方程與不等式（測(cè)試）（解析版）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二章方程與不等式

(考試時(shí)間：100分鐘試卷滿(mǎn)分：120分)

一.選擇題(共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分)

1.受?chē)?guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì).某地92號(hào)汽油價(jià)格三月底是6.2元/升，五月底

是8.9元/升.設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程，正確的是

()

A.6.2(1+尤產(chǎn)=8.9B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+/)=8.9D.6.2(1+%)+6.2(1+x)2=8.9

【答案】A

【分析】設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為無(wú)，根據(jù)三月底和五月底92號(hào)汽油價(jià)格，得

出關(guān)于x的一元二次方程即可.

【詳解】解：依題意，得6.2(1+無(wú)產(chǎn)=8.9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的知識(shí)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程式解

題關(guān)鍵.

2.某體育比賽的門(mén)票分A票和8票兩種，A票每張x元，B票每張y元.已知10張A票的總價(jià)與19張8

票的總價(jià)相差320元，則()

10y

=320

19x

C.|10x-19y|=320D.|19x-10y|=320

【答案】C

【分析】根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系列出方程即可解題；

【詳解】解：由10張A票的總價(jià)與19張3票的總價(jià)相差320元可知,

10.r-19y=320^19^-10x=320,

A|10x-19y|=320,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能根據(jù)實(shí)際情況對(duì)題目全面分析.

3.為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20

個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分.小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)

數(shù)為（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或

不答一個(gè)扣1分，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為尤個(gè)，

由題意得5X-（2O-X）=7O,

解得x=15,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意是列出方程求解是解題的關(guān)鍵.

4.上學(xué)期某班的學(xué)生都是雙人同桌，其中:男生與女生同桌，這些女生占全班女生的2,本學(xué)期該班新轉(zhuǎn)

入4個(gè)男生后，男女生剛好一樣多，設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生〉人，根據(jù)題意可得方程組為（）

x+4=yx+4=yx-4=yx-4=y

A.<B

x_2-x_y_C.x=yD-^_y_

_4-5J-4,4"?

【答案】A

【分析】設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，則本學(xué)期男生有（x+4）人，根據(jù)題意，列出方程組，即可

求解.

【詳解】解：設(shè)上學(xué)期該班有男生x人，女生y人，則本學(xué)期男生有（尤+4）人，根據(jù)題意得：

元+4=y

_y■

A~~5

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

5.【原創(chuàng)題】在解一元二次方程/+px+q=0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q,得到方程的兩個(gè)根是-3,1.小明

看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P,得到方程的兩個(gè)根是5,-4,則原來(lái)的方程是（）

A.N+2X-3=0B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0

【答案】B

【分析】分別按照看錯(cuò)的情況構(gòu)建出一元二次方程，再舍去錯(cuò)誤信息，從而可得正確答案.

【詳解】解：,?,小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q,得到方程的兩個(gè)根是-3,1,

所以此時(shí)方程為：(x+3)(x-l)=0,即：X2+2X-3=0,

???小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)P,得到方程的兩個(gè)根是5,-4,

所以此時(shí)方程為：(x-5)(x+4)=0,即：x2-x-20=0,

從而正確的方程是：X2+2X-20=0,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)一元二次方程的根構(gòu)建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根構(gòu)建方程的

方法是解題的關(guān)鍵.

6.滿(mǎn)足根的整數(shù)機(jī)的值可能是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)|亞-1|并估算回-1的范圍，再確定山的范圍即可確定答案.

【詳解】,.,3<加<4,

.'.2<710-1<3,

?.?加-1卜廂-1,心曲-1|,

:.m>3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，無(wú)理數(shù)的估算和不等式的求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)加，”,P,q,有[m,司※[q,〃]=mn+pq,其中等式右邊是通常的加法和

乘法運(yùn)算，如：[2,3]X[4,5]=2x5+3x4=22.若關(guān)于x的方程，+1，可※[5-2匕可=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

上的取值范圍是()

A.k<—且左/0B.k<—C.k&—且％wOD.k>—

4444

【答案】C

【分析】按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項(xiàng)系數(shù)和判別式兩個(gè)方面入

手，即可解決.

