中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：全等三角形備考提分專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版+解析）

第十二章全等三角形備考提分專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

第一部分考前知識(shí)梳理

一、全等三角形的概念與性質(zhì)

能夠的兩個(gè)圖形叫全等圖形，能夠.的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

性質(zhì)：全等三角形的—相等,相等.

幾何符號(hào)語言：

AABC^ADEF

AB=DE,BC=EF,AC=DF

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF

二、三角形全等的判定方法

1.的兩個(gè)三角形全等.（“邊邊邊”或“SSS”）

幾何符號(hào)語言：

‘AB=A'B'

在4ABC和△ABC中,BC=B/C/

AC=A'C'

ZXABC之△A'B'C'（SSS）

2.分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.

幾何符號(hào)語言：

‘AB=AE

在4ABC和△AB。中，|NA=NA'

AC=A'C'

ZXABC之△A'B'C'(SAS)

3.分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.

幾何符號(hào)語言：

ZA=ZAzCC

在△ABC和△AB。中，［AB=A'B，

ZB=/B'

△ABCgZ\A'B'C'（ASA）

4.相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）.

定理應(yīng)用格式：

ZA=ZA'

在4ABC和△AB。中，［ZB=ZB'

BC=BC,

△ABCgZ\A'B'C'(AAS)

5.分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

注意：

（1）“HL”定理是僅適用于Rt△的特殊方法.因此，判定兩個(gè)直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、

"SAS"、"ASA”、“AAS”外還可以使用“HL”.

(2)應(yīng)用HL定理時(shí)，雖只有兩個(gè)條件，但必須先有兩個(gè)RtzY書寫格式為:

AB=AE

在RtAABC和RtZXAB。中,RtA

BC=B'C'

AB3RtZ\ABC'(HL)

三、角平分線的性質(zhì)與判定

角的平分線的性質(zhì)角3的平分線的判定

圖形

0EBEB

0P平分NA0BPD=PE

已知

PD_L0A于DPD，0A于D

條件

PE，0B于EPE_L0B于E

結(jié)論P(yáng)D=PE0P平分NA0B

四、幾何證明的一般步驟

1.明確命題中的

2.根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)

3.經(jīng)過分析找出的途徑，寫出證明過程。

第二部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法

方法：轉(zhuǎn)化思想

解讀：轉(zhuǎn)化思想就是把解決的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問題來解決，即化難為易，化未知為已知,

本章中在證明線段和角相等時(shí)，常轉(zhuǎn)化為全等三角形全等來解決。

典例：(2022秋?建湖縣期中)己知：如圖，在△ABC中，AB^AC,在△ADE中，AD=AE,且NA4C=N

DAE=36°,連接8。，CE交于點(diǎn)、P,連接4P.

(1)求證：BD=CE；(2)求N8PC的度數(shù)；

(3)求證：平分N2PE.

BC

第三部分?？碱}型突破

題型一全等三角形的判定

例1-1（2023春?南崗區(qū)期末）如圖，平分NAOC,D、E、尸分別是射線。4、射線02、射線。C上的點(diǎn)，

D、E、尸與。點(diǎn)都不重合，連接E。、EF.若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△。。石絲你認(rèn)

A.OD=OEB.DE=FEC.ZODE^ZOEDD.ZODE^ZOFE

例1-2（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話

給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出

來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

例1-3（2022?益陽）如圖，在中，ZB=90°,CD//AB,OEJ_AC于點(diǎn)E,HCE=AB.求證:

△CED名AABC.

例1-4如圖，AD,8c相交于點(diǎn)O,且。4=OC,OB=OD,EF過點(diǎn)O,分別交A3、CD于點(diǎn)E、F,且/

AOE=ZCOF,求證：OE=OF.

題型二角平分線的性質(zhì)

例2-1（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，是它的角平分線，OELAC于點(diǎn)E.若8C=12tro,

DE=4cm,則△3。的面積為cm2.

例2-2（2022秋?肥東縣期末）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,BE平分NABC,CE±BE.求

證：BD=2CE.

