湖北省新高考聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖北省新高考聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知（l+i”=l+3i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.2

2.一組數(shù)據(jù)23,11,14,31,16,17,19,27的上四分位數(shù)是（）

A.14B.15C.23D.25

3.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材

埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問

題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木

材，若鋸口深CZ）=4-2a,鋸道AB=40,則圖中弧ACB與弦A3圍成的弓形的面積

4.已知cos[+T=.*,貝1Jsin12"3=()

A4+3-^33+4-\/3f-,4-3A/3「3—4^/3

A.----Dr>.-----C.-----U.-------

10101010

5.平行六面體ABCD-A瓦GA的底面A3。是邊長為2的正方形，且

N4AD=NAAB=60。，"=3,M為AG，的交點，則線段的長為（）

6.如圖，一個正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個正八面體，

觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為。={123,4,5,6,7,8},記事件"得

到的點數(shù)為奇數(shù)”，記事件3="得到的點數(shù)不大于4”，記事件C="得到的點數(shù)為質(zhì)

數(shù)”，則下列說法正確的是（）

A.事件3與C互斥B.P（AB）=j

8

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A,3,C兩兩相互獨立

7.若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所

成角的正弦值為,，則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（）

A.-B.2C.—D.-

363

8.在△ABC中，BC=2,ZBAC=~,。是△ABC的外心，則04BC+34C4的最大值

為（）

R10

A.2B-T

C.—D.4

3

二、多項選擇題

9.下列說法正確的是（）

A.“a=-1”是“直線/％_>+1=0與直x-分-2=0互相垂直”的充要條件

B.““=一2”是“直線ax+Zy+M=。與直線x+(a+l)y+l=0互相平行，，的充要條件

兀］「3兀)

C.直線xsin以+y+2=0的傾斜角，的取值范圍是0,--,n\

D.若點A(l,0),3(0,2),直線/過點尸(2,1)且與線段A3相交，貝心的斜率左的取值范

圍是-<1

10.已知函數(shù)/(x)=cosx,g(x)=|sinx|,下列說法正確的是()

A.函數(shù)根(同="耳超(%)在］,兀1上單調(diào)遞減

B.函數(shù)Mx)="x).g(x)的最小正周期為2兀

C.函數(shù)"(x)=/(x)+g(x)的值域為

D.函數(shù)〃(x)=/(x)+g(x)的一條對稱軸為x=：

11.在棱長為1的正方體ABCD-中，E、F、G、”分別為棱A。、AB.BC、

用G的中點，則下列結(jié)論正確的有()

A.三棱錐E-/G”的外接球的表面積為兀

B.過點E,F,H作正方體的截面，則截面面積為延

4

c.若P為線段用，上一動點(包括端點)，則直線尸4與平面A3。所成角的正弦值的

范圍為q,f

D.若。為線段CD上一動點(包括端點)，過點A，G,。的平面分別交8瓦，。，于

M,N,則3M+DN的范圍是1.1

三、填空題

12.己知4(2,1),網(wǎng)4,3)兩點到直線％-分+1=0的距離相等，則。=

13.在空間直角坐標系中已知4(121),5(1,0,2),C(-1,1,4),CD為三角形ABC邊A3

上的高，貝叫CD卜.

,a-b,a-b

14.對任意兩個非零的平面向量。和b,定義:ab=—若平面

FH+i\br\w

向量a,b滿足忖>W>。,且a十b和ab都在集合甘〃eZ,0<〃44]中，則°十b=,

cos(a,b)=

四、解答題

15.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知q=^sinC+cosC.

b3

⑴求角&

BA-BDBDBC

(2)若。是△ABC邊AC上的一點，且滿足網(wǎng)=pc]，9a+4c=25,求3。的最

大值.

16.已知△ABC的頂點邊AC上的高所在直線的方程為x-y+8=0,邊A3

上的中線C航所在直線的方程為5x-3y-10=0.

(1)求直線AC的方程；

(2)求△ABC的面積.

