高一數(shù)學(xué)上冊(人教新課標(biāo)A版)集合教案

集合(知識講解)學(xué)習(xí)目標(biāo)：2.能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法、特征性質(zhì)描述法和Venn圖法)描2.一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素(element),一些元素組成的總體叫集合(set),也簡稱3.關(guān)于集合的元素的特征者不是A的元素，(3)無序性：集合中的元素的次序無先后之分，如：由1,2,3組成的集合，也可以寫成由1,3,2組成一1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi).如：{1,2,3,4,5},{x2,子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，AsB(或B≥A),當(dāng)集合A不包含于集合B時，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：4.集合基木運(yùn)算的一些結(jié)論：A∩BcA,A?BcB,AnA=A,AnO=0AcAUB,BcAUB,AUA=A,AUO=A,AUB=BUA求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”,在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.注意和初中數(shù)學(xué)知識的銜接，這就需要重新整理初中數(shù)學(xué)知識，形成良好的知識基礎(chǔ)，如一元二次方程、二元一次方程組、平面幾何中常見的平面圖形等.在此基礎(chǔ)上，再根據(jù)本章特點(diǎn)，較快地吸收新知識，形成新的知識結(jié)構(gòu).2.認(rèn)真理解、反復(fù)推敲思考本章各知識點(diǎn)的含義及各種表示方法，容易混淆的知識應(yīng)仔細(xì)辨識、區(qū)別，達(dá)到熟練掌握，逐步建立與集合知識相適應(yīng)的理論體系與思想方法.3.常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有：數(shù)形結(jié)合的思想，如常借助于數(shù)軸、維恩圖解決問題；分類討論的思想，如一元二次方程根的討論、集合間的包含關(guān)系等.逐步培養(yǎng)用集合的思想來分析問題、解決問題的能力.經(jīng)典例題透析圖類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)1.下列各組對象中，能構(gòu)成集合的是()(1)接近于0的數(shù)的全體；(2)比較小的正整數(shù)的全體；(3)平面上到坐標(biāo)點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；(4)正三角形的全體；的近似值的全體舉一反三：【變式1】判斷下列語句能否確定一個集合?如果能表示一個集合，指出它是有限集還是無限集.(1)申辦2008年奧運(yùn)會的所有城市；(2)舉辦2008年奧運(yùn)會的城市；(3)高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題；(4)在2004年12月26日印度洋地震海嘯中遇難的人的全體；(5)大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù).(2)舉辦2008年奧運(yùn)會的城市也能組成一個集合，為有限集；學(xué)題是否是“難題”無法客觀判斷.(4)在2004年12月26日印度洋地震海嘯中遇難的人是確定的，不同的，因而能構(gòu)是有限集(5)大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù)也是確定的，互異的，因此這樣的實(shí)數(shù)能構(gòu)成一是無限集.(1)判斷一個語句能否確定一個集合，除考慮定義外，還應(yīng)從集合中元素的“確定性”(2)“有限集”和“無限集”是通過集合里面元素的個數(shù)來定義的，集合里面元素的個數(shù)很多，但不一定是無限集.例有實(shí)數(shù)的完全平方構(gòu)成的集合.兩個集合的元素不同.集合A,B都是方程(組)解的集合，但A中有兩個元素-1,7,而B中只有一個元素類型二：元素與集合的關(guān)系例3.用符號“∈”或“”填空.思路點(diǎn)撥：確定元素是否在集合中，要根據(jù)元素是否滿足集合的性質(zhì)來確定.【變式1】用符號“∈”或“史”填空. 思路點(diǎn)撥：給定一個對象a,它與一個給定的集合A之間的關(guān)系為a∈A,或者aA,二者必居其一.解答這類問題的關(guān)鍵是：弄清a的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才能下結(jié)論.對于第(1)題，可以通過使用計(jì)算器，比較各數(shù)值的大小，也可以先將各數(shù)值轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)一致的數(shù)，再比較大??；對于第(2)題，不妨分別令x=3,x=5,解方程；對于第(3)題，要明確各個集合的本質(zhì)屬性.總結(jié)升華：第(1)題充分體現(xiàn)了“化異為同”的數(shù)學(xué)思想.另外，“見根號就平方”也是一 個“口袋”中是裝了些x呢?還是裝了些n呢?要特別注意描述法表示的集合，是由符號“|”左邊的元素組成的，符號“I”右邊的部分表示x具有的性質(zhì).第(3)題要分清兩個集合的區(qū)別.集合{y|y=x2}這個“口袋”是由y構(gòu)成的，并且是由所有的大于或等于0的實(shí)數(shù)組成的；而集合{(x,v)|y=x2}是由拋物線=x2上的所有點(diǎn)構(gòu)成的，是一個點(diǎn)集.類型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用N-M=()的定義可得，在集合N中含有M中的2,3兩個元素，而不含有6,故N-M={6},選D。A.{2,3}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,6}解析：集合中的元素滿足是整數(shù)，且能夠使是自然數(shù)，所以由a∈z,所以-1≤a≤4當(dāng)a=2時，符合題意；當(dāng)a=4時，符合題意故a=-1,a=2,a=3,a=4為M中元素，即M={-1,2,3,4},選項(xiàng)D正確.例6.