湖南省常德市臨澧縣某中學2025屆高三年級上冊第一次階段性考試數(shù)學試題（含答案解析）

湖南省常德市臨澧縣第一中學2025屆高三上學期第一次階段性

考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.命題“訓>。，淖-1<%”的否定是（）

A.Vx>0,B.Vx<0,ex-l>x

C.Vx>0,ex-l>xD.Vx<0,ex-l>x

2.已知全集。=乩集合A={xeZ|140）,B={x|x>2},則AIgB=（）

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{x|-l<x<2}D.{^|-l<x<2}

3.若函數(shù)力（幻=1僦-3辦2_2在［1,2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.1一00，；C.（-co,l）D.

4.函數(shù)/⑺=1一,sin1+1的部分圖象大致為（）.

e-e

5.函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(l+x)=/(l-x),若xw[0,l],/(x)=2\貝U

/(2024)=()

A.4B.2C.1D.0

ax+1-a,fix,)—fix)

6.已知函數(shù)〃x)=，若",尤240，2),引中%，都有八一，八成

2,1<x?2%2—%

立，則。的取值范圍為（）

A.(0,2]B.(-oo,l]C.(0,1]D.(0,+功

7.若命題：Fa,6eR,使得a-cosbO-cosa”為假命題，貝!ja,6的大小關(guān)系為()

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

8.若正實數(shù)七是方程e"+l=aln(ax-1)的根，則1。-%=()

A.-1B.1C.2D.-2

二、多選題

9.已知。＞0”＞。且a+》=2,則下列不等式恒成立的是（）

1o

A.的最小值為2B.―+彳的最小值為3+2夜

ab

C.仍的最大值為1D.后+振的最小值為2

10.給出下列命題，其中正確的命題有（）

A.函數(shù)/（x）=x-3+logsx的零點所在區(qū)間為（2,3）

B.若關(guān)于x的方程-機=0有解，則實數(shù)機的取值范圍是（。」

C.函數(shù)y=bg2,與函數(shù)y=21og2X是相同的函數(shù)

D.若函數(shù)?。M足〃x）+/（D=2,則/0+，品+--+/品+/（總=9

11.關(guān)于函數(shù)〃x）=：+21n無，下列判斷正確的是（）

A.尤=；是〃尤）的極大值點

B.函數(shù)＞=/（力-x有且只有1個零點

C.對左＞1不等式f（x）＜履在［1,+8）上恒成立

D.對任意兩個正實數(shù)%,馬，且為＞%，若〃菁）=/（%）,則玉+%＞1

三、填空題

12.已知函數(shù)?。?產(chǎn)2（：+4），-4;＜1,若/（/（0））=4匹則實數(shù)0=_________

IX+cue,X21,

試卷第2頁，共4頁

13.已知命題「：k-4<4,命題g:(x—l)(2-x)>0,若。是4的必要不充分條件，則實數(shù)。

的取值范圍是

14.設(shè)定義在。上的函數(shù)y=h(x)在點尸(%,"(x。))處的切線方程為/:y=g(x),當x/%時,

若/i(x)_g(x)>0在〃內(nèi)恒成立,則稱尸點為函數(shù)y=〃(x)的“類對稱中心點，，，則函數(shù)

X-XQ

2_

/(x)=Fx+lnx的“類對稱中心點”的坐標是

四、解答題

15.已知VA2C的內(nèi)角A民C的對邊分別為a,6,C,AABC的面積為

；a(csinC+6sinB-asinA).

⑴求A；

(2)若a=2,且VA2C的周長為5,設(shè)。為邊8C中點，求AD

16.已知等差數(shù)列｛4｝滿足+%=1。，%-。3=2.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)等比數(shù)列也｝滿足&=%,&=%設(shè)％=5?！?￡,數(shù)列｛&｝的前〃項和為S“，求S"的

最大值.

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面叢8,平面ABCD,PA_LAB,AB〃C￡>,且

P

(1)證明：平面PAC_L平面PBC；

(2)求平面上4。與平面夾角的正弦值.

18.已知M為圓x?+y2=9上一個動點，垂直無軸，垂足為N,。為坐標原點，AQW的

重心為G.

⑴求點G的軌跡方程;

(2)記(1)中的軌跡為曲線C,直線/與曲線C相交于A、8兩點，點。(0』)，若點H(石,0)

恰好是AABQ的垂心，求直線/的方程.