第四部分全章模擬測(cè)試

一、選擇題（每題3分，共21分）

1.（2021秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）

A.◎◎B.⑤十C.U?HU0,

2.（2022?南關(guān)區(qū)期末）如圖，AB//DF,>AB^DF,添加下列條件，不能判斷的是（）

3.（2022秋?雙遼市期中）如圖，要測(cè)量湖兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A,B的距離，可以在AB的垂線上取兩點(diǎn)C,

D,CD=BC,再在BE的垂線DG上取點(diǎn)E,使點(diǎn)A,C,E在一條直線上，可得AABC注△EDC.判

定全等的依據(jù)是（）

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

4.（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC,DELABE,BE=2,

5.（2022秋?滄州期末）為促進(jìn)旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村，如圖所示,

若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個(gè)度假村應(yīng)修建在（）

A.△ABC三條高線的交點(diǎn)處B.ZXABC三條中線的交點(diǎn)處

C.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處D.ZkABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處

6.（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，ABLCD,且A8=CZ）.E、尸是AO上兩點(diǎn)，CE.LADfBFLAD.若

BF=a,EF=b,CE=c,則A。的長(zhǎng)為（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

7.（2022秋?辛集市期末）如圖，在△A3。和中，AB=AD,AC=AE,AB>AC,ZDAB=ZCAE=

50°連接BE,CD交于點(diǎn)F,連接AF.下列結(jié)論：①BE=CD；②NEFC=50°；③AF平分ND4E；④

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每題4分，共24分）

8.（2022秋?萊州市期中）如圖，AABC冬ADBE,A、。、C在一條直線上，且/A=60°,ZDBC=28°,

則NE=.

9.（2021秋?寧津縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊

1

AC,A3于點(diǎn)M、N,分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于一MN為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P,射線AP交BC

2

于點(diǎn)。，若CD=2,AB=5,則△ABD的面積為.

10.（2022秋?常州期中）如圖,4。是448。的高,4。=8。,8￡'=4。/&1。=70°，則NDBE大小為

11.（2022秋?海淀區(qū)期中）在△ABC中,4。是中線，已知AB=7,AC=4,則中線的取值范圍是.

12.（2022秋?句容市期中）如圖，在四邊形ABC。中，/B=NC,AB=20cm.BC=15cm,點(diǎn)E為AB的

中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以5cm/s的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段C￡）上由點(diǎn)C向點(diǎn)

20

D運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_三_a加時(shí)，能夠使△

與△C。尸全等.

13.（2023春?渠縣期末）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情.如圖1,在中，/ABC=

2

90°,BD是高,E是△ABC外一點(diǎn)，BE=BA,/E=NC,若DE=押,AD=16,BD=20,求ABDE

的面積.同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在8。上截?。ㄈ?/p>

圖2）.同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得的面積為一.

圖1圖2

三、解答題（共55分）

14.（2022秋?龍港市期中）已知：如圖，AC=BD,AD=BC.求證：ZC=ZD.

AB

15.(2022春?墾利區(qū)期末)如圖，已知8E_LAC,CFLAB,垂足分別為E,F,BE,CF相交于點(diǎn)。，若

BD=CD.求證：平分/8AC.

16.(2021秋?巢湖市期末)如圖，在△ABC中，AO平分NBAC,ZC=90°,Z)E_LA8于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在AC

上，BD=DF.

(1)求證：CF=EB.

(2)若48=12,AF=8,求CF的長(zhǎng).

17.(2022秋?深水區(qū)期中)如圖，△ABCg/kAbC,AD和A。'分別是△ABC和△ABC的角平分線.

(1)求證：AD^A'D'；

(2)把第(1)小題中的結(jié)論用文字語言描述：；

(3)寫出一條其他類似的結(jié)論：.

18.（2013秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形4BCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,Z

MBN=60°,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交A。，0c（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F,

（1）當(dāng)繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1）,試猜想AE,CF,之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

將三條線段分別填入后面橫線中：+=（不需證明）

（2）當(dāng)NM8N繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEWCP時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上問的結(jié)論分別是否仍然成立？

若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，那么這三條線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

第十二章全等三角形備考提分專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第一部分考前知識(shí)梳理

一、全等三角形的概念與性質(zhì)

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等圖形,能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.

幾何符號(hào)語言：

AABC^ADEF

AB=DE,BC=EF,AC=DF\

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF---------

二、三角形全等的判定方法

1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.（“邊邊邊”或“SSS”）

幾何符號(hào)語言：

'AB=AE

在4ABC和△ABC'中,BC=B'C'

AC=A'C'

AABC名△A'B'C'（SSS）

2.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.

