整式與因式分解-2023年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析）

專(zhuān)題03整式與因式分解

L整式部分主要考查整式的相關(guān)概念、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出

現(xiàn)；

2.國(guó)式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn)中

進(jìn)行考查.

3.主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、,分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等.

導(dǎo)

圖

定義由系蛔字母的積式子

系

數(shù)

式數(shù)字因數(shù)

次

數(shù)

所有字母的指數(shù)和

定義-幾個(gè)單項(xiàng)式的和

項(xiàng)-每個(gè)則式

常數(shù)項(xiàng)一不含字母的項(xiàng)

次數(shù).次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)

同類(lèi)項(xiàng):字母相同

相同字母的指數(shù)也相同

合并同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)相同

'字母砥數(shù)不變

++工=如果括等外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同

去括虧

如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反

止騷去括號(hào)

“合并同類(lèi)項(xiàng)

同底數(shù)幕乘法

幕的乘方

幕的運(yùn)算

積的乘方

同底數(shù)相除

單X單

單X多

整式乘法

一般多項(xiàng)式相乘

多X多平方差公式

二特殊多項(xiàng)式相乘

完全平方公式

單+單

整式除法

多?單

提公因式法

平方差公式

二公式法

完全平方公式

在重點(diǎn)考向

一、代數(shù)式

概念：用基本的運(yùn)算符號(hào)（運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方與開(kāi)方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代

數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.

【注意】

1.代數(shù)式中除了含有字母、數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)外還可以有括號(hào)。

2.代數(shù)式中不含有=、＜、＞、W等

3.對(duì)于用字母表示的數(shù)，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，就應(yīng)理解為它可以表示任何一個(gè)數(shù)。

代數(shù)式的分類(lèi)：

一單項(xiàng)式

一麗一?'多項(xiàng)式

代蛔的分類(lèi)

■無(wú)理式

列代數(shù)式方法

列代數(shù)式首先要確定數(shù)量與數(shù)量的運(yùn)算關(guān)系，其次應(yīng)抓住題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如和、差、積、商、平方、倒

數(shù)以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關(guān)鍵詞語(yǔ)，反復(fù)咀嚼，認(rèn)真推敲，列好一般的代數(shù)式就不太難了.

列代數(shù)式時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題

（1）數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)常省略“X”號(hào)或用“.

（2）數(shù)字通常寫(xiě)在字母前面.

（3）帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)要化成假分?jǐn)?shù).

（4）除法常寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式.

代數(shù)式的值

一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.

單項(xiàng)式

概念：在代數(shù)式中，若只含有乘法（包括乘方）運(yùn)算，或雖含有除法運(yùn)算，但除式中不含字母的一類(lèi)代數(shù)式叫

單項(xiàng)式（單項(xiàng)式中“只含乘除，不含加減”）.

【注意】：

1）圓周率"是常數(shù)，所以,也是常數(shù)；

2）當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或一1時(shí)，“1”通常省略不寫(xiě)；

3）單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫(xiě)成假分?jǐn)?shù).

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項(xiàng)式的數(shù)字系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)單項(xiàng)式的系數(shù)；

單項(xiàng)式的次數(shù)：系數(shù)不為零時(shí)，單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，叫單項(xiàng)式的次數(shù).

【注意】：

1）一個(gè)單項(xiàng)式只含有字母因數(shù)，它的系數(shù)就是1或者7。

2）一個(gè)單項(xiàng)式是一個(gè)常數(shù)時(shí)，它的系數(shù)就是它本身。

3）負(fù)數(shù)作系數(shù)時(shí)，需帶上前面的符號(hào)。

4）若系數(shù)是1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫(xiě)。

多項(xiàng)式

概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.

多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與次數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)；多項(xiàng)式里，

次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)；

【注意】

1.ax'+bx+c和x、px+q是常見(jiàn)的兩個(gè)二次三項(xiàng)式（若a、b、c、p、q是常數(shù)）.

2.多項(xiàng)式通常以它的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)來(lái)命名，稱(chēng)幾次（最高次項(xiàng)的次數(shù)）幾項(xiàng)（多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)）式。

整式的加減

同類(lèi)項(xiàng)概念：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式是同類(lèi)項(xiàng).