【詳解】解：對(duì)※[5-2無(wú),幻=0,

k^x2+1)+(5-2k)x=0.

整理得，kx2+(5-2k)x+k^0.

?.?方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

二判別式Q0且Z/0.

由ANO得，（5—24）2—4^20,

解得，

4

??k的取值范圍是左V—且％w0.

4

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn)，正確理解新定義的運(yùn)算法則是解題

的基礎(chǔ)，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.此類(lèi)題目

容易忽略之處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視.

8.若關(guān)于x的分式方程2三=二m有正數(shù)解，求機(jī)的取值范圍.甲解得的答案是：加＞4,乙解得的答

案是：機(jī)＜2,則正確的是（）

A.只有甲答案對(duì)B.只有乙答案對(duì)

C.甲、乙答案合在一起才正確D.甲、乙答案合在一起也不正確

【答案】D

2-m

>0

4-m

7.一m9iri2—m

【分析】先解分式方程，得出》=嚴(yán)根據(jù)關(guān)于x的分式方程f=d有正數(shù)解，得出二一N1,

4-mx-12x-l4-m

2-m1

-----w—

4-m2

解不等式組即可得出答案.

2_m

【詳解】解:

x—12x1

去分母得：^x-2-mx-m,

移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)得：（4-m）x=2-m,

2-m

解得:x=-------

4-m

:關(guān)于X的分式方程二2=m有正數(shù)解，

x-12JC-1

4>0

4-m

2-m1

???<-------wl，

4-m

2-mI

-------w—

4-m2

解得：加〉4或加<2,且加wO,

???甲、乙答案合在一起也不正確，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)關(guān)于X的分式方程工2二事m有

正數(shù)解，列出關(guān)于根的不等式組.

,x=a2-2b+—,y=b2—2c+—,z=c2-2a+—,

9.【原創(chuàng)題】設(shè)〃、從。為實(shí)數(shù)，3,33則x、y、z中至少有一個(gè)值()

A.大于0B,等于0C.不大于0D.小于0

【答案】A

【分析】先計(jì)算x+y+z,再利用配方法得到尤+1二⑺-球+僅一丁+仁-丁+%一，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和

萬(wàn)>3得至I]x+y+z>0,根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)得到x、y、z中至少有一個(gè)正數(shù).

【詳解】解：,r+y+z=a2-2b+^+b2-2c+^+c2-2a+^

=6^—2a+b2—2b+c2—2c+

=(a-1)2+(^-l)2+(c-l)2+^-3,

V(a-l)2>0,(Z?-l)2>0,(c-l)2>0,萬(wàn)一3>0,

...x+y+z>0,

；.x、y、z中至少有一個(gè)大于0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

10.【創(chuàng)新題】已知多項(xiàng)式"=2--3》-2,多項(xiàng)式N=/-6+3.

①若〃=0,則代數(shù)式，的值為學(xué);

x-3x-l3

②當(dāng)，=—3,%之4時(shí)，代數(shù)式的最小值為—14；

③當(dāng)a=0時(shí)，若M-N=3則關(guān)于尤的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

7

④當(dāng)。=3時(shí)，若四一2N+2|+|M-2N+15|=13,則x的取值范圍是一(<%<2.

以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【分析】①把M=0代入解方程即可求解；②把。=-3代入，再配方求最小值即可；③把。=0代入解方程

即可求解；④根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可.

