2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一次函數(shù)綜合最值問(wèn)題“將軍飲馬、胡不歸”（含答案）

一次函數(shù)綜合最值問(wèn)題“將軍飲馬、胡不

歸”2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)含答案

一次函數(shù)綜合最值問(wèn)題“將軍飲馬、胡不歸”

一、解答題

題目jJ已知一次函數(shù)u=4fcr+5k+1_(A;A0).

圖1圖2

(1)無(wú)論k為何值,函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖1,當(dāng)k=—］時(shí)，一次函數(shù)V=4fcz；+5A:+詈的圖象交立軸，夕軸于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線aV

—x+1上一點(diǎn),若S^IBQ—6,求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶如圖2,在⑵的條件下，直線6夕=0+1交48于點(diǎn)「，。點(diǎn)在力軸負(fù)半軸上，且強(qiáng)，動(dòng)點(diǎn)”

的坐標(biāo)為(a,a),求CM+MP的最小值.

（1）無(wú)論A：為何值，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）如圖1,當(dāng)k=―時(shí)，該直線交c軸，"軸于4B兩點(diǎn)，直線l2：y—x+1交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)T是。上一

點(diǎn)，若ABT~9,求T點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2,在第2問(wèn)的條件下，已知。點(diǎn)在該直線上,橫坐標(biāo)為1,C點(diǎn)在,軸負(fù)半軸，NABC=45°,點(diǎn)M

是工軸上一動(dòng)點(diǎn),連接BA7,并將線段BA/繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MQ,

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②CQ+Q。的最小值為

題目區(qū)如圖，一次函數(shù)u=+2的圖象分別與C軸、g軸交于點(diǎn)A、5,以線段AB為邊在第二象限內(nèi)作

等腰R力△ABC,/BAC=90°.（可能用到的公式:若A（g,明），B（g，3），①AB中點(diǎn)坐標(biāo)為

（夸，中:②=?+（%—仇戶

（1）求線段AB的長(zhǎng)；

（2）過(guò)B、。兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

（3）點(diǎn)。是BC中點(diǎn),在直線AB上是否存在一點(diǎn)P,使得PC+PD有最小值？若存在，則求出此最小值；

若不存在,則說(shuō)明理由.

航目⑷已知一次函數(shù)沙=fcr+b（A;WO）與2軸交于點(diǎn)人⑶。）,且過(guò)點(diǎn)（7,8）,回答下列問(wèn)題.

（1）求該一次函數(shù)解析式；

（2）一次函數(shù)的解析式也稱作該直線的斜截式方程，如解析式y(tǒng)^kx+b我們只需要將y向右移項(xiàng)就可以

得到for—夕+b=0,將名前的系數(shù)k替代為未知數(shù)4將y前的系數(shù)1替代為未知數(shù)將常數(shù)項(xiàng)b替代為

未知數(shù)。，即可得到方程Ar+By+C=0,該二元一次方程也稱為直線的一般方程（其中A一般為非負(fù)整

數(shù)，且4、B不能同時(shí)為0）.一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，我們求點(diǎn)到直線間的距離，可用下面的公式求

解：

點(diǎn)P（g，u。）到直線Ax+By+C^0的距離（d）公式是：d=坐+"°|

VA2+B2

如:求:點(diǎn)P（l,1）到直線y=—9+等的距離.

題目⑸如圖，一次函數(shù)g=+b的圖象交力軸于點(diǎn)A,04=4,與正比例函數(shù)g=3/的圖象交于點(diǎn)_B,B

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

(1)求一次函數(shù)沙—kx+b的解析式；

(2)若點(diǎn)。在y軸上,且滿足S"=^S^OB，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)0(4,—2),點(diǎn)P是沙軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD,PB,PD,是否存在點(diǎn)P,使得LPBD的周長(zhǎng)有最

小值？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值.

題目因在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一次函數(shù)沙=菖2+3的圖像分別與2軸、夕軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為①

軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為九

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)。為平面直角坐標(biāo)系cog中一點(diǎn)，且與點(diǎn)A、B、。構(gòu)成平行四邊形ABCD.

①若平行四邊形ABCD是矩形，求t的值；

②在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是否發(fā)生變化,若不變，求出點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；若變化，說(shuō)明理由;

③當(dāng)t為何值時(shí),BC+BD的值最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)t的值及BC+BD的最小值.

（題目|7）已知，一次函數(shù)g=（2-t）加+4與9=一。+1）加一2的圖像相交于點(diǎn)P,分別與y軸相交于點(diǎn)A,B.

其中土為常數(shù)，tr2且力力一1.

歹個(gè)

4-

3-

2-

1-

?_________??1_____________________?_______????