同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列順序也無(wú)關(guān)。

合并同類(lèi)項(xiàng)法則：系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變.

步驟：①找②移③合

去（添）括號(hào)法則：去（添）括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前邊是“+”號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)前邊是號(hào),

括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào).

注意：

1、要注意括號(hào)前面的符號(hào),它是去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)是否變號(hào)的依據(jù).

2、去括號(hào)時(shí)應(yīng)將括號(hào)前的符號(hào)連同括號(hào)一起去掉.

3、括號(hào)前面是時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均要改變符號(hào),不能只改變括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)或前幾項(xiàng)的符號(hào),而

忘記改變其余的符號(hào).

4、括號(hào)前是數(shù)字因數(shù)時(shí),要將數(shù)與括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)分別相乘,不能只乘括號(hào)里的第一項(xiàng).

5、遇到多層括號(hào)一般由里到外，逐層去括號(hào)。

整式加減法法則：幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接，然后去括號(hào)，合并同

類(lèi)項(xiàng).

注意:多項(xiàng)式相加（減）時(shí)，必須用括號(hào)把多項(xiàng)式括起來(lái)，才能進(jìn)行計(jì)算。

多項(xiàng)式的升幕和降幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按某個(gè)字母的指數(shù)從小到大（或從大到?。┡帕衅饋?lái)，叫做按

這個(gè)字母的升幕排列（或降幕排列）.注意：多項(xiàng)式計(jì)算的最后結(jié)果一般應(yīng)該進(jìn)行升幕（或降暴）排列.

典例引微

J_____________________________I

一、單選題

1.下列各式符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)規(guī)范的是（）

3

A.mx6B.—C.%-7元D.2產(chǎn)

2.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是b,個(gè)位數(shù)字是a,這個(gè)兩位數(shù)可表示為（)

A.abB.lOa+bC.10Z?+”D.ba

3.若式子無(wú)一2y+l的值是4,貝lJ2x-41的值是()

A.5B.4C.3D.2

4.如果代數(shù)式2y?+3y+5的值是一3,則代數(shù)式4y?+6y—3的值是（）

A.1B.-9C.-14D.-19

3

2x

5.下列式子中:——abc,~y,—，8/-7尤2+2,整式有（）

-3,3x

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

6.下列說(shuō)法也強(qiáng)的是()

B.單項(xiàng)式型的次數(shù)是2

A單項(xiàng)式2孫一-的案粉是9

77

C.是四次多項(xiàng)式D.爐,一2%3y有兩項(xiàng)，分別是和2%3y

7.下列各式中，一孫z+1,士戶(hù),%—1,A-i,細(xì)三是多項(xiàng)式的有（）

1803x7

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：尤3,2爐,3元7,4尤9,5尤匕6y3……第”（?>1,〃為正整數(shù)）個(gè)單項(xiàng)式是（）

n+12n+i2n+l

A.nxB.nxC.加鵬D.x

二、填空題

9.單項(xiàng)式-（一/的系數(shù)為,次數(shù)為.

10.將多項(xiàng)式尤5y2一3/丫3+苫3,4+2/y_7按字母X降幕排列.

11.已知多項(xiàng)式爐+7碼y-3（9+2盯）-1（〃?為常數(shù)）不含“項(xiàng)，當(dāng)x=—1,y=2時(shí)，該多項(xiàng)式的值為.

12.某文具店的鋼筆每支加元，練習(xí)本每本〃元，小穎買(mǎi)了2支鋼筆和3本練習(xí)本，應(yīng)付元.

13.有三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，中間一個(gè)是“，則另外兩個(gè)奇數(shù)的和為.

14.若a-2b=3,則代數(shù)式4/一勸-2的值為.

15.已矢口加是方程式爐+無(wú)一3=0的根，貝1|式子〃「+2機(jī)2一2機(jī)+2022的值為.

處重點(diǎn)考向

二、整式的乘除

事的運(yùn)算性質(zhì)1:

a-a"=am+n（m、n為正整數(shù)）同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

【同底數(shù)基相乘注意事項(xiàng)】

1）底數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先用同底數(shù)塞乘法法則計(jì)算，根據(jù)指數(shù)是奇偶數(shù)來(lái)確定結(jié)果的正負(fù)，并且化簡(jiǎn)到底。

2）不能疏忽指數(shù)為1的情況。

3）乘數(shù)a可以看做有理數(shù)、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（整體思想）。

4）如果底數(shù)互為相反數(shù)時(shí)可先變成同底后再運(yùn)算。

事的運(yùn)算性質(zhì)2：

a-^a"=a-"（aWO,m、n都是正整數(shù)，且m>n）同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)減.