【詳解】解：①若M=0,貝1」河=2尤2-3X-2=0，解得X=2,或彳=-；,

」干的值為一專(zhuān);故①錯(cuò)誤；

x-3x-l3

②當(dāng)a=—3時(shí)，A/—N=(2f—3x—2)—(%?+3x+3)

——6x--5

=(%—3)2—14,???當(dāng)1=4時(shí)，代數(shù)式M—N的最小值為—13；故②錯(cuò)誤；

③由題意得，MN=(2%2—3%—2)(爐+3)=0,

**?2%2—3x—2=0或%2+3=0,

解2——3工—2=0得x=2,或％=-不；

2

解必+3=0,即￡=_3V0,沒(méi)有實(shí)數(shù)解，

?,?關(guān)于％的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故③正確；

④當(dāng)4=3時(shí)，

|M—2N+2|+|"—2N+15|

=|(2x2-3x-2)~2(x2-3%+3)+21+1(2/-3x-2)-2(x2-3x+3)+15|

二|3x—6|+|3x+7|=13

(3x+7>07

解得一故④錯(cuò)誤;

[3x-6<0

綜上，只有③正確;

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，解一元二次方程、解不等式組、絕對(duì)值的意義，理解絕對(duì)值的性質(zhì)和

一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

填空題(共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分)

11.【原創(chuàng)題】已知關(guān)于久的一元一次方程^+3=2%+6的解為久=2,則關(guān)于y的一元一次方程焉(y+

z(Jz4ZUZ4

1)=2y-1+b的解為.

【答案】y=l

【分析】本題主要考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵；所以由題意易得

r^-(y+1)+3=2(y+1)+b,然后可得y+1=2,進(jìn)而求解即可.

2024

【詳解】解：由方程焉(y+l)=2y—1+6可變形為總(y+l)+3=2(y+l)+b,

Zuz4ZUZ4

因?yàn)殛P(guān)于1的一元一次方程三產(chǎn)+3=2%+b的解為1=2,

2024

所以把(y+1)看作一個(gè)整體，則方程七(y+1)+3=2(y+1)+b的解為y+1=2,

解得：y—1,

故答案為y=L

12.如圖的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是—.

先化簡(jiǎn)，再求值：一+1，其中X=米

x-4F

3—x

解：原式=-----(x-4)+(x—4)

x-4

=3—x+x—4

=-1

【答案】5

【分析】根據(jù)題意得到方程上3——x+1=-1,解方程即可求解.

無(wú)一4

【詳解】解：依題意得：=+1=-1,即=+2=0,

去分母得：3-x+2(x-4)=0,

去括號(hào)得：3-x+2x-8=0,

解得：戶(hù)5,

經(jīng)檢驗(yàn)，k5是方程的解，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn).

13.關(guān)于x的方程a/—2"—3=0(〃/?#0)兩根為m，n,—4bm+2a)(3an2—6bn—2a)=54,貝!J〃的

值為.

31

【答案】1/1.5/11

【分析】根據(jù)方程根的定義得到am2-2bm=3,an2-2bn=3,然后把(2卬層-4Z?加+2〃)(3〃/一6加一2〃)=

54變形后，利用整體代入，得到關(guān)于〃的一元二次方程，解方程后去掉不合題意的解即可.

【詳解】解：??,關(guān)于x的方程3=0(〃厚0)兩根為如n,

**?6zm2—2bm—3=0?an2—2bn—3=0

**?arr^—Ibm=3,an2—2bn=3

*.*(2am2—4bm+2d)(3an2—6bn—2d)=54,

[2(am2—2bm+a)][3(an2—2bn)—2a]=54

：.2(3+a)(9—2a)=54

3

解得〃=0或〃=”

2

厚0

???〃，。均為非零實(shí)數(shù)，

：.a=-

2

,3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義和整體代入的方法，熟練掌握整體代入的方法是解題的關(guān)鍵.

14.點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為一元一次方程3x+7=32-2x的解，縱坐標(biāo)為a+b的值，其中。，6滿(mǎn)足二元一次方

f2a—b=4

程組c,。,則點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。'的坐標(biāo)為_(kāi)________.

