指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第03講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

（5類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2023年新I卷，第4題,5分指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)單調(diào)性

用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

2022年新I卷，第7題,5分比較指數(shù)幕的大小

比較對數(shù)式的大小

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握指數(shù)的運算及

指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5-6分

【備考策略】1.了解有理數(shù)指數(shù)幕、實數(shù)指數(shù)幕含義，掌握指數(shù)幕的運算性質(zhì).

2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念

3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

4.能結(jié)合指數(shù)函數(shù)比較指數(shù)式大小

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

知識點1根式的基本知識

知識點2指數(shù)的基本性質(zhì)

知識點3指數(shù)的基本計算

核心知識點

知識點4指數(shù)函數(shù)

知識點5對稱性

考點1指數(shù)與指數(shù)幕的運算

考點2指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

考點3指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

核心考點

考點4指數(shù)（型）函數(shù)的值域與最值

考點5指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

知識講解

1.指數(shù)的基本知識

（1）根式的基本性質(zhì)

①五的定義域為x20,我的定義域為xeR

②==,X'定義域為（xeT?）

[-X,x<0

③U=x，定義域為（X20）

@V7=x>定義域為（XCR）

⑤依Y=x，定義域為（xeR）

（2）指數(shù)的基本性質(zhì)

①零指數(shù)幕：?！?1（。40）;

②負整數(shù)指數(shù)累:=—（a^Q,p^N*y,

ap

tn___

③正分數(shù)指數(shù)幕:an-（a>0,加、neN*,且〃>1）;

—巴11

④負分數(shù)指數(shù)塞：a〃=——=—==（a>0,m>nG>1）

HLnm

an

（3）指數(shù)的基本計算

m

①同底數(shù)幕的乘法運算-an=am+n②同底數(shù)累的除法運算幺一=儲"一"

a

③累的乘方運算(#")"=a""④積的乘方運算(ab)"'=。"力

2.指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

一般地，函數(shù)y=/(a〉O且awl),xeR,叫做指數(shù)函數(shù)

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=axa>\Q<a<\

J\yx

/y^axy^a\―

-飛-y=l

圖(0,1)/------y=l

象/

01Xo]ix

定義域R

值域(0,+co)

過定點(0,1)

當x〉0時，y>l；當x〉0時，0<y<l；

性質(zhì)x<0Ht,0<y<lx<0時j〉1

在(-co,+co)上是增函數(shù)在(-co,+co)上是減函數(shù)

考點一、指數(shù)與指數(shù)塞的運算

典例引領(lǐng)

1.(2023全國?模擬預(yù)測)

1

A.-B.D.3

3

【答案】A

【分析】利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡計算即可.

1

-

3-

故選：A.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）若肛=3,則x

【答案】±2^/3

【分析】

分x>0/>0和x<0/<0兩種情況分類計算.

【詳解】當x>0/>0時,

當x<0,y<。時,=-A/孫—J孫=—2^3.

故答案為：±2百

3.(2022?北京?高考真題)已知函數(shù)/&)=￡,則對任意實數(shù)x,有()

A./(—x)+/(x)=0B./(f)-/(x)=。

C./(-x)+/(x)=lD./(-x)-/(%)=1

【答案】C

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

【詳解】i22X1

f(-x)+f(x}=——+—-----1----=-1,故A錯誤，C正確;

、7v7l+2-x1+2、1+2、1+2、

2）-?。?合-6=總1—2"-1=1--2-,不是常數(shù)，故BD錯誤;

1+2、2%+12、+1

故選：C.

即時檢尊L

1.（2024?上海寶山?二模）將向Z（其中。>0）化為有理數(shù)指數(shù)幕的形式為.

【答案】/

【分析】直接利用根式與分數(shù)指數(shù)哥的運算法則化簡求解即可

故答案為：fl4

2.（2023?山東?模擬預(yù)測）若---=4,則/+/的值為（）

A.8B.16C.2D.18

【答案】D

【分析】利用完全平方公式結(jié)合指數(shù)塞的運算性質(zhì)計算即可.

【詳解】解：因為人-4=4,

所以a2+a2—(tz-1—<71)2+2=42+2=18.

故選：D.

3.(2023?四川宜賓一模)計算:“6-2『-(O.25)X9+百xlg\=.