幾何符號(hào)語言：

一AB=AE

在4ABC和△AB。中，＜NA=NA'

AC=A'C'

△ABCgZXA'B'C'(SAS)

3.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.

幾何符號(hào)語言：

ZA=NA'CC

在AABC和△AB。中，［AB=A'B'

ZB=ZB1

，△ABCgZ\A'B'C'（ASA）

4.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）.

定理應(yīng)用格式：

ZA=ZA'

在4ABC和△A，BC中,{NB=ZB'

BC=B，C'

△AB3ZkA'B'C'(AAS)

5.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

注意：

（1）“HL”定理是僅適用于Rt△的特殊方法.因此，判定兩個(gè)直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、

“SAS”、“ASA”、“AAS”外還可以使用“HL”.

(2)應(yīng)用HL定理時(shí)，雖只有兩個(gè)條件，但必須先有兩個(gè)RtzY書寫格式為:

AB=AE

在RtAABC和RtZXAB。中,RtA

BC=B'C'

AB3RtZ\ABC'(HL)

三、角平分線的性質(zhì)與判定

角的平分線的性質(zhì)角3的平分線的判定

圖形

0EBEB

0P平分NA0BPD=PE

已知

PD_L0A于DPD，0A于D

條件

PE，0B于EPE_L0B于E

結(jié)論P(yáng)D=PE0P平分NA0B

四、幾何證明的一般步驟

1.明確命題中的已知和求證

2.根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證

3.經(jīng)過分析找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程。

第二部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法

方法：轉(zhuǎn)化思想

解讀：轉(zhuǎn)化思想就是把解決的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問題來解決，即化難為易，化未知為已知,

本章中在證明線段和角相等時(shí)，常轉(zhuǎn)化為全等三角形全等來解決。

典例：(2022秋?建湖縣期中)己知：如圖，在△ABC中，AB^AC,在△ADE中，AD=AE,且NA4C=N

DAE=36°,連接8。，CE交于點(diǎn)P,連接4戶.

(1)求證：BD=CE；(2)求N8PC的度數(shù)；

(3)求證：拼平分/BPE.

E

A/^^~T7D

/\/jp

BC

【思路引領(lǐng)】(1)要證明BO=CE,只要證明g△C4E即可，根據(jù)題目中的條件，利用SAS可以

證明△BAD四△C4E；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，可以求得NBPC的度數(shù)；

(3)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可以得到點(diǎn)A到8。邊距離等于點(diǎn)A到CE邊上的距離，再根

據(jù)角平分線的判定，即可得到B4平分尸旦

【解答】(1)證明：VZ.BAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD^ZCAE,

在△54。和△CAE中，

(AB=AC

UBAD=/.CAE,

(AD=AE

：.ABAZ)^ACA￡(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：VZBAC=36°,AB=AC,

：.ZABC=Z.ACB=72°,

由(1)知：△BAD0△C4E,

ZABD=ZACE,

：.ZPBC+ZPCB=ZPBC+ZACB+ZACE=ZPBC+ZACB+ZABD=ZABC+ZACB=72°+72°=

144°,

ZBf>C=180°-(/PBC+NPCB)=180°-144°=36°,

即N5PC=36°；

(3)證明：VABAD^ACAE,

點(diǎn)A到BD邊距離等于點(diǎn)A到CE邊上的距離，

.?.點(diǎn)A在NBPE的角平分線上，

即PA平分/BPE.

【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的判定，解答本題的關(guān)

鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

第三部分?？碱}型突破

題型一全等三角形的判定

例1-1（2023春?南崗區(qū)期末）如圖，。8平分/AOC,。、E、尸分別是射線OA、射線。8、射線。C上的點(diǎn)，

D、E、F與。點(diǎn)都不重合，連接E。、EF.若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE也△FOE.你認(rèn)

A.OD=OEB.DE=FEC.ZODE=ZOEDD.ZODE=ZOFE

【答案】D

【思路引領(lǐng)】由。2平分/AOC,得/DOE=/FOE,由公共邊OE=OE,可知添加條件NODE=NOFE,

即可根據(jù)A4s得△￡＞?！曜ⅰ鱂OE,可得答案.

