人教版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)【十大題型】

專題24.6直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)【十大題型】

【人教版】

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系】..............................................2

【題型2已知直線與圓的位置關(guān)系確定取值范圍】................................................3

【題型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)】................................................6

【題型4利用直線與圓的位置關(guān)系求最值】......................................................9

【題型5定義法判斷切線】....................................................................13

【題型6切線的判定（連半徑證垂直）】........................................................15

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】........................................................19

【題型8利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】..........................................................22

【題型9利用切線的性質(zhì)求角度】.............................................................26

【題型10利用切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】...................................................30

【知識(shí)點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系】

設(shè)。。的半徑為廠，圓心。到直線/的距離為d

則有：

相交：直線和圓有兩

個(gè)公共點(diǎn)直線/和O。相交=2v〃

直

線

與

圓

的

相切：直線和圓只有

位

置一個(gè)公共點(diǎn)!直線/和。0相切od=r

關(guān)

系

相離：直線和圓沒有

公共點(diǎn)直線/和0。相離d＞廠

?_

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關(guān)系】

【例1】（2022春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知同一平面內(nèi)有和點(diǎn)A與點(diǎn)8,如果。。的半徑為6c7九，線段

OA=lQcm,線段OB=6C7W,那么直線45與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.

【解答】解：：0。的半徑為6c〃z,線段。4=10。加，線段02=6。九，

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，

.,.點(diǎn)A在。。外.點(diǎn)2在OO上，

二直線A8與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

【變式1-1］（2022秋?韶關(guān)期末）已知O。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,那么直線/與

的位置關(guān)系是（）

A.直線/與。0相交B.直線/與。。相切

C.直線/與。。相離D.無(wú)法確定

【分析】根據(jù)“若則直線與圓相交；若d=r,則直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離”即可

得到結(jié)論.

【解答】解：:。。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,3<5,

.,.直線/與O。相離.

故選：C.

【變式1-2］（2022秋?川匯區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為。，點(diǎn)P在函數(shù)丫=,一一1的圖象上，

以點(diǎn)P為圓心，以O(shè)P為半徑的圓與直線y=-2的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切

C.相交D.三種情況均有可能

【分析】設(shè)PG,寧-1），利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出。尸=1+1，再計(jì)算出P點(diǎn)到直線y=-2的

1

距離為7尸+1,然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法可得到圓與直線y=-2相切.

4

【解答】解：設(shè)尸（I,%-1）,

4

OP=］二+@件一1）2=］（捫+1）2=》+1,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）,

；.尸點(diǎn)在直線>=-2的上方，

:.P點(diǎn)到直線尸-2的距離為12-1-（-2）=1+1,

：.P點(diǎn)到直線y=-2的距離等于圓的半徑，

...以點(diǎn)尸為圓心，以。尸為半徑的圓與直線y=-2的位置關(guān)系是相切.

故選：B.

【變式1-3］（2022秋?自貢期末）如圖，。。的半徑為5,圓心。到一條直線的距離為2,則這條直線

A.hB.hC.hD.U

【分析】利用直線與圓的位置的判定方法進(jìn)行判斷.

【解答】解：：直線與O。相切，

...圓心0到一條直線h的距離為5,

?.?直線/2與。。相離，

圓心。到一條直線12的距離大于5,

?.?直線/3與/4與0O相交，

圓心O到一條直線13和直線U的距離都小于5,

而圓心。到直線h的距離較小，

圓心。到一條直線的距離為2,這條直線可能是直線/3.

故選：C.

【題型2已知直線與圓的位置關(guān)系確定取值范圍】

【例2】（2022秋?北侖區(qū)期末）的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心。到直線/的距離可能是

（）

A.3B.5C.6D.10

【分析】根據(jù)直線/和。。相交="</，即可判斷.

【解答】解：：0。的半徑為5,直線/與。。相交，

，圓心D到直線I的距離d的取值范圍是0Wd<5,

故選：A.

【變式2-1］（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知中，ZC=90°,AC=3,BC=4,如果以點(diǎn)C

為圓心的圓與斜邊AB有公共點(diǎn)，那么的半徑廠的取值范圍是（）

1212

B.y<?<3C.y<r^4D.3WW4

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形得出另一種有一個(gè)交點(diǎn)的情況，即

可得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)D,

：AC=3,BC=4.如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與斜邊42只有一個(gè)公共點(diǎn),

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=r,圓與斜邊A3只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn),

：.CDXAB^ACXBC,

當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有交點(diǎn),

故選：C.