[-a+2。=-8

【答案】(-51)

[2a-b=4

【分析】先分別解一元一次方程3尤+7=32-2%和二元一次方程組,。，求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根

+26=-8

據(jù)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律即可求解.

【詳解】解：3x+7=32—2x,

移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，5x=25,

系數(shù)化為1得，x=5,

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為5,

.J2a-b=4①

?[-a+2b=-S?9

由①+2x②得，3b=-12,解得：b=-4,

把/?=Y代入①得，2a+4=4,解得：4=0,

a+b=0-4=-4,

...點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為T(mén),

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（5,T）,

???點(diǎn)。關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為（-5T）,

故答案為：（-5,7）.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱(chēng)，解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直

角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點(diǎn)。的坐標(biāo)是解題

的關(guān)鍵.

【新考法】信息題

15.我國(guó)古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中提到：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的唇長(zhǎng)損益

相同（號(hào)是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，密長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣如圖所示.從冬至到夏

至號(hào)長(zhǎng)逐漸變小，從夏至到冬至暑長(zhǎng)逐漸變大，相鄰兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少或增加的量均相同，周而復(fù)始.若

冬至的號(hào)長(zhǎng)為13.5尺，夏至的署長(zhǎng)為1.5尺，則相鄰兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少或增加的量為尺，立夏的暑

長(zhǎng)為尺.

唇長(zhǎng)逐漸變小

唇長(zhǎng)逐漸變大

二十四節(jié)氣

【答案】4.5

【分析】設(shè)相鄰兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少的量為X尺，由題意知，13.5-12%=1.5,計(jì)算求出相鄰兩個(gè)節(jié)氣署長(zhǎng)減

少或增加的量；根據(jù)立夏到夏至的減少量求解立夏的號(hào)長(zhǎng)即可.

【詳解】解：設(shè)相鄰兩個(gè)節(jié)氣辱長(zhǎng)減少的量為x尺，

由題意知，13.5—12x=L5,

解得，x=l,

,相鄰兩個(gè)節(jié)氣號(hào)長(zhǎng)減少或增加的量為1尺；

V1.5+3xl=4.5,

立夏的號(hào)長(zhǎng)為4.5尺；

故答案為：1；4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列方程.

【新考法】與一元二次方程有關(guān)的新定義問(wèn)題

16.將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成。(尤+/?)2+左=0(a^O,a、h、女均為常數(shù))的形式，如果只有

系數(shù)。不同，其余完全相同，我們就稱(chēng)這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”.已知關(guān)于x的一元二次方程

ax1+bx+c=O(a/0)與方程(x+l)~-2=0是“同源二次方程,,，且方程加+6x+c=0(。/0)有兩個(gè)根

為毛、巧，則b—2c=,依1+%9+依2的最大值是.

【答案】4；-3

【分析】利用加+6尤+c=0(。/0)與方程(x+l)~-2=0是“同源二次方程”得出6=2a,c-a-2,即可

求出匕-2c；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+X2=-2,不％="工，進(jìn)而得出

a

ax+xx+ax=-2|+—|+1,^a+—=t(Z>0),^a2-t-a+l=0根據(jù)方程片一加々+1=()有正數(shù)解

{[22<aJa

可知A=，2_4NO,求出/的取值范圍即可求出依1+工也+以2的最大值.

【詳解】解：根據(jù)新的定義可知，方程依2+法+°=0(〃。0)可變形為a(x+l)2一2=0,

a(x+l)2-2=ax2+bx+c,

XP,ax^+2<zx+a—2—cuc^+bx+c,

可得。=2。，c=a—2,

b—2c—2a—2(a—2)—4；

..0a—2

.xl+x2=-Z,XxX2=----,

a

ci—2

ax+xx+ax=〃(玉+%)+玉％=一2。+=—21d!+—+1，

{122Ia

「方程ox?+b%+c=o（。。0）有兩個(gè)根為巧、x2,

A=Z?2—4ac=(2〃y—4〃(a—2)=8aNO,且owO,

??a>0,

設(shè)Q+，=/（，〉0）,得〃之一/.4+1=0,

a

?方程a2T?〃+i=o有正數(shù)解，

***A=—4>0,

解得t>2,即〃+工、2,

a

ax1+玉冗2+ax?——21ciH—]+lV—3.