【解答】解：平分/AOC,

ZDOE=ZFOE,

又OE=OE,

若添加條件NODE=NOFE,則根據(jù)A4s可得△DOE絲△△?￡1,故選項(xiàng)。符合題意，

而添加條件OD=OE不能得到△QOE也故選項(xiàng)A不符合題意，

添加條件DE=FE不能得到故選項(xiàng)B不符合題意，

添加條件/ODE=NOED不能得到故選項(xiàng)C不符合題意，

故選：D.

【總結(jié)提升】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS.ASA.

SAS,SSS,直角三角形可用乩定理，注意：AA4、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等

時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

例1-2（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話

給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出

來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

【答案】C

【思路引領(lǐng)】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解答】解：A.利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；

B.利用三角形兩邊、且夾角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；

C.AB,AC,NB,無法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；

D根據(jù)/A,/B,BC,三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【總結(jié)提升】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

例1-3（2022?益陽）如圖，在中，NB=90°,CD//AB,于點(diǎn)E,S.CE^AB.求證:

△CED烏LABC.

【答案】證明過程見解答部分.

【思路引領(lǐng)】由垂直的定義可知，ZDEC=ZB=90°,由平行線的性質(zhì)可得，ZA=ZDCE,進(jìn)而由ASA

可得結(jié)論.

【解答】證明：'：DE±AC,ZB=9Q°,

；.NDEC=NB=90°,

VCD//AB,

：.ZA=ADCE,

在△CEO和△ABC中,

2DCE=乙4

CE=AB，

/DEC—Z-B

AACED^AABC(ASA).

【總結(jié)提升】本題主要考查全等三角形的判定，垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定

理是解題基礎(chǔ).

例1-4如圖，AD、相交于點(diǎn)。，且。4=0C,OB=OD,EF過點(diǎn)0,分別交A3、CD于點(diǎn)E、F,且/

AOE^ZCOF,求證：OE=OF.

思路引領(lǐng)：由SAS證明△A08冬△COD,得出對(duì)應(yīng)角相等/A=NC,再由ASA證明△49E四△CQF,

得出對(duì)應(yīng)邊相等即可.

證明：在和△COD中，

0A=0C

Z-AOB=Z.COD，

OB=0D

：./XAOB^ACOD(SAS),

???NA=NC,

在△AOE和△CO/中，

乙4=ZC

OA=OC

AAOE=乙COF

：./XAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF.

解題秘籍：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等

是解決問題的關(guān)鍵.

題型二角平分線的性質(zhì)

例2-1(2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△ABC中，。是它的角平分線，于點(diǎn)E.若8C=12cm

DE=4cm,則△BCD的面積為24cm2.

【答案】24.

【思路引領(lǐng)】如圖所示，過點(diǎn)D作DFLBC于F,利用角平分線的性質(zhì)得到DF=DE=4cm,即可利用

三角形面積公式求出答案.

【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)。作。尸，BC于尸，

平分NACB,DFLBC,DEVAC,DE=4cm,

DF=DE=4cm,

^：BC=\2cm,

11C

.:△BCD的面積=今BC?DF=方X12X4=24(cm2),

故答案為：24.

【總結(jié)提升】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

例2-2(2022秋?肥東縣期末)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分/ABC,CEYBE.求

證：BD=2CE.

思路引領(lǐng)：延長(zhǎng)BA交CE的延長(zhǎng)線于F,先證明△BCE0△BFE,得CE=EF,再證明△△。/名△人臺(tái)。

得BD=CF,從而有B￡)=2CE.

證明：延長(zhǎng)區(qū)4交CE的延長(zhǎng)線于R

平分NA8C,

；./CBE=NFBE,

'：CE.LBE,

:./BEC=NBEF=9Q°,

?在△BCE和中，

2CBE=乙FBE

BEBE,

ZBEC=乙BEF=90°

:.ABCE咨ABFE(ASA),

：.CE=EF,

在△ABC中，VZBAC=90°,CELBE,

：.ZABD+ZADB=90°,

ZCDE+ZFCA^90°,

又,：NADB=/CDE(對(duì)頂角相等)，

：.ZFCA=ZABD,

?在△ACB和△AB。中，

^FCA=/.ABD

ABAC,

ZBAC=^FAC=90°

：./\ACF^/\ABD(ASA),

：.BD=CF,

：.BD=2CE.