【答案】-273

【分析】根據(jù)根式、指數(shù)塞運算以及對數(shù)的定義運算求解.

=2-V3--x4-V3=-2V3,

即_(0.25尸X［七+V3xlg^=-2^/3.

故答案為：-2省.

考點二、指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)函數(shù)、=3￡與》=-'的圖象()

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于V軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于>對稱

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性即可判斷，對于兩個函數(shù)/(X)與g(x),如果它們的圖象關(guān)于原點對稱，即

g(-x)=-y(x)在定義域內(nèi)恒成立，則稱“X)與g(x)為中心對稱，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論.

【詳解】令函數(shù)了=/(尤)=3工/=8(%)=-3，

所以g(-x)=_g=_3*=_/(x)

即g(-x)=-〃x)，所以函數(shù)f(x)與g(x)的的圖象關(guān)于原點對稱，

即函數(shù)y=3、與y=的圖象的的圖象關(guān)于原點對稱，

故選：C.

2.(23-24高三上?河北衡水?開學(xué)考試)己知。＞0,則函數(shù)/(乃=優(yōu)一2。的圖象可能是()

【答案】AD

【分析】通過特值法，排除錯誤選項，通過。的取值，判斷函數(shù)的圖象的形狀，推出結(jié)果即可.

【詳解】由于當x=l時，/(l)=?-2a=-a＜0,排除B,C,

當。=2時，/(x)=2,-4,此時函數(shù)圖象對應(yīng)的圖形可能為A,

當時，/?=(1r-i,此時函數(shù)圖象對應(yīng)的的圖形可能為D.

故選：AD.

3.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測)函數(shù)〃苫)=/口-1)7-1的所有零點之和為()

A.0B.-1C.V3D.2

【答案】A

Y+1

【分析】令〃x)=0,即-x-l=0,構(gòu)造函數(shù)〉=片與函數(shù)y=-畫出函數(shù)圖象，可知兩個函

x-1

數(shù)圖象相交于兩點，設(shè)為W廣2，得/(X1)=/(-xJ=0,進而得到9=-&，即無］+無2=。

【詳解】由零點定義可知，函數(shù)的零點，就是方程/(x)=0的實數(shù)根，令/(x)=0,

Y-I-1

則e"(x-l)-x-l=0,顯然xwl,所以

x-1

構(gòu)造函數(shù)〉=二與函數(shù)＞=Y=-I-1，則方程e'V=4-=1的根，

x-1x-l

可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)圖象可知，兩個函數(shù)圖象相交于兩點，

所以此方程有兩個實數(shù)根，即函數(shù)/(》)=^(》-1)-》-1有兩個零點，

M+1X,+1

設(shè)為玉,三，所以eX"=—,ex-==

Xj-1x2-1

即y（xj=e』（七一1）一再一1=0,/（迎）=?。ü?-1）一/一1=0，

另外發(fā)現(xiàn)，將f代入，可得〃一xj=e/（-%一1）一（-%）-1=二^?+西一1=生?+王孝=0,

e12e1e1

所以-X]也是函數(shù)/（x）的零點，說明尤2=-玉，即X]+X2=O.

1.（22-23高二下?四川綿陽?期末）要得到函數(shù)了=22，T的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)》=4'的圖象（）

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移十個單位D.向右平移g個單位

【答案】D

【分析】利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)論.

【詳解】因為了=平=2"，221=22層），

所以，為了得到函數(shù)y=22M的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)＞=4、的圖象向右平移g個單位，

故選：D.

2.（23-24高三上?山西晉中?階段練習(xí)）（多選）在同一直角坐標系中，函數(shù)了=/+辦+“一1與了=/的圖象

y

【答案】AC

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論.

【詳解】當。＞1時，對應(yīng)的圖象可能為選項A；當0＜。＜1時，對應(yīng)的圖象可能為選項C.

故選：AC.

3.（2024?黑龍江?一.模）己知函數(shù)尸0?+6的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線＞=2,但又不與該直線相

交，則。。=（）

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【分析】由題意可得a+b=0且6=2,求出0,即可求解.

【詳解】因為函數(shù)尸〃x）=a（g）忖+6圖象過原點，所以*）。+6=0,

得。+%=0,又該函數(shù)圖象無限接近直線歹=2,且不與該直線相交，

所以b=2,貝!Ja=-2,

所以ab——4.