17.某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識競賽”，高二年級學(xué)生參加了這次競賽.為了了解

本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績x作為樣本進行統(tǒng)計.將成績進行整理

后，分為五組(50<x<60,60Vx<70,70Vx<80,80Vx<90,90<x<100),其中第1組

的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積.請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖(如

⑴若根據(jù)這次成績，年級準備淘汰60%的同學(xué)，僅留40%的同學(xué)進入下一輪競賽，請

問晉級分數(shù)線劃為多少合理？

(2)從樣本數(shù)據(jù)在80Vx<90,90Vx<100兩個小組內(nèi)的同學(xué)中，用分層抽樣的方法抽取

6名同學(xué)，再從這6名同學(xué)中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率.

⑶某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分數(shù)：為9,當「，稅，已知這10個分

數(shù)的平均數(shù)元=90,標準差S=5,若剔除其中的96和84兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的

平均數(shù)與方差.

18.在△ABC中，ZC=90SBC=3,AC=6,D,E分別是AC,A3上的點，滿足

DE//BC,且DE經(jīng)過△ABC的重心.將△ADE沿DE折起到的位置，使

AC±CD,存在動點〃使A"=24^(2>0)如圖所示.

⑴求證：A"平面3CDE；

(2)當X=g時，求二面角C-MB-E的正弦值；

(3)設(shè)直線3M與平面ABE所成線面角為，，求sind的最大值.

a

19.對于一組向量4％,生，，n(”N*且心3),令邑=4+生+/+.+an,如果存

在4(me{l,2,3,，叫，使得k/鄧"-aj,那么稱品，是該向量組的陽向量”.

⑴設(shè)a“=(x+〃M(〃eN*),若%是向量組4，%，%的““向量”，求實數(shù)x的取值范

圍；

⑵若a“JcosT，sinTj(〃eN)向量組％,出，生，，孫是否存在“H向量”？若存

在求出所有的“H向量”，若不存在說明理由；

(3)已知%,外,生均是向量組q，%，%的向量”，其中4=是，。，

求證：同'+同+,「可以寫成一個關(guān)于e*的二次多項式與一個關(guān)于e-工的二次多項式的

乘積.

參考答案

1.答案：B

-l+3i(l+3i)(l-i)4+2i

解析：由題意可得:z=----=2+i,

1+i(l+i)(l)=丁

所以z=2-i的虛部為

故選：B

2.答案：D

解析：把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：11，I%16,17,19,23,27,31.

3

因為8x1=6,

二上四分位數(shù)是23學(xué)+427=25.

故選：D

3.答案：C

解析：由題意AO=8D=2&,0O=OC_Cr>=OA_4+2&,

在RtAAOD中，AD2+OD-=O^,

即8+(。4-4+20丫=。42,解得OA=4,

故0。=2加,易知4。3后，

因此S弓形=S扇形AOB-SAAOB=5X3x4-^x4-4兀-8.

故選：c

4.答案：A

（兀、，八兀，兀3兀、

解析：因為6口0,句，則6+^^丁丁>

且cos［嗚1-嚕,可得可嗚卜「小+介嚕,

則sin26=sin，,+_cos2,+：）=1—2cos2

cos26?=cos6>+=sin2,+：）=2sin（e+：）cos（6+：）

r-j-.U.（cc兀）1.cc6"4+3#>

以sin2,0—=—sin2,0----cos2,0=-------,

I3J2210

故選：A

5.答案：C

uuruuiriuuumuuurizuuumuumxuuuiuumiULU

解析：由題意可知:BM=BBi+aBQi=BB]+-^AlDl-AlBlj=AAl+-AD--AB,

uutr<umiiuuuium\2

則5M2=\A\+-AD--AB\

uuu?iuum,iuun2uuuuumuuuuumiuuuuum

=朋+-AD+~AB+AAlAD-AAlAD--ABAD

=9+l+l+3x2x--3x2x--0=ll,

22

uuir_

所以BM=vn.

故選：c

6.答案：C

解析：由題意得，事件A的樣本點為{1,3,5,7},事件3的樣本點為{123,4},事件C的

樣本點為{2,3,5,7},

對于選項A：事件3與。共有樣本點2,3,所以不互斥，故A錯誤；

對于選項B：A3事件樣本點S“，所以尸（AB）=1=f,故B錯誤；

對于選項D：因為尸（A）=!=；,P（C）=；,

o2Z

且AC事件樣本點{3,5,7},則尸（AC）=]

O

可得P（AC）HP（A）P（C）,所以事件A與C不相互獨立，故D錯誤；

對于選項C：因為ABC事件樣本點{3},可得尸（ABC）=：,

O

所以P（ABC）=P（A）P（3）尸（C）,故C正確.

