24.5 相似三角形的性質(zhì)（第3課時）同步練習

24.5相似三角形的性質(zhì)（第3課時）【夯實基礎】一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)尚同中學九年級期中）如圖，能推出DEBC的比例式是（）A． B． C． D．2．（2022·上海寶山·九年級期末）下列格點三角形中，與右側(cè)已知格點相似的是（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，又，若△ABC周長為12cm，則△ADE的周長為______．4．（2019·上海浦東新·九年級期中）如圖，、交于點，，若，，，則__．5．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┰谥?，點D、E分別在邊BC、AC的延長線上，，，，，那么______．6．（2022·上海浦東新·九年級期末）如圖所示，在平行四邊形中，F(xiàn)為中點，延長至E，使，連結(jié)交于點G，則等于_________．7．（2021·上海市松江九峰實驗學校九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，則CD＝___．8．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，中，，點，分別在邊，上，DECB，且，則__．9．（2021·上海市蒙山中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，點D在邊AB上，AC2＝AD?AB，那么CD＝_________________．10．（2021·上海市南匯第一中學九年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，則CD=_____．11．（2020·上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）如圖，在平行四邊形中，點是邊上的黃金分割點，且，與相交于點，那么的值為________．12．（2021·上海市徐匯中學九年級階段練習）如圖，小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點恰好在離網(wǎng)4米的位置上，已知網(wǎng)高為0.8米，擊球點到網(wǎng)的水平距離為3米則球拍擊球的高度h為_________米．13．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知中，、分別在邊、上，，平分，交于，若，則________．14．（2022·上?！とA東師范大學第四附屬中學九年級期中）如圖，中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFB:S四邊形FEDC的值為__________三、解答題15．（2021·上海·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點G，GF的延長線交AD于點H．（1）求HD的長；（2）設的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）16．（2021·上海市金山初級中學九年級階段練習）已知，△ABC和△DEF中，，△ABC的周長為80厘米，求△DEF的周長．17．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學校一模）已知：如圖，中，，，．點在邊的延長線上，且．試求的值．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海長寧·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D，如果＝，AD=8，那么CD的長是_____．2．（2022·上海市徐匯中學九年級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點F在BC的延長線上，AF與BD相交于點E，與CD邊相交于點G．如果AD＝2CF，那么?DEG與?CFG的面積之比等于________．3．（2020·上海市徐匯中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=3，CD=1，CE⊥BD于點E，點F是AB的中點，則EF=________

4．（2021·上海市洛川學校九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，聯(lián)結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的長為___．二、解答題5．（2022·上?！の挥袑W模擬預測）如圖，點D、E分別在△ABC的邊BC及其延長線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．6．（2021·上海市民辦上寶中學九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點F．(1)當AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時，連接BD，EF，①求證：△CEF∽△CBD；②若＝，求的值；(2)當∠EAF＝∠BAD時，延長BC交射線AF于點M，延長DC交射線AE于點N，聯(lián)結(jié)AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當△AMN是等腰三角形，求CE的長．7．（2021·上海市蒙山中學九年級期中）如圖，△ADE的頂點E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點F，AE2＝AF?AB，∠DAE＝∠BAC．(1)求證：△DAF∽△CAE．(2)求證：＝．8．（2021·上海閔行·九年級期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，點E在邊AB上，過點E作DF⊥AB，點D在邊BC上，點F在CA的延長線上，聯(lián)結(jié)BF．(1)如圖1，當∠FBC＝90°時，求證：BF2＝2AC?BE；(2)如圖2，當BC＝CF時，求線段AE的長．

24.5相似三角形的性質(zhì)（第3課時）（解析版）【夯實基礎】一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)尚同中學九年級期中）如圖，能推出DEBC的比例式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等證明，進而證明，即可得到【詳解】，又，故選C【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海寶山·九年級期末）下列格點三角形中，與右側(cè)已知格點相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中利用方格點求出的三邊長，可確定為直角三角形，排除B，C選項，再由相似三角形的對應邊成比例判斷A、D選項即可得．【詳解】解：的三邊長分別為：，，，∵，∴為直角三角形，B，C選項不符合題意，排除；A選項中三邊長度分別為：2，4，，∴，A選項符合題意，D選項中三邊長度分別為：，，，∴，故選：A．【點睛】題目主要考查相似三角形的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，理解題意，熟練掌握運用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，又，若△ABC周長為12cm，則△ADE的周長為______．【答案】8cm【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC；得到兩個三角形的相似比，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可得解．【詳解】解：∵AD：DB=2：1，∴AD：AB=2：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的周長比=2：3，∵△ABC周長為12cm，∴△ADE的周長為8cm．故答案為：8cm．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)；熟記相似三角形周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．4．（2019·上海浦東新·九年級期中）如圖，、交于點，，若，，，則__．【答案】2【分析】由AB∥DE，即可證得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得CE的長．【詳解】解：，，，，，，，解得：．