【變式2-2］（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）己知矩形ABC。中，AB=4,BC=3,以點(diǎn)3為圓心r為半徑作

圓，且OB與邊。有唯一公共點(diǎn)，則7"的取值范圍為（）

A.3WW4B.3?5C.3?4D.3WrW5

【分析】由于B￡>>AR>2C,根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到3WrW5.

【解答】解：：矩形4BCD中，48=4,BC=3,

：.BD=AC=>JAB2+BC2=5,AD=BC=3,CD=AB=4,

:以點(diǎn)8為圓心作圓，OB與邊CO有唯一公共點(diǎn)，

???08的半徑廠的取值范圍是：3WrW5；

故選：D.

【變式2-3］（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，作半徑為4的圓，若直線y=-x+b與。。

相交，則b的取值范圍是（）

A.0/6<2魚B.-4V2<fe^4V2C.-2y/2<b<2y/2D.-4V2<b<442

【分析】求出直線y=-x+6與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，和當(dāng)直線y=-x+b與圓相切，且

函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限時(shí)6的值，則相交時(shí)6的值在相切時(shí)的兩個(gè)6的值之間.

【解答】解：當(dāng)直線y=-x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限時(shí)，如圖.

在y=-x+6中，令x=0時(shí)，y=b,則與y軸的交點(diǎn)是8（0,6）,

當(dāng)y=0時(shí)，x=b,則與y軸的交點(diǎn)是A（b,0）,

則。4=08=6,即△048是等腰直角三角形，

在RtAABC中,

AB=VOi42+OB2=y/b2+b2-\[2b,

連接圓心0和切點(diǎn)C,貝|JOC=4,OCLAB,

"：S^AOB=^OA*OB=^AB'OC,

.，OAOBb-b

??4=ff

貝U6=4A②

同理，當(dāng)直線y=-x+b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限時(shí)，b=-4V2；

則若直線y=~x+b與OO相交，則b的取值范圍是-4V2<fe<4V2.

故選：D.

【題型3根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)】

【例3】（2022秋?武漢期末）己知。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與O。的公

共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無(wú)法確定

【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線/和OO相離，然后根據(jù)相離的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)

行判斷.

【解答】解：：。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,

即圓心。到直線/的距離大于圓的半徑，

.?.直線/和OO相離，

.?.直線/與OO沒有公共點(diǎn).

故選：A.

【變式3-1］（2022秋?武漢期末）直角△ABC,ZBAC=90°,AB=S,AC=6,以A為圓心，4.8長(zhǎng)度為

半徑的圓與直線BC的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷.若d〈r,則直線與圓相交；若d=r,則

直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

【解答】解：-：ZBAC=90°,A8=8,AC=6,

ABC=10,

AB-AC

???斜邊上的高為：------=4.8,

BC

??d=4.8。根=rcvn=4.8C/72,

圓與該直線BC的位置關(guān)系是相切，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,

故選:B.

【變式3-2]（2022?武漢模擬）一個(gè)圓的半徑是5%如果圓心到直線距離是4c7%，那么這條直線和這個(gè)圓

的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）個(gè).

A.0B.1C.2D.0或1或2

【分析】根據(jù)當(dāng)圓的半徑圓心到直線的距離d時(shí)，直線與圓相交，即可得出直線/和這個(gè)圓的公共點(diǎn)

的個(gè)數(shù).

【解答】解：：圓的半徑是如果圓心到直線距離是4cm,

.?.直線與圓相交，

.??這條直線和這個(gè)圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

【變式3-3]（2022秋?沐陽(yáng)縣期中）如圖，在△A8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以點(diǎn)C為圓心，r

為半徑畫圓.

（1）當(dāng)r=2.4時(shí),OC與邊A8相切；

（2）當(dāng)r滿足3OW4或r=2.4時(shí),OC與邊A8只有一個(gè)交點(diǎn)；

（3）隨著r的變化，OC與邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)還有哪些變化？寫出相應(yīng)的r的值或取值范圍.

