2024-2025學(xué)年人教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末必刷壓軸60題（原卷版）

期末真題必刷壓軸60題（18個考點專練）

一.塞的乘方與積的乘方（共1小題）

1.（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀下列材料：

一般地，幾個相同的因數(shù)。相乘a?a…a記為人如2X2X2=23=8,止匕時，3叫做以2為底8的對數(shù),

‘n個"

記為log28（即log28=3）.一般地，若a"=b（a>0且b>0）,則“叫做以°為底6的對數(shù)，記為

log仍（即log，="）.如34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（BPlog381=4）.

（1）計算以下各對數(shù)的值：

log24=,log216=,log264=.

（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系

式；

（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎？

\ogaM+\ogaN=；（a>0且aWl,M>0,N>0）

（4）根據(jù)塞的運算法則：。%/="計”以及對數(shù)的含義證明上述結(jié)論.

二.多項式乘多項式（共1小題）

2.（2023春?安徽期末）甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+6）.甲由于把第一個多項式中

的“+〃”看成了“-a”,得到的結(jié)果為6/+llx-10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)

果為2?-9x+10.

（1）求正確的。、6的值.

（2）計算這道乘法題的正確結(jié)果.

三.完全平方公式的幾何背景(共1小題)

3.(2022秋?西崗區(qū)校級期末)【探究】

若x滿足(9-尤)(尤-4)=4,求(4-尤)2+(%-9)2的值.

設(shè)9-x=a,尤-4=6,貝U(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,

(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+6)2-2ab=52-2X4=17；

【應(yīng)用】

請仿照上面的方法求解下面問題：

(1)若x滿足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值；

【拓展】

(2)已知正方形ABC。的邊長為無，E,尸分別是A。、OC上的點，且AE=1,CF=3,長方形EMFD

的面積是8,分別以。尸為邊作正方形.

①MF=,DF=；(用含x的式子表示)

②求陰影部分的面積.

四.整式的除法(共1小題)

4.(2022秋?海淀區(qū)校級期末)已知a,b,c為實數(shù)，且多項式f+a?+bx+c能被多項式尤2+3%-4整除,

(1)求4a+c的值；

(2)求2a-26-c的值；

(3)若a,b,c為整數(shù)，且c2a>l,試確定a,b,c的值.

五.因式分解-十字相乘法等(共1小題)

5.(2023春?渠縣校級期末)閱讀并解決問題.

對于形如？+2辦+/這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成(x+a)2的形式.但對于二次三項式

x2+2ax-3a2,就不能直接運用公式了.此時，我們可以在二次三項式7+2公-3/中先加上一項使

它與7+2融的和成為一個完全平方式，再減去整個式子的值不變，于是有：

x1+2ax-3a1—(d+Zor+J)-cT-3a2—<ix+a)2-(2a)2—(無+3a)(x-a).

像這樣，先添-適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配

方法”.

⑴利用“配方法”分解因式：a2-6a+8.

(2)若a+6=5,ab—6,求：①/+廬；②/十川的值.

(3)已知尤是實數(shù)，試比較，-4x+5與-/+4尤-4的大小，說明理由.

六.因式分解的應(yīng)用(共3小題)

6.(2022秋?平城區(qū)校級期末)綜合與實踐

如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為6的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長

方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為Si,圖2中陰影部分面積為S2.

(1)請直接用含。和b的代數(shù)式表示Si=,&=；寫出利用圖形的面

積關(guān)系所得到的公式：(用式子表達).

(2)依據(jù)這個公式，康康展示了“計算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)”的解題過程.

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)

(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1.

在數(shù)學(xué)學(xué)習中，要學(xué)會觀察，嘗試從不同角度分析問題，請仿照康康的解題過程計算：2(3+1)(32+1)

(34+1)(38+1)(316+1)+1.

(3)對數(shù)學(xué)知識要會舉一反三，請用(1)中的公式證明任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù).