19.已知函數(shù)〃數(shù)=J"'*1--,aeR.

⑴討論函數(shù)g(x)=獷(x)的單調(diào)區(qū)間：

⑵若函數(shù)〃彳)有兩個不同的零點王，尤2，

①求。的取值范圍，

2

②證明：a(X)+x2)>4.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CABDCCBAACABD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】將特稱命題否定為全稱命題即可

x,,

【詳解】命題“玉0>0,/。-1<%”的否定是“以>0,e--L>X,

故選：C

2.A

【分析】求出兩個集合，再求出進而求出an①B即可.

x-3f(x-3)(無+1)<0

【詳解】由上一《0,可得「二，解得—l<x?3,由于1￡Z.

x+1"+lw0

故4={0,1,2,3}.

因為5=卜國2},則電8={x|x<2}.

故AI”={0,1,2}.

故選：A.

3.B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可.

【詳解】hXx)=^-ax,

若函數(shù)/?(%)=Inx-十q2-2在［1,2］上單調(diào)遞增，

則”(%)=?-狽2。在［1,2］上恒成立，

故a在［1,2］上恒成立，

故aVq.

4

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，排除B、C,再由x>0時，/(x)>0,即可

答案第1頁，共13頁

求解.

【詳解】由函數(shù)即上+1,可得函數(shù)的定義域為(-s,O)U(O，〃)，

且滿足A-X)=(F)2一：/(丁)+1=_'-3畛+1=于⑴,

e-ee-e

所以函數(shù)”X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以B、C不符合題意；

又由當x>0時，er-e-1>0,x2-sin2x+l>0,所以/(x)>0,

所以A不符合題意，D符合題意.

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)奇偶性和對稱性，得到函數(shù)周期，再運用周期性解題即可.

【詳解】函數(shù)解I是定義在R上的偶函數(shù),則F(X)=〃T),由于/(1+無)=/(1一x),

則/(I+(x-l))=/(l-(x-l)),故/(無)=f(-x+2),

故/(-x+2)=/(-x),所以函數(shù)/")周期為2.

則/(2024)=/(2024-2x1012)=/(0)=2°=1.

故選：C.

6.C

【分析】首先分析出函數(shù)單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為對于V&x,e(0,2),外力馬，都有"々)一〃*)>。成立，所以函數(shù)/'(X)是增

/一玉

函數(shù)，

則函數(shù)y=(zx+1_a(04x41)和y=2Ff(l<x42)均為增函數(shù)，且有1M2~,

a>0

即4W1,解得

2?>1

故選：C.

7.B

【分析】由命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為，+cosa>〃+cos。成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷

單調(diào)性即可得解.

【詳解】由題意，命題的否定b^R,使得4-8$。>。-85々”為真命題，

答案第2頁，共13頁

艮|3a+cosa>Z?+cos〃,

設(shè)/(%)=%+cosx,貝lj/\x)=l-sinx>0,

所以/。)為增函數(shù)，

所以由/⑷>/S)可知

故選：B

8.A

【分析】利用題干中的方程，構(gòu)造函數(shù)/'(無)=xe'+無，進行求解.

【詳解】由題可知，xeA+x=axln(ox-l),即xe*+x=ln(ox-l)eM3T)+ln(ox-l),

令"尤)=xe"+無，-(x)=(x+l)e"+l>0,在區(qū)間(。,+(?)上恒成立，

則/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

/(x)=/(ln(ar-l)),

因為正實數(shù)不是方程e'+l=41n(or-l)的根，

r

所以飛=ln(以()-1),BPe°=axQ-\,gpe*-ac0=-1.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用方程同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/(x)=xe'+x,從而得到

XQ=皿啄—1).

9.AC

【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.

【詳解】對于A,2^a2+b2)=a2+b2+a2+b2>a2+b2+2ab=(a+b^,

所以/+/Ja+6)=2,當且僅當a=8=l時，等號成立，故A正確；

2

3+20

對于B,

~2~

當且僅當彳=：時，。=2(0-1)8=2(2-應(yīng))時等號成立，故B錯誤;

對于C,a+b=2>2y[ab,故必<1,當且僅當a=b=l時，等號成立，故C正確;

答案第3頁，共13頁

對于D,由A知，5+冒上+與，故°?(3石),

故(&+揚)<4,Q<4a+4b<2,當且僅當。=b=l時，等號成立，

故6+〃的最大值為2,故D錯誤.