故選：C

考點三、指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性

典例引典

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)/（》）=2也引在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝IJ。的取值范圍是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+動

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)了=2,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（x）=2'（…）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)了=必尤-。）=（》-92一?在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此|21,解得心2,

所以。的取值范圍是［2,+co).

故選：D

2.(2024?寧夏銀川?三模)己知函數(shù)/@)=聲不，則下列說法不正確的是()

A.函數(shù)單調(diào)遞增B.函數(shù)值域為(0,2)

C.函數(shù)的圖象關(guān)于(0』)對稱D.函數(shù)的圖象關(guān)于(1,1)對稱

【答案】C

【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)

的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，〃2-x)與/(x)的關(guān)系，即可判斷CD.

X

【詳解】〃切=2號2x+2-2°2

-------=2--------

2X-1+12%-1+1

2

函數(shù)>=2—7,t=2x~i+1,則”1,

2

又內(nèi)層函數(shù)r=2、T+l在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)>=2-7在(1,+動上單調(diào)遞增,

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，故A正確；

22

因為所以。<R<2,則。<2-E<2.

所以函數(shù)/(x)的值域為(0,2),故B正確;

/(2-x)=^-=^—=^—,/(2-x)+/(x)=2,

I)2'-x+l2+2*2'-'+1

所以函數(shù)/(x)關(guān)于點(1,1)對稱，故C錯誤，D正確.

故選：C.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=3>2-3”,則滿足/(力+〃8-3力>0的x的取值范圍是()

A.(-℃,4)B.(-oo,2)C.(2,+oo)D.(-2,2)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=3=3\即可判斷g(x)為奇函數(shù)，又f(x)=g(x-2),可得析(x)圖象的對稱中心為

(2,0),則〃x)+〃4-x)=0,再判斷/(x)的單調(diào)性,不等式〃x)+〃8-3x)>0,即

/(8-3x)>/(4-x),結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】設(shè)g(x)=3-3T,xeR,貝|g(f)=3T-3--g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

又〃x)=3X-2-32T=3A2-3《刃=g(x-2),

則〃無)的圖象是由g(x)的圖象向右平移2個單位長度得到的,

所以圖象的對稱中心為(2,0),所以〃x)+〃4-x)=0.

因為y=3,在R上單調(diào)遞增，了=3一工在R上單調(diào)遞減，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，則/(x)在R上單調(diào)遞增，

因為J(x)+/(8-3x)>0=/(x)+f(4-x),

所以〃8-3x)>/(4-x),所以8-3x>4-x,解得x<2,

故滿足/(x)+〃8-3x)>0的x的取值范圍為(-8,2).

故選：B

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)=?1是R上的減函數(shù)，則°的取值

[l-a\x>l

范圍是()

A.(1,3]B.[2,3]C.[2,+8)D.艮+⑹

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)y=l-a*(a>0,awl)是減函數(shù)，所以。>1.

又因為函數(shù)>=/+(。-5)x+1圖像的對稱軸是直線x=1,

所以函數(shù)V=x2+(a-5)x+l在，co,與B上單調(diào)遞減，在+ooj上單調(diào)遞增.

a>\

5—a

又函數(shù)“X)是R上的減函數(shù)，所以三一21,解得24“43,

a—321—a

所以。的取值范圍是[2,3].

故選:B.

即時檢測

1.(2024?江西?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=3-明的一個單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-叫0)B.(-1,0)C,(0,1)D.(1,+⑹

【答案】C

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】令/=——2國，則》=31

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)t=x2-2|x|的單調(diào)遞減區(qū)間，

又函數(shù)《-X）=（-x）2-2|-x|=t（x）,

即函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，

結(jié)合圖象，如圖所示，

可知函數(shù)，=/-2忖的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,-1）和（0,1）,

即/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-嗎-1）和（0,1）.

2.（2024?福建福州?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/（可=3,辦在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是（）

A.（-℃,2]B.（-℃,4]C.[2,+oo）D.[4,+co）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)y=3,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間0,2）上單調(diào)遞減，

所以了=|2x-4在區(qū)間（1,2）單調(diào)遞減，所以^22,解得a".

故選：D.

3.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)/（耳=或1，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)〃x）單調(diào)遞增

B.函數(shù)/（x）值域為（0,2）

C.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于（01）對稱

D.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于（1,1）對稱

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A,根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解

函數(shù)的值域，即可判斷B,根據(jù)對稱性的定義，〃2-力與“X）的關(guān)系，即可判斷CD.