【同底數(shù)基相除注意事項(xiàng)】

1.因?yàn)?不能做除數(shù)，所以底數(shù)aWO.

2.運(yùn)用同底數(shù)塞法則關(guān)鍵看底數(shù)是否相同，而指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)。

3.注意指數(shù)為1的情況，如X84-X=x7,計(jì)算時(shí)候容易遺漏或?qū)的指數(shù)當(dāng)做0.

4.多個(gè)同底數(shù)募相除時(shí)，應(yīng)按順序計(jì)算。

a°=l（aWO）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)塞都等于1.

整式的乘法

單項(xiàng)式X單項(xiàng)式

單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)基分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式乘法易錯(cuò)點(diǎn)：

單項(xiàng)式乘法概念易錯(cuò)點(diǎn)

系數(shù)相乘先確定積的符號(hào)，再計(jì)算積的絕對(duì)值

同底數(shù)塞相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加。

只在一個(gè)單項(xiàng)式含有的字母，連同它的指相乘結(jié)果數(shù)據(jù)遺漏

數(shù)作為積的一個(gè)因式(出現(xiàn)字母照抄，避免遺漏數(shù)據(jù))

【注意】

1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)果仍是單項(xiàng)式。

2.運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘法。

單項(xiàng)式X多項(xiàng)式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加

【單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式注意事項(xiàng)】

1.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的結(jié)果是多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

2.單項(xiàng)式分別與多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘時(shí)，要注意積的各項(xiàng)符號(hào)。(同號(hào)相乘得正，異號(hào)相乘得負(fù))

3.不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，運(yùn)算要有順序。

多項(xiàng)式X多項(xiàng)式

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加.

【多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式注意事項(xiàng)】

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號(hào)。多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包

括前面的符號(hào)，在計(jì)算時(shí)一定要注意確定各項(xiàng)的符號(hào)。

乘法公式

①完全平方公式：(a+b)*=a2+2ab+b-

(a—b)=a'—2ab+b°

【擴(kuò)展】

擴(kuò)展一(公式變化)：2+2=(+)2-2ab

擴(kuò)展二：(+)2+(-)2=2(2+2)

(+)2-(-下=4ab

擴(kuò)展三：2+2+&(++)-?-2ab-2ac-2bc

②平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

【運(yùn)用平方差公式注意事項(xiàng)】

1.對(duì)因式中各項(xiàng)的系數(shù)、符號(hào)要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式.如：(a+3b)(3a-b),不能運(yùn)用平方差公

式.

2.公式中的字母a、b可以是一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式。所以，當(dāng)這個(gè)字母表示一個(gè)負(fù)數(shù)、分式、

多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)加括號(hào)避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯(cuò)誤.

整式的除法

單項(xiàng)式+單項(xiàng)式

一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)募分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它

的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

【同底數(shù)塞相除注意事項(xiàng)】

1.因?yàn)?不能做除數(shù)，所以底數(shù)aWO.

2.運(yùn)用同底數(shù)幕法則關(guān)鍵看底數(shù)是否相同，而指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)。

3.注意指數(shù)為1的情況，計(jì)算時(shí)候容易遺漏或?qū)的指數(shù)當(dāng)做0.

4.多個(gè)同底數(shù)募相除時(shí)，應(yīng)按順序計(jì)算。

多項(xiàng)式+單項(xiàng)式

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

【解題思路】

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問(wèn)題解決。

整式的混合運(yùn)算

運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)里面的。

真例引微

____J___________________________1____D

一、單選題

1.下列各組中，不是同類(lèi)項(xiàng)的是（)

A.5?與5^B.一個(gè)與AC.2a2萬(wàn)與一6，D.5a%2與2a%2

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.(彳-2)2=尤2_4B.(-4V)+(-2/)=2/