-4-3-2-101234x

-1■

-2-

⑴求線段的長(zhǎng)；

（2）試探索的面積是否是一個(gè)定值？若是，求出的面積;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）當(dāng)t為何值時(shí),△ABP的周長(zhǎng)最小，并求出周長(zhǎng)的最小值.

mi8〕如圖1,已知一次函數(shù)9=2+3與2軸，沙軸分別交于B點(diǎn)，人點(diǎn)，立正半軸上有一點(diǎn)C,AACO=

60°,以A,B,。為頂點(diǎn)作平行四邊形ABCD.

圖1

(1)求。點(diǎn)坐標(biāo).

(2)如圖2,將直線AB沿y軸翻折,翻折后的直線交CD于E點(diǎn)、，在y軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,x軸上有一動(dòng)點(diǎn)

Q,當(dāng)DP+PQ+QE取得最小值時(shí),求此時(shí)(DP+PQ+QE)2的值.

圖2

⑶如圖3,將△A。。向左平移使得點(diǎn)。與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',將△A。

O繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為a(0°4a4180°)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線AB與直線、月。交于“，G兩

點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△WMG能否成為等腰三角形，若能，求出所滿足條件的a,若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

題目ID

(1)問(wèn)題解決:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)沙=:2+1與2軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

以AB為腰在第二象限作等腰直角△ABC,乙氏4。=90°,點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)分別為、、

(2)綜合運(yùn)用:①如圖2,在平面直角坐標(biāo)系必。V中，點(diǎn)A坐標(biāo)(0,-6),點(diǎn)B坐標(biāo)(8,0),過(guò)點(diǎn)B作，軸垂線

Z,點(diǎn)P是，上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是在一次函數(shù)9=—22+2圖像上一動(dòng)點(diǎn)，若△APD是以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)的等腰

直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

②如圖2,在⑵的條件中，若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接4A1,把AM繞M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段

NM,ON+AN的最小值是.

7

題目也已知一次函數(shù)y^kx+3V2的圖象與2軸交于點(diǎn)4與？/軸交于點(diǎn)區(qū)點(diǎn)河的坐標(biāo)為(0,館)，其中

0<m<3V2.

(1)若點(diǎn)A(-3V2,0),過(guò)點(diǎn)。作QP_LAM,連接BP并延長(zhǎng)與，軸交于點(diǎn)C,

①求k的值；

e七fBP_OM

。求?：~PC~OC'

⑵若點(diǎn)4(—2,0),求，^4河+BM■的最小值.

（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）如圖2,點(diǎn)P為夕軸上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接PE,已

知PB=PE,求證：ZBPE=2ZOAB；

（3）在（2）的條件下，如圖3,連接PA,以PA為腰作等腰三角形PAQ,其中PA=PQ,/APQ=2AOAB.

連接OQ.

①則圖中（不添加其他輔助線）與NEPA相等的角有；（都寫(xiě)出來(lái)）

②試求線段OQ長(zhǎng)的最小值.

［題目|12）如圖一次函數(shù)協(xié)=%巡+3的圖象與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)人（一2,0）和點(diǎn)_8,與反比例函數(shù)%=*（，＞

0）的圖象相交于點(diǎn)。（2,巾）.

（1）求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交°軸正半軸于點(diǎn)。，若PD-.CP=1:2時(shí)，求

△COP的面積；

（3）在（2）的條件下,在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使PQ+CQ的值最小，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出PQ+CQ的最小

值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

10

題目【定義】斜率，表示一條直線相對(duì)于橫軸的傾斜程度.當(dāng)直線Z的斜率存在時(shí)，對(duì)于一次函數(shù)?

+6/W0),k即為該函數(shù)圖象(直線)的斜率.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)31,陰)、(出，S)時(shí)，斜率％=義匚近，特別的，若

/2一

兩條直線，2，則它們的斜率之積阮也=T，反過(guò)來(lái)，若兩條直線的斜率之積阮?心=—1,則直線Zj±12

【運(yùn)用】請(qǐng)根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：

(1)已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)41,3)、B(m,—5)、C(3,n)在斜率為2的同一條直線上，求m、n的值；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)P為？/軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/4PC為直角時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在平面直角坐標(biāo)系中另有兩點(diǎn)0(3,2)、E(T,—6),連接DA并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使DA=AG,連接GE交

直線48于點(diǎn)F,河為線段況4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OM+咯的最小值.

5

->

oX

備用圖備用圖

11

題目口&］如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)4C分別在2、y軸的正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(273,4),一次函數(shù)y=

—空7+b的圖象與邊OC、AB,x軸分別交于點(diǎn)D、E、F,2DFO=30°,并且滿足OD=BE,點(diǎn)M是線

段。F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求6的值；

(2)連接OM,若AO。河的面積與四邊形的面積之比為1:3,求點(diǎn)河的坐標(biāo)；

(3)求(W+小施的最小值.

