24.5 相似三角形的性質(zhì)（第3課時(shí)）同步練習(xí)

24.5相似三角形的性質(zhì)（第3課時(shí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)尚同中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，能推出DEBC的比例式是（）A． B． C． D．2．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）下列格點(diǎn)三角形中，與右側(cè)已知格點(diǎn)相似的是（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，又，若△ABC周長(zhǎng)為12cm，則△ADE的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．4．（2019·上海浦東新·九年級(jí)期中）如圖，、交于點(diǎn)，，若，，，則__．5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期中）在中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC的延長(zhǎng)線上，，，，，那么______．6．（2022·上海浦東新·九年級(jí)期末）如圖所示，在平行四邊形中，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，使，連結(jié)交于點(diǎn)G，則等于_________．7．（2021·上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，則CD＝___．8．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，中，，點(diǎn)，分別在邊，上，DECB，且，則__．9．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，AC2＝AD?AB，那么CD＝_________________．10．（2021·上海市南匯第一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，則CD=_____．11．（2020·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上的黃金分割點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，那么的值為_(kāi)_______．12．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)4米的位置上，已知網(wǎng)高為0.8米，擊球點(diǎn)到網(wǎng)的水平距離為3米則球拍擊球的高度h為_(kāi)________米．13．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知中，、分別在邊、上，，平分，交于，若，則________．14．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB:S四邊形FEDC的值為_(kāi)_________三、解答題15．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）16．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，△ABC和△DEF中，，△ABC的周長(zhǎng)為80厘米，求△DEF的周長(zhǎng)．17．（2022·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）已知：如圖，中，，，．點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且．試求的值．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如果＝，AD=8，那么CD的長(zhǎng)是_____．2．（2022·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，AF與BD相交于點(diǎn)E，與CD邊相交于點(diǎn)G．如果AD＝2CF，那么?DEG與?CFG的面積之比等于________．3．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=3，CD=1，CE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則EF=________

4．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，聯(lián)結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的長(zhǎng)為_(kāi)__．二、解答題5．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊BC及其延長(zhǎng)線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．6．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)F．(1)當(dāng)AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時(shí)，連接BD，EF，①求證：△CEF∽△CBD；②若＝，求的值；(2)當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)，延長(zhǎng)BC交射線AF于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交射線AE于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當(dāng)△AMN是等腰三角形，求CE的長(zhǎng)．7．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，△ADE的頂點(diǎn)E在△ABC的邊BC上，DE與AB相交于點(diǎn)F，AE2＝AF?AB，∠DAE＝∠BAC．(1)求證：△DAF∽△CAE．(2)求證：＝．8．（2021·上海閔行·九年級(jí)期中）已知：在△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)E在邊AB上，過(guò)點(diǎn)E作DF⊥AB，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)BF．(1)如圖1，當(dāng)∠FBC＝90°時(shí)，求證：BF2＝2AC?BE；(2)如圖2，當(dāng)BC＝CF時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)．

24.5相似三角形的性質(zhì)（第3課時(shí)）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)尚同中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，能推出DEBC的比例式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等證明，進(jìn)而證明，即可得到【詳解】，又，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）下列格點(diǎn)三角形中，與右側(cè)已知格點(diǎn)相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中利用方格點(diǎn)求出的三邊長(zhǎng)，可確定為直角三角形，排除B，C選項(xiàng)，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例判斷A、D選項(xiàng)即可得．【詳解】解：的三邊長(zhǎng)分別為：，，，∵，∴為直角三角形，B，C選項(xiàng)不符合題意，排除；A選項(xiàng)中三邊長(zhǎng)度分別為：2，4，，∴，A選項(xiàng)符合題意，D選項(xiàng)中三邊長(zhǎng)度分別為：，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，理解題意，熟練掌握運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，又，若△ABC周長(zhǎng)為12cm，則△ADE的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】8cm【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC；得到兩個(gè)三角形的相似比，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比即可得解．【詳解】解：∵AD：DB=2：1，∴AD：AB=2：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的周長(zhǎng)比=2：3，∵△ABC周長(zhǎng)為12cm，∴△ADE的周長(zhǎng)為8cm．故答案為：8cm．