C.cz4—2cz4=-a4D.(6a3—4q-+2a)+2a=3a~-2a

小2017

3.計(jì)算（x（-2.5產(chǎn)義（一1產(chǎn)的結(jié)果是（）

4.若4是一個(gè)四次多項(xiàng)式，8也是一個(gè)四次多項(xiàng)式，則2A-33是一個(gè)（）

A.八次多項(xiàng)式B.四次多項(xiàng)式

C.次數(shù)不超過(guò)四次的多項(xiàng)式D.次數(shù)不超過(guò)四次的代數(shù)式

5.小麗做一道數(shù)學(xué)題，已知兩個(gè)多項(xiàng)式A、B,且B為尤2-2x+l,求“A+3”；小麗把A+3錯(cuò)看成了A-B,

計(jì)算的結(jié)果是尤2+3尤+1,那么A+3正確的結(jié)果為（）

A.2尤~+x+2B.2尤2+x+1C.3x~—x+3D.5x

6.下列計(jì)算中，正確的是（）

A.a2-a3=a5B.（a2）3=a5C.（2a3）2=2a6D.a6^-a2=a5

3

7.已知4=依2-3》+刀-1,B^3-2y--x+x2,若無(wú)論x,y為何值時(shí)，A-28的值始終不變，則6"的

值為（）

A.16B.-16C.-4D.4

8.下列運(yùn)算，正確的是（）

A.3a+2a=5a2B.a5-a2=a[0

C.（2。+6）2=4/+/D.Qa+b）Qa—b）=4a2-b?

9.如圖所示的是小章家房子的結(jié)構(gòu)圖（單位：米），她打算將臥室鋪上木地板，其余部分鋪上地磚，地磚

每平方米無(wú)元，木地板每平方米2x元，小章家總共花費(fèi)（）

<—2b—Lt

廚房

臥室1餐廳

衛(wèi)生間

5a

客廳臥室23a

<---------5b---------->

A.I5abxjtB.20abx元C.25血;元D.35"x元

10.若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為。，b,且滿(mǎn)足〃-64+9+|。-4|=0,則該直角三角形的第三邊長(zhǎng)的平方

為（）

A.5B.16c.5或77D.25或7

二、填空題

11.如果單項(xiàng)式X。/與2/y〃的和是單項(xiàng)式，那么。+萬(wàn)=.

12.已知2/嚴(yán)4與_3/婢是同類(lèi)項(xiàng)，那么，〃+〃=.

13.多項(xiàng)式3/-2〃減去一個(gè)多項(xiàng)式得4a2+2〃，則減去的多項(xiàng)式是.

14.已知A=3%4-4x3-2x+l,8是關(guān)于x的機(jī)次w項(xiàng)式，若A+B的結(jié)果為三次多項(xiàng)式，則”的最大值為

15.若任+。匹+4）（彳-3）展開(kāi)后不含x的一次項(xiàng)，則p與q的關(guān)系是.

16.若9、8-=9，貝1］。一26的值為.

17.若a-b=7,ab=-12,則。2+/=.

18.如果4f-（根-2）x+9是個(gè)完全平方式，那么根的值是.

19.如圖，線(xiàn)段8E的長(zhǎng)度為5,點(diǎn)C是線(xiàn)段破上一點(diǎn)且BC>CE,分別以BC、CE為邊在同一側(cè)作正方

3

形ABC。、CEFG,點(diǎn)H為線(xiàn)段FG上任意一點(diǎn)（不與尸、G重合），若ABCH的面積為弓，則。G的長(zhǎng)度

為.

20.已知f-3x-l=0,則

在重點(diǎn)考向

三、因式分解

因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

【因式分解的定義注意事項(xiàng)】

1.分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；

2.因式分解必須是恒等變形；

3.因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.

因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

因式分解的常用方法：

提公因式法

【提公因式法的注意事項(xiàng)】

1)定系數(shù)：公因式的系數(shù)是多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。

2)定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同的字母。

3)定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中最小的一個(gè)，即字母最低次幕。

4)查結(jié)果：最后檢查核實(shí)，應(yīng)保證含有多項(xiàng)式的因式中再無(wú)公因式。

公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；

①平方差公式：a~W—(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a+2ab+b2—(a+b)2

a2—2ab+b2=(a—b)2

十字相乘法

利用十字交叉線(xiàn)來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.

