反比例函數(shù)的綜合問題（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義

壓軸題解題模板02

反比例函數(shù)的綜合問題

目錄

?題型剖析?精準(zhǔn)提分

題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題

題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題

題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

題型剖析?精準(zhǔn)提分

反比例函數(shù)的綜合

題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題

題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題

題型解讀：

反比例函數(shù)的綜合問題在中考中常常以解答題和填

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題

空題的形式出現(xiàn)，解答題考查居多.此類題型多是反比例型的考查熱度.

函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合考查，一般要用到解

不等式、圖形面積、特殊三角形、特殊四邊形、相似三

角形等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化

歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①求反比例

函數(shù)的解析式；②求交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形面積；③利用函數(shù)口系列150%50%50%

圖象比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大??；④反比例函

數(shù)與幾何圖形綜合.下圖為反比例函數(shù)綜合問題中各題

型的考查熱度.

題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題

解題模板:

利用待定系數(shù)法求解析式

利用函數(shù)圖像或者聯(lián)立解析式確定交點(diǎn)坐標(biāo)

結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)圖像比較函數(shù)值大小

技巧精講：利用函數(shù)圖象確定不等式的解集:

不等式圖示作圖方法結(jié)論

由圖可知，在②④部分，直線位于雙曲線的上方，故

.k

ax+b>—過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

X

不等式a++6■的解集為xB<x<0或％〉孫

分別作4軸的垂線，連同yX

A.軸把平面分成①②③④四由圖可知，在①③部分，直線位于雙曲線的下方，故

.k

ax+b<—部分

X不等式?+6〈正的解集為x<xB^0<x<xA

7X

[例1]（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A（〃,6）和8（3,2）是一次函數(shù)％=履+匕的圖象與反比例

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，必>%?

k

【變式IT】（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)％=T+根與反比例函數(shù)％=￡相交于點(diǎn)

X

A和點(diǎn)8（3,-1）.

⑴求m的值和反比例函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)月＞丫2時(shí)，求x的取值范圍.

【變式1-2](2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題)如圖，直線，=區(qū)+6次,6為常數(shù))與雙曲線y=竺(加為常數(shù))

X

相交于A(2,a),3(-1,2)兩點(diǎn).

(2)在雙曲線＞='上任取兩點(diǎn)和NG，%)，若玉〈尤2,試確定弘和力的大小關(guān)系，并寫出判斷過

X

程;

(3)請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式乙+方＞'的解集.

X

題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題

解題模板:

利用待定系數(shù)法求解析式

利用函數(shù)圖像或者聯(lián)立解析式確定交點(diǎn)坐標(biāo)

根據(jù)k的幾何意義或者面積公式表示面積

【例2】(2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=改+。(。<。)與反比例函

數(shù)y="(kwO)交于4(一切,3回，5(4,-3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C連接Q4,OB.

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)求的面積；

(3)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式月〈辦+b的解集.

X

【變式2-1](2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題)如圖，一次函數(shù)%=依+6(左片0)與函數(shù)為為='(x>0)的圖

X

象交于4(4,1),哈4兩點(diǎn).

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足％時(shí)x的取值范圍；

（3）點(diǎn)尸在線段48上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M,交函數(shù)內(nèi)的圖象于點(diǎn)。，若△尸。。面積為3,求

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4

【變式2-2］（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)＞的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交

x

于點(diǎn)人（辦4）,與無軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）.

（1）求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

4

（2）已知尸為反比例函數(shù)y=—圖象上的一點(diǎn)，SAOBP=2SA°AC，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

x

【變式2-3］（2023?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)戶質(zhì)（左力0）與反比例函數(shù)嚴(yán)々，"0）的圖

X

象交于A、B兩點(diǎn)，A的橫坐標(biāo)為T,8的縱坐標(biāo)為-6.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)觀察圖象，直接寫出不等式依的解集.

x

(3)將直線AB向上平移”個(gè)單位，交雙曲線于C、。兩點(diǎn)，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)￡、F,連接。。、BD,若AOBD的

面積為20,求直線的表達(dá)式.

