒子處于最低能級(jí)。Bose子跑向零能級(jí)的過(guò)程稱為Bose-Einstein凝聚，為凝聚溫度。系統(tǒng)為理想氣體，自旋為0，是Bose子。Bose分布為即當(dāng)時(shí)§7.6Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）

(下面考慮怎么求)所以有（7.73）粒子數(shù)密度為（7.74）用經(jīng)典近似描述：在到中的量子態(tài)數(shù)為（見(jiàn)式（6.21））

系統(tǒng)的總粒子數(shù)Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）粒子數(shù)密度（7.75）對(duì)式（7.75）積分，得

Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）化學(xué)勢(shì)與溫度的關(guān)系見(jiàn)圖7.4。當(dāng)時(shí)，；溫度再降低，時(shí)，，這個(gè)結(jié)果與式（7.73）矛盾?；瘜W(xué)勢(shì)與溫度的關(guān)系的實(shí)際曲線應(yīng)該是圖中虛線所示。所以產(chǎn)生上述差異是因?yàn)橛墒剑?.74）變?yōu)椋?.75）時(shí)（經(jīng)典近似），丟掉了能級(jí)的貢獻(xiàn)。在式（7.74）求和號(hào)下對(duì)n是有貢獻(xiàn)的；而在式（7.75）中，因?yàn)榇嬖陧?xiàng)，故在時(shí)，對(duì)n的貢獻(xiàn)被丟掉了。

上述情況對(duì)于Fermi子是可以的，因?yàn)樵谀芗?jí)上最多有兩個(gè)粒子。對(duì)N個(gè)粒子系統(tǒng)，它是可以忽略的。但對(duì)Bose子，若能級(jí)上有不能忽略數(shù)目的粒子時(shí)，就不能用式（7.75）來(lái)表達(dá)系統(tǒng)的粒子數(shù)了。Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）由式（7.75）可以看出，溫度與化學(xué)勢(shì)的變化保持積分結(jié)果為常數(shù)。因是負(fù)值，所以溫度升高，化學(xué)勢(shì)降低（的絕對(duì)值增大）。反之，化學(xué)勢(shì)隨溫度降低而增加。當(dāng)溫度降到某一臨界溫度時(shí)，將趨于0。這時(shí)的粒子數(shù)密度公式可寫為

（7.76）求得臨界溫度為（7.78）為解決上述用經(jīng)典近似帶來(lái)的問(wèn)題，在時(shí)，需將式（7.76）改寫成（7.79）Bose-Einstein凝聚（Bose氣體的性質(zhì)）式中是溫度為時(shí)，處于能級(jí)上的粒子數(shù)密度；第二項(xiàng)是處于的各激發(fā)能級(jí)上的粒子數(shù)密度，即。取極限情況，