故選：AC

10.ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式得到/(2)/(3)<0,結(jié)合零點存在定理，可判定A正確；根據(jù)

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷B正確；根據(jù)相同函數(shù)的判定方法，可判定C錯誤；由

f(x)+f(l-x)=2,求得/(g)=1,結(jié)合分組法，可判定D正確.

【詳解】對于A中，由“r)=x-3+log3X，可得函數(shù)/(x)=x-3+log3X為單調(diào)遞增函數(shù),

可得/(2)--1+1嗚2<0,/(3)=log33>0,即/⑵/⑶<0,

所以函數(shù)/。)=》-3+1083苫的零點所在區(qū)間為(2,3),所以A正確；

對于B中，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得gJe(0,l],

若關(guān)于x的方程U-機=0有解，即方程[；=根有解，

所以實數(shù)機的取值范圍是(0』],所以B正確；

對于C中，函數(shù)y=log2/的定義域為{x|xw0},函數(shù)y=21og2X的定義域為{x|x>0},

所以函數(shù)yfog?/與函數(shù)y=210g2X不是相同的函數(shù)，所以C錯誤；

對于D中，因為函數(shù)/(x)滿足f(x)+/(l-x)=2,

令x=g,可得/§)+/(：)=2,解得/弓)=1,

又由/[J楣卜???+楣?喘

+/琉+,儒)+佃=4X2+1=9,所以D正確.

故選：ABD.

答案第4頁，共13頁

11.BCD

【分析】對于A,直接對函數(shù)f(x)=J+21nx求導(dǎo)研究即可；對于B,構(gòu)造函數(shù)

g(x)=〃x)-無=：+21nx-x,求導(dǎo)，利用單調(diào)性來判斷即可；對于C,將問題轉(zhuǎn)化為

%+羿在［1,+動上恒成立，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=(+&/，求其最大值即可；對

于D,將問題轉(zhuǎn)化為證明x),x［o,￡|,構(gòu)造函數(shù)g(r)=/⑺—〃1T),利用

導(dǎo)數(shù)求其最值可得答案.

11o7r—1

【詳解】對于A,?."(x)=—+21nx,(無)=一吃+4=三「，

XXXX

當0<x<<時，r(x)<0,函數(shù)/(x)=，+21n尤在［o,；］上單調(diào)遞減,

LX\乙)

當尤〉工時,r(x)>0,函數(shù)/(x)=1+21nx在上單調(diào)遞增,

2

.,.x=g為/(X)的極小值點，A錯誤;

對于B,^(x)=/(x)-x=—+21nx-x,

則g'(x)=_3+2_］=弋°?0,所以函數(shù)g(x)在(0,+“)上單調(diào)遞減,

又g(l)=l+21nl-l=0,所以函數(shù)y=〃a)-x有且只有1個零點，B正確;

對于C,若〈日在［1,+功上恒成立，

得上=±+也在［1,+⑹上恒成立，

XXX

…71121nx

貝!J%>二+，

%_max

人7/、121nx、-22—2Inx—2+2x—2x\nx

令〃(x)=F+----,貝I//(x)=F+——；—=-------3-------，

XXXXX

令％(x)=-2+2x-2xlnx,々'(x)=-21nx,

當xe［l,+oo)時，Z'(x)VO,々(x)單調(diào)遞減，

.?.左(x)(左(l)=-2+2-21n2=0,即〃(x)WO,

.??(元)在［1,+功上單調(diào)遞減，

故函數(shù)〃(x)1mxi0)=1，則上>1，C正確；

答案第5頁，共13頁

對于D,令，jo,；

g⑺=/(才)_/(17)=1+21皿_^^-—21n(1T)=1—21

+2ln—

ti-t《IT)1-t

-2Ml-2f)+2*lz￡,1—+/=-⑵-了

則g'(f)=22-22<0

f(I-/)t(i-r)/(/-l)

「超⑺在(o,￡|上單調(diào)遞減，

則g(f)>g]￡|=0,即/⑺—〃1T)>O,

,**>%2，/(%)=f(^2)，結(jié)合A選項可得玉>5，。<%2<5,1—%2>3,

--.f(X])>f(1-^),函數(shù)”x)=：+21nx在[；,+1?)上單調(diào)遞增,

貝U石>1一,西+巧>1

即對任意兩個正實數(shù)網(wǎng),%且%>尤2，若/(%)=/(吃)，則不+.巧>1,D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題難點在選項D,將問題轉(zhuǎn)化為證明x),xe(0,￡|是

關(guān)鍵，然后構(gòu)造出函數(shù)g?)=/?)-〃1T)來解決問題.