【詳解】=J+2-2=2――^―,

['2*7+12*7+12-1+1

2

函數(shù)y=2--,t=2x~l+1,則/>1,

又內(nèi)層函數(shù)/=2，一+1在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)>=2-7在(1,+s)上單調(diào)遞增，

所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故A正確；

因為2i+l>l，所以0<矢口<2,則。<2-5不<2,所以函數(shù)/(x)的值域為(0,2),故B正確；

〃2_x)=n：=」一=一一，/(2-x)+/(x)=2,所以函數(shù)〃尤)關(guān)于點(U)對稱，故C錯誤，D正

'21-x+l2+2*2X-1+1

確.

故選：ABD

4.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=J,則不等式的解集為()

——,x>0

、x+2

A.(-2,2)B.(0,+s)

C.(-oo,0)D.(-oo,-2)u(2,+oo)

【答案】A

【分析】判斷函數(shù)/'(x)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.

1

【詳解】/(x)=2，易知>=小在(-8,0)單調(diào)遞減，

——,x>02

、1+2

v=—二在(0,+8)單調(diào)遞減，且/(X)在x=0處連續(xù)，故“X)在R上單調(diào)遞減,

x+2

由/(/一1)>/(3),貝卜2T<3,解得-2<a<2,

故不等式/(1-1)>/(3)的解集為(-2,2).

故選:A

考點四、指數(shù)(型)函數(shù)的值域與最值

典例引領(lǐng)

L(23-24高三?階段練習(xí))已知函數(shù)=則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,值域

為.

【答案】(-叫。](0,2]

【分析】根據(jù)同增異減法則求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域.

【詳解】令無2-2x20,解得xN2或x〈0,

??J(x)的定義域為(2,0]U2+8),

令t=則其在(-叱0]上遞減，在2+s)上遞增,

又)=(J為減函數(shù)，故/(%)的增區(qū)間為(一鞏0].

=4五-12-1，??(；；€(0,2],故〃X)的值域為(0,2].

故答案為：(-8,。],(0,2].

2.(2024?上海松江?二模)已知0<〃<2,函數(shù)〉=「/1若該函數(shù)存在最小值，則實數(shù)

I2a\x>2

。的取值范圍是.

【答案】{a|O<a?g或。=1}

【分析】令g(x)=("2)x+4a+l,x￡(-<?,2],h(x)=2ax~',xe(2,+oo),分類討論。的取值范圍，判斷

g(x),〃(x)的單調(diào)性，結(jié)合/(x)存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案.

【詳解】由題意，令g(x)=(a-2)x+4a+l,xe(-<z>,2],h(x)=2ax~x,xe(2,+oo),

當0<a<l時，g(x)在(-叫2]上單調(diào)遞減，/z(x)在(2,+◎上單調(diào)遞減，則〃(x)在(2,+8)上的值域為(0,2a),

因為/(x)存在最小值，故需g(2)=(a-2)x2+4a+lW0,解得awg,

結(jié)合。<°<1,止匕時

2

當1<a<2時，g(x)在(-叫2]上單調(diào)遞減，h(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增,則h(x)在(2,+s)上的值域為(2a,+s),

因為/(%)存在最小值，故需g⑵(2〃，gp(a-2)x2+4a+l<2a,解得

這與l<a<2矛盾；

當a=l時，8(%)=-'+5在(-%2]上單調(diào)遞減，且在(f,2]上的值域為[3,+8),h(x)=2,此時存在最小值

2；

則實數(shù)。的取值范圍為{a[O<a〈g或。=1}.

故答案為：{a[0<a<；或。=1}.

3.(2024?四川成都?二模)已知函數(shù)〃x)=2"ji的值域為〃.若(1,+8)=M,則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.1公D.J+OO

B.

【答案】B

【分析】

對實數(shù)。分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.

【詳解】當a=0時，/（力=2母％（0,+4,符合題意；

當"0時，因為函數(shù)〃x）=22的值域為M滿足（1,+動cM,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)了="2-尤+1的最小值小于或等于零；

4〃一11

若Q〉0時，依題意有y=ax2-x+1的最小值-----<0,即0<。W—,

4a4

若〃<0時，不符合題意；

綜上：0<?<—,

4

故選：B.