解題秘籍：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是

作好輔助線：延長(zhǎng)交CE的延長(zhǎng)線于尸.

第四部分全章模擬測(cè)試

一、選擇題（每題3分，共21分）

1.（2021秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）

A.卷）◎

B.③十

【答案】B

【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行分析判斷.

【解答】解：A、兩個(gè)圖形不能夠完全重合，不是全等圖形，不符合題意;

2、兩個(gè)圖形可以完全重合，是全等圖形，符合題意；

C、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；

D,兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意.

故選：B.

【總結(jié)提升】本題考查的是全等形的識(shí)別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題.

2.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB//DF,且A2=OR添加下列條件，不能判斷△ABC2△PL比的

是（）

A.AC=EFB.BE=CDC.AC//EFD.ZA=ZF

【答案】A

【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可.

【解答】解：-：AB//DF,

：.ZABC=NFDE,

A、由AB=DF,AC=EF,不能判定/XABC/△FOE,故A符合題意；

B、由AB=DF,BE^CDBPBC^DE,通過SAS即可證明故8不符

合題意；

C、由AC〃所得/ACB=NP￡D,ZABC=ZFDE,AB=DF,通過AAS即可證明△ABC也△尸DE,故

C不符合題意；

D、由AB=DF,NA8C=/FDE通過ASA即可證明△ABC絲△引9E,故。不符合題意；

故選：A.

【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?雙遼市期中）如圖，要測(cè)量湖兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A,B的距離，可以在AB的垂線B尸上取兩點(diǎn)C,

D,使Cr>=BC,再在BF的垂線。G上取點(diǎn)E,使點(diǎn)A,C,E在一條直線上，可得△ABC之△EDC.判

定全等的依據(jù)是（）

A

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

【答案】A

【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選

擇判斷方法.

【解答】解：在△A5C和△或"；中

2ABC=Z.EDC=90°

BC=CD,

.Z-BCA=Z.DCE

：.AABC^AEDC（ASA）,

依據(jù)是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等.

故選：A.

【總結(jié)提升】本題主要考查了三角形全等的判定方法，熟記判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，/C=90°,AD平分NBAC,DELABE,BE=2,

BC=6,則△BOE的周長(zhǎng)為（）

B

D

C

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【思路引領(lǐng)】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC,然后利用等線段代換得到△BDE的周長(zhǎng)=BC+BE.

【解答】解：平分/BAC,DELAB,DCLAC,

:.DE=DC,

ABDE的周長(zhǎng)=BO+OE+BE=B￡>+OC+BE=BC+8E=6+2=8.

故選：B.

【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

5.（2022秋?滄州期末）為促進(jìn)旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村，如圖所示,

若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個(gè)度假村應(yīng)修建在（）

A.△ABC三條高線的交點(diǎn)處

B.AABC三條中線的交點(diǎn)處

C.ZXABC三條角平分線的交點(diǎn)處

D.△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處

【答案】C

【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解：：度假村到三條公路的距離相等，

這個(gè)度假村為△ABC的角平分線的交點(diǎn).

故選：C.

【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

6.（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，ABLCD,且A2=CDE、尸是上兩點(diǎn)，CE_LA。，BF±AD.若

BF=a,EF=b,CE=c,則AD的長(zhǎng)為（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【答案】C

【思路引領(lǐng)】由余角的性質(zhì)可得/A=NC,由“44S”可證可得AF=CE=c,DE=BF

=a,可得AD的長(zhǎng).

【解答】-：AB1.CD,CE±AD,BF±AD,

：.ZAFB=ZCED=90°,ZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,

/A=/C,

VZA=ZC,NCED=NAFB,AB=CD,

.'.△ABF/ACDE(AAS),

AF—CE=c,DE—BF=a,

*：EF=b,

AD=AF+DF=c+(a-b)=a-b+c.

故選：C.