【分析】（1）當(dāng)OC與邊AB相切時(shí)，則〃=/，由此求出r的值即可；

（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時(shí)有一交點(diǎn)，再結(jié)合圖形得出另一種有一個(gè)交點(diǎn)的情況，即可得

出答案；

（3）隨著r的變化，OC與邊A2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)三種情況.

【解答】解：(1)過點(diǎn)C作COJ_AB于點(diǎn)￡>,

VAC=3,BC=4.如果以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，

：.AB=5,

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，d=r,圓與斜邊A8只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖1,

：.CDXAB=ACXBC,

，CO=r=2.4,

故答案為：r=2.4.

(2)①當(dāng)直線與圓相切時(shí)，即d=r=2.4,圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn),

②當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有一個(gè)交點(diǎn)，如圖2,

；.3<rW4,

故答案為：3<±4或r=2.4；

(3)①如圖3,當(dāng)0Wr<2.4時(shí)，圓C與邊AB有0個(gè)交點(diǎn)；

②如圖1,當(dāng)r=2.4時(shí)，圓C與邊有1個(gè)交點(diǎn)；

③如圖4,當(dāng)2.4VrW3時(shí)，圓C與邊A8有2個(gè)交點(diǎn)；

④如圖2,當(dāng)3OW4時(shí)，圓C與邊有1個(gè)交點(diǎn)；

⑤如圖5,當(dāng)r>4時(shí)，圓C與邊A3有0個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)0Wr<2.4或廠>4時(shí)，圓C與邊AB有0個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)3<rW4或r=2.4時(shí)，圓C與邊有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)2.4<rW3時(shí)，圓C與邊A3有2個(gè)交點(diǎn).

B

圖4

【題型4利用直線與圓的位置關(guān)系求最值】

【例4】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線尸條+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是以C（1,0）

為圓心，1為半徑的圓上任意一點(diǎn)，連接B4,PB,則△BLB面積的最小值是（）

A.5B.10C.15D.20

【分析】作CHLA8于”交。。于E、F.當(dāng)點(diǎn)尸與E重合時(shí)，△出8的面積最小，求出EH、A8的長(zhǎng)

即可解決問題

【解答】解：作CHLA2于修交O。于￡、F.

VC(1,0),直線AB的解析式為尸3+3,

/.直線CH的解析式為尸-會(huì)+等

(4,4(L

y=--^x+□Ix=—7

3

33解得

)=嚴(yán)+3(y=-g-

.?.CH=J(l+$2+(^)2=3,

VA(4,0),B(0,3)，

：.OA=4,08=3,AB=5,

：.EH=3-1=2,

當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，的面積最小，最小值=>5X2=5,

故選：A.

【變式4-1](2022秋?涼山州期末)點(diǎn)A是半徑為2的。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。到直線的距離為3.點(diǎn)P

是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).在運(yùn)動(dòng)過程中若/POA=90°,則線段外的最小值是—履

【分析】根據(jù)勾股定理用OP表示出抬，根據(jù)垂線段最短解答即可.

【解答】解：：/POA=90°,

：.PA=7OA2+OP2=V4+OP2,

當(dāng)OP最小時(shí)，勿取最小值，

由題意得：當(dāng)時(shí)，。尸最小，最小值為3,

的最小值為：V4T32=V13,

故答案為：V13.

【變式4-2](2022?樂亭縣一模)如圖，。。的半徑是5,點(diǎn)A在。。上.P是。。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

AP=2,過點(diǎn)尸作直線/,使

(1)點(diǎn)。到直線I距離的最大值為7；

(2)若M,N是直線/與OO的公共點(diǎn)，則當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，OP的長(zhǎng)為—何

【分析】(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在圓外且O,A,P三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)。到直線/距離的最大，于是得到結(jié)

論；

(2)如圖2,根據(jù)已知條件得到線段是。。的直徑，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：⑴如圖1,VZXB4,

...當(dāng)點(diǎn)尸在圓外且O,A,尸三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)。到直線/的距離最大，

最大值為AO+AP=5+2=7；

(2)如圖2,N是直線/與。。的公共點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，

線段是。。的直徑，

VZ1B4,

ZAP6>=90°,

'：AP=2,OA=5,

：.OP=vox2-PA2=vn,

圖i

M

圖2

【變式4-3］（2022?廣漢市模擬）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=10,8c=12,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)

點(diǎn).以CD為。。直徑，作A。交。。于點(diǎn)E,連BE,則BE的最小值為（）

【分析】連接CE,可得NCED=NCEA=90°,從而知點(diǎn)E在以AC為直徑的。。上，繼而知點(diǎn)Q、E、

8共線時(shí)BE最小，根據(jù)勾股定理求得。8的長(zhǎng)，即可得答案.