12

題目五如圖1,一次函數(shù)9=1^一6的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4B,BC平分/。氏4交工軸與點(diǎn)C,CD，

AB,垂足為D.

(1)求點(diǎn)A,_B的坐標(biāo)；

(2)求CD所在直線的解析式；

(3)如圖2,點(diǎn)石是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的一點(diǎn)，求EF+OF的最小值.

13

題目313如圖，一次函數(shù)g=far+6的圖象與c軸交于點(diǎn)A,與9軸交于點(diǎn)B(0,2),與正比例函數(shù)沙=得工的

圖象交于點(diǎn)。(4,c).

⑴求％和b的值.

(2)如圖1,點(diǎn)P是夕軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|凡4—PC\最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶如圖2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)D,E都在①軸上運(yùn)動(dòng)，且DE=2,分別連結(jié)BD,CE,當(dāng)四邊形BDEC的周長(zhǎng)取最小值

時(shí)直接寫(xiě)出點(diǎn)。和E的坐標(biāo).

題目K在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)9=—言。+4的圖象與c軸和？/軸分別交于A、B兩點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā),在線段49上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O即停止運(yùn)動(dòng).其中A、

Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.如圖①.

⑴當(dāng)力=2秒時(shí)，OQ的長(zhǎng)度為；

（2）設(shè)MN、PN分別與直線y=一白+4交于點(diǎn)C、。，求證：=NC；

⑶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN的對(duì)角線交于點(diǎn)E,A1P與Q。交于點(diǎn)F,如圖2,求OF+EN的最小

值.

??

題目|18］已知一次函數(shù)u=+5k+粵(k片0),

(1)無(wú)論k為何值,函數(shù)圖像必過(guò)定點(diǎn),求該點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖1,當(dāng)k——時(shí)，該直線交立軸，v軸于4,B兩點(diǎn)，直線l2:y=a;+1交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)Q是上一

點(diǎn)，若SD4BQ=6,求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在第2問(wèn)的條件下，已知。點(diǎn)在該直線上,橫坐標(biāo)為L(zhǎng)C點(diǎn)在/軸負(fù)半軸，E)ABO=45°，動(dòng)點(diǎn)

河的坐標(biāo)為(％(1),求。河+皿。的最小值.

圖1圖2

題目叵J如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)9=心工+6的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)4—2,0）,B（0，-2-）、過(guò)。（1，0）

作平行于y軸的直線Z;

（1）求一次函數(shù)g=fcr+b的表達(dá)式；

（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接,則yFB+PD的最小值為.

（3）M（s,t）為直線，上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則求M,

N點(diǎn)的坐標(biāo)；

（備用圖）

17

^^(國(guó)3規(guī)定:把一次函數(shù)9—kx+b的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互換得y=+%,我們稱y—kx+b^Wy—bx

+%(其中加6/0,且同/歷［))為互助一次函數(shù)，例如：y=—2x+3和沙=3±—2就是互助一次函數(shù).如圖

1所示，一次函數(shù)沙=fcr+b和它的互助一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，與，軸、。軸分別交于點(diǎn)4B

和點(diǎn)C,。.

⑴如圖1所示，當(dāng)k=—l,b=5時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

⑵如圖2所示，已知點(diǎn)M(—1,L5),N(-2,0).試探究隨著鼠b值的變化，MP+NP的值是否發(fā)生變化,

若不變，求出皿尸+AP的值;若變化，求出使皿尸+AP取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

題目21］規(guī)定:把一次函數(shù)"—kx-\-b的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互換得"=b力+k,我們稱y—kx-\-b^\y—bx

+k(其中k?bW0,且IMW|b|)為互助一次函數(shù)，例如g=―|~力+2和g=2］一卷就是互助一次函數(shù).如

圖，一次函數(shù)g=fcc+b和它的互助一次函數(shù)的圖象。必交于P點(diǎn)，。,給與立軸，。軸分別交于AB點(diǎn)和

C,。點(diǎn).

(1)如圖⑴，當(dāng)k=—1,6=3時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

②Q是射線CP上一點(diǎn)(與。點(diǎn)不重合)，其橫坐標(biāo)為求四邊形OCQB的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系

式,并求當(dāng)&BCQ與XACP面積相等時(shí)m的值；

(2)如圖(2),已知點(diǎn)M(-l,2),N(—2,0).試探究隨著瓦6值的變化，皿P+NP的值是否發(fā)生變化？若不

變，求出MP+NP的值;若變化，求出使A1P+NP取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo).

?M

如圖1,等腰直角三角形ABC中，乙4cB=90°,CB=CA,直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，過(guò)A作AD

±DE于點(diǎn)D,過(guò)B作BEYDE于點(diǎn)H,則△BEC第△CD4我們稱這種全等模型為“K型全等”.