已知集合M={x|ax2+2x+1=0}中只含有一個元素，則a=思路點(diǎn)撥：由集合M中只含有一個元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并沒有注明是一個二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：當(dāng)a=0時，可得是一次方程，故滿足題意，當(dāng)a≠0時，則為一個二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的根，即為判別式為0時的a的值，可求得為a=1.故a的取值為0,1,當(dāng)a=1時，集合為{-2,-1,-3},當(dāng)a=-1時，集合為{-4,-5,-3},∴a=±1.類型四：集合的表示方法例(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.因此，用描述法表示為A=(x|x2-2=0,x∈R)因此，用列舉法表示為A=(√2,-√2}大于10小于20的整數(shù)有11,12,13,14,15,16,17,18,19,舉一反三：【變式1】用列舉法表示集合：思路點(diǎn)撥：本題是描述法與列舉法的互化，一定要先觀察描述法中代表元素是什么.總結(jié)升華：此例題(2)與(3),(4)與(5)兩組都是考察代表元素的，而(6)考察了集合元素的互異性，遇到代數(shù)式時，能否意識到字母a∈R,需要分類討論.【變式2】用列舉法表示下列集合.(3)C={16的正整數(shù)約數(shù)}.(3)C={1,2,4,8,16}.,n∈N+}.類型五：集合間的關(guān)系解析：不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為{a},,{c},含有2個元素再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有【變式1】已知集合A={1,3,a},B={a2},并且B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值.或a=0.例11.設(shè)M={x|x=a2+1,a∈N+},N={x|x=b2-4b+5,b∈N+},則M與N滿足()N={0,|x|,y}且M=N,求x,y的值.同理y≠0,:√z-y=0即x=y.【變式1】設(shè)a,b∈R,集合,則b-a=() 【變式2】已知集合A={x,xy,√x-y,集合B={0,|x|,y},若A=B,試解析：則x=y,A,B可寫為=-2.類型六：集合的運(yùn)算例13.已知集合A={yly=x2-4x+3,x∈R},B={yly=-x2-2x+2,x∈R},則A∩B等于()A.B.RC.{-1,3}≤3},所以A∩B={yl-1≤y≤3},選D.例14.設(shè)集合M={3,a},N={xlx2-3x<0,x∈Z},MNN={1},則MUN為()A.{1,3,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1,3}可知1∈M,即a=1,故選C.舉一反三：B.{1}解析：由題意知集合A,B是兩個一元二次方程的解集，若ANB={1},則x=1是以上兩個一元二次方程的公共解，即x=1同時滿足兩個一元二次方程.由此可得正確選項(xiàng)為A.【變式2】(3)已知集合A={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+1,2a-1},其中a∈R,若A∩B={-3},解：(1)P={2,-1},MUP={x|x≥2或x=-1},M∩P={2}.(2)∵A={yly≥0},B={yly≤4},A總結(jié)升華：此例題既練習(xí)集合的運(yùn)算，又考察了集合元素的互異性.其中(1)易錯點(diǎn)為求并集時，是否意識到要補(bǔ)上孤立點(diǎn)-1;而(2)中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題；(3)中根據(jù)集合元素的互異性，需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)求出a的一個值時，又要檢驗(yàn)是否符合題設(shè)條件.求AUB.解：事事,4【變式4】設(shè)集合A={2,a2-2a,6},B={2,2a2,3a-6},若A∩B={2,3}a2-2a,6},則必有a2-2a=3,舍去.例15.設(shè)全集U={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},那么(C?M)∩(C?N)=()即A為正確選項(xiàng)由A∩(C?B)={1,8}知，在A中且不在B中的元素有1,8;由(CuA)∩B={2,6},知不在A中且在B中的元素有2,6;由(C?A)∩(C?B)={4,7},知不在A中且不在B中的元素有4,7,則元素3,5必在A∩B中.A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}.類型七：集合運(yùn)算綜合應(yīng)用例(2)若A∩B≠A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；例18.設(shè)全集為R,M={x|ax+b≠0,例19.設(shè)S=(x|x=m+√2n,m,n∈Z)(1)若a∈z,則是否有a∈S?(2)對S中任意兩個元素x?,x?,則x+x?,x?·x?,是否屬于集合S?x?+x?=(m+m?)+√2(n?+n)∈學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)、選擇題1.下列各項(xiàng)中，不可以組成集合的是()A.所有的正數(shù)B.等于2的數(shù)C.接近于0的數(shù)D.不等于0的偶數(shù)2.下列四個集合中，是空集的是()A.(x|x+3=3)B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R)3.下列表示圖形中的陰影部分的是()B.(AUB)∩(AUC)其中正確命題的個數(shù)為()A.0個B.1個C.2個D.3個A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形6.若全集A.3個B.5個C.7個D.8個二、填空題圈是個無理數(shù)).2.若集合A={x|x≤6,xeN},B={x|x集的個數(shù)為_.3.若集合4.設(shè)集合取值范圍是3.已知集合,求實(shí)數(shù)a的值.4.設(shè)全集能力提升圈1.下列命題正確的有()(1)很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；(2)集是同一個集合；這些數(shù)組成的集合有5個元素；(x,y)|xy≤0,x,yeR}是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或03.若集合A.MUN=MB.MUN=NC.M∩N=M4.方程組的解集是()5.下列式子中，正確的是()A.R+∈RB.Z-={x|x≤0,C.空集是任何集合的真子集D.∈{2}6.下列表述中錯誤的是()二、填空題醫(yī)1.