【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?辛集市期末）如圖，在和△ACE中，AB^AD,AC^AE,AB>AC,NDAB=NCAE=

50°連接BE,CD交于點(diǎn)R連接AF.下列結(jié)論：①BE=CD；②NEFC=50°；③AB平分NZME；④

【答案】C

【思路引領(lǐng)】先由/D42=/C4E=50°證明/8AE=N/MC=50°+ZBAC,即可根據(jù)全等三角形的判

定定理“&4S”證明△BAE絲△D4C,得BE=CD,可判斷①正確；

設(shè)BE交AC于點(diǎn)G,因?yàn)镹AE2=ZACD,所以/EFC=NCGE-ZACD=ZCGE-ZABE=ZCAE=

50°,可判斷②正確；

作于點(diǎn)/,AACD于點(diǎn)J,由SABAE=S的C得初吁/加。。，則A/=AJ,即可證明El平

分NDFE,可判斷④正確；

假設(shè)NZMP=/EAR則NDA產(chǎn)-NZMB=N￡A尸-NCAE,所以NBA尸=/C4R由NAfD=NAPE,

ZBFD=ZCFE,^ZAFB=ZAFC,即可推導(dǎo)出△APBgZkAFC,得AB=AC,與已知條件相矛盾，可

判斷③錯(cuò)誤，于是得到問題的答案.

【解答】解：：ND4B=/CAE=50°,

/BAE=ZDAC=50°+ZBAC,

在△瓦IE和△ZMC中，

AB=AD

Z-BAE=Z-DAC>

AE=AC

AABAE^ADAC(SAS),

：.BE=CD,/AEB=/ACD,

故①正確；

設(shè)BE交4c于點(diǎn)G,

：.ZEFC=ZCGE-ZACD=ZCGE-ZABE=ZCAE=50°,

故②正確；

作AI±BE于點(diǎn)I,AJ±CD于點(diǎn)J,

,**S/\BAE=S/\DACf

：.^AI-BE=^AJ-CD,

.\AI=AJ,

二點(diǎn)A在/DFE的平分線上，

：.FA平分/DFE,

故④正確；

假設(shè)/。4尸=/班/，則/DAk-ZDAB=ZEAF-ZCAE,

：.ZBAF=ZCAF,

,：ZAFD=ZAFE,ZBFD=ZCFE,

：.ZAFD+ZBFD=ZAFE+ZCFE,

：.ZAFB=ZAFC,

在△AFB和△AFC中，

ZBAF=Z.CAF

AF=AF,

.^AFB=AAFC

：.AAFB^AAFC(ASA),

：.AB=AC,與已知條件相矛盾，

:./DAFW/EAF,

故③錯(cuò)誤，

二①②④這3個(gè)結(jié)論正確，

故選：C.

【總結(jié)提升】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式證明線段相等、角平分線的判定、

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

8.（2022秋?萊州市期中）如圖，AABC^/XDBE,A、D、C在一條直線上，且NA=60°,NDBC=28

則NE=32°.

【答案】32°.

【思路引領(lǐng)】由全等三角形的性質(zhì)得到ZE=ZC,由等腰三角形的性質(zhì)可求出NBZM=60°,

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NC,即可得到/E的度數(shù).

【解答】W：VAABC^ADBE,

：.AB=BD,NE=NC,

.,./A=/BZM=60°,

；/BDA=NC+/DBC,NO8c=28°,

AZC=60°-28°=32°,

...NE=32°,

故答案為：32°.

【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，

屬于中考?？碱}型.

9.（2021秋?寧津縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊

1

AC、A8于點(diǎn)M、N,分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)尸，射線AP交BC

于點(diǎn)D,若C￡>=2,AB=5,則△A3。的面積為5.

【答案】5.

【思路引領(lǐng)】作DEA.AB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=2,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：作于E,

由基本作圖可知，AP平分NC4B,

：A尸平分/CAB,ZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=2,

一11

△ABD的面積=/XABXDE=忘x5X2=5,

故答案為：5.

【總結(jié)提升】本題考查基本作圖、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題.

10.(2022秋?常州期中)如圖，AO是△ABC的高，AD=BD,BE=AC,ZBAC=70°,則/D8E大小為

25°.

【答案】25.

【思路引領(lǐng)】證明RdBriE絲Rt^AOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/OBE=NZMC,根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)求出/D4B=NDBA=45°,計(jì)算即可.