（不需要證明）

【模型應(yīng)用】若一次函數(shù)y=A:a?+4（A:片0）的圖像與x軸、夕軸分別交于B兩點(diǎn).

⑴如圖2,當(dāng)％=—1時(shí)，若點(diǎn)B到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線I的距離BE的長(zhǎng)為3,求點(diǎn)A到直線I的距離

AD的長(zhǎng)；

圖2

（2）如圖3,當(dāng)k=—4時(shí)，點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，若是等腰直角三角形，求點(diǎn)

O

M的坐標(biāo)；

圖3

（3）當(dāng)k的取值變化時(shí)，點(diǎn)A隨之在，軸上運(yùn)動(dòng),將線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BQ,連接

OQ,求OQ長(zhǎng)的最小值.

20

一次函數(shù)綜合最值問(wèn)題“將軍飲馬、胡不歸”

一、解答題

題目jJ已知一次函數(shù)u=4fcr+5k+^（A;A0）.

圖2

（1）無(wú)論k為何值,函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵如圖1,當(dāng)k=—］時(shí)，一次函數(shù)沙=4?+5^+號(hào)的圖象交多軸，沙軸于4、3兩點(diǎn)，點(diǎn)曜是直線冊(cè)y

=c+1上一點(diǎn),若S^IBQ—6,求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶如圖2,在⑵的條件下，直線69=2+1交48于點(diǎn)？，。點(diǎn)在①軸負(fù)半軸上，且甲，動(dòng)點(diǎn)”

O

的坐標(biāo)為（a,a）,求CM+MP的最小值.

【答案】⑴（號(hào)，普）

⑵（3,4）或（—1,0）

⑶可

【分析】（1）整理得y=（4a;+5）k+5（k豐0）,根據(jù)題意，得當(dāng)4a?+5=0,求解得函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)

（一旦世〉

14,2八

（2）確定解析式V=如2+5A:+苧為y=-2z+4,點(diǎn)人坐標(biāo)為（2,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（0,4）;設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為

（m,m+l）,分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)。位于4B右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得S^QQ+S^OQ^S^OB+S^ABQ,^方程解得

館=3,點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3,4）;②當(dāng)點(diǎn)。位于左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QN//0軸，交AB于點(diǎn)N,點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為

（小+1）,QN=_^（m-1），于是S^AQN+SgQN=y義［―|-（m一1）］x4=6,解得m=-l,m+1=

0,Q坐標(biāo)為（-1,0）;

⑶聯(lián)立得卜=一?j4,得pq⑵，設(shè)eg,。），由s41so=空，求得C的坐標(biāo)為（-4,0），點(diǎn)M在直線9=

。上，點(diǎn)。關(guān)于直線沙=2對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,—，連接MF,PF,則MF=MC,CM+MP=FM+

MP>PF,作PG_Lg軸，垂足為G,在放APGF中，PF=邛里，所以CM+MD的最小值為邛

【詳解】（1）解:整理得g=（4/+5）fc+普（卜#0）

不論k取何值時(shí)，上式都成立

/.當(dāng)4/+5=0,即/=—^-時(shí),g=-y-

?,.無(wú)論k為何值，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)(一亳考)；

(2)當(dāng)k―—時(shí)，一次函數(shù)g=4kc+5k+整為y=—2x+4,

當(dāng)力=0時(shí)，y=4;當(dāng)g=0時(shí)，-2c+4=0,6=2;

???點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0);點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,4);

丁點(diǎn)。在直線L：g=力+1上，

設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m,m+1);

①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q位于右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得S,OQ+S的Q=SMOB+

S^ABQ.

：.-1-x2(m+l)+yX4m=yX2x4+6.

解得？n=3.

點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3,4)；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q位于AB左側(cè)時(shí)，此時(shí)5曲=6,

過(guò)點(diǎn)。作QN〃力軸，交AB于點(diǎn)N,則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為(山+1),

由y——2x+4,得？n+1=—2力+4,T=--—(m—3),

/.QN——^-(m—3)—m=--^-(m—1).

x

?**S“BQ=]QN.\yB-yA\=y[—|-(m-l)]x4=6,

解得m=—l,m+1=0,

Q恰好位于c軸上，此時(shí)Q坐標(biāo)為(一1,0);

綜上所述：若$^均=6,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)或(-1,0);

⑶由⑵可得直線AB:y=-2x+4,聯(lián)立得[y=—?'+4,

〔沙=，+1

解得[工=；

5=2

.??^(1,2)

?.?點(diǎn)。在c軸的負(fù)半軸，設(shè)C(c,0)

則AC=2—c,

???OB=4，S/W

制(2-c)x4=^

解得c=_.

O

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(—

，?,動(dòng)點(diǎn)"的坐標(biāo)為(Q,Q).

???點(diǎn)在直線g=力上.