12.2

【分析】先計算/(0),再計算7(2)即得解.

【詳解】解：/(/(o))=/(log24)=/(2)=4+2a=4a,所以a=2.

故答案為：2

13.[-2,5]

【詳解】試題分析：p：〃-4<x<a+4,q-A<x<2,因為P是4的必要不充分條件，所以4

是P的真子集，gpa-4<l,2<a+4=>-2<?<5

考點：充要關(guān)系

【名師點睛】充分、必要條件的三種判斷方法.

1.定義法：直接判斷“若P則q”、“若q則P”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“p=q”為

真，則p是q的充分條件.

2.等價法：利用p=>q與非q今非p,q今p與非p今非q,p=q與非qTEp的等價關(guān)系，對于

答案第6頁，共13頁

條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法.

3.集合法：若AUB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B的

充要條件.

【分析】由求導(dǎo)公式求出函數(shù)/G)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件求出切線方程，再求

出y=g(尤)，設(shè)=于3-g(無)，求出導(dǎo)數(shù)化簡后利用分類討論和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)

性的關(guān)系，判斷出F(x)的單調(diào)性和最值，從而可判斷出“司一g(”的符號,再由“類對

x-x0

稱中心點”的定義確定“類對稱中心點”的坐標.

Y1Y2

【詳解】解：由題意得，f(x)==+—，/(xo)=—+Inx.(x>0),

ex2e

即函數(shù)y=/(x)的定義域。=(0,+°°),

所以函數(shù)y=/(x)在點PGo,/(xo))處的切線方程/方程為：

y-(+Inx.)=(4+—)(x-xo),

2/。e/

貝1g(%)=(與+——)(%-%0)+(-^r+lnx.),

eX。2/0

Y2X1r2

設(shè)F(x)=f(%)-g(x)=--+lnx-[(方o+—)(x-xo)+(—^-+Znx)],

2eexo2e0

則F(xo)=0,

x1x1x-x11

所以p(X)=fx)-g'(%)=4+——(4n-+—)a-----

1

exex0exx0

=3(f)+x」(f):一]

exx0xx0J

當OVxoVe時，F(xiàn)(%)在(xo,一)上遞減,

%

Axe(xo,—)時，F(xiàn)(x)<F(xo)=0,此時

%x—xQ

e2,.

當xo>e時，尸(x)在(一，xo)上遞減;

%

此時］(x)_g(x)<0,

AXG(一，xo)時，F(xiàn)(x)>F(xo)=0,

%0x—xQ

?'?y=F(x)在(0,e)U(e,+°°)上不存在“類對稱點”.

答案第7頁，共13頁

若XH,卻常金-1=與《＞。，則/⑴在(。，+8)上是增函數(shù),

當x>xo時，F(xiàn)(x)>F(xo)=0,當％Vxo時，F(xiàn)(x)<F(xo)=0,

故"X)-g(x)>O,

x-x0

即此時點尸是＞=/(無)的“類對稱點

綜上可得，y=F(x)存在“類對稱點”，e是一個“類對稱點”的橫坐標，

又/(e)=^+lne=^,所以函數(shù)/(x)的“類對稱中心點”的坐標是，,

故答案為：?

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)的最值問題、新定義的問題，考查

了分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，以及化簡變形能力，此題是難題.

71

5(匕

⑵姬

6

【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；

(2)根據(jù)三角形的周長，結(jié)合余弦定理求出左，再向量化即可得解.

【詳解】(1)依題意，—a(csinC+bsinB-asmA)=—absinC,

22

所以csinC+Z?sinB—asinA=bsinC,

由正弦定理可得，c2+b2-a2=bc,

由余弦定理，c2+b2-a2=2bccosA,解得cosA=g,

因為AE(O,TI),所以A=1；

(2)依題意，b+c=5-a=3,

因為/+/一匕。=(6+。)2一3人。=〃2,解得6C=1,

—?1—?—?

因為AO=5(A3+AC),

32—。

2

所以赤2」(通+市)2J~+L+°C=S+C)一兒=—

44446

所以4。=叵.