【解答】解：是△ABC的高，

AZADB=ZADC=90Q,

在RtABDE和RtAADC中，

(BE=AC

IBD=AD'

.,.RtABDE^RtAADC(HL),

NDBE=ADAC,

在Rt/XAOB中，AD=BD,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

VZBAC=70°,

.?.ND4c=70°-45°=25°,

：.ZDBE=ZDAC=25°,

故答案為：25.

【總結(jié)提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，是中線，已知A8=7,AC=4,則中線的取值范圍是

311

【答案】-<AD<^.

2乙

【思路引領(lǐng)】通過倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造從而得到AB=CE=7,利用三角形三邊關(guān)系可得

CE-AC<AE<CE+AC,再通過AD=力ZE即可求解.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD至E4DE=ADf連接CE,

???AO是△A3C的中線，

：.BD=CD,

在△A3。和△EC。中，

AD=ED

Z.ADB=乙EDC,

BD=CD

：.AABD^AECD(SAS),

：.AB=CE=1,

在△AEC中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得CE-AC<AE<CE+AC,

即7-4VAEV7+4,

.\3<AE<11,

u

：DE=ADf

1

：.AD=^AE,

311

故答案為：-<AD<—.

22

【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等，通過倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三

角形是解題的關(guān)鍵.

12.(2022秋?句容市期中)如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZC,AB=20cm.BC=15cm,點(diǎn)E為48的

中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段上以5”n/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)C向點(diǎn)

20

D運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為=時(shí)，能夠使△

8PE與△CQP全等.

B

【答案】y.

【思路引領(lǐng)】設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為rs,運(yùn)動(dòng)的速度為xa〃/s,則CQ=xfaw,BP=5tcm,CP=(15-5t)

cm,由于NB=/C,當(dāng)BE=CP,8P=CQ時(shí)，利用“AAS”可判斷△BEPgzXCP。，即10=15-5t,

5t=W；當(dāng)BE=CQ,時(shí)，利用“A4S”可判斷△BEP絲△CQP,即10=xf,5f=15-53然后分

別解方程即可.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,運(yùn)動(dòng)的速度為w%/s,貝IBP=5tcm,CP=(15-5/)

:點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

BE—10cm,

??,/B=NC,

:?當(dāng)BE=CP,BP=CQ時(shí),ABEP^ACPQ(SAS),

即10=15-5t,5t—xt,

解得/=1,x=5(舍去)；

當(dāng)BE=CQ,8P=C尸時(shí)，/\BEP^ACQP(SAS),

即10=xb5/=15-5t,

解得t=I，x=冬

一20

綜上所述，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為刀切而時(shí)，能夠使△BPE與△CQ尸全等.

故答案為：

【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；

選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件.

13.（2023春?渠縣期末）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情.如圖1,在RtZVIBC中，ZABC=

2

90°,8。是高，E是△A3C外一點(diǎn)，BE=BA,NE=NC,若DE=^BD,A￡>=16,BD=20,求△BOE

的面積.同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在8。上截取8尸=?！?（如

圖1圖2

【答案】64.

【思路引領(lǐng)】由/名△BDE,求出。尸的長(zhǎng)，再由面積公式求得即可.

【解答】解：如圖所示，連接AR

180°-ZBDA-ZBAD=90°-ZBAD,

ZC=180°-ZABC-ZBAD=90°-/BAD,

'：ZABD=ZC,

'：ZE=ZC,

'：NABD=NE,

在AABF與4BED中，

AB=BE

乙ABF=乙BED,

BF=DE

:?△ABFQXBED(SAS),

S/\ABF=S/\BDE,

11

：SAABD=^BD-XZ)=1x20x16=160,

2

VBF=jx20=8,

：.DF=BD-BF=2Q-8=12,

11

：.SMFD=IxAD*DF=Jxl2X16=96,

?S/\ABF=S/\ABD~S/\AFD,

S/\BDE=S/\ABF=160-96=64.

故答案為：64.

【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共55分）

14.（2022秋?龍港市期中）已知：如圖，AC^BD,AD=BC.求證：ZC=ZD.

AB

【思路引領(lǐng)】由AC=BD、BC=AD、根據(jù)全等三角形的判定定理“SSS”證明△ABC四△區(qū)4￡）,

則/C=/D

【解答】證明：在△ABC和△54。中，

AC=BD

BC=AD,

.AB=BA

：.AABC^ABAD（SSS）,

.*.ZC=ZZ）.