【解答】解：如圖，連接CE,

...點(diǎn)E在以AC為直徑的。。上,

VAC=10,

QC=QE=5,

當(dāng)點(diǎn)。、E、2共線時(shí)最小，

"：BC=12,

：.QB=y/BC2+QC2=13,

:.BE=QB-?！?8,

故選：B.

【知識(shí)點(diǎn)2切線的判定】

（1）切線判定：①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

（2）切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑.

【題型5定義法判斷切線】

【例5】（2022?淮安模擬）下列直線中，一定是圓的切線的是（）

A.過半徑外端的直線

B.與圓心的距離等于該圓半徑的直線

C.垂直于圓的半徑的直線

D.與圓有公共點(diǎn)的直線

【分析】根據(jù)選項(xiàng)舉出反例圖形即可判斷A、C、D；根據(jù)切線的判定即可判斷艮

【解答】解：切線的判定定理有：①經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，②與圓心的

距離等于該圓的半徑的直線是圓的切線，

A、如圖跖不是。。的切線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

以與圓心的距離等于該圓的半徑的直線是圓的切線，故本選項(xiàng)正確;

C、如圖，斯，半徑OA,但所不是O。的切線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、如上圖，EFOO有公共點(diǎn)，但EF不是。。的切線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：B.

【變式5-1]（2022秋?嘉定區(qū)期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中的表述，正確的是（)

A.經(jīng)過半徑上一點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

B.經(jīng)過半徑的端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

C.經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

D.經(jīng)過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線

【分析】根據(jù)切線的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案.

【解答】解：由切線的判定定理可知：經(jīng)過半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，

故A,B,。選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確，

故選：C.

【變式5-2]（2022秋?東臺(tái)市校級(jí)月考）下列命題：（1）垂直于半徑的直線是圓的切線.（2）與圓只有

一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線.（3）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.（4）和三角形三邊所在

直線都相切的圓有且只有一個(gè).其中不正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)

【分析】利用切線的性質(zhì)進(jìn)行判斷后即可得到答案.

【解答】解：（1）過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，原命題錯(cuò)誤.

（2）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線，原命題正確.

（3）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線，正確.

（4）和三角形三邊所在直線都相切的圓有且只有四個(gè)，原命題錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式5-3]（2022秋?慈溪市期末）己知O。的半徑為5,直線經(jīng)過上一點(diǎn)尸（點(diǎn)E,尸在點(diǎn)P的

兩旁），下列條件能判定直線EF與。。相切的是（）

A.0尸=5B.OE=OF

C.。到直線所的距離是4D.OPLEF

【分析】根據(jù)切線的判定定理可求得需要滿足和條件，即可求得答案.

【解答】解:

?.?點(diǎn)P在上，

，只需要。尸_LEF即可,

故選：D.

【題型6切線的判定(連半徑證垂直)】

【例6】(2022?順德區(qū)一模)如圖，A,B,C,。是O。上的四個(gè)點(diǎn)，ZADB^ZBDC=6Q°,過點(diǎn)A作

AE//BC交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求/A8C的大??；

(2)證明：AE是。。的切線.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到NC4B=/&5C=60°,NACB=/AQB=60°,根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)解答即可；

(2)連接AO并延長(zhǎng)交BC于R根據(jù)垂徑定理的推論得到AFLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AHLAE,

根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】(1)解：由圓周角定理得：ZCAB=ZBDC=-60°,ZACB=ZADB=60°,

：.￡\ABC為等邊三角形，

/.ZABC=60°；

(2)證明：連接AO并延長(zhǎng)交BC于產(chǎn)，

'JAB^AC,

：.AB=AC,

：.AF±BC,

：.AF±AE,

是O。的半徑，

是O。的切線.