Ia）

故答案為:4,-3.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系得到

西+玉々+辦2=-2（a+：）+l是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共9小題，滿(mǎn)分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.由工業(yè)和信息化部人才交流中心和RoboCom國(guó)際公開(kāi)賽組委會(huì)共同主辦的睿抗機(jī)器人開(kāi)發(fā)者大賽

（RAICOM）,2023年1月6日在線(xiàn)上召開(kāi)2023賽季啟動(dòng)大會(huì)?為備戰(zhàn)機(jī)器人大賽，某校對(duì)機(jī)器人進(jìn)行50米

比賽，“沖鋒”和“東風(fēng)”兩個(gè)機(jī)器人進(jìn)入了決賽?比賽中，“沖鋒”先出發(fā)8秒后，“東風(fēng)”從同一起始位置出

發(fā)，結(jié)果“東風(fēng)”遲到2秒到達(dá)終點(diǎn)?已知“東風(fēng)”是“沖鋒”的平均速度的2.5倍，求“沖鋒”的平均速度.

【答案】“沖鋒”的平均速度5米/秒

【分析】設(shè)“沖鋒”的平均速度為x米/秒，則“東風(fēng)”的平均速度的25x米/秒，根據(jù)“沖鋒”從起點(diǎn)出發(fā)8秒

后，“東風(fēng)”才從起點(diǎn)出發(fā)，結(jié)果“東風(fēng)”遲到2秒到達(dá)終點(diǎn)，可得方程，解出即可.

【詳解】解：設(shè)“沖鋒”的平均速度為萬(wàn)米/秒，貝『‘東風(fēng)”的平均速度的2.5.x米/秒，

由題意得—2=-----8,

2.5%x

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的解.

答：“沖鋒”的平均速度5米/秒.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到等量關(guān)系

18.已知一元二次方程口封一元_i=o,其中系數(shù)“口”印刷不清.

⑴嘉嘉把“口”猜成是2,請(qǐng)你解方程2X2-X-1=0；

(2)淇淇說(shuō)：“我看答案該方程有兩個(gè)相同的根”請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明“口”是幾？

【答案】(1)石=一/,冗2=1

⑵-；

【分析】本題考查一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判別式，解題的關(guān)鍵是公式法解一元二次方

程.

(1)利用公式法解一元二次方程即可；

(2)根據(jù)方程有兩個(gè)相同的根可得△=(),代入計(jì)算解題即可.

【詳解】(1)解：2/一彳一1=0

a=2,b=—Lc=—l,

b1—4ac=l+8=9>0，

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.」±3

,,x=---,

4

解得：占=一1,w=l;

(2)設(shè)里的數(shù)為加,

???該方程有兩個(gè)相同的根，

A=0,即1—4根x(—1)=0,

解得：m=-\,

4

?,?“口”里的數(shù)為

4

19.整式3，-可的值為P.

017

(1)當(dāng)初=2時(shí)，求尸的值；

⑵若尸的取值范圍如圖所示，求機(jī)的負(fù)整數(shù)值.

【答案】（1）-5

(2)-2,-1

【分析】（1）將根=2代入代數(shù)式求解即可,

（2）根據(jù)題意PV7,根據(jù)不等式，然后求不等式的負(fù)整數(shù)解.

(2)vP=3,由數(shù)軸可知PW7,

即3耳-昨7,

17

——m<—,

33

解得m>—2,

,機(jī)的負(fù)整數(shù)值為-2,-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解不等式，求不等式的整數(shù)解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

;二二’的過(guò)程,請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)?