故答案為：2【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．5．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┰谥?，點D、E分別在邊BC、AC的延長線上，，，，，那么______．【答案】4【分析】可先作出簡單的圖形，進而結(jié)合圖形可得△ABC∽△DEC，得出對應邊成比例，進而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵∠E=∠B，∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴又AC=2，BC=3，CE=6，∴CD=4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)問題，能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海浦東新·九年級期末）如圖所示，在平行四邊形中，F(xiàn)為中點，延長至E，使，連結(jié)交于點G，則等于_________．【答案】4：9【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵DE:AD=1:3，設DE=x，AD=3x，在?ABCD中，∴AD=BC=3x，∵點F為BC的中點，∴CF=，∵DE∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴，故答案為：4：9．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的判定，本題屬于基礎題型．7．（2021·上海市松江九峰實驗學校九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，則CD＝___．【答案】2【分析】首先證△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出CD的長．【詳解】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB∴△ACD∽△CBD；∴∴CD2＝AD?BD＝4，即CD＝2．【點睛】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．8．（2021·上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，中，，點，分別在邊，上，DECB，且，則__．【答案】【分析】由，可得，由S?ADE=SDBCE，可得與的面積比為，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出與的相似比，進而即可求出的長．【詳解】解：，，，，，與的面積比為，與的相似比為，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵．9．（2021·上海市蒙山中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，點D在邊AB上，AC2＝AD?AB，那么CD＝_________________．【答案】【分析】根據(jù)AC2＝AD?AB可以得到△ACD∽△ABC，利用相似三角形對應邊的比等于相似比和已知邊的長求未知邊即可．【詳解】解：∵AC2＝AD?AB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，∴解得：CD＝，故答案為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證得兩個三角形相似，然后利用相似三角形的對應邊成比例求得結(jié)論．10．（2021·上海市南匯第一中學九年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，則CD=_____．【答案】6【分析】根據(jù)兩角相等證明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD=4，BD=9，∴CD2=4×9=36，∴CD=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，明確同角的余角相等，為證明三角形相似打基礎，這在三角形相似證明角相等時經(jīng)常運用，要熟練掌握．11．（2020·上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）如圖，在平行四邊形中，點是邊上的黃金分割點，且，與相交于點，那么的值為________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知BE=BC，然后由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC，AD//BE，再根據(jù)△EBF∽△ADF求解即可．【詳解】解：∵點E是邊BC上的黃金分割點，且BE＞CE，∴BE=BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//BE，∴△EBF∽△ADF，∴=，故答案為．【點睛】本題考查黃金分割的定義，平行四邊形的性質(zhì)等知識，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=AB．12．（2021·上海市徐匯中學九年級階段練習）如圖，小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點恰好在離網(wǎng)4米的位置上，已知網(wǎng)高為0.8米，擊球點到網(wǎng)的水平距離為3米則球拍擊球的高度h為_________米．【答案】1.4【分析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，∵DB//EC，∴△ADB∽△AEC，∴，即0.8×（4+3）=4h，∴h=1.4(m)．故答案為1.4．【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，解答此題的關(guān)鍵是找出相似三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．13．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知中，、分別在邊、上，，平分，交于，若，則________．【答案】【分析】由題意易得，，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴；故答案為．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上?！とA東師范大學第四附屬中學九年級期中）如圖，中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFB:S四邊形FEDC的值為__________【答案】【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設，則，，分別求得S△AFB:S四邊形FEDC即可求解．【詳解】四邊形是平行四邊形，是邊AD的中點，設，則，S四邊形FEDCS△AFB:S四邊形FEDC的值為【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2021·上?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點G，GF的延長線交AD于點H．（1）求HD的長；（2）設的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴，=8，∴，，∴，，∵BE=EF=FD，∴，，∴BG=AD=4，HD=BG，∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴=a，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形AEFH的面積=-=．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2021·上海市金山初級中學九年級階段練習）已知，△ABC和△DEF中，，△ABC的周長為80厘米，求△DEF的周長．【答案】60厘米【分析】已知判定，再根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比即可求出△DEF的周長．【詳解】解：，，，∵△ABC的周長為80厘米，∴（厘米），答：△DEF的周長是60厘米【點睛】本題主要考查了相似三角形周長的比等于相似比的性質(zhì)，相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，找準對應邊是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學校一模）已知：如圖，中，，，．