【變式6-1](2022?昭平縣一模)如圖，是。。的弦，OP_LA8交。。于C,0c=2,ZABC=30°.

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)若C是OP的中點(diǎn)，求證：P8是。。的切線.

【分析】（1）連接。4、0B,根據(jù)圓周角定理得到NAOC=2/ABC=60°,則/。4。=30°,所以。。=

jOA=l,AD=<3OD=V3,再根據(jù)垂徑定理得A〃=BD,所以AB=2g；

（2）由（1）ZBOC=60°,則△0C2為等邊三角形，所以BC=08=0C,ZOBC=ZOCB=6Q°,而

CP=CO=CB,則NCBP=NP,可計(jì)算出NC2P=30°,所以/02尸=NOBC+NCBP=90°,于是根

據(jù)切線的判定定理得尸8是。。的切線.

【解答】（1）解：連接。4、0B,如圖，

VZABC=30°,OP±AB,

：.ZAOC^60°,

：.ZOAD=30°,

11

???OD=^OA=jx2=L

：.AD=V3OD=V3,

又「OPLAB,

C.AD^BD,

：.AB=2V3；

（2）證明：由（1）N8OC=60°,

OC=OB,

???△OCB為等邊三角形，

:?BC=OB=OC,NOBC=NOCB=60°,

???C是。尸的中點(diǎn)，

:?CP=CO=CB,

:?NCBP=NP,

而/OCB=/CBP+/P,

：.ZCBP=30°

：.ZOBP=ZOBC+ZCBP=90°,

：.OB±BPf

【變式6-2］（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，NC=90°,AO平分N84C交5C于點(diǎn)D

。為A3上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A,。的圓O分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,連接跖.

【分析】連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得出NCAO=NOZM,根據(jù)平行線的判定

得出OD〃AC,求出0D_L5C,再根據(jù)切線的判定推出即可.

：.ZOAD=ZODAf

〈A。平分NA4c

：.ZCAD=ZOAD,

：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,

VZC=90°，

：.AC±BC,

：.OD±BC,

過圓心o,

.?.BC是圓。的切線.

【變式6-3](2022秋?武夷山市期末)如圖，點(diǎn)尸是。。的直徑A8延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)(PB<OB),點(diǎn)、E是

線段。尸的中點(diǎn).在直徑上方的圓上作一點(diǎn)C,使得EC=EP.

求證：PC是O。的切線.

【分析】連接。C,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到。“=￡尸，求得OE=EC=EP,得至！JNCO￡=/EC。，NECP

=NP,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：連接OC,

"：EC=EP,

：.OE=EC=EP,

：.ZCOE=ZECO,ZECP=ZP,

VZCOE+ZECO+ZECP+ZP=1SO°,

AZECO+ZECP^90°,

OC±PC,

：oc是。。的半徑,

...PC是O。的切線.

【題型7切線的判定(作垂直證半徑)】

【例7】(2022?武漢模擬)如圖，在中，NB=90°,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)。，E為上

的一點(diǎn)，DE=DC,以。為圓心，長(zhǎng)為半徑作。。，AB=5,EB=3.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)求線段AC的長(zhǎng).

【分析】(1)過點(diǎn)。作。尸，AC于R求出8。=。尸等于半徑，得出AC是。。的切線.

(2)先證明△BDEZZYDCP(乩)，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的得出AB+E2

=AC.

【解答】證明：(1)過點(diǎn)。作。fUAC于尸；

「AB為OD的切線，

ZB=90°

：.AB±BC

平分NBAC,DF±AC

：.BD=DF

；.AC與O。相切；

(2)在△BDE和△￡>(7/中；

"：BD=DF,DE=DC,

:.RSDE咨RtADCF(HL),

：.EB=FC.

"：AB=AF,

：.AB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC,

；.AC=5+3=8.

【變式7-1］（2022秋?濱?？h期末）如圖，以點(diǎn)。為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）

A.以O(shè)A為半徑的圓B.以08為半徑的圓

C.以O(shè)C為半徑的圓D.以。。為半徑的圓

［分析］根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.

【解答】解：。于。，

以點(diǎn)。為圓心，。。為半徑的圓與直線a相切.

故選：D.