圖1圖2

7.(2022秋?江北區(qū)校級期末)如果一個四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位

數(shù)字與十位數(shù)字的和，個位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然

數(shù)4312,其中3>1,4=3+1,2=3-1,所以4312是親密數(shù)；

（1）最小的親密數(shù)是,最大的親密數(shù)是;

（2）若把一個親密數(shù)的千位數(shù)字與個位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個親密數(shù)的友誼數(shù)，請證明任意一

個親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；

（3）若一個親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請求出這

個親密數(shù).

8.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）若一個整數(shù)能表示成次+射（0、》是正整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“豐

利數(shù)例如，2是''豐利數(shù)"，因為2=12+廣，再如，M=x1+2xy+2y2=（尤+y）2+y2（尤+y,y是正整數(shù)），

所以M也是“豐利數(shù)”.

（1）請你寫一個最小的三位“豐利數(shù)”是,并判斷20“豐利數(shù)”.（填是或不是）；

（2）已知5=/+/+2式-6>左（尤、y是整數(shù)，4是常數(shù)），要使S為“豐利數(shù)”，試求出符合條件的一個左

值（10WA<200）,并說明理由.

七.分式的加減法（共1小題）

9.（2022秋?固始縣期末）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱

2

這樣的分式為真分式.例如，分式一土，是真分式.如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣

3

x+2X-4X

的分式為假分式.例如，分式立L工二是假分式.一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和.例

X-lx+1

如，x+jJx-l）+2=1^g.

X-1X-lX-1

（1）將假分式2■化為一個整式與一個真分式的和；

x+l

2

（2）若分式三-的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值.

x+l

八.分式的化簡求值（共2小題）

2

10.（2022秋?鐵嶺縣期末）先化簡，再對a取一個適當?shù)臄?shù)，代入求值.把1-空W+a-6a+9

a-3a+2a2_^

11.（2022秋?平城區(qū)校級期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，

則稱這個分式為“和諧分式”.如：x+l=xzl12=xzl+^=1+2；2xz3=2x+2-5=2x+2+^5

X-lX-lX-lX-lx-1x+lx+lx+lx+l

=2+三，則2旦和紅3都是“和諧分式”.

x+1X-lx+1

（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是（填序號）；

2

①迎②—；③絲

x2x+1y2

22

（2）將“和諧分式"a-2a+3化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為:aYa+M=

a-la-l

2

（3）應(yīng)用：先化簡配電-0+工并求X取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù).

2

x+1xx+2x

九.分式方程的應(yīng)用（共11小題）

12.（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進

行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)

定天數(shù)的3倍.如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天.

（1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？

（2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民

用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成.則該工程施工費用是多少？

13.（2022秋?沙洋縣校級期末）甲、乙兩車站相距450A”，一列貨車從甲車站開出3/?后，因特殊情況在中

途站多停了一會，耽誤了30加%后來把貨車的速度提高為原來的1.2倍，結(jié)果準時到達乙站，求這列貨

車原來的速度.

14.（2022秋?湖里區(qū)校級期末）甲、乙兩輛汽車同時分別從A、8兩城沿同一條高速公路駛向C城.已知

A、C兩城的距離為450千米，B、C兩城的距離為400千米.

（1）若甲車比乙車的速度快12千米/時，結(jié)果兩輛車同時到達C城.求兩車的速度.

（2）設(shè)乙車的速度尤千米/時，甲車的速度（x+a）千米/時，若x=10a,則哪一輛車先到達C城，并說

明理由.

15.（2022秋?新化縣期末）某工廠對零件進行檢測，引進了檢測機器.己知一臺檢測機的工作效率相當于

一名檢測員的20倍.若用這臺檢測機檢測900個零件要比15名檢測員檢測這些零件少3小時.

（1）求一臺零件檢測機每小時檢測零件多少個？

（2）現(xiàn)有一項零件檢測任務(wù)，要求不超過7小時檢測完成3450個零件.該廠調(diào)配了2臺檢測機和30名

檢測員，工作3小時后又調(diào)配了一些檢測機進行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺檢測機才能完成任務(wù)？

16.（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進兩市經(jīng)濟發(fā)展.山西省委決定修建“太忻

大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中.甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設(shè)，甲隊單獨施工30天完

成該項工程的工，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程.

3

（1）若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程?

(2)若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程?