故選：C

7.答案：C

解析：設(shè)上底面半徑為八，下底面半徑為

如圖，取圓臺的軸截面，作CMLAB,垂足為M,

設(shè)內(nèi)切球。與梯形兩腰分別切于點E,F,

可知3。=彳+弓，BM=r2-rx,

7T

由題意可知：母線與底面所成角為NB=3，

BMr,-r1

貝I有=="7一=5，可得4=3%

BC4+弓2

即3c=4小BM=2八,可得CM=JBC?-BM?=26rl,

可知內(nèi)切球。的半徑廠，

可得S圓臺=兀42+9兀4？+兀（弓+3可）x44=26兀42，s球=4兀*（6彳）=12兀邛，

13

所以：IS~6

故選：C

8.答案：B

解析：設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

因為。是△ABC的外心，記3C中點為。，則有ODLBC,即。。.BC=O,

uirutinuiruir,uuiiuunuir、uunuiruir

可得。ABC+3ACA=OO+OB+BAIC+BACA

UUUIUUUULIUUUluuuu

=DB?BC+BA?BC+BA?CA

1.2-2o

=——BC+BA=-2+c2,

2

ca24

在△ABC中，由正弦定理可得：sinNBA。一國一瓦

~T

44TT

則"京sinCW國,當且僅當sinC=l,即C、時，等號成立，

1.2.2

所以。4.BC+BA.Q4的最大值為=-Q3C+BA=-2+c2.

故選：B

9.答案：BCD

解析：對于選項A：當。=—1時，直線1與直線x+y-2=0斜率分另U為1,-1,

斜率之積為一1,故兩直線相互垂直，即充分性成立；

若“直線入7+1=0與直線*-3-2=0互相垂直”，

貝!J/+a=0,故a=?；?。=-1,

所以得不到a=T,即必要性不成立，故A錯誤；

對于選項B：由直線平行得卜("?”2,解得。=一2,

WCI

所以-2”是“直線辦+2＞后=0與直線x+(a+l)y+l=O互相平行”的充要條件，故B

正確；

對于選項C：直線的傾斜角為。，則上=tane=-sin(ze[-1,1],

因為0＜。＜兀，所以?！?,二]口「￥，兀],故C正確；

-----------L4jL4)

對于選項D：如圖所示：

o\AX

可得如=-：，結(jié)合圖象知

＜k＜l,故D正確;

故選：BCD

10.答案：BC

71時，g(x)=sinx,m(x)=sinxcosx=^sin2x,

解析：A選項，當2，Jt

此時2xe（兀,2兀）,而〉=sinx在（兀,2兀）上不單調(diào)，故A錯誤;

B選項,函數(shù)制X+2TC)=COS(x+27i)-|sin(x+27i)|=cosx|sinx|=m(x),

sinxcosx,2kn<x<2kn+兀

而加(%)=<

-sinxcosx,2kn+TI<X<2kn+2兀

；sin2x,2kji<x<2攵兀+兀，女￡Z

一；sin2x,2kji+7i<x<2E+2兀4GZ

所以〃7（x）的最小正周期為2兀，故B正確;

7C_,7C1_,357兀t

C選項，當工￡［2配2E:+兀］（左￡2）時,x+—G2E+—,2kltH--(-左-eZ),

444

sinx+e立1

(S------，］

2

71

所以〃(力=cosx+sinx=V2sinXH----

4

左兀十個,兀+個）（左G）

當%￡（2也+兀,2酎1+2兀）（左￡2）時，X+-^G224Z,

COS尤+四￡f鳥］

I4j

所以〃(x)=cos%-sinx=0cosx+—

I4

綜上，函數(shù)"（%）="%）+8（%）的值域為［-1,0］,故C正確;

D選項，因為+=：］=cos［_（］+sin］—：］=0,

sin?=0,所以x=:不是“（x）的一條對稱軸.