即時啰!）

1.（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃幻=2-*+2工+3,則/⑴的最大值是.

【答案】16

【分析】求出f=-d+2x+3的范圍，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】由/（司=2-*+2，+3,而，=-/+2工+3=-（》-1）2+444,

因為了=2,單調(diào)遞增，所以>=2'424,則/*）的最大值是16.

故答案為：16

2.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）若函數(shù)〃x）=l+lgx（xe[，,100]）,則函數(shù)/（x）=納切-"，2）的值域為（）

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出，⑴的值域，再借助二次函數(shù)求出"（幻了-/（/）的值域,

最后利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.

【詳解】函數(shù)/■（無）=1+*在[5,100]上單調(diào)遞增，/（x）e[0,3],

令t=[/（x）]2-/（X2）=[/（x）]2-l-21gx=-2f（x）+1=[/（x）-l]2e[0,4],

而函數(shù)>=2,在[0,4]上單調(diào)遞增，則

所以函數(shù)寶（x）=的值域為[1,16].

故選：D

(a-l)r-1,x<l

3.（2024?河北保定?三模）已知〃幻=6>1）的值域為。，則。的取值范圍

a1[

XH---1,X>1

X

是（）

337

A.[-,2]c..D.[?2]

【答案】D

【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮崝?shù)。的取值范圍.

【詳解】①若

當xWl時，〃無）=（。-1）匚：在（-8,1］上單調(diào)遞減，此時卞+⑹，

當x>l時，f（JC）=x-i---1,當且僅當x=V^>1時，等號成立,

X

5、1

a——,

42

又函數(shù)/⑴的值域。滿足Dig,+s）,貝卜26一1日,解得*<2；

l<a<2,

②若a>2,

當xWl時，/3=（。-1）'-；在（-叱1］上單調(diào)遞增，此時/（x）e（-；,a-京,

當X>1時，f（X）=XH---1^2y［a—1,當且僅當X=V^>1時，等號成立，

X

又函數(shù)/（X）的值域。滿足。ug,+功，不合題意；

③當a=2時，/（x）=2，

XH---1,X〉1,

若X>1,有x+2一122拒-（當且僅當X=后時取等號）符合題意，

x2

7

綜上所述：-<6Z<2.

4

故選：D.

考點五、指數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

典例引領(lǐng)

1.(2024?云南?二模)若a=2兀-2b=6~lc=2^9則()

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)中間數(shù)2比較〃與。，根據(jù)中間數(shù)1比較6與。.

【詳解】因為。=27〉2=2,0=2；2，

所以。>。，因為6=6一1=^<1，c=2^>2°=T

所以c〉b,所以Q>C>6.

故選：D.

2.(2024?天津?一模)已知實數(shù)a,6,c滿足.=(g)=1,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

i11

【分析】根據(jù)條件，得到b=g)e,利用函數(shù)>=(])'的單調(diào)性，即可得到。<6<1,而C>1,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為得到6=(g)；又函數(shù)y=(；)"是減函數(shù)，

所以a=gj<6=(產(chǎn)<],又=；,得到C=log!；=log23>l,

所以Q<b<c,

故選：A.

3.(2024?寧夏銀川?三模)設(shè)，=嚴,6=3°，°=3吟則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/'(x)=x-l-Inx,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)性，可判斷0.3>In1.3,再結(jié)合指數(shù)函數(shù)>=3,的單

調(diào)性即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)〃x)=x-l-ln無，則((x)=?,

當x21時，r(x)>0,所以/(X)在區(qū)間[1,+⑹上單調(diào)遞增，

因此可得/(1.3)>/(1)=0,即/(1.3)=1.3_l_lnL3=0.3_lnl.3>0,

所以0.3>lnl.3,

又指數(shù)函數(shù)>=3*為單調(diào)遞增，可得3.>3°3>3m3,即6>c,

因為a=9°，2=3°">3°以=b,所以c<b<a.

故選：A.

1.(2024?四川?模擬預(yù)測)設(shè)。=0.5%6=0.4,c=l,l°\則()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.