17.(2022秋?長沙期末)某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊合作20天可完成，甲工程隊單獨施工完成

的天數(shù)是乙工程隊單獨施工完天數(shù)的2倍.

(1)求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？

(2)甲工程隊獨做a天后，再由甲、乙兩工程隊合作天(用含。的代數(shù)式表示)

可完成此項工程；

(3)如果甲工程隊施工每天需付施工費1萬元，乙工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，甲工程隊至少

要單獨施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊合作施工完成剩下的工程，才能使施工費不超過64萬元？

18.(2022秋?青云譜區(qū)期末)一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司單獨完成此項

工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍.

(1)甲、乙公司單獨完成此項工程，各需多少天？

(2)若已知甲乙合做完成此項工程共需費用102000元，并且乙公司每天費用比甲公司每天費用少1500

元，分別計算甲、乙單獨完成此項工程各需多少費用并選擇合理的施工方案.

19.(2023春?新吳區(qū)期末)某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降.今

年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為

100萬元，今年銷售額只有90萬元.

(1)今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？

(2)為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，己知A款汽車每輛進價為7.5萬元,

B款汽車每輛進價為6萬元，公司預(yù)計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15

輛，有幾種進貨方案？

（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開8款汽車的銷路，公司決定每售出一輛8款汽車，返還

顧客現(xiàn)金。萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，。值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？

20.（2023春?開江縣校級期末）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場.現(xiàn)有甲、乙

兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲廠單獨加工這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完這批產(chǎn)品多用20天，而甲

工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工數(shù)量的2,公司需付甲工廠加工費用每天80元，需付乙工廠加工

3

費用每天120元.

（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少個新產(chǎn)品？

（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個廠家單獨完成，也可以由兩個廠家合作完成，在加工過程

中，公司派一名工程師到廠進行技術(shù)指導(dǎo)，并負擔每天10元的午餐補助費，請你幫助公司選擇一種既省

時又省錢的加工方案，并說明理由.

21.（2022秋?扶溝縣校級期末）在我市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標，經(jīng)測算：甲

隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.

（1）乙隊單獨完成這項工程需要多少天？

（2）甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元.若該工程計劃在70天內(nèi)

完成，在不超過計劃天數(shù)的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成

該工程省錢？

22.（2022秋?安順期末）周末某班組織登山活動，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂

進發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進同一路段所用的時間之比2：3.

（1）直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；

（2）當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)?/p>

路程有多遠？

（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達山頂后休息

片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇，請你先根據(jù)以上情景提出一個相應(yīng)的問題，再給予

解答.

（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件.）

一十.三角形內(nèi)角和定理（共11小題）

23.（2022秋?棗陽市期末）如圖，在△ABC中NA=40°,/B=72°,CE平分NACB,CDLABD,DF

_LCE于R求NC。尸的度數(shù).

AEDB

24.(2022秋?榆次區(qū)校級期末)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習用品一一圓規(guī).我們

不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，

(1)觀察“規(guī)形圖”，直接寫出/BOC與/A、/B、NC之間的關(guān)系：；

(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XFZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過點8、C,ZA

=42°,貝1|NABX+/ACX=°；

②如圖3,￡>C平分EC平分若ND4E=40°,ZDBE=140°，則NOCE=°；

③如圖4,ZABD,NACD的10等分線相交于點Gi、G1…、G),若N8￡)C=142°,ZBGiC=70°,

則NA=°.

25.(2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末)如圖1,一張三角形ABC紙片，點。，E分別是AABC邊上兩點.

研究(1)：如果沿直線DE折疊，使點A落在CE上的點A處，則N8O4與NA的數(shù)量關(guān)系

是;

研究(1)：如果折成圖2的形狀，猜想/8D4,/CEA和/A的數(shù)量關(guān)系是；

研究(3)：如果折成圖3的形狀，猜想NCEA和NA的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由.

BBB

圖1

26.（2022秋?和平區(qū)校級期末）【數(shù)學(xué)模型】

如圖（1）,AD,8c交于。點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180?！?，不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)

系：@ZDOC^ZAOB；②/。+NC=/A+NB.