20.下面是小輝和小瑩兩位同學(xué)解方程組

x-3y=-1?

解：令

2x+3y=7②

小輝：由②得，③.......第一步

3y=7-2^..小瑩：①+②得，3x=6....................第一步

將③代入①得，》-(7-2%)=-1......第二步解得x=2,...................................…第二步

2-3y=-l..........第三步

整理得，x-7-2x=-l...................…第三步將x=0代入①得，

整理得，-3y=-1+2..................…….第四步

解得x=-6........................................第四步

19…第五步

將尤=-6代入③，解得y=7…….…第五步解得y=................................

x=-6,x=2,

原方程組的解為＜……第六步

...原方程組的解為《19..............…第六步1……

1y=3-?I3

任務(wù)一：請(qǐng)你從中選擇一位同學(xué)的解題過(guò)程并解答下列問(wèn)題.

①我選擇同學(xué)的解題過(guò)程，該同學(xué)第一步變形的依據(jù)是;

②該同學(xué)從第開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是;

任務(wù)二：直接寫(xiě)出該方程組的正確解；

任務(wù)三：除以上兩位同學(xué)的方法，請(qǐng)你再寫(xiě)出一種方法（不用求解）.

【答案】①小輝；等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)法，所得結(jié)果仍是等式）;

lx=2

②三；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是號(hào)，去年括號(hào)后未給括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；任務(wù)二：，；任務(wù)

三：②-①x2

【詳解】

任務(wù)一：①小輝；

等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)法，所得結(jié)果仍是等式）;

②三；

去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“一”號(hào)，去年括號(hào)后未給括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；

或①小瑩；

等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式）;

②四；

移項(xiàng)未變號(hào)；

x-3y=-1(D

任務(wù)二:

2x+3y=7②

①+②得，3x=6

解得：x=2

將尤=2代入①得，2-3y=-l

解得：，=1

fx=2

正確的解為，

任務(wù)三：②-①x2.

得9y=9

解得：y=i,代入①得X—3=—1,

解得：X=2

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值，解二元一次方程組，熟練掌

握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與規(guī)律探究一一圖形規(guī)律規(guī)律

21.為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用10x20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫(huà)出的一些

備選圖案如圖所示.

圖1圖2圖3

［觀(guān)察思考］圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類(lèi)推.

(1)［規(guī)律總結(jié)］圖4灰磚有塊，白磚有塊；圖“灰磚有塊時(shí)，白磚有塊；

(2)［問(wèn)題解決］是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的理由.

2

【答案】(1)16,20；n,4〃+4

(2)存在，見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)圖形算出圖3白磚和灰磚的數(shù)量，再根據(jù)圖形規(guī)律算出圖4白磚和灰磚的數(shù)量，通過(guò)圖

1到圖4的數(shù)字規(guī)律得出圖〃白褥和灰磚的數(shù)量；

(2)假設(shè)存在圖“白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，根據(jù)白磚和灰磚的數(shù)量建立方程，方程有解證明假

設(shè)成立.

【詳解】(1)圖3的灰磚數(shù)量應(yīng)為1+2+3+2+1=9

圖3的白放數(shù)量為12+4=16

圖4的灰磚數(shù)量應(yīng)為1+2+3+4+3+2+1=16

圖4的白病應(yīng)比圖3上下各多一行

得圖4白磚的數(shù)量為：16+4=20

圖1灰磚的數(shù)量為1

圖2灰磚的數(shù)量為4

圖3灰磚的數(shù)量為9

圖4灰磚的數(shù)量為16

得圖“灰磚的數(shù)量為"

圖1白磚的數(shù)量為8=4xl+4

圖2白磚的數(shù)量為12=4x2+4

圖3白磚的數(shù)量為16=4x3+4

圖4白磚的數(shù)量為20=4x4+4

得圖"白磚的數(shù)量為4〃+4

故答案為：16,20；4〃+4.