?,.點(diǎn)。關(guān)于直線0=]對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為(°，一日)，

連接MF,PF,則MF=MC,CM+MP=FM+MP>PF

則PF為C/0+M尸的最小值；

作軸，垂足為G,

在RtNPGF中，PF=VPG2+FG2=，仔+（2+

.?.CM+MD的最小值為上駛.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，圖象交點(diǎn)求解，軸對(duì)稱；結(jié)合題設(shè)條件，作線段的等量轉(zhuǎn)移，構(gòu)造直角三角形求

解線段是解題的關(guān)鍵.

（1）無(wú)論k為何值,函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn),則該定點(diǎn)的坐標(biāo)______;

⑵如圖1,當(dāng)k=—/時(shí)，該直線交c軸，g軸于4B兩點(diǎn)，直線近。=。+1交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)T是，2上一

點(diǎn)，若SAABT=9,求T點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2,在第2問(wèn)的條件下，已知。點(diǎn)在該直線上，橫坐標(biāo)為1,。點(diǎn)在①軸負(fù)半軸，/ABC=45°,點(diǎn)M

是c軸上一動(dòng)點(diǎn),連接BA7,并將線段繞點(diǎn)"■順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MQ,

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②CQ+QD的最小值為.

【答案】⑴（號(hào)，*

（2）7點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,5）或（-2,-1）;

⑶（甘，。），亨

【分析】（1）將一次函數(shù)變形4fcr—g=—5k—3,根據(jù)圖像過(guò)定點(diǎn)，得到與%值無(wú)關(guān)，求出％,進(jìn)而求出定點(diǎn)

坐標(biāo)；

（2）求出直線解析式，設(shè)點(diǎn)T坐標(biāo)為+分點(diǎn)T在AB兩側(cè)分類討論即可；

⑶先根據(jù)題意，求出點(diǎn)。坐標(biāo),根據(jù)將線段BM繞點(diǎn)、M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至MQ,得至U點(diǎn)Q所在直線解析

式，求出點(diǎn)。對(duì)稱點(diǎn)。，連接求出。。的長(zhǎng)即可.

【詳解】（1）解：一次函數(shù)o=4fac+5k+?=%（4a;+5）+5"，

???4。+5=0時(shí)，g=5，

解得：/=一,,。=獸

/.無(wú)論k為何值，函數(shù)g=4%力+5k+萼（kW0）圖像必過(guò)定點(diǎn)（一|-,雪）；

（2）當(dāng)k=―會(huì)時(shí)，一次函數(shù)y=4far+5fc+粵為y=—2x+4,

當(dāng)力=0時(shí)，。=4;當(dāng)g=0,時(shí)，一2/+4=0,T=2;

???點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0);點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,4)；

???點(diǎn)T在直線，2：9=力+1上，

設(shè)點(diǎn)T坐標(biāo)為(m,m+1);

①如圖，當(dāng)點(diǎn)T位于AB右側(cè)時(shí)，連接OT,

=S^ABT

根據(jù)題意得S^AOT+S^30T

yX2x(m+l)+yX4m=yX2x4+9

解得m=4,

???點(diǎn)T坐標(biāo)為(4,5);

②如圖，當(dāng)點(diǎn)T位于AB左側(cè)時(shí)，

根據(jù)題意得SAAOT+S^QOT+S^AOB~SAABT

yx2x(-m-1)+yx4x(-m)+yx2x4=9

解得m=-2,

.?.點(diǎn)T坐標(biāo)為(-2,—1);

綜上所述：若隈方=9,T點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,5)或(一2,—1);

(3)如圖，將△Q4B沿直線4B翻折,得到4NAB,將/\OCB沿直線3。翻

折，得至I/XHCB，延長(zhǎng)H。、M4交于點(diǎn)E,則四邊形BHEN為正方形，

：.BN=BH=HE=NE=OB=4,

NA=OA=2,AE=NE—AN=2,

設(shè)OC=n，則HC=n,CE=4—n,

在Rt^ACE中，2?+(4—n)2=(2+n)2,

解得九=春，

o

所以點(diǎn)c坐標(biāo)為(—"，o),

②解：???。點(diǎn)在直線上g=—2/+4上，橫坐標(biāo)為1,

/.y=-2X1+4=2,

所以點(diǎn)。坐標(biāo)為(1,2);

設(shè)動(dòng)點(diǎn)河的坐標(biāo)為(a,0),

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作力軸，

???將線段W繞點(diǎn)加順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至UMQ,

：.BM=QM,ABMQ=90°,

??.ZOMB+ZQMH=90°

又/BOM=ZMHQ=90°,

??.AOMB+AMBO=90°,

???/QMH=/MBO,

???/\QMH^/\AMBO,

：.QH=OMfMH=OB=4

/.Q(Q+4,Q)