【提出問題】

分別作出和乙BC。的平分線，兩條角平分線交于點E,如圖（2）,NE與ND、之間是否存在

某種數(shù)量關(guān)系呢？

【解決問題】

為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究.已知NBA。的平分線與的平分線交于點

E.

(1)如圖(3),若AB〃CD,Z￡)=30°,ZB=40°,則/E=.

(2)如圖(4),若AB不平行CD,ZD=30°,NB=50°,則/￡的度數(shù)是多少呢？

易證NO+/1=/E+N3,ZB+Z4=ZE+Z2,請你完成接下來的推理過程：

/.ZD+ZI+ZB+Z4=,

:CE、AE分別是NBC。、N3A。的平分線，

：.Z1=Z2,Z3=Z4.

：*24E=,

又：/。=30°,ZB=50°,

NE=度.

(3)在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖(2),直接寫出NE與N。、NB之間的數(shù)量關(guān)系

是：?

【類比應(yīng)用】

如圖(5),的平分線AE與NBCZ)的平分線CE交于點E.

已知：ND=a、N3=B，(a<p)則NE=_______________________(用a、0表示).

「叁

三士口

BABABABA^

圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)圖(5)

27.(2022秋?大竹縣校級期末)如圖,在△ABC中，平分NA4C,尸為線段上的一個動點，PE±AD

交直線8c于點E,若/8=35°,ZACB=S5°.

(1)求/D4C的度數(shù)；

(2)求NE的度數(shù).

A

28.（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，是BC上的高，AE■平分NBAC,NB=75°,NC=

45°,求/D4E與乙4EC的度數(shù).

29.（2022秋?平橋區(qū)校級期末）如圖，為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若NEBA=32°,Z

AEB=70°.

（1）求/CA。的度數(shù)；

（2）若點尸為線段BC上任意一點，當為直角三角形時，則乙BEF的度數(shù)為.

30.（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習用品--圓規(guī).我們不妨

把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/BOC與NA、NB、/C之間的關(guān)系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XEZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過點8、C,ZA

=40°,貝！J/ABX+/ACX=0；

②如圖3,￡>C平分EC平分NAEB,若ND4E=40°,/DBE=130°,求/。CE的度數(shù)；

③如圖4,ZABD,NACZ)的10等分線相交于點Gi、G1…、G),若N8Z)C=133°,NBGiC=70：

求NA的度數(shù).

31.（2022秋?高新區(qū)校級期末）敘述并證明“三角形的內(nèi)角和定理”.（要求根據(jù)下圖寫出已知、求證并證

明）

32.（2022秋?開江縣校級期末）如圖，在△ABC中，CDLAB,垂足為。，點E在BC上，EF±AB,垂足

為尸，N1=N2.

（1）試說明OG〃BC的理由；

（2）如果N8=34°,且/ACZ）=47°,求/3的度數(shù).

33.(2022秋?渠縣校級期末)圖(1)是我們常見的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面請你解

決以下問題:

(1)觀察如圖(1)“箭頭圖”，試探究/8OC與NA、NB、/C之間大小的關(guān)系，并說明理由;

(2)請你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個問題：

①如圖(2),把一塊三角板XFZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過點8、C.若/A=

50°,則/A8X+NACX=

②如圖(3),ZABD,NAC。的五等分線分別相交于點Gi、S、G3、G4,若/BZ)C=135°,NBGiC=

67°,求/A的度數(shù).

一十一.三角形的外角性質(zhì)(共3小題)

34.(2022秋?萬全區(qū)期末)如圖，在△ABC中，NB=40°,NC=70°,是△ABC的角平分線，點￡

在8。上，點/在CA的延長線上，EF//AD.

(1)求的度數(shù).

(2)求/尸的度數(shù).

35.(2022秋?建平縣期末)如圖，己知：點P是△ABC內(nèi)一點.

(1)求證：ZBPOZA；

(2)若尸2平分/ABC,PC平分NA=40°，求NP的度數(shù).

36.(2022秋?黃石港區(qū)期末)已知如圖/8=/C,Z1=Z2,ZBAD=40°,求/EDC度數(shù).