6

答案第8頁，共13頁

A

16.⑴?！?2〃+2

(2)80

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得｛%｝的首項和公差，由此求得知.

(2)利用分組求和法求得結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得S“的最大值.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則”=4一%=2,

又4+%=10,得4+q+2=10,解得卬=4,所以q九=4+2(幾一1)=2九+2.

⑵設(shè)等比數(shù)列低｝的公比為4,貝加=。3=8,4=。7=16,所以4=勺=?=2,4=%=4,

“23q

所以功=4x2,=2’=128,bn=4x2"一=2向，則c?=5an-b?=5(2〃+2)-2"”,

所以S.=5[4+6+…+(2〃+2)卜4(1_2")=5X〃(4+2W+2)_4(2"_I)=-2n+2+5H2+15H+4，

1—22

令/(x)=-2X+2+5d+15x+4(xeN+),則/'(x)=-2X+2In2+1Ox+15,

由于xwN+，當時，f'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當天。5時，f'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

且〃5)=-128+125+75+4=76,44)=—64+80+60+4=80,

所以當〃=4時，S,有最大值且最大值為S4=80.

17.(1)證明見解析

⑵巫

4

【分析】(1)先由線段關(guān)系證AC1_3C,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直，利用線線垂

直證線面垂直；

(2)建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面角即可.

【詳解】(1)由題意AB=2CD=2AD=23C=2,貝U/ABC=60。，

答案第9頁，共13頁

因為BC=1,AB=2,所以NACB=9(r,AC_LBC,

因為平面PAB_L平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,

且PA_LAB,PAu平面,

所以上4_L平面ABC。，

因為BCu平面ABC。，所以R4JLBC,

且ACp|PA=A,AC,PAu平面PAC,所以3C_L平面PAC,

又3Cu平面尸3C,所以平面PAC_L平面P3C；

(2)如圖，以A為原點，/，輪分別為x軸，V軸正方向，在平面A38內(nèi)過點A作平面

ABC的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，

所以衣=(1,0,0),通=PB=(-l,2,0),BC=

設(shè)平面PAD的一個法向量4=(x,_y,z),

及「AP=尤=0

則，_____.y也z,令z=-l,得4=(0,g,-l),

n,-AD=^-+—=0

設(shè)平面PBC的法向量％=(m,n,p),

n2-PB=-m+2n=0

則小品=4+與=0令P=1,得巧=(2),A/3,1)，

2_1

設(shè)平面尸AD與平面尸5c的夾角為，，貝"os6=

2^4-4

答案第10頁，共13頁

所以平面PAD與平面PBC夾角的正弦值為Vl-cos20=姮.

4

18.（1）作+>2=1（孫wo）

⑵"反弋

2%

X=

【分析】（1）設(shè)G（x,y）,M（Xo，%）,根據(jù)G為的重心，得，~T代入其+y；=9,

A

3

化簡即可求解.

（2）根據(jù)垂心的概念求得勺=石，設(shè)直線/方程，與橢圓聯(lián)立韋達定理，利用得

=T，將韋達定理代入化簡即可求解.

玉-V3x2

【詳解】（1）設(shè)G（x,y）,□（%,%）,則N（%,0）,因G為A6腑的重心,

_2%

X=~T~32

故有：，解得%=?,%=3y,代入片+乂=9,化簡得土+丁=1,

y=A24

13

又不%W0,故孫WO,所以G的軌跡方程為9+產(chǎn)=1（孫NO）.

（2）因H為AAB。的垂心，故有

1-0V3

所以k]=布,故設(shè)直線/的方程為y=J§x+7"（7"wl）,

9=雇TTF

丫2

與1+>2=1聯(lián)立消去丁得：13x2+Sy/3nvc+4m2—4=0,

由A=208—16機2>o得根2<13,

nm

設(shè)A（%,yJ,8（%，%），則用+%=一弋,中2=4L；4,

由AH_L5Q,得X.石.-j1=_],所以％2（%—月）+（豆%1+m）（君%2+加一1

=0,

所以4菁%2+6（機—1乂％+犬2）+m2_根=0,

所以4（4/—4^—24m（m—1）+13^m2—mj=0,化簡得5/+llm-16=0,

解得機=1（舍去）或加=-?（滿足A>0）,故直線/的方程為y=.

答案第11頁，共13頁

19.(1)

答案見詳解

(2)①(0,1