【詳解】因為指數(shù)函數(shù)>=0.5、是單調(diào)減函數(shù)，所以05」<0.5°4<0.5°=1,

又由幕函數(shù)了=”在(0,+向上單調(diào)增函數(shù)，所以1=1口>05/>04」,

又因為指數(shù)函數(shù)y=1.1，是單調(diào)增函數(shù)，所以1」心>1.1。=1,

綜上可得：b<a<c,

故選：D.

2.(2023?天津?高考真題)^?=1.O1O5,Z)=1.O1O-6,C=O.605,則。，4c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】根據(jù)對應(yīng)易、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由歹=1.01、在R上遞增，則Q=1.01"<6=1.01°。

由尸”在［0,+oo)上遞增，則〃=1.01。$>c=O.605.

所以b>a>c.

故選：D

3.(2024?遼寧?一模)設(shè)。=—,b=2-e3,c=l—e3貝lj()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式e'Nx+l,可得6<見。<。；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得i+e4>［，則。<人即

可求解.

【詳解】對于函數(shù)/a)=e=x-1,f\x)=e-\,

令/'(%)<0=>x<0,/r(x)>0=>x>0,

所以函數(shù)，(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,內(nèi)))上單調(diào)遞增，

所以“X)111fa=〃0)=0,則/(x)N0,即e』+l.

11n_279

所以b=2-e3<2-(-+1)=-,c=l-e3<1-(--+1)=-.

12--1l~T~2-

由e2<8,得￡<8、2,所以丁，貝川+/=]+丁>2==下>屋，

'-e3e3Ve3e3

所以1_屋久2-媼，即c<6.

所以c<b<°.

故選：B

【點睛】方法點睛：對于比較實數(shù)大小方法：

(1)利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，

(2)利用中間值"1"或"0"進行比較，

(3)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進行判斷.

IA.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.(2024?陜西渭南?二模)設(shè)集合”=卜卜14》41},N==e*,x<0},則=

A.(0,1)B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

【答案】C

【分析】求出函數(shù)值域化簡集合N,再利用并集的定義求解即得.

【詳解】當xVO時，0<eTl,則N=(0,l],而川=[一1,1],

所以MUN=「1,1].

故選：c

2.(2024?河南?模擬預(yù)測)若a/eR,則"a>6"是"3"-3“>2〃-2?！钡?)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃苫)=3工+2工，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到3。+2">3%+2〃，故。>人

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(切=3"+2"，則/(x)在R上單調(diào)遞增，

所以3"-3,>2〃-2"。3"+2">3"+2"伍)oa>6.

故選：c.

3.（2024?湖南邵陽?三模）"0<a<l"是"函數(shù)〃x）=a=a（。>0且在R上單調(diào)遞減”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】分。>1和0<“<1兩種情況討論了（X）的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】若。>1,則/（x）的圖象為:

可知/（x）在R上單調(diào)遞增;

可知/（x）在R上單調(diào)遞減；

綜上所述：是"函數(shù)/（耳=優(yōu)-"（。>0且awl）在R上單調(diào)遞減”的充要條件.

故選：C.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=2W*aeR）為偶函數(shù)，則函數(shù)丁=/（x）的增區(qū)間為（）

A.（-l,+oo）B.（0,+8）

C.（-oo,-l）D.（一8,0）

【答案】B

【分析】由偶函數(shù)求得參數(shù)值，進而得表達式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.

【詳解】因為函數(shù)〃x）=2k+H（aeR）為偶函數(shù)，所以2卜"4=2-4,解得。=0，

所以函數(shù)/（工）=州=]j，%-°,其增區(qū)間為（0,+e）.

故選：B.

5.(2024?遼寧?一模)若函數(shù)/(x)=3-24?在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減,則。的取值范圍是()

A.B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+8)

【答案】A

【分析】利用"同增異減"判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】設(shè)〃")=3",u=-2x1+ax,則〃“)=3"在(-叫+?))上單調(diào)遞增.

因為/3=3口能在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)"=-2x2+ax在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：解得。44.

故選：A

6.(2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)己知函數(shù)〃x)=[萬]"<0是奇函數(shù)，則x>0時，g(x)的解析式為()

g(x),x>0

A.一出B.出C.一2、D.2工

【答案】C

【分析】設(shè)x>0,利用x<0時，=g:和/(-x)=-/(x)可求得g(x)的解析式.