???點(diǎn)Q在直線g=力-4上運(yùn)動(dòng)，

如圖所示，設(shè)直線g=C一4與力軸交于點(diǎn)K,與g軸交與點(diǎn)G,則K(4,0),

4

???歐=告+4=*

oo

作C'KA.2軸，且C'K=CK=號(hào)，

則△CC'K是等腰直角三角形，KG，。。，

則C,。關(guān)于y=，-4的對(duì)稱，則C'Q+QD^CQ+QD>C'D,

此時(shí)如圖所示，則。（4,學(xué)）

CD=J（4—10+（號(hào)+2?=

故答案為：乂耍.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與面積問(wèn)題，求一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的特點(diǎn)確定函數(shù)解析式，將軍飲馬

問(wèn)題，半角模型等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大.解題的關(guān)鍵是要深刻理解函數(shù)的意義，能從復(fù)雜的圖形中確

定相應(yīng)的解題模型.

題目另如圖，一次函數(shù)v+2的圖象分別與立軸、沙軸交于點(diǎn)4B,以線段4B為邊在第二象限內(nèi)作

等腰放△ABC,ZBAC=90°.（可能用到的公式:若人（0，m），B（x2,紡），①AB中點(diǎn)坐標(biāo)為

（&；刈，叱％）；②AB=◎>+（%—取）

（1）求線段的長(zhǎng)；

（2）過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

（3）點(diǎn)。是BC中點(diǎn),在直線AB上是否存在一點(diǎn)P,使得PC+PD有最小值？若存在，則求出此最小值；

若不存在,則說(shuō)明理由.

【答案】⑴AB=2瓶

（2）y=~x+2

o

（3）存在，最小值是5V2

【分析】（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求解即可；

⑵先證明△ACF第△BA。,得出點(diǎn)。坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（3）作點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)“，連接MD交直線于點(diǎn)P,則此時(shí)PC+有最小值，即為MD的長(zhǎng),

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出點(diǎn)。、”的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解.

【詳解】（1）對(duì)于夕=看2+2,令劣=0,則夕=2,

令y=0,則￡±+2=0,解得立=一4,

.??4—4,0）,5（0⑵，

AAB=A/22+42=2V5;

⑵作CF_L6軸于點(diǎn)F,如圖，則NCFA=AAOB=90°,

???^^Rt/XABC,ZBAC=90°,

AAC=AB,ZACF=90°-ACAF=ABAO,

：.AACF^ABAO,

I.CF=04=4,AR=BO=2,

*，?C(—6,4),

設(shè)直線BC的解析式為g=mx+n,

則「61+九=4,解得卜=T,

6=2辰=2

直線BC的解析式為y=~x+2;

O

(3)v。是BC中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)是(一3,3),

作點(diǎn)。關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M,連接MD交直線AB于點(diǎn)P,則此時(shí)PC+PD

有最小值，且PC+PD=PD+PM=MD,即PC+PD的最小值是AiD的

長(zhǎng)，

?.?ZCAB=90°,

力、河三點(diǎn)共線，且A是CM中點(diǎn)，

設(shè)M(p,q),則=—4,節(jié)2=0,

解得p=-2,q=-4,

Af(—2,—4),

故PC+PD存在最小值,是5V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段

和的最小值以及兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，具有一定的綜合性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、明確求解的方法是解

題關(guān)鍵.

題目@已知一次函數(shù)沙=krr+b(k20)與，軸交于點(diǎn)4(3,0)，且過(guò)點(diǎn)(7,8),回答下列問(wèn)題.

(1)求該一次函數(shù)解析式；

(2)一次函數(shù)的解析式也稱作該直線的斜截式方程,如解析式y(tǒng)^kx+b我們只需要將y向右移項(xiàng)就可以

得到版一夕+b=0,將，前的系數(shù)k替代為未知數(shù)4將9前的系數(shù)1替代為未知數(shù)6,將常數(shù)項(xiàng)b替代為

未知數(shù)C,即可得到方程Ar+53+。=0,該二元一次方程也稱為直線的一般方程(其中A一般為非負(fù)整

數(shù),且力、B不能同時(shí)為0).一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，我們求點(diǎn)到直線間的距離，可用下面的公式求

解：

點(diǎn)P(如如到直線Ax+By+C=0的距離(d)公式是：d=/3+即+0

VA2+B2

如：求：點(diǎn)P(l,1)到直線y——9c+的距禺.

解:先將該解析式整理為一般方程：

(1)移項(xiàng)一-9r—?/+-1-=0

o/

(〃)將A化為非負(fù)整數(shù)即得一般式方程：2/+69-9=0

2xl6xl

由點(diǎn)到直線的距離公式，得d=l+^l=s=嚕

V2WV4020

①根據(jù)平行線的性質(zhì)，我們利用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以求兩平行線間的距離.