一十二.全等三角形的判定與性質(zhì)(共13小題)

37.(2022秋?青秀區(qū)校級期末)如圖，在平面直角坐標系中，A(-2,0),B(0,3),C(3,0),D(0,

2).

(1)求證：AB=CDS.AB1CD；

(2)以A為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABE,過點E作EFLx軸于點F,求點尸的坐標；

(3)若點尸為y軸正半軸上一動點，以AP為直角邊作等腰直角三角形AP。，NAPQ=90°,QR心軸

于點R,當點P運動時，OP-QR的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由.

38.(2022秋?廣水市期末)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點.A、8兩點的坐標分別為A(m,

0)、B(0,〃)，且lm-n-3IW2n-6=0,點尸從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，

設(shè)點P運動時間為f秒.

(1)求OA、08的長；

(2)連接尸8,若△POB的面積不大于3且不等于0,求f的范圍；

(3)過P作直線的垂線，垂足為》直線與y軸交于點E,在點P運動的過程中，是否存在這

樣的點P,使AEOP咨AAOB?若存在，請求出f的值；若不存在，請說明理由.

39.(2022秋?蒼梧縣期末)如圖1,△ABC和△￡(口?都是等腰直角三角形，ZACB^ZDCE^90°,E在

線段AC上，連接4。，8E的延長線交于凡

(1)猜想線段BE,A。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：(不必證明)；

(2)當點E為△ABC內(nèi)部一點時，使點。和點E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變.

①請你在圖2中補全圖形；

②（1）中結(jié)論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

40.（2022秋?興隆縣期末）【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

E

圖1圖2

如圖1,△ABC中，若A8=8,AC=6,求BC邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,

得到了如下的解決方法：延長到點E,使。請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△AOC絲/XEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得AQ的取值范圍是.

A.6<AD<8B.6<A￡)<8C.1<AD<7D.1WAOW7

【感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和

所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,4。是△ABC的中線，BE交AC于E,交于RS.AE=EF.求證：AC=BF.

41.(2022秋?宜春期末)【問題情境】如圖，在平面直角坐標系中，點A(0,m),B(n,0),且(m-n)

2+“2-4"+4=O,連接AB,點P、點。是x軸上的動點，5.OP^BQ.連接A。，過。點作于

點E,交直線AB于點。，連接。尸，試問在運動過程中，N2PD與NA。。是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)

系.

(1)直接寫出點A的坐標為,點B的坐標為

(2)【深入探究】如圖1,當點P、點。在線段上，且尸點在。點的左側(cè)時.

①求證：ZDOB=ZQAO；

②試猜想/2尸。與/AQ。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【拓展應(yīng)用】當點P在8點右側(cè)，點。在x軸負半軸上運動時，若/AQO=a,用a表示NBPD

圖1備用圖1備用圖2

42.(2022秋?沈河區(qū)期末)AABC,AB=AC,點。在線段BC上，點廠在射線上，連接CF作3E〃

CF交射線AD于E,ZCFA^ZBAC=a.

(1)如圖1,當a=70°時，/ABE=15°時，求的大小；

(2)當a=90°,A8=AC=8時,

①如圖2.延長BR當BF=BA,求CF的長;

②若AZ)=5衣，直接寫出CF的長.

圖1圖2

43.(2022秋?長壽區(qū)期末)已知：點。到△A8C的兩邊AB,AC所在直線的距離相等，MOB=OC.

(1)如圖1,若點。在邊BC上，過點O分別作OE_LA8,OFLAC,E,尸分別是垂足.求證：LOEB

段AOFC；

(2)如圖2,若點。在△ABC的內(nèi)部，求證：AB^AC；

(3)若點。在AABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示.

44.(2022秋?東西湖區(qū)校級期末)如圖，在平面直角坐標系中，點4(0,a),點、B(b,0),點C(-3,

0),且°、6滿足/-6a+9+|a-例=0.

(1)點A的坐標為,點B的坐標為；

(2)求證：AB=AC；

(3)若/CAB=90°,過點A作射線/(射線/與邊8c有交點)，過點8作8。，/于點。，過點C作

CE，/于點E,過點E作EFLDC于點尸交y軸于點G.