【詳解】設(shè)x>。，則-x<0,

所以〃r)=]J=2'，

又函數(shù)是奇函數(shù)，所以〃f)=-〃x),BP-/W=2^/(X)=-2\X>0.

gpg(x)=-2\

故選：C

7.(2024?浙江紹興,三模)已知函數(shù)〃2x+l)為偶函數(shù)，若函數(shù)g(x)=/(x)+2「，+2i-5的零點個數(shù)為奇

數(shù)個，則/⑴=()

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【分析】由函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=l對稱得零點關(guān)于x=l對稱，但g(x)的零點個數(shù)為奇數(shù)個可得答案.

【詳解】因為函數(shù)〃2x+l)為偶函數(shù)，所以

所以>=〃x)的圖象關(guān)于x=1對稱，

令力(x)=21+2^-5,則力(2—x)=+2修一5=〃(x),

可得函數(shù)〃(無)=2』+21-5的圖象關(guān)于x=l對稱，

所以函數(shù)g(x)=/(x)+2i+2”-5的圖象關(guān)于x=l對稱，

則函數(shù)g(x)的零點關(guān)于x=1對稱，但g(x)的零點個數(shù)為奇數(shù)個,

則〃1)=0.

故選：D.

二、填空題

8.(2024?山東濟寧?三模)已知函數(shù)/(x)=/5'X"0,則.

log4x,x>0

【答案】亞

【分析】利用已知的分段函數(shù)，可先求〃g)=-g,再求</]]|=/，￡|=后即可.

【詳解】因為/'(x)=/5)，X~0,所以/(￡|=唾4：=-嗟42==.

log4x,x>0,

故答案為：V2.

9.(2024?全國?模擬預(yù)測)寫出一個同時滿足下面條件①②的函數(shù)解析式/\x)=

①/(占+々f(%)/(彳2)；②/(X)的值域為(0,+8).

【答案】2,(答案不唯一)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和指數(shù)運算即可得到答案.

【詳解】對于任意指數(shù)函數(shù)函數(shù)/(司=優(yōu)(。>0且。片1),

條件①，對于任意Xi^eR,都有/(占)/(%)=/1-優(yōu)2=優(yōu),+*2=/(再+%),

條件②，/(x)是指數(shù)函數(shù)，所以/(x)的值域為(0,+8),

例如：函數(shù)/(x)=2*為指數(shù)函數(shù)，滿足條件①②.

故答案為：2,(答案不唯一).

10.(23-24高一上?四川攀枝花,階段練習(xí))若命題"*eR,2工-a=0"為假命題，則實數(shù)。的取值范圍

為.

【答案】{a|a〈0}

【分析】根據(jù)已知條件，推得VxeR,2,-awO為真命題，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域的范圍，即可求解.

【詳解】命題FxeR,2"-a=0"為假命題,

則VxeR,2,-aw0為真命題，又2*>0

則aW0,

故實數(shù)。的取值范圍為{a|aV0}.

故答案為：{?1?<0}.

能力提升,

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=/匕的圖象關(guān)于點對稱，貝壯=（）

A.1B.2C.eD./

【答案】C

【分析】利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得。=e.

【詳解】由對稱中心性質(zhì)可知函數(shù)/（x）滿足〃x）+/（2-x）=2/⑴，

即一'一+——=—,

eA+aex+ae+a

整理可得e3r+ex+1+2ae=2e2+aex+ae2T,即e（e"'+e'-2e）=a（e'+e"-2e）,

解得a=e.

故選：C

2.（2024?貴州畢節(jié)?三模）已知函數(shù)〃尤）=13是奇函數(shù)，若/X2023）>/（2024）,則實數(shù)。的值為（）

e+a

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.

【詳解】因為函數(shù)〃尤）=吐巴是奇函數(shù)，

e+a

e'—Q1—ae”e-aa-Q

所以〃f)==一/(%)=-

e~x+a1+aexex+aex+a

解得。=±1,

又y(x)=2ex+a-2a12a

-----------=1---：—

e'+Qe+Qe+a

所以當?！?時，函數(shù)為增函數(shù)，當”0時，函數(shù)為減函數(shù),

因為“2023)>“2024),

所以"0,故。=一1.

故選：B

3.（2024?北京西城?三模）已知函數(shù)/（、）=2）若VX],%￡R，且占<%2，則下面結(jié)論錯誤的是（

A.〃不)<〃/)B./^!^<"匹)尸)

c./(中2)=/(%)+/3)D./