【變式2-4](2023?四川?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知一次函數(shù)"依+6的圖象與反比例函數(shù)〉=不加＞0)的

圖象交于4(3,4),B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,將直線AB沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)圖象

交于點(diǎn)。，E.

(1)求左，機(jī)的值及C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)連接AD,CD,求AACD的面積.

題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合

解題模板:

利用待定系數(shù)法求解析式

分析幾何圖形的特點(diǎn)并得到線段的數(shù)量關(guān)系

借助函數(shù)和線段的數(shù)量關(guān)系建立等式并計(jì)算

【例3】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/:＞=區(qū)+2與％,＞軸分別

相交于點(diǎn)A,B,與反比例函數(shù)了=二（尤＞0）的圖象相交于點(diǎn)C,已知。4=1,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2.

（1）求左，加的值；

（2）平行于丁軸的動(dòng)直線與/和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)DE,若以B,D,E,。為頂點(diǎn)的四邊形為平

行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

9

【變式3-1］（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)＞=丘+：（左為常數(shù)，5）的圖象與反比

4

例函數(shù)y=?，〃為常數(shù)，相片0）的圖象在第一象限交于點(diǎn)4（"）,與*軸交于點(diǎn)3（-3,0）.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)P在x軸上，是以A3為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式3-2］（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=H與x軸交于點(diǎn)

4（4,0）,與〉軸交于點(diǎn)3（0,2）,與反比例函數(shù)y在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C（6,a）.

（2）當(dāng)履+b＞衛(wèi)時(shí)，直接寫出x的取值范圍；

X

（3）在雙曲線＞=—上是否存在點(diǎn)尸，使AABP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

尤

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式3-3］（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線丫=-》+5與y軸交于

點(diǎn)A,與反比例函數(shù)＞=人的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為8（。,4）,過點(diǎn)B作AB的垂線/.

X

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)C在直線/上，且的面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）尸是直線/上一點(diǎn)，連接E4,以尸為位似中心畫使它與AX40位似，相似比為機(jī).若點(diǎn)。，E恰

好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及相的值.

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

一、解答題

一4

1.(2023?四川甘孜?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=§尤與反比例函數(shù)

y=與左＞0)的圖象相交于4(3,m),B兩點(diǎn).

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)C為無軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足AC人3C,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

4

2.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題)如圖，一次函數(shù)丁=履+仇左/。)的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于

x

A(wi,l),3(-2,〃)兩點(diǎn).

-i4

券I工

—H*-

x

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象;

4

(2)觀察圖象，直接寫出不等式依+的解集；

⑶設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C,若尸（0,。）為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接4P,CP,當(dāng)?shù)拿娣e為|■時(shí)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo).

3.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)y=勺尤+6的圖像與反比例函數(shù)＞=占的圖像交于4（-4,1）,

（2）根據(jù)圖像直接寫出不等式的解集；

X

（3）P為y軸上一點(diǎn)，若A/MB的面積為3,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

4.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，等腰直角三角形A3C的直角頂點(diǎn)C（3,O）,

k

頂點(diǎn)A、3（6,帆）恰好落在反比例函數(shù)y=巳第一象限的圖象上.

（1）分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線w所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)尸，使△至尸周長(zhǎng)的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1左

5.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)必=彳》和反比例函數(shù)%=—（x＞。）的圖像交于點(diǎn)A（〃z,2）.

2x

%

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

k

(2)將直線向上平移3個(gè)單位后，與y軸交于點(diǎn)B,與力=—(尤>。)的圖像交于點(diǎn)C,連接AB,AC,求

x

△ABC的面積.

6.(2023?遼寧營(yíng)口?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=*(x>0)的圖象上，軸于點(diǎn)8,

X

(2)點(diǎn)C在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，連接AC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)。，且NADO=45。，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

k

7.(2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—(%w0)的圖象