【變式7-2］（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，。是底邊8C的中點(diǎn)，腰A3與OO相切于

點(diǎn)。.求證：AC是。。的切線.

【分析】過點(diǎn)。作OELAC于點(diǎn)￡,連接OD,04,根據(jù)切線的性質(zhì)得出根據(jù)等腰三角形三

線合一的性質(zhì)得出AO是4c的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=。。，從而證得結(jié)論.

【解答】證明：過點(diǎn)。作OELAC于點(diǎn)E,連接。OA,

與。。相切于點(diǎn)。，

：.AB±OD,

「△ABC為等腰三角形，。是底邊BC的中點(diǎn),

...AO是/BAC的平分線，

OE=OD,即OE是O。的半徑,

?..圓心到直線的距離等于半徑，

，AC是。。的切線.

【變式7-3](2022秋?丹江口市期中)如圖，。為正方形ABC。對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為

半徑的。。與BC相切于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若正方形的邊長(zhǎng)為10,求O。的半徑.

【分析】(1)首先連接并過點(diǎn)。作。fUC￡>,由OA長(zhǎng)為半徑的。。與2C相切于點(diǎn)E,可得

=04,OELBC,然后由AC為正方形ABC。的對(duì)角線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證得0尸=0￡=04,

即可判定CO是。。的切線；

(2)由正方形ABC。的邊長(zhǎng)為10,可求得其對(duì)角線的長(zhǎng)，然后由設(shè)OA=r,可得OE=EC=r,由勾股

定理求得OC=/r,則可得方程廠+加廠=10應(yīng)，繼而求得答案.

【解答】(1)證明：連接。￡,并過點(diǎn)。作。尸J_CD

,.?BC切O。于點(diǎn)E，

：.OE±BC,OE=OA,

又為正方形ABCD的對(duì)角線，

ZACB=ZACD,

：.OF=OE=OA,

即：C。是O。的切線.

(2)解：：正方形ABC。的邊長(zhǎng)為10,

：.AB=BC=10,ZB=90°,ZACB=45°,

：.AC^7AB2+BC2=10V2,

"：OE.LBC,

：.OE=EC,

設(shè)OA=r,則OE=EC=r,

OC=y/OE2+EC2=V2r,

,/OA+OC=AC,

.*.r+V2r=10V2,

解得：r=20-10V2.

二。。的半徑為:20-10V2.

REC

【知識(shí)點(diǎn)3切線的性質(zhì)】

(1)切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

(2)切線性質(zhì)的推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

②經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

【題型8利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】

【例8】(2022?新平縣模擬)如圖，已知A8是。。的直徑，C。是。。的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，弦BLAB

于點(diǎn)E,連接AC.

(1)求證：AC平分/DCF；

(2)若AO_LC。，BE=2,CF=8,求AD的長(zhǎng).

【分析】(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOCZ)=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NACO=NC4E,

根據(jù)等角的余角相等可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)垂徑定理得到CE=尸=4,根據(jù)勾股定理求出。。的半徑，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即

可.

【解答】（1）證明：連接0C,

???co切。0于點(diǎn)C,

.".ZOC￡>=90°,

AZACD^ZACO=90°.

CFLAB,

：.ZAEC=90°,

AZACF+ZCAE=90°.

???QA=OC,

/./ACO=NCAE,

：.ZACD=ZACF；

(2)解：由(1)可知，ZACD=ZACF.

9：CF±AB.CF=8,

1

：.CE=為尸=4,

設(shè)OO的半徑為r,則OE=r-3,

在Rtz\OEC中，OC2=OE1+CE2,

即(r-2)2+42,

解得：r=5,

：.AE=AB-BE=10-2=8,

VZACD=ZACF,ADLCD,CF±ABf

.??A￡)=AE=8.

【變式8-1］（2022?瀘縣一模）如圖，4B是。。的切線，A為切點(diǎn)，AC是O。的弦，過。作。于

點(diǎn)、H.若0H=3,AB=U,BO=13,求：O。的半徑和AC的長(zhǎng).

【分析】利用切線的性質(zhì)得NO4B=90°,則根據(jù)勾股定理可計(jì)算出04=5,再根據(jù)垂徑定理得到AH

=CH,接著利用勾股定理計(jì)算出AH從而得到AC的長(zhǎng).