故選：BC

11.答案：BCD

解析：對于選項A：由題意可得：EF=FG=—,EG=GH=1,且G"_L平面A3CD,

2

?jr11

則EF?+e2=EG?,BPZEFG=-,可知三角形ERG外接圓的半徑為廠=5或；=/,

所以三棱錐E-FGH的外接球的球心為E”的中點，

可得三棱錐E-FGH的外接球的半徑為R=J+&]=#，

所以其表面積為4成2=2兀，故A錯誤；

對于選項B：取網(wǎng),的中點分別為K,L,J,

可知過點E,F,H作正方體的截面為ERKHLJ,其截面正六邊形，邊長為日

所以其面積為S=6x1x在x立,故B正確；

2224

對于選項C：設(shè)點P到平面的距離為九

由正方體的性質(zhì)可得：BDHB\D\,用A不在平面43。內(nèi)，5Du平面A3。，

則與。]〃平面A3。，

當點P在線段耳2上運動時，則點P到平面43。的距離即為點，到平面A3。的距

離,

由Dy-\BD的體積可得J_xlxLlxl=L7xL&x0x且，解得相走，

323223

設(shè)直線尸4與平面A3。所成角，，則sine=」=點，

P\3pAi

若p為BQ的中點時，PA，,（尸4）.=LBR=顯;

當點P為線段BQ的端點時，（出入政.；

即IwPAVl，所以sinJ=Me［半,乎］,故C正確；

2尸4133

對于選項D：設(shè)QGIA5=S,QGIAD=T,

可知平面4G。即為平面AST,則ASIBB^M^TIDR=N,

可得5G=CG=g3C=；,設(shè)CQ=4CQ=X,

1-2

當。<2<i時，由相似三角形知識可得：—j=T~79

12+11]?I71+A

2A—2

即,DN==

1+A1+2

2A—2

且當…或"時,也符合

1A—21

則3M+￡)N=——+--=——

1+21+21+2

<0<2<l,可得BM+ZW=4e:」

i+7tZ

所以氏W+DN的取值范圍是1,1,D正確.

故選：BCD

12.答案：1或2

解析：由題意可得：3aI即|3-。|=|5-34,

Jl+〃2，1+〃2

可得3—a=5—3a或々—3=5—3a,解得〃=1或。=2.

故答案為：1或2

13.答案：3

解析：AC=(-2-1,3),AB=（0-2,1）,則國卜疝\

所以|C￡）|=^|AC|2-|AD|2=V14-5=3,

故答案為：3

14.答案：三晅或由

483

解析：設(shè)a與b的夾角為。，

因為。十b和a》都在集合《|心40＜』｝中，所以其取值可能為川,

因為同〉忖＞0,貝巾「+片〉2曲，

因為cos"l,即等弓，可得a十所以。十6=；；

又因為a十6〈警，即警>；,解得cosO>g,

因為W>W>o,

a，baAcos6acosSja

可得a^=-j—r=----3-----=-1-|—>cos61>-,即a6=彳或1,

AA\h\24

當a十6=］且a6=］時，即由2=］且而=Z，

a-b_4

可得〃.匕=第加酈,所以cos

ia"_1a-o

當。十b且ab=l時，即一|邛=7且而=1,

LLX-.?'A

.rrlipifi-iti

可得〃心二w，卜卜⑺忖

綜上所述：cos（aS=3后或史~

/83

故答案：I迷或也.

483

15.答案：⑴8=三

⑵石

解析：（1）因為q=避^!1。+8$。，即。=Y^bsinC+Z7cosC,

b3

且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=^-sinBsinC+sinBcosC，可得cosBsinC=^^sin3sinC，

且。￡（0,兀），貝！JsinCwO,可得tan5=g,

又因為。＜5＜兀，所以5=

BABDBDBCBABD_BDBC

（2）因為|BA|一|BC|，即..-

可得cosZABD=cos/CBD,BPZABD^ZCBD,

jr

可知平分/ABC,則NA3D=C3O=—,

即-acx^-=—BDxax—+—BDxcx—,整理可得也^='+'

222BDac

又因為9a+4c=25,

1Jc14c9。

>——13+2.--------=1,

251\ac

當且僅當"=",即。=鼠c=]時取等號，

ac32

可得,所以3。的最大值為

16.答案：⑴x+y-2=0

（2）24

解析：（1）由于邊AC上的高3”所在直線方程為x-y+8=0,

所以設(shè)直線AC的方程為x+y+c=0,

由于點4（1,1）在直線AC上，即l+l+c=0,解得c=-2,

所以直線AC的方程為x+y-2=0.