Da—c

對(duì)于二次三項(xiàng)式/+Zw+c,若存在<b，則x2+Zzx+c=(x+〃)(x+q)

要點(diǎn)：(1)在對(duì)/+法+。分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)c的正、負(fù)入手，若c>0,則,、q同號(hào)(若c<0,

則〃、q異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)匕的正負(fù)再確定°、q的符號(hào)

(2)若V+bx+c中的汰c為整數(shù)時(shí)，要先將c分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看

這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于b,直到湊對(duì)為止.

首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項(xiàng)式依2+區(qū)+。(。/0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=%外,常數(shù)

項(xiàng)C可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即。=。1。2，把。1，Q。2排列如下：

。送2+a2cl

按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，得到若它正好等于二次三項(xiàng)式雙2+公+。的一次項(xiàng)系數(shù)b，

即a0+a2cl=6，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式。逮+9與之積，即

OJC+Zzr+c=(a1x+c1)(tz2x+c2).

要點(diǎn)：(1)分解思路為“看兩端，湊中間

(2)二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)

式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.

分組分解法

對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方

法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解一一分組分解法.即先對(duì)

題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.

要點(diǎn)：分組分解法分解因式常用的思路有:

方法分類(lèi)分組方法特點(diǎn)

①按字母分組②按系數(shù)分組

二項(xiàng)、二項(xiàng)

四項(xiàng)③符合公式的兩項(xiàng)分組

分組三項(xiàng)、一項(xiàng)先完全平方公式后平方差公式

分解五項(xiàng)三項(xiàng)、二項(xiàng)各組之間有公因式

法三項(xiàng)、三項(xiàng)

各組之間有公因式

六項(xiàng)二項(xiàng)、二項(xiàng)、二項(xiàng)

三項(xiàng)、二項(xiàng)、一項(xiàng)可化為二次三項(xiàng)式

添、拆項(xiàng)法

把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式適合于提公因式法、公式法或

分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.

添、拆項(xiàng)法分解因式需要一定的技巧性，在仔細(xì)觀察題目后可先嘗試進(jìn)行添、拆項(xiàng)，在反復(fù)嘗試中熟

練掌握技巧和方法.

翼例引顏

1____■_______________I

一、單選題

1.下列等式中，從左到右的變形是多項(xiàng)式的因式分解的是()

A.(a+b)2=a?+2ab+B.—2x+5-—2)+5

C."+〃=(〃—Z?)2D.%2+1=x(xH—)

x

2.下列四個(gè)式子從左到右的變形是因式分解的為()

A.(x-y)(-x-y)=/-x2

B.12a2b3=2a2-6Z?3

C.x4—81y4=(%2+9)2)(x+3y)(%一3丁)

D.(a?+2〃y—8([2+2〃)+12=(〃2+2Q)(〃+2〃-8)+12

3.下列式子中，從左到右的變形為多項(xiàng)式因式分解的是()

A.%2—2=(x+—A/2)B.(x+,x/z)(x—A/2)=x-—2

C.x—4=(\/x+4)(>/x—4)D.(y/x+2)(-\/x—2)=x—4

4.數(shù)學(xué)課上老師出了一道因式分解的思考題，題意是x2+2mx+16能在有理數(shù)的范圍內(nèi)因式分解，則整數(shù)m

的值有幾個(gè).小軍和小華為此爭(zhēng)論不休，請(qǐng)你判斷整數(shù)m的值有幾個(gè)？()

A.4B.5C.6D.8

5.已知=則一%3+2f+20i2的值為()

A.2011B.2012C.2013D.2014

6.因式分解Y+依+"甲看錯(cuò)了〃的值，分解的結(jié)果是(1+6)(犬-1),乙看錯(cuò)了匕的值，分解的結(jié)果為

(x-2)(x+l),那么1+公+〃分解因式正確的結(jié)果為().

