人教B版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章函數(shù)3.3函數(shù)的應(yīng)用(一)課件

3.3函數(shù)的應(yīng)用(一)【課程標(biāo)準(zhǔn)】在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問(wèn)題．教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一幾類常見(jiàn)函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型k≠0二次函數(shù)模型a≠0分段函數(shù)模型會(huì)利用分段函數(shù)解決與之相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模知識(shí)點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模建模示例：(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題．(2)分析問(wèn)題，建立模型．(3)確定參數(shù)，計(jì)算求解．(4)驗(yàn)證結(jié)果，改進(jìn)模型．狀元隨筆建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路基

礎(chǔ)

自

測(cè)1．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價(jià)格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為(

)A.200副B．400副C.600副D．800副解析：利潤(rùn)z＝10x－y＝10x－(5x＋4000)≥0.解得x≥800.答案：D2．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(

)答案：C解析：距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應(yīng)選C.3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為(

)A.45.606萬(wàn)元B．45.6萬(wàn)元C.45.56萬(wàn)元D．45.51萬(wàn)元答案：B

4．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，

其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)．若應(yīng)聘的面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為________．25解析：令y＝60，若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意．故擬錄用人數(shù)為25人．題型1一次、二次函數(shù)模型

[經(jīng)典例題]例1.某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的某種商品按10元一個(gè)銷售時(shí)，每天可賣出100個(gè)．現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少10個(gè)，問(wèn)他將售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所賺的利潤(rùn)最大？并求出最大值．狀元隨筆可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型解析式．

【解析】

設(shè)每個(gè)提價(jià)x元(x≥0，x∈N)，利潤(rùn)為y元．每天銷售總額為(10＋x)(100－10x)元，進(jìn)貨總額＝8(100－10x)元，顯然100－10x>0，即x<10，則y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．當(dāng)x＝4時(shí)，y取得最大值，此時(shí)銷售單價(jià)應(yīng)為14元，最大利潤(rùn)為360元．即當(dāng)售價(jià)定為14元時(shí)，可使每天所賺的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為360元．方法歸納1．利用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需注意以下兩點(diǎn)：(1)待定系數(shù)法是求一次函數(shù)解析式的常用方法．(2)當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，一次函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一次函數(shù)為減函數(shù)．2．二次函數(shù)模型主要用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題，是高考考查的重點(diǎn)．解題時(shí)，建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1

據(jù)市場(chǎng)分析，煙臺(tái)某海鮮加工公司，當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí)，月生產(chǎn)總成本y(萬(wàn)元)可以看成月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù)；當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，月總成本為20萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，月總成本最低為17.5萬(wàn)元，為二次函數(shù)的頂點(diǎn)．(1)寫出月總成本y(萬(wàn)元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系；(2)已知該產(chǎn)品銷售價(jià)為每噸1.6萬(wàn)元，那么月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲最大利潤(rùn)？

方法歸納(1)分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型，由自變量變化所遵循規(guī)律的不同決定的，函數(shù)的分段表示是建模的關(guān)鍵．(2)求分段函數(shù)值域或最值時(shí)，應(yīng)對(duì)分段函數(shù)中的每段函數(shù)分別求出值域或最值，然后再由各段函數(shù)的值域或最值確定本函數(shù)的值域或最值．分類討論思想是本類問(wèn)題的主要思想方法．跟蹤訓(xùn)練2

為了迎接世博會(huì)，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(日凈收入＝一日出租自行車的總收入－管理費(fèi)用)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域；(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金定為多少元時(shí)，才能使日凈收入最多？

狀元隨筆(1)利用函數(shù)關(guān)系建立各個(gè)取值范圍內(nèi)的凈收入與日租金的關(guān)系式，寫出分段函數(shù)，注意實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍．(2)利用一次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)分別求分段函數(shù)各段上的最大值，取其最大的即可．

題型3基本不等式的應(yīng)用

[數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模]

例3.某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

方法歸納基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意如下的思路和方法：①先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；④根據(jù)實(shí)際背景寫出答案．

能

力

提

升

練1.學(xué)校某研究性學(xué)習(xí)小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與聽課時(shí)間x(單位：分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當(dāng)x∈(0，12]時(shí)，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點(diǎn)A(10，80)，過(guò)點(diǎn)B(12，78)；當(dāng)x∈[12，40]時(shí)，圖象是線段BC，其中C(40，50)．根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)大于62時(shí)，學(xué)習(xí)效果最佳．要使得學(xué)生學(xué)習(xí)效果最佳，則教師安排核心內(nèi)容的時(shí)間段為___________．(寫成區(qū)間形式)(4，28)

2．提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是關(guān)于車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到280輛/千米時(shí)，會(huì)造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)40輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)40≤x≤280時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤280時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．

1．(5分)某公司市場(chǎng)營(yíng)銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷人員沒(méi)有銷售量時(shí)的收入是(

)A．310元B．300元C．290元D．280元答案：B

2．(5分)據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(

)A.y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N)答案：D解析：由題意知，若普通車存車數(shù)為x輛次，則變速車存車數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N)．3．(5分)已知從甲地到乙地通話mmin的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)確定，其中m＞0，[m]表示大于或等于m的最小整數(shù)(如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)．若從甲地到乙地的某次通話時(shí)間為5.5min，則電話費(fèi)為(

)A．3.71元B．3.97元

C．4.24元D．4.77元解析：由題設(shè)知f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24(元)，故選C.答案：C

答案：B

5．(5分)某電腦公司2023年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為400萬(wàn)元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%.該公司預(yù)計(jì)2025年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到1690萬(wàn)元，且計(jì)劃從2023年到2025年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，2024年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為________萬(wàn)元．

答案：1300

答案：18

答案：60和16

8．(13分)車管站在某個(gè)星期日保管的自行車和電動(dòng)車共有3500輛次，其中電動(dòng)車保管費(fèi)是每輛一次0.5元，自行車保管費(fèi)是每輛一次0.3元．(1)若設(shè)停放的自行車的輛次為x，總的保管費(fèi)收入為y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若估計(jì)前來(lái)停放的3500輛次自行車和電動(dòng)車中，電動(dòng)車的輛次數(shù)不小于25%，但不大于40%，試求該車管站這個(gè)星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍．解析：(1)由題意得y＝0.3x＋0.5(3500－x)＝－0.2x＋1750(x∈N*且0≤x≤3500)．(2)若電動(dòng)車的輛次數(shù)不小于25%，但不大于40%，則3500×(1－40%)≤x≤3500×(1－25%)，即2100≤x≤2625且x∈N*，