(2)假設(shè)存在，設(shè)圖”白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1

，白磚數(shù)量為4〃+4,灰磚數(shù)量為/

4〃+4="2-1

n2—4M—5=0

(；7-5)(/Z+1)=0

n=5,或〃=-1(舍去)

故當(dāng)〃=5時(shí)，白磚的數(shù)量為24,灰磚的數(shù)量為25,白磚比灰磚少1

故答案為：存在.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律和一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)字規(guī)律的分析方法和一元二

次方程的性質(zhì).

22.某水果經(jīng)營(yíng)戶(hù)從水果批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)水果進(jìn)行零售，部分水果批發(fā)價(jià)格與零售價(jià)格如下表：

水果品種梨子菠蘿蘋(píng)果車(chē)?yán)遄?/p>

批發(fā)價(jià)格(元/依)45640

零售價(jià)格(元伙g)56850

請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

(1)第一天，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋(píng)果共300依，當(dāng)日全部售出，求這兩種水果獲得的總利潤(rùn)？

(2)第二天，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)依然用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋(píng)果，當(dāng)日銷(xiāo)售結(jié)束清點(diǎn)盤(pán)存時(shí)發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單丟失，只記

得這兩種水果的批發(fā)量均為正整數(shù)且菠蘿的進(jìn)貨量不低于88依，這兩種水果已全部售出且總利潤(rùn)高于第一

天這兩種水果的總利潤(rùn)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該經(jīng)營(yíng)戶(hù)第二天批發(fā)這兩種水果可能的方案有哪些？

【答案】(1)500%；

(2)方案一購(gòu)進(jìn)88依菠蘿，210依蘋(píng)果；方案二購(gòu)進(jìn)94依菠蘿，205口蘋(píng)果.

【分析】(1)設(shè)第一天，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)批發(fā)了菠蘿Hg,蘋(píng)果yZg,根據(jù)該經(jīng)營(yíng)戶(hù)用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋(píng)果

共300依，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出x,y的值，再利用總利潤(rùn)=每千克的銷(xiāo)售

利潤(rùn)X銷(xiāo)售數(shù)量（購(gòu)進(jìn)數(shù)量），即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)菠蘿根飯，則購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果1700-5加卜8,根據(jù)“菠夢(mèng)的進(jìn)貨量不低于88年，且這兩種水果已全部

O

售出且總利潤(rùn)高于第一天這兩種水果的總利潤(rùn)”，即可得出關(guān)于根的一元一次不等式組，解之即可得出m

的取值范圍，再結(jié)合小，17。"5〃?均為正整數(shù),即可得出各進(jìn)貨方案.

6

【詳解】（1）解：設(shè)第一天，該經(jīng)營(yíng)戶(hù)批發(fā)菠蘿x依，蘋(píng)果y依，根據(jù)題意得：

Jx+y=300

[5x+6y=1700'

尤=100

解得:

y=200

A(6-5)x+(8-6)y=(6-5)x100+(8-6)x200=500%,

答:這兩種水果獲得的總利潤(rùn)為500元;

（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)菠蘿7成g,則購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果17°0~kg,根據(jù)題意:

6

m>88

z八ZO/、1700-5根“C，解得：88?！?lt;100,

(6-5)m+(8-6)x------------->500

6

1700-5m,,一共業(yè)心

?m,——--均為正整數(shù),

6

"取88,94,

該經(jīng)營(yíng)戶(hù)第二天共有2種批發(fā)水果的方案，

方案一購(gòu)進(jìn)88口菠蘿，210必蘋(píng)果；方案二購(gòu)進(jìn)94注菠蘿，205依蘋(píng)果.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組.