已知(1)中的解析式代表的直線與直線2c—夕+9=0平行，試求這兩條直線間距離；

②已知一動(dòng)點(diǎn)F(t2,t)(t為未知實(shí)數(shù))，記％為點(diǎn)P到直線3c—49+7=0的距離(點(diǎn)P不在該直線上)，求

h的最小值.

【答案】(1)夕=2c—6;

⑵①3居;②圣.

15

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出該一次函數(shù)解析式；

⑵根據(jù)平行線間距離處處相等可知，點(diǎn)人到直線2/—9+9=0的距離即為兩條平行線間距離，再利用點(diǎn)

到直線的距離公式，即可求出這兩條直線間距離；

(3)利用點(diǎn)到直線的距離公式，得到h='T+7I，令館=3^—4t+7,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得最小

5

值,進(jìn)而即可求出九的最小值.

［詳解】⑴解：:一次函數(shù)y=kx+b(kW0)與力軸交于點(diǎn)4(3,0),且過(guò)點(diǎn)(7,8),

(3k+b=0解得.9=2

J17k+6=8,牛于.訕=_6，

該一次函數(shù)解析式為夕=2/一6;

(2)解:①T一次函數(shù)解析式為g=26一6,

整理得：2/一g—6=0,

??,點(diǎn)A(3,0)在直線g=26一6,

???點(diǎn)A到直線2力一g+9=0的距離即為兩條平行線間距離，

將點(diǎn)A代入距離公式，得：d=憶0坦:萃=3日

/2+(—V5

這兩條直線間距離為3/5;

令m=31-4t+7=3”制+號(hào)，

當(dāng)t="|■時(shí)，7rl有最小值為與＞0,

oJ

h的最小值為=與~

515

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，掌握點(diǎn)到直線的距

離公式是解題關(guān)鍵.

題目可如圖，一次函數(shù)"=for+6的圖象交力軸于點(diǎn)A,OA=4,與正比例函數(shù)g=3/的圖象交于點(diǎn)_B,B

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

yjk

OfX

y=kx+b

(1)求一次函數(shù)y—kx-\-b的解析式；

(2)若點(diǎn)。在U軸上,且滿足S^BOC=，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)。(4,—2),點(diǎn)P是沙軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD,PB,PD,是否存在點(diǎn)P,使得4PBD的周長(zhǎng)有最

小值？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PBD周長(zhǎng)的最小值.

【答案]⑴y=_/+4

(2)0(0,6)或。(0,—6)

(3)存在，5V2+V34

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,4),則OC—|t|,再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出\xB\=1,|沙』=3,再根據(jù)三角形的面積公

式，得出心。。二皿產(chǎn)二號(hào)下田產(chǎn)三筍=6,再根據(jù)題意，列出方程，解出即可得出答案；

⑶根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得出6。=俯，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，得出要使△PBD周長(zhǎng)的最小值，只需

求的最小值，作點(diǎn)B關(guān)于9軸的對(duì)稱點(diǎn)M■，則M的坐標(biāo)為(一1,3),連接DM，根據(jù)線段最短，得

出DM為PB+PD的最小值，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，計(jì)算得出DM=5V2,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式,

計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：:點(diǎn)"8是g=3/的圖象上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為1,

???點(diǎn)石坐標(biāo)為(1,3).

???OA=4,

?,?點(diǎn)4坐標(biāo)為(4,0).

將4,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入g=far+b,

p/0=4k+b

仔(3=k+b'

解得仁丁

:.一次函數(shù)的解析式為“=—c+4;

(2)解:設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0工)，則OC=\t\,

???5(1,3),

|遍=1,|調(diào)=3,

?：OA—4：,

_|t|xl_|t|_4x3_R

??DABOC—2一~2'^^03~2一0，

?*S^BOC=，

.4=]x6,

r.|4=6,

；.t=6或力——6,

.?.0(0,6)或。(0,—6)；

(3)解:存在點(diǎn)P,使得中打。的周長(zhǎng)有最小值，理由如下：

V5(1,3),￡)(4,-2),

BD=V(l-4)2+(3+2)2=V34,

?//\PBD的周長(zhǎng)=PB+PD+BD,

要求△PBD周長(zhǎng)的最小值，只需求PB+PD的最小值.

如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Al,則M的坐標(biāo)為（一1,3）,連接DM,

則PB+PD^DW,即DM為PB+PD的最小值.

DM=V（-l-4）2+（3+2）2=V50=5V2,

4PBD周長(zhǎng)的最小值為:PB+PD+BD=5V2+V34.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的軸對(duì)稱點(diǎn)、線段最短，

解本題的關(guān)鍵在熟練掌握兩點(diǎn)之間的距離公式.