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)；熟記相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．4．（2019·上海浦東新·九年級(jí)期中）如圖，、交于點(diǎn)，，若，，，則__．【答案】2【分析】由AB∥DE，即可證得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得CE的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，，，解得：．故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期中）在中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC的延長(zhǎng)線上，，，，，那么______．【答案】4【分析】可先作出簡(jiǎn)單的圖形，進(jìn)而結(jié)合圖形可得△ABC∽△DEC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵∠E=∠B，∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴又AC=2，BC=3，CE=6，∴CD=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)問(wèn)題，能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海浦東新·九年級(jí)期末）如圖所示，在平行四邊形中，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，使，連結(jié)交于點(diǎn)G，則等于_________．【答案】4：9【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵DE:AD=1:3，設(shè)DE=x，AD=3x，在?ABCD中，∴AD=BC=3x，∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴CF=，∵DE∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴，故答案為：4：9．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（2021·上海市松江九峰實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝1，BD＝4，則CD＝___．【答案】2【分析】首先證△ACD∽△CBD，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD的長(zhǎng)．【詳解】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB∴△ACD∽△CBD；∴∴CD2＝AD?BD＝4，即CD＝2．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)．8．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)期中）如圖，中，，點(diǎn)，分別在邊，上，DECB，且，則__．【答案】【分析】由，可得，由S?ADE=SDBCE，可得與的面積比為，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出與的相似比，進(jìn)而即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，與的面積比為，與的相似比為，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2021·上海市蒙山中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，點(diǎn)D在邊AB上，AC2＝AD?AB，那么CD＝_________________．【答案】【分析】根據(jù)AC2＝AD?AB可以得到△ACD∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比和已知邊的長(zhǎng)求未知邊即可．【詳解】解：∵AC2＝AD?AB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，∴解得：CD＝，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是利用已知條件證得兩個(gè)三角形相似，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得結(jié)論．10．（2021·上海市南匯第一中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=4，BD=9，則CD=_____．【答案】6【分析】根據(jù)兩角相等證明△ACD∽△CBD，列比例式代入可得結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD=4，BD=9，∴CD2=4×9=36，∴CD=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，明確同角的余角相等，為證明三角形相似打基礎(chǔ)，這在三角形相似證明角相等時(shí)經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．11．（2020·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊上的黃金分割點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，那么的值為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知BE=BC，然后由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC，AD//BE，再根據(jù)△EBF∽△ADF求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)E是邊BC上的黃金分割點(diǎn)，且BE＞CE，∴BE=BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//BE，∴△EBF∽△ADF，∴=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割的定義，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=AB．12．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)4米的位置上，已知網(wǎng)高為0.8米，擊球點(diǎn)到網(wǎng)的水平距離為3米則球拍擊球的高度h為_(kāi)________米．【答案】1.4【分析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，∵DB//EC，∴△ADB∽△AEC，∴，即0.8×（4+3）=4h，∴h=1.4(m)．故答案為1.4．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是找出相似三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．13．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如圖，已知中，、分別在邊、上，，平分，交于，若，則________．【答案】【分析】由題意易得，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB:S四邊形FEDC的值為_(kāi)_________【答案】【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，分別求得S△AFB:S四邊形FEDC即可求解．【詳解】四邊形是平行四邊形，是邊AD的中點(diǎn)，設(shè)，則，S四邊形FEDCS△AFB:S四邊形FEDC的值為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2021·上海·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，GF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長(zhǎng)；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，根據(jù)相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由BE=EF可得與的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得與的值，-即可得四邊形AEFH的面積．【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴，=8，∴，，∴，，∵BE=EF=FD，∴，，∴BG=AD=4，HD=BG，∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴=a，∴，∵，，，，∴，，∴四邊形AEFH的面積=-=．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2021·上海市金山初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知，△ABC和△DEF中，，△ABC的周長(zhǎng)為80厘米，求△DEF的周長(zhǎng)．