A.(x-2)(x+3)B.(x+2)(x-3)

C.(x-2乂x-3)D.(x+2)(x+3)

7.多項(xiàng)式x2-4孫-2y+x+4y2分解因式后有一個(gè)因式是1-2y,另一個(gè)因式是()

A.x+2y+lB.x+2y-1C.x-2y+lD.x-2y-1

8.如果一個(gè)三角形的三邊。、b、c,滿(mǎn)足向+歷=〃+改，那么這個(gè)三角形一定是()

A.等邊三角形B.等腰三角形C.不等邊三角形D.直角三角形

9.已知％,V滿(mǎn)足元2_4孫+5>2+2丁-4=0,則下面關(guān)于％,V描述正確地是()

A.滿(mǎn)足條件的整數(shù)x,y有2對(duì)B.滿(mǎn)足條件的整數(shù)1，y有4對(duì)

C.滿(mǎn)足條件的整數(shù)x,y有8對(duì)D.滿(mǎn)足條件的整數(shù)x,y有無(wú)數(shù)對(duì)

10.已知a=2012x+20n,b=2012x+2012,c=2012x+2013,那么a2+b2+c2—ab—be—ca的值等于()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

11.分解因式：x2-y2+4y-4=.

12.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。3-9/=.

13.分解因式：2x—ay-\~ax—2y=.

14.已知％+y=8,xy=2,貝！Jx2y+盯2=.

15.分解因式：(孫—I)2—(x+y—2xy)(2一x—y)的結(jié)果為.

16.若2%2—6/+孫+履+6能分解成兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)k=.

三、解答題

17.分解因式：x2+3y-xy-3x.

18.因式分解：

(1)/—X+—.

(2)(3。-2力2一(2〃+3))2.

(3)X2—2xy+/—z2

(4)1+x+x(l+x).

19.因式分解：18/)—12"2+2〃3

一、單選題

1.（2021.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）下列代數(shù)式中，為單項(xiàng)式的是（）

A.—B.aC.D.%2+y2

x3a

2.（2022.上海.格致中學(xué)二模）下列運(yùn)算正確的是（）

23544

A.X+X=XB.（一源.（一〃）4=一〃7C.[Q）D.X4-X=X

3.（2022.上海市青浦區(qū)教育局二模）下列關(guān)于代數(shù)式的說(shuō)法中，正確的有（）

①單項(xiàng)式-2皿2系數(shù)是2,次數(shù)是2022次；②多項(xiàng)式《+1是一次二項(xiàng)；③囪是二次根式；④對(duì)于實(shí)數(shù)。,

X

=+a-

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（2022?上海.二模）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.單項(xiàng)式0.5孫z的次數(shù)為3B.單項(xiàng)式-與的次數(shù)是-；

C.10與-;同類(lèi)項(xiàng)D.1—無(wú)一孫是二次三項(xiàng)式

5.（2018?上海楊浦?一模）已知無(wú)。=2,f=3,則—2等于（）

Q

A.-B.-1C.17D.72

9

6.（2011.上海奉賢.中考模擬）下列合并同類(lèi)項(xiàng)的結(jié)果正確的是（）

A.a2-3a2=-2a2B.3a-a=2C.3a+b=3abD.a+3a=3a2

7.（2019?上海楊浦?三模）下列各式的變形中，正確的是（）

CC1}-X

A.（―x—y）（—x+y）=x2—y2B.——x=------

C.x2-4x+3=（x-2）2+lD.x^（x2+x）=-+l

X

8.（2019?上海市南塘中學(xué)二模）設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可以表示為1,a+b,。的形式，也可以

b

表示為0,2,6的形式，則a刈8+/018的值等于（）

a

A.0B.1C.2D.3

9.（2012?上海徐匯?二模）如果a-2b=3,那么6-2a+4b的值是（）.

A.3；B.2；C.1；D.0.

10.（2022?上海靜安?二模）如果把二次三項(xiàng)式/+2無(wú)+c分解因式得X2+2X+C=（X-1）（X+3）,那么常數(shù)c的

值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

二、填空題

11.(2022.上海奉賢?二模)如果單項(xiàng)式3/y與-5/yi是同類(lèi)項(xiàng)，那么小的值是.

12.(2022?上海浦東新?二模)計(jì)算：(-。6)+(_4)2=.

13.(2021.上海浦東新.二模)計(jì)算：a3*aJ—.

14.(2022?上海?一模)若3x-2=?則8；2y=.