點在邊的延長線上，且．試求的值．【答案】【分析】證明△DCB∽△DBA，得到，求出AD=4CD，由此得到AC=3CD，即可求出的值．【詳解】解：∵∠DBC=∠A，∠D=∠D，∴△DCB∽△DBA，∴，∴BD=2CD，AD=2BD，∴AD=4CD，∵AD=CD+AC，∴AC=3CD，∴=．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的判定定理并熟練應用是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海長寧·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D，如果＝，AD=8，那么CD的長是_____．【答案】【分析】證明△ADC∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD、BD，根據(jù)勾股定理求出BC．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，，∴，即，解得，CD＝，故答案為：【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海市徐匯中學九年級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點F在BC的延長線上，AF與BD相交于點E，與CD邊相交于點G．如果AD＝2CF，那么?DEG與?CFG的面積之比等于________．【答案】16:7【分析】根據(jù)△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根據(jù)相似三角形對應邊比值相等和相似三角形面積比為相似比的平方即可解題．【詳解】解：∵AD∥BC，∴△ADG∽△FCG，∴=2，∴△ADG與△CFG的面積比是4：1，△ADE∽△FBE，∴，∴令GF=1，則AG=2，設AE=x，EG=y，則x：（y+1）=2：5，x+y=2，解得，∴△DEG與△ADE的面積比是8：6=4：3，∴△DEG與△CFG的面積比是16：7．故答案為16：7．【點睛】本題考查了相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)，考查了相似三角形面積比為相似比的平方的性質(zhì)．3．（2020·上海市徐匯中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=3，CD=1，CE⊥BD于點E，點F是AB的中點，則EF=________

【答案】【分析】在BD上截取BG=CE，先證明△CDE∽△BDC，計算CE的長，再證明△CEF≌△BGF，從而證明△EFG是等腰直角三角形，求得EG的長度即可．【詳解】∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，∴∠DCE=∠DBC，∴△CDE∽△BDC，∴，∠DCE＝∠DBC，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD=，∴，∴CE=，DE=，在BD上截取BG=CE，連接FG，∵∠ACB＝90°，AC=BC=3，點F是AB的中點，∴CF=BF，∠FBC＝∠ACF＝45°，∴∠FBC-∠DBC＝∠ACF-∠DCE，∴∠ECF＝∠GBF，∴△CEF≌△BGF，∴EF=FG，CE=BG=，∠EFC＝∠BFG，∴∠EFG＝90°，∴EF=，∵EG=BD-DE-BG=--=，∴EF==，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似，全等的性質(zhì)，活用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海市洛川學校九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，聯(lián)結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的長為___．【答案】【分析】根據(jù)題意先證明AE⊥AD，求出DE的長度，進而證明△ADF∽△DEC，得到，運用AD=4，DE=2，CD=AB=，求出AF的長度，即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠B=∠ADC．而AE⊥BC，∴AE⊥AD，∠ADF=∠DEC．∴DE2=AE2+AD2=4+16=20，∴DE=2．∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC，即∠ADF+∠DAF=∠ADF+∠EDC，∴∠DAF=∠EDC．∴△ADF∽△DEC，∴．∵AD=4，DE=2，CD=AB=，∴AF=．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、解答題5．（2022·上海·位育中學模擬預測）如圖，點D、E分別在△ABC的邊BC及其延長線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．【答案】(1)見解析(2)AC的值為1或2【分析】（1）通過證明，可得，可得結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)可求，，由勾股定理可求解．(1)解：證明：，，即，設，由，，，又，，，即，．(2)解：作于點，設，，，又，，，又，，由勾股定理得，，又，，，，，的值為1或2．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．6．（2021·上海市民辦上寶中學九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動點，將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點F．(1)當AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時，連接BD，EF，①求證：△CEF∽△CBD；②若＝，求的值；(2)當∠EAF＝∠BAD時，延長BC交射線AF于點M，延長DC交射線AE于點N，聯(lián)結(jié)AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當△AMN是等腰三角形，求CE的長．【答案】(1)①見解析；②(2)CE為或2或【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再由AE⊥BC，可得AE⊥AD，從而得到∠BAE=∠DAF，可證得△ABE≌△ADF，從而得到BE=DF，進而得到CE=CF，可得到∠CEF=∠CFE，從而得到∠CEF=∠CBD，即可求證；②連接AC，由①知，△CEF∽△CBD，可得，設EC=2a，則AB=BC=5a，BE=3a，由勾股定理可得，再證得△AEF∽△BAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）先證得△MAC∽△ANC，可得，然后分三種情況討論：當AM=AN時，當AN=MN時，當AM=MN時，即可求解．(1)解：（1）①證明：四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°，∵∠EAF=∠ABC，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE=DF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，∵∠CBD=∠CDB，∠ECF=∠BCD，∴∠CEF=∠CBD，∴△CEF∽△CBD；②連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC，AC⊥BD，由①知，△CEF∽△CBD，∴，設EC=2a，則AB=BC=5a，BE=3a，∴，∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴，∵，∴△AEF∽△BAC，∴，∴；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAE=∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠ANC，∴∠ANC=∠CAM，同理：∠AMC=∠NAC∴△MAC∽△ANC，∴，當AM=AN時，如圖，∵∠ANC=∠CAM，AM=AN，∠AMC=∠NAC，∴△ANC≌△MAC（ASA），∴CN=AC=2，∵AB∥CN，∴△CEN∽△BEA，∴，∵BC=AB=4，∴；當AN=MN時，如圖，則∠NMA=∠NAM，∵AB=BC∴∠BAC=