題目回在平面直角坐標(biāo)系砌;中，一次函數(shù)V=*E+3的圖像分別與2軸、夕軸交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)。為2

軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為九

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)。為平面直角坐標(biāo)系cog中一點(diǎn)，且與點(diǎn)A、B、。構(gòu)成平行四邊形ABCD.

①若平行四邊形ABCD是矩形，求t的值；

②在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是否發(fā)生變化,若不變，求出點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；若變化，說(shuō)明理由;

③當(dāng)t為何值時(shí),BC+BD的值最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)t的值及BC+BD的最小值.

【答案】⑴4-4,0）,B（0,3）

（2）①,;②點(diǎn)。的縱坐標(biāo)不變，是一3;③t=2時(shí)，BC+BD最小值為9

【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)直接代值求解即可；

⑵①矩形可知90°,證明相似三角形后直接通過(guò)邊的關(guān)系列方程求解即可；

②根據(jù)平行四邊形的平移規(guī)律直接寫(xiě)出。點(diǎn)縱坐標(biāo)即可；

③求最短路徑的題，與造橋選址類似，平移后三點(diǎn)共線即為最小值.

【詳解】（1）沙=日c+3中，令0=0,則g=3

令g=0,則x=-4

AA(-4,0),B(0,3)

(2)①若平行四邊形ABCD是矩形

—

則8。-LAB

???AO_LBO

：./XABO-^BCOO46A

.OB_PC

"~OA~~OB

vA(-4,0),B(0,3)D

-4-

:.OA=4,OB=3

:.OC—t=-7-;

4

②點(diǎn)。的縱坐標(biāo)不變，

4B、。構(gòu)成平行四邊形ABCD.

4—4,0)/。3),?！?0)

AA向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到8,則。向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到D

.?.￡)點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3.

③將NBCD平移至AC'BA

。'(—t,6),D(t—4,—3)

(BC+BZ?)min=DC—y/(—t—1-\-4)2+(6+3)2=yj(2t—4)2+81,

當(dāng)力=2時(shí)，(8O+BO)min=V§T=9

246X

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)與相似三角形的綜合題型，解題關(guān)鍵是找到相似的三角形，得到邊長(zhǎng)之間的數(shù)量

關(guān)系，難點(diǎn)是判斷此題為造橋選址的同類型題.

(題目|7［已知，一次函數(shù)y=(2-+4與9=一(土+1)，一2的圖像相交于點(diǎn)P,分別與y軸相交于點(diǎn)A.B.

其中t為常數(shù)，tW2且t片一1.

y

4

-4-3-2-10

(1)求線段AB的長(zhǎng)；

(2)試探索4ABP的面積是否是一個(gè)定值？若是，求出AABP的面積;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，AABP的周長(zhǎng)最小,并求出周長(zhǎng)的最小值.

【答案】⑴6

⑵是，6

(3)t=J,A4BP周長(zhǎng)最小值為2，m+6

【分析】⑴分別令劣=0,求出v值，得到A和B的坐標(biāo)，從而可得48的長(zhǎng);

(2)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用三角形面積公式求出△4BP的面積即可;

(3)畫(huà)出圖形，分析得出要&ABP的周長(zhǎng)最小，則要AP+BP最小，作點(diǎn)人關(guān)于直線/=一2對(duì)稱的點(diǎn)A

(-4,4),連接AB,找到此時(shí)點(diǎn)P的位置，求出直線4B的表達(dá)式，可得點(diǎn)P坐標(biāo)，可得t值,再根據(jù)點(diǎn)的坐

標(biāo)求出周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】(1)解:在g=(2—t)x+4中，

令6=0,則g=4,

在y=—(t+1)%一2中，

令力=0,則y=-2,

.-.A(0,4),B(0,-2),

??.AB=4—(—2)=6;

(2)???圖像相交于點(diǎn)P,

令(2—t)x+4=—(t+1)⑦一2,

解得：x=—2，代入g=(2—t)x+4中，

y——2(2—t)+4=2%,

P(—2,2力),

*e?S4ABp=]x\xP\xAB=x|—2|x6=6;

⑶如圖，???P(—2,2。，

???點(diǎn)P在直線1=—2上，

若要△ABP的周長(zhǎng)最小，而AB=6,

???當(dāng)AP+BP最小即可，

作點(diǎn)Z關(guān)于直線力=-2對(duì)稱的點(diǎn)A(—4,4),連接48,與直線力=-2交于點(diǎn)P,

此時(shí)AP+BP,設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+bf

則匕—*6,解得:上小，

「2=6[b^-2

直線_A'_B的表達(dá)式為y=—一2,

令x=-2，則沙=1,即P(-2,1),

則2i=1,解得:t=/，

此時(shí)AP=V22+32=V13,BP=V22+32=V13,

/\ABP的周長(zhǎng)最小值為PA+PB+AB=2V13+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合，最短路徑問(wèn)題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意⑶