15.(2021?上海寶山?三模)某中學(xué)組織九年級(jí)學(xué)生春游，有機(jī)名師生租用45座的大客車(chē)若干輛，共有2個(gè)

空座位，那么租用大客車(chē)的輛數(shù)是(用，〃的代數(shù)式表示).

16.(2018?上海奉賢?二模)如果小―^2=8,且A+B=4,那么A—8的值是.

17.(2016?上海?中考模擬)設(shè)尤，y為實(shí)數(shù)，貝!)代數(shù)式2_^+4町+5y2—4x+2y+5的最小值為.

18.(2022.上海.模擬預(yù)測(cè))計(jì)算("1)(。+1乂片+1)("+1)的過(guò)程為：

原式=(片-1)(?2+1)(?4+1)=(?4-1)(?4+1)=a8-1；根據(jù)上面的解題過(guò)程，說(shuō)出下面算式的計(jì)算結(jié)果：

(a-l)(a+l)(a2+l)(a4+l)(a8+l)...(a64+1)=.

三、解答題

19.(2018?上海?模擬預(yù)測(cè))計(jì)算：(2xy)-24-(23x33

20.(2022.上海.模擬預(yù)測(cè))計(jì)算：

(1)分解因式：3/y-12孫MZy3；

3x—1>x—5①

(2)解不等式組：x+2c.

3

專(zhuān)題03整式與因式分解

1.整式部分主要考查整式的相關(guān)概念、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填

空題的形式出現(xiàn)；

2.因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和

分式的化簡(jiǎn)中進(jìn)行考查.

3.主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、。分類(lèi)討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等.

出知識(shí)導(dǎo)圖

__________二）定義-由系數(shù)或字母的積組成的式子

I單項(xiàng)式心系數(shù)數(shù)字因數(shù)

二次數(shù)-所有字母的指數(shù)和

定義幾個(gè)單項(xiàng)式的和

項(xiàng)一每個(gè)單項(xiàng)式

常數(shù)項(xiàng)一不含字母的項(xiàng)

次數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)

'同類(lèi)項(xiàng)?子母相同

相同字母的指數(shù)也相同

合并同婀霓墨數(shù)不變

——去括口如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù),去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同

:W如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反

「正驟去括號(hào)

“合并同類(lèi)項(xiàng)

,同底數(shù)帚乘法

宣的、-筲帚的乘方

帚的運(yùn)算,

積的乘方

同底數(shù)相除

單X單

』整式乘法單X多

一般多項(xiàng)式相乘

二多X多平方差公式

一特殊多項(xiàng)式相乘

完全平方公式

整式除法

多小單

提公因式法

平方差公式

公式法

完全平方公式

在重室考向

一、代數(shù)式

概念：用基本的運(yùn)算符號(hào)（運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方與開(kāi)方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起

來(lái)的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.

【注意】

1.代數(shù)式中除了含有字母、數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)外還可以有括號(hào)。

2.代數(shù)式中不含有=、〈、〉、W等

3.對(duì)于用字母表示的數(shù)，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，就應(yīng)理解為它可以表示任何一個(gè)數(shù)。

代數(shù)式的分類(lèi)：

可有理式

?無(wú)理式

列代數(shù)式方法

列代數(shù)式首先要確定數(shù)量與數(shù)量的運(yùn)算關(guān)系，其次應(yīng)抓住題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如和、差、積、

商、平方、倒數(shù)以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關(guān)鍵詞語(yǔ)，反復(fù)咀嚼，認(rèn)真推敲，列

好一般的代數(shù)式就不太難了.

列代數(shù)式時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題

（1）數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)常省略“義”號(hào)或用“.

（2）數(shù)字通常寫(xiě)在字母前面.

（3）帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)要化成假分?jǐn)?shù).

（4）除法常寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式.

代數(shù)式的值

一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式

的值.

單項(xiàng)式

概念：在代數(shù)式中，若只含有乘法（包括乘方）運(yùn)算，或雖含有除法運(yùn)算，但除式中不含字母

的一類(lèi)代數(shù)式叫單項(xiàng)式（單項(xiàng)式中“只含乘除，不含加減”）.

【注意】：

1）圓周率萬(wàn)是常數(shù)，所以,也是常數(shù)；

2）當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或一1時(shí)，“1”通常省略不寫(xiě)；

3）單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫(xiě)成假分?jǐn)?shù).

