概率論與數(shù)理統(tǒng)計B教案第二章

第二章隨機(jī)變量及其分布在隨機(jī)試驗中，人們除對某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個與隨機(jī)試驗的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同，對于隨機(jī)變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律性的分布.第一節(jié)隨機(jī)變量的概念內(nèi)容要點:一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性,需將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1.在有些隨機(jī)試驗中,試驗的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.2.在另一些隨機(jī)試驗中,試驗結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示之.二、隨機(jī)變量的定義定義設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:(1)它們都是實值函數(shù),但前者在試驗前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個值;(2)因試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗中的各種事件可通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.由此可見,隨機(jī)事件這個概念實際上是包容在隨機(jī)變量這個更廣的概念內(nèi).也可以說,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動態(tài)的觀點來研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：例1(講義例1)在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時,若規(guī)定出現(xiàn)正面時拋擲者贏1元錢,出現(xiàn)反面時輸1元錢,則其樣本空間為{正面,反面},記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間的實值函數(shù)定義為例2(講義例2)在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗中,其樣本空間記每次試驗出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見,使取值為的樣本點構(gòu)成的子集為故類似地，有例3(講義例3)在測試燈泡壽命的試驗中,每一個燈泡的實際使用壽命可能是中任何一個實數(shù),若用表示燈泡的壽命（小時），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即，是隨機(jī)變量.課堂練習(xí)1.一報童賣報,每份0.15元,其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報,并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回.設(shè)為報童每天賣出的報紙份數(shù),試將報童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)內(nèi)容要點:一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為,稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示的概率分布:二、常用離散分布退化分布兩點分布個點上的均勻分布二項分布幾何分布超幾何分布泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.實際問題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.三、二項分布的泊松近似定理1(泊松定理)在重伯努利試驗中,事件在每次試驗中發(fā)生的概率為(注意這與試驗的次數(shù)有關(guān)),如果時,(為常數(shù)),則對任意給定的,有.例題選講：離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1(講義例1)某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨立投籃投中次數(shù)的概率分布.例2(講義例2)設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為:.試確定常數(shù).二項分布例3(講義例3)已知100個產(chǎn)品中有5個次品,現(xiàn)從中有放回地取3次,每次任取1個,求在所取的3個中恰有2個次品的概率.例4(講義例4)某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.例5(講義例5)設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺;其二是由3人共同維護(hù)80臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.幾何分布例6(講義例6)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,已知他每發(fā)命中的概率是,求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.泊松分布例7(講義例7)某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布,求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項分布的泊松近似例8(講義例8)某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗廢品數(shù)大于5的概率是多少?例9(講義例9)一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?例10(講義例10)自1875年至1955年中的某63年間,上海市夏季(5—9月)共發(fā)生大暴雨180次,試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.課堂練習(xí)1.某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2,求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立,且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),求的概率分布.第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)我們要描述一個隨機(jī)變量時，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣，才能真正完整地刻畫一個隨機(jī)變量,為此，我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.內(nèi)容要點：一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)是一個隨機(jī)變量,稱為的分布函數(shù).有時記作或.分布函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)非減.若,則；2.3.右連續(xù)性.即二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則的分布函數(shù)為.例題選講：隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1（講義例1）等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點,記為落點的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)),求隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2（講義例2）判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)?離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例3（講義例3）設(shè)求.例4具有離散均勻分布,即求的分布函數(shù).例5（講義例4）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.課堂練習(xí)1．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,求的的分布函數(shù)，并求第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度內(nèi)容要點：一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義如果對隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對于任意實數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說明1.對一個連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù),同時,還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0.3.若在點處連續(xù),則(1)二、常用連續(xù)型分布均勻分布定義若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布,記為.指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡記為正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為注:正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型分布,在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣,故又常稱為高斯分布.一般來說，一個隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個因素都不起主導(dǎo)作用（作用微?。瑒t它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如,產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo),元件的尺寸,某地區(qū)成年男子的身高、體重,測量誤差,射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差,信號噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,此時,其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了時的數(shù)值,當(dāng)時,利用正態(tài)分布的對稱性,易見有（2）若則（3）若,則故的分布函數(shù)例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度例3（講義例2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求(1)概率;(2)X的密度函數(shù).常用連續(xù)型分布均勻分布例4（講義例3）某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時刻有汽車到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.指數(shù)分布例5（講義例4）某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其平均壽命為1000小時，求3個這樣的元件使用1000小時,至少已有一個損壞的概率.正態(tài)分布例6（講義例5）設(shè),求例7設(shè)某項競賽成績（65,100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎，問獲獎分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？例8（講義例6）將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在℃，液體的溫度（以℃計）是一個隨機(jī)變量，且(1)若℃，求小于89℃的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問至少為多少？例9（講義例7）某企業(yè)準(zhǔn)備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人,臨時工20人;報考的人數(shù)是1657人,考試滿分是400分.考試后得知,考試總平均成績,即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,問他能否被錄取?能否被聘為正式工?例10（講義例8）在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布(220，25)，試求：(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200~240伏的概率.課堂練習(xí)1.已知，求(1) (2);(3) (4)2.某種型號電池的壽命近似服從正態(tài)分布,已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布講解注意：一、隨機(jī)變量的函數(shù)定義如果存在一個函數(shù),使得隨機(jī)變量滿足:,則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).注:在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時,主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征,例如:導(dǎo)數(shù)、積分等.而在概率論