【解答】解：???A3為切線，

：.OA±AB,

：.ZOAB^90°,

在RtAOAB中，0A=yIOB2-AB2=V132-122=5,

*.?OHLAC,

:.AH=CH,

在RtZXOAH中，AH=y/OA2-OH2=V52-32=4,

：.AC=2AH=S,

答：o。的半徑為5,AC的長(zhǎng)為8.

【變式8-2］（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，AB,CD是。。的切線，B、。為切點(diǎn)，AB=2,CD=4,AC=10.若

ZA+ZC=90°,則G）。的半徑是4.

【分析】連接02,0D,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NO3E=NODE=90°,延長(zhǎng)AB,CD交于E,求得NAEC

=90°,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到8E=r>E=08,設(shè)。。的半徑是，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接08,OD,

C。是O。的切線，B、D為切點(diǎn)，

：.ZOBE=ZODE=90a,

延長(zhǎng)AB,CD交于E,

VZA+ZC=90°,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZOBE=ZODE=90°,

J四邊形OO硬是矩形，

?：OB=OD,

???四邊形ODEB是正方形，

：.BE=DE=OB,

設(shè)。0的半徑是r,

/.AE=r+2,CE=r+4,

?-,AE2+CE2=AC2,

(r+2)2+(r+4)2=102,

解得：r=4(負(fù)值舍去)，

二。。的半徑是4,

故答案為：4.

【變式8-3］（2022?新?lián)釁^(qū)校級(jí)三模）如圖，△ACZ）內(nèi)接于00,48是。。的切線，NC=45°,/B=30°.4。

=4,則AB長(zhǎng)為（）

A.4B.2V2C.2V3D.2V6

【分析】如圖，連接0D,構(gòu)造等腰直角△40。和直角AA。艮首先利用勾股定理求得0A的長(zhǎng)度,

然后通過解直角△AOB求得邊AB的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖，連接OA、OD,

VZC=45°.

ZAOD=2ZC=90°.

又AD=4,

.?.心=2042=16,則。4=2叵

又是。。的切線，

/.ZOAB=90°.

,/ZB=30°,OA=2近,

：.AB=V3OA=2V6.

【例9】（2022?紅橋區(qū)三模）己知B4、PB是O。的切線，A、B為切點(diǎn)，連接A。并延長(zhǎng)，交PB的延長(zhǎng)

圖①圖②

（1）如圖①，若/AOP=65°,求/C的大??；

（〃）如圖②，連接BD,若BD〃AC,求/C的大小.

【分析】（I）根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可；

（II）連接。8,設(shè)NAOP為無(wú)，利用三角形內(nèi)角和解答即可.

解：（I）連接BO,

???必、尸5是。。的切線,

ZAPO=ZBPO,PALAO,PB工OB,

VZAOP=65°,

AZAPO=90°-65°=25°,

/.ZBPO=ZAPO=25°,

<ZAOP=NBPO+NC,

：.ZC=ZAOP-ABPO=65°-25°=40°,

(II)連接OB,設(shè)NAOP=x,

?「B4、尸B是。。的切線，

AZAPO=ZBPO=xfPALAO,PB_LOB,

ZAPO=90°-ZAOP=90°-x,

ZBOP=90°-ZBPO=90°-x,

AZBOC=180°-ZAOP-ZBOP=180°-2x,

.\ZOCB=90°-ZBOC=90°-2x,

OC//BD,

:?/DBP=/C=9U°-2x,

：.ZOBD=2x,

9：0B=0D,

：.ZODB=ZOBD=2x,

VZOBD+ZODB+ZDOB=1SO°,

/.x=30°,

：.ZC=90°-2x=30°.

【變式9-1](2022秋?香洲區(qū)期末)如圖，PA,總是。0的兩條切線，A、5是切點(diǎn)，AC是。。的直徑,

ZBAC=35°,求NP的度數(shù).

【分析】根據(jù)題意可以求得NOAP和N03尸的度數(shù)，然后根據(jù)NA4c=35°,即可求得N尸的度數(shù).

【解答】解：:以、尸5是。0的兩條切線，A、3是切點(diǎn)，AC是。。的直徑，

：.ZOAP=ZOBP=90°,

VZBAC=35°,OA=OB,

：.ZBAC=ZOBA=35°,

：.ZPAB=ZPBA=55°,

/.ZP=180°-ZPAB-ZPBA=70°,

即N尸的度數(shù)是70°.