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項(xiàng)式的數(shù)字系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)單項(xiàng)式的系數(shù)；

單項(xiàng)式的次數(shù)：系數(shù)不為零時(shí)，單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，叫單項(xiàng)式的次數(shù).

【注意】：

1）一個(gè)單項(xiàng)式只含有字母因數(shù)，它的系數(shù)就是1或者-1。

2）一個(gè)單項(xiàng)式是一個(gè)常數(shù)時(shí)，它的系數(shù)就是它本身。

3）負(fù)數(shù)作系數(shù)時(shí)，需帶上前面的符號(hào)。

4）若系數(shù)是1或-1時(shí)，“1”通常省略不寫(xiě)。

多項(xiàng)式

概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.

多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)與次數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的

項(xiàng)；多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)；

【注意】

1.ax'+bx+c和x'+px+q是常見(jiàn)的兩個(gè)二次三項(xiàng)式（若a、b、c、p、q是常數(shù)）.

2.多項(xiàng)式通常以它的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)來(lái)命名，稱(chēng)幾次（最高次項(xiàng)的次數(shù)）幾項(xiàng)（多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)）式。

典例引微

一、單選題

1.下列各式符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)規(guī)范的是（

3

A.mx6C.x-7元D.2—xy

4

【答案】B

【分析】根據(jù)代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)要求判斷各項(xiàng)：（1）在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常簡(jiǎn)寫(xiě)成“?”或

者省略不寫(xiě)；

（2）數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字要寫(xiě)在字母的前面；

（3）在代數(shù)式中出現(xiàn)的除法運(yùn)算，一般按照分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)，帶分?jǐn)?shù)要寫(xiě)成假分?jǐn)?shù)的形式.

【解析】解：A、不符合書(shū)寫(xiě)要求，應(yīng)為6m，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、|■符合書(shū)寫(xiě)要求，故此選項(xiàng)符合題意；

C、不符合書(shū)寫(xiě)要求，應(yīng)為（x-7）元，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、不符合書(shū)寫(xiě)要求，應(yīng)為？■孫2,故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)要求，解題的關(guān)鍵是掌握代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)要求.

2.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是6,個(gè)位數(shù)字是小這個(gè)兩位數(shù)可表示為（）

A.abB.10a+bC.IQb-^-aD.ba

【答案】c

【分析】根據(jù)數(shù)的表示，兩位數(shù)=1OX十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字，將對(duì)應(yīng)字母或數(shù)值代入即可求解.

【解析】解：由題意可知，該兩位數(shù)可表示為：10b+a,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是列代數(shù)式，重點(diǎn)在于掌握多位數(shù)用字母表示.

3.若式子無(wú)一2y+l的值是4,貝|2》一4，一1的值是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】先根據(jù)x-2y+l的值是4,得出x-2y=3,然后整體代入求值即可.

【解析】解：：x-2y+l的值是4,

x—1y+1=4,

x-2y=3,

2x—4y—1

=2（x-2y）-l

=2x3-1

=5,故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是注意整體思想的應(yīng)用.

4.如果代數(shù)式2y2+3y+5的值是-3,則代數(shù)式4y?+6y-3的值是（）

A.1B.-9C.-14D.-19

【答案】D

【分析】首先由題意得到2y2+3y+5=-3,然后整體代入求解即可.

【解析】:?代數(shù)式2y2+3〉+5的值是一3

2y2+3y=-8

4j2+6y-3=2(2/+3j)-3=2x(-8)-3=-19.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，整體代入是解題的關(guān)鍵.

123

5.下列式子中：一彳，a,--abc,尤一兒—,8x3-7x2+2,整式有（）

33x

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)整式的概念，對(duì)式子逐個(gè)判斷即可，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.

【解析】解：是單項(xiàng)式，為整式；

。是單項(xiàng)式，為整式；

是單項(xiàng)式，為整式；

x-V是多項(xiàng)式，為整式；

3

--分母含有未知數(shù)，不是整式；

x

8/-7犬+2是多項(xiàng)式，為整式；

整式有5個(gè)，

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握整式的概念.

6.下列說(shuō)法無(wú)砸的是（）

A.單項(xiàng)式空的系數(shù)是2B.單項(xiàng)式型的次數(shù)