【答案】60厘米【分析】已知判定，再根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比即可求出△DEF的周長(zhǎng)．【詳解】解：，，，∵△ABC的周長(zhǎng)為80厘米，∴（厘米），答：△DEF的周長(zhǎng)是60厘米【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．17．（2022·上海金山區(qū)世界外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模）已知：如圖，中，，，．點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且．試求的值．【答案】【分析】證明△DCB∽△DBA，得到，求出AD=4CD，由此得到AC=3CD，即可求出的值．【詳解】解：∵∠DBC=∠A，∠D=∠D，∴△DCB∽△DBA，∴，∴BD=2CD，AD=2BD，∴AD=4CD，∵AD=CD+AC，∴AC=3CD，∴=．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，如果＝，AD=8，那么CD的長(zhǎng)是_____．【答案】【分析】證明△ADC∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD、BD，根據(jù)勾股定理求出BC．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴，，∴，即，解得，CD＝，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，AF與BD相交于點(diǎn)E，與CD邊相交于點(diǎn)G．如果AD＝2CF，那么?DEG與?CFG的面積之比等于________．【答案】16:7【分析】根據(jù)△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等和相似三角形面積比為相似比的平方即可解題．【詳解】解：∵AD∥BC，∴△ADG∽△FCG，∴=2，∴△ADG與△CFG的面積比是4：1，△ADE∽△FBE，∴，∴令GF=1，則AG=2，設(shè)AE=x，EG=y，則x：（y+1）=2：5，x+y=2，解得，∴△DEG與△ADE的面積比是8：6=4：3，∴△DEG與△CFG的面積比是16：7．故答案為16：7．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了相似三角形面積比為相似比的平方的性質(zhì)．3．（2020·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=3，CD=1，CE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則EF=________

【答案】【分析】在BD上截取BG=CE，先證明△CDE∽△BDC，計(jì)算CE的長(zhǎng)，再證明△CEF≌△BGF，從而證明△EFG是等腰直角三角形，求得EG的長(zhǎng)度即可．【詳解】∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，∴∠DCE=∠DBC，∴△CDE∽△BDC，∴，∠DCE＝∠DBC，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD=，∴，∴CE=，DE=，在BD上截取BG=CE，連接FG，∵∠ACB＝90°，AC=BC=3，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF=BF，∠FBC＝∠ACF＝45°，∴∠FBC-∠DBC＝∠ACF-∠DCE，∴∠ECF＝∠GBF，∴△CEF≌△BGF，∴EF=FG，CE=BG=，∠EFC＝∠BFG，∴∠EFG＝90°，∴EF=，∵EG=BD-DE-BG=--=，∴EF==，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似，全等的性質(zhì)，活用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海市洛川學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，聯(lián)結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】【分析】根據(jù)題意先證明AE⊥AD，求出DE的長(zhǎng)度，進(jìn)而證明△ADF∽△DEC，得到，運(yùn)用AD=4，DE=2，CD=AB=，求出AF的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠B=∠ADC．而AE⊥BC，∴AE⊥AD，∠ADF=∠DEC．∴DE2=AE2+AD2=4+16=20，∴DE=2．∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC，即∠ADF+∠DAF=∠ADF+∠EDC，∴∠DAF=∠EDC．∴△ADF∽△DEC，∴．∵AD=4，DE=2，CD=AB=，∴AF=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、解答題5．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊BC及其延長(zhǎng)線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AC的值為1或2【分析】（1）通過(guò)證明，可得，可得結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)可求，，由勾股定理可求解．(1)解：證明：，，即，設(shè)，由，，，又，，，即，．(2)解：作于點(diǎn)，設(shè)，，，又，，，又，，由勾股定理得，，又，，，，，的值為1或2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．6．（2021·上海市民辦上寶中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)F．(1)當(dāng)AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC時(shí)，連接BD，EF，①求證：△CEF∽△CBD；②若＝，求的值；(2)當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)，延長(zhǎng)BC交射線AF于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交射線AE于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AG，MN，若AB＝4，AC＝2，當(dāng)△AMN是等腰三角形，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)CE為或2或【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再由AE⊥BC，可得AE⊥AD，從而得到∠BAE=∠DAF，可證得△ABE≌△ADF，從而得到BE=DF，進(jìn)而得到CE=CF，可得到∠CEF=∠CFE，從而得到∠CEF=∠CBD，即可求證；②連接AC，由①知，△CEF∽△CBD，可得，設(shè)EC=2a，則AB=BC=5a，BE=3a，由勾股定理可得，再證得△AEF∽△BAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）先證得△MAC∽△ANC，可得，然后分三種情況討論：當(dāng)AM=AN時(shí)，當(dāng)AN=MN時(shí)，當(dāng)AM=MN時(shí)，即可求解．(1)解：（1）①證明：四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°，∵∠EAF=∠ABC，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE=DF，∴CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，∵∠CBD=∠CDB，∠ECF=∠BCD，∴∠CEF=∠CBD，∴△CEF∽△CBD；②連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC，AC⊥BD，由①知，△CEF∽△CBD，∴，設(shè)EC=2a，則AB=BC=5a，BE=3a，∴，∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴，∵，∴△AEF∽△BAC，∴，∴；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAE=∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠ANC，∴∠ANC=∠CAM，同理：∠AMC=∠NAC∴△MAC∽△ANC，∴，當(dāng)AM=AN時(shí)，如圖，∵∠ANC=∠CAM，AM=AN，∠AMC=∠NAC，∴△ANC≌△MAC（ASA），∴CN=AC=2，∵AB∥CN，∴△CEN∽△BEA，∴，∵BC=AB=4，∴；當(dāng)AN=MN時(shí)，如圖，則∠NMA=∠NAM，∵AB=BC∴∠BAC=