用適當(dāng)?shù)姆柼羁?.某班有學(xué)生55人，其中體育愛好者43人，音樂愛好者34人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為人.5.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一個元素，則α的取值范圍若至少有一個元素，則“的取值范圍A∩B=B求實(shí)數(shù)“的取值范圍.滿足A∩B≠0,,ANC=0,求實(shí)數(shù)“的值.求m的值.綜合探究圈,則()二、填空題圖2.全集則這樣的實(shí)數(shù)X是否存在?若存在，求出x;若不存在，請說明理由.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)醫(yī)1.C元素的確定性.2.D選項(xiàng)A所代表的集合并非空集，選項(xiàng)B所代表的集合是選項(xiàng)C所代表的集合是{0}3.A陰影部分完全覆蓋了C部分，這樣就要求交集運(yùn)算的兩邊都含有C部分.4三、解答題3.解：這樣,∴能力提升圈一、選擇題4.D原方程組可化為該方程組有組解,4.解：綜合探究國一、選擇題N:整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍.二、填空題三、解答題2.解：由課外拓展集合論簡介圈初中畢業(yè)升入高一級學(xué)校的同學(xué)們會一致發(fā)現(xiàn)自己所學(xué)的第一個數(shù)學(xué)概念都是：集合.這門研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被恰當(dāng)?shù)胤Q為集合論.它是數(shù)學(xué)的一個基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個極其獨(dú)特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域.如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中的重要性.其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽(yù)為對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一.下面就讓我們一起去探究一下這門獨(dú)特而重要的數(shù)學(xué)理論的來龍去脈，追覓它所走過的曲折歷程吧.集合論的誕生集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動.正是在這場運(yùn)動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開端.到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念.他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.康托爾的不朽功績在中學(xué)數(shù)學(xué)中我們所學(xué)習(xí)的只是集合論的最基本知識.學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們或許覺得一切都是很自然與簡單的，根本無法想象它在誕生之日遭到激烈反對的情景，也體會不到康托爾的功績之所在.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：“康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進(jìn)”.因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來.數(shù)學(xué)與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱.因?yàn)檫@一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界.對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么.“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示.”學(xué)過集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對這句話不會感到陌生.但同學(xué)們在接受這句話時根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋.無限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在.這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話說，就是“……我反對將無窮量作為一個實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的.所謂無窮，只是一種說話的方式……”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實(shí)無限思想.由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實(shí)無限思想在當(dāng)時遭到一些數(shù)學(xué)家的批評與攻擊是無足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮.他在實(shí)無限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個難以捉摸的奇特的無限世界.最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究.他提出用一—對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個數(shù).他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個數(shù)相同，用他自己的概念是等勢.由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)——例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系-—也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù)，他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢大于自然數(shù)集.這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