【變式9-2](2022?老河口市模擬)PA,尸5是。0的切線，A,B是切點(diǎn)，點(diǎn)。是。0上不與A,B重合

的一點(diǎn)，若NA尸5=70°,則NAC3的度數(shù)為5?；?25°-

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOA尸=90°,N03尸=90°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到NAO3=110°,

然后根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求NAC3的度數(shù).

【解答】解：,??唐，尸8是。。的兩條切線，

：.OALPA,OBLPB,

：.ZOAP=90°,ZOBP=90°,

?；/APB=70°,

AZAOB=360°-90°-90°-70°=110°,

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上，貝！J/ACB=*/AO8=55°,

當(dāng)點(diǎn)C'在優(yōu)弧AB上，則NAC'2=180°-55°=125°.

則NACB的度數(shù)為55°或125°.

故答案為：55°或125°.

【變式9-3](2022?曲阜市二模)已知BC是。。的直徑，是。。的切線，切點(diǎn)為A,交C8的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)。，連接AB,AO.

(I)如圖①，求證：ZOAC^ZDAB；

(II)如圖②，AD=AC,若E是。。上一點(diǎn)，求/E的大小.

【分析】(I)先由切線和直徑得出直角，再用同角的余角相等即可；

(II)由等腰三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)直接先判斷出NA3C=2NC,即可求出NC

【解答】解：(I):AO是。。的切線，切點(diǎn)為A,

：.DA±AOf

：.ZZ)AO=90°,

：.ZDAB+ZBAO=90°,

???5C是。。的直徑，

：.ZBAC=90°,

：.ZBAO+ZOAC=90°,

：.ZOAC=ZDAB,

(II)9：OA=OC,

：.ZOAC=ZC,

9

：AD=ACf

：.ZD=ZC,

：.ZOAC=ZDf

a：ZOAC=ZDAB,

；?NDAB=ND,

,/ZABC=ND+/DAB,

ZABC=2ZDf

9：ZD=ZC,

：.ZABC=2ZC9

*：ZBAC=90°,

/.ZABC+ZC=90°,

A2ZC+ZC=90o,

.*.ZC=30°,

/.Z￡=ZC=30°

【題型10利用切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用】

【例10】(2022?五華區(qū)三模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，且以線段AB為直徑

作O。，分別交3。，AC于點(diǎn)E,點(diǎn)、F,/BAC=2/CBD.

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)若CD=2,BC=4,求點(diǎn)B到AC的距離.

【分析】(1)連接4E,由圓周角定理得到/AE8=90°,由等腰三角形的性質(zhì)得到/BAE=/D4E,進(jìn)

而征得NBAE=/CBZ),得到乙鉆￡+/?；?=44g=90°,根據(jù)切線的判定即可證得BC是O。的切

線；

(2)連接2R可得APLAC,在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB=3,AC=5,由三角形的面積公

式即可求出BF.

【解答】(1)證明：連接AE,

?..線段AB為。。的直徑，

；./AEB=90°,

.".AE1BD,ZBAE+ZABE^9Q°,

\'AD=AB,

：.ZBAE=NDAE,

：.NBAC=2NBAE,

'：ZBAC=2ZCBD,

：.ZBAE=ZCBD,

：.ZABE+ZCBD=ZABC=9Q°,

：.AB±BC,

???AB為O。的直徑,

.,?■BC是O。的切線;

(2)解：連接B凡

.線段A2為。。的直徑，

AZAFB=90°,

：.AFLAC,

在Rt/XABC中，AB2+BC2=AC2,BC=4,AC^AD+CD=AB+2,

.".AB2+42=(AB+2)2,

；?A3=3,

：.AC=5,

'：S^ABC=^AB-BC=^AC-BF,

即點(diǎn)2到AC的距離為g.

【變式10-1】(2022?邵陽(yáng)模擬)如圖，AC是。。的直徑，與。。相交于點(diǎn)8,ZDAB=ZACB.

(1)求證：A。是O。的切線.

(2)若/AD8=30°,DB=2,求直徑AC的長(zhǎng)度.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得出/ABC=90°,