⑵由于點C既滿足直線5x-3y-10=0的方程，又滿足％+丁-2=。的方程,

5x-3y-10=0[x=2/、

所以cc，解得C，故C2,0,

x+y-2=0[y=0

所以AC=J（2-l）2+（0-l）2=V2,

設(shè)由于點3滿足直線x-y+8=0,故a-Z?+8=0,

設(shè)AB的中點坐標為1一,一；滿足5x—3y—1。=。,

a+1b+1

所以5x------3x-----10=0,整理得5a—3b—18=0,

22

ci—b+S—0a=21"?/\

所以5a-36-18=0,解得b=29,所以吶29),

48r-

則點5(21,29)到直線x+y-2=0的距離d=~^=24加,

故Sac=；x|AC|xd=gx0x240=24.

17.答案：（1）73分合理

（3）22.25

解析：⑴由第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積可知，0.162=0.8a,

解得a=0.032,

又(0.008+0.016+0.032+0.04+〃)x10=1,解得b=0.004,

所以a=0.032,Z?=0.004,

成績落在［50,70)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32=0.48,

落在［50,80)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32+0.40=0.88,設(shè)第60百分位數(shù)為加，

則(機—70)0.04=0.6—0.48,解得m=73,所以晉級分數(shù)線劃為73分合理；

(2)由圖可知，按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取4人和2人，分別記為a,b,c,d和

A,B,

則所有的抽樣有：Q=(AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd),共15個

樣本點，

"抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”，

則A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd］共8個樣本點，

所以尸⑷哈.

(3)因為元=90,所以石+々++x10=10x90=900,

所以—=而(%；+無；++襦)-9。2=52,

所以=81250,

剔除其中的96和84兩個分數(shù),設(shè)剩余8個數(shù)為和%3??…/，

平均數(shù)與標準差分別為京％

n/Hi人cA八業(yè)乙人心FiJikLM+X)+%++4900—96—84

則剩余8個分數(shù)的平均數(shù)：/=―-------=---------=90,

OO

方差：S；=W(X；+X：+-+X：)-9()2

=1(81250-962-842)-902

=22.25

18.答案：(1)答案見解析

0、回

\^)-------------

20

⑶半

o

解析：(1)因為NC=90。，則AC_L3C,

旦DEHBC,可得ACLOE,

將△ADE沿DE折起到△ADE的位置，始終有DELAQ,DELCD,

因為A。CD=D,A。，CDu平面AC。，所以DE,平面4。。，

由ACu平面AC。，可得。ELAC,

且ACLCD,CDDE=D,CD,DEu平面BCDE,

所以AC,平面BCDE.

(2)由(1)可知，AC,CD,直兩兩垂直，翻折前，因為DE經(jīng)過△ABC的重心，且

DE//BC,

2

所以AD=2CD,所以CD=2,AD=4,DE=-BC=2,翻折后4。=4,

由勾股定理得4。=小曾―。埋2=742-22=26，

以C為原點，直線CD,CB,C4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

fE

則C(0,0,0),4(0，。，2⑹,0(2,0,0),M(1,0,73),5(0,3,0),E(2,2,0),

可得CM=(1,0,Q),MB=(-1,3,-^,BE=(2,-1,0),

mCM=2+=0

設(shè)平面3MC的法向量機=(%，M，zJ,貝|J11,

m-MB=_玉+3%—6z[=0

令4=1,貝!］七=一石,M=。，可得7"=卜々30,1),

〃?MB——%2+3y2——0

設(shè)平面的法向量〃=(%,%，Z2)，貝!<-

n-BE=2X2-y2=0

令％=1,則%=2/2=5，可得〃=11

m-n

可得COS機,〃=^

mC2A/10_2Vid_20，

2x

V3

且加,〃e[0,71],則sinm,n=Jl-cos?m,n

所以二面角CMB-E的正弦值為"當.

20

（3）由（2）可知/=（0,—3,2后），BE=（2,-1,0）,4°=（2,0,—2石）

p-54=-3%+2^Z3=0

設(shè)平面ABE的法向量