①求證：AE=BD；

②求點G的坐標.

45.(2022秋?東西湖區(qū)校級期末)如圖，已知△4BC中，AC=CB=20cs,16cm點。為AC的中點.

(1)如果點尸在線段A8以6on/s的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段BC上由點8向C點

運動.

①若點。的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，與△BQP是否全等？說明理由；

②若點。的運動速度與點尸的運動速度不相等，當點0的運動速度為多少時，能夠使△APO與△BQP

全等？

(2)若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC

三邊運動，求經(jīng)過多長時間點尸與點。第一次在AABC的哪條邊上相遇？

46.(2022秋?金灣區(qū)期末)如圖1,已知點A(a,0),點、B(0,b),且a、b滿足-6|=0.

(1)求A、8兩點的坐標；

(2)若點C是第一象限內(nèi)一點，且/OCB=45°,過點A作A。，。。于點H求證：FA=FC；

(3)如圖2,若點。的坐標為(0,1),過點A作AELA。，且AE=A。，連接8E交無軸于點G,求G

點的坐標.

y

B

DD

0\GJA.x

O

圖1圖2V

F.

47.（2022秋?鹽山縣校級期末）如圖,CDLAB,BELAC,垂足分別為D、E,BE、CD交于點O,OB=

OC.求證：Z1=Z2.

A

48.（2022秋?廣水市期末）如圖，在△ABC中，AB^CB,NABC=90°,。為AB延長線上一點，點E在

8C邊上，且連接AE,DE,DC.

(1)求證：AABE^ACBD；

(2)若/CAE=30°,求/EZJC的度數(shù).

A

49.（2022秋?靈寶市校級期末）（1）在圖1中，已知NMAN=120°,AC平分/MAN.ZABC^ZADC^

90°,則能得如下兩個結(jié)論：①DC=BC；②AO+48=AC.請你證明結(jié)論②；

（2）在圖2中，把（1）中的條件“NABC=NA￡）C=90°”改為NABC+NAOC=180°,其他條件不

變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

一十三.等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）

50.（2022秋?金華期末）如圖，在△ABC中,ZABC^2ZACB,為△ABC的角平分線;

（1）若則/A的度數(shù)為0（直接寫出結(jié)果）;

（2）如圖1,若E為線段BC上一點，ZDEC=ZA；求證：AB=EC.

（3）如圖2,若E為線段BD上一點，/DEC=NA,求證：AB=EC.

圖1圖2

一十四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

51.（2022秋?明水縣校級期末）（1）如圖①，在△ABC中，BF,CP分別平分乙48C,ZACB,過點產(chǎn)作直

線平行于8C,分別交AB,AC于點。，E,求證：DE=BD+CE；

（2）如圖②，若點F是/ABC的平分線和外角/ACG的平分線的交點，其他條件不變，請猜想線段DE,

DB,EC之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想.

一十五.等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）

52.（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖1,點、P、Q分別是邊長為4°機的等邊△ABC邊AB、上的動點，點產(chǎn)

從頂點A,點0從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為lczn/s,

（1）連接A。、CP交于點則在尸、。運動的過程中，NCMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不

變，則求出它的度數(shù)；

(2)何時APB。是直角三角形？

(3)如圖2,若點尸、。在運動到終點后繼續(xù)在射線A3、BC上運動，直線A。、CP交點、為M,則/CMQ

變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

圖1

53.(2022秋?上杭縣校級期末)如圖△ABC為等邊三角形，直線?！?。為直線BC上一點，NADE交

直線a于點E,且/A￡)E=60°.

(1)若。在2C上(如圖1)求證a)+CE=CA；

A

Aa

圖1

(2)若。在CB延長線上，CD、CE、CA存在怎樣數(shù)量關(guān)系，給出你的結(jié)論并證明.

一十六.多邊形（共1小題）

54.（2022秋?西城區(qū)期末）在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，如果一個凸多邊形的頂點都是網(wǎng)格線交點，

我們稱其為格點凸多邊形，并記該格點多邊形的面積為S