23.某公司生產(chǎn)的一種營(yíng)養(yǎng)品信息如下表.已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購(gòu)買(mǎi)的甲

食材比用20元購(gòu)買(mǎi)的乙食材多1千克.

營(yíng)養(yǎng)品信息表

營(yíng)養(yǎng)成分每千克含鐵42毫克

原料每千克含鐵

配料表

甲食材50毫克

乙食材1。毫克

規(guī)格每包食材含量每包單價(jià)

A包裝1千克45元

8包裝0.25千克12元

（1）問(wèn)甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）該公司每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完.

①問(wèn)每日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？

②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營(yíng)養(yǎng)品當(dāng)日全部售出.若A的數(shù)量不低于8的數(shù)量，則A為多

少包時(shí)，每日所獲總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少元？

【答案】（1）甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元；（2）①每日購(gòu)進(jìn)甲食材400千克，乙食材

100千克；②當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大.最大總利潤(rùn)為2800元

【分析】（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為。元，根據(jù)用80元購(gòu)買(mǎi)的甲食材比用20元購(gòu)買(mǎi)的乙食材多1千克列

分式方程即可求解；

（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克.根據(jù)每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用

完，利用進(jìn)貨總金額為180000元，含鐵量一定列出二元一次方程組即可求解；

②設(shè)A為加包，根據(jù)題意，可以得到每日所獲總利潤(rùn)與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)A的數(shù)量不低于B的數(shù)

量，可以得到小的取值范圍，從而可以求得總利潤(rùn)的最大值.

【詳解】解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為。元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為2“元，

onon

由題意得建-、=1,解得。=20.

2aa

經(jīng)檢驗(yàn)，a=20是所列方程的根，且符合題意.

2a-40（元）.

答：甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元.

（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克.

40x+20y=18000尤=400

由題意得50x+10y=42（x+y）＞解得

y=100

答：每日購(gòu)進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克.

—FT?

②設(shè)A為加包，則5為—025_=（2000_4包.

記總利潤(rùn)為W元，則

W=45/n+12(2000-4/n)-l8000-2000=-3m+4000.

???A的數(shù)量不低于5的數(shù)量，

m>2000—4m,m>400.

,?,%=-3<0,隨機(jī)的增大而減小。

..?當(dāng)優(yōu)=400時(shí)，W的最大值為2800元.

答：當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大.最大總利潤(rùn)為2800兀.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程、二元一次方程的應(yīng)用，解答本題時(shí)要明確題意、弄

清表格數(shù)據(jù)的意義及各種量之間關(guān)系，利用方程的求未知量和一次函數(shù)的性質(zhì)解答，注意分式方程要檢

驗(yàn).

24.【創(chuàng)新題】閱讀理解以下內(nèi)容，解決問(wèn)題：

解方程：x2+H-2=0.

解：???/=團(tuán)2,

，方程即為：|X|2+|X|-2=0,

設(shè)值|=乙原方程轉(zhuǎn)化為：產(chǎn)+f-2=0

解得，％=1,%=-2,

當(dāng)4=1時(shí)，即|x|=l,，玉=1,無(wú)2=-1；

當(dāng)芍=-2時(shí)，即\x\=-2,不成立.

二綜上所述，原方程的解是玉=1,x2=-l.

以上解方程的過(guò)程中，將其中可作為一個(gè)整體設(shè)成一個(gè)新未知數(shù)從而將原方程化為關(guān)于/的一元二次方

程，像這樣解決問(wèn)題的方法叫做“換元法”(“元”即未知數(shù)).

171

⑴已知方程：x2+--2%-一-1=0,若設(shè)尤+—=加，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于機(jī)的方程是

XXX

⑵仿照上述方法，解方程：--H+1-5=0.

xAVx

【答案】⑴--2板-3=0

⑵x△

8

【分析】（1）根據(jù)完全平方公式由犬+工=相，得f+」=病-2,再變形原方程便可;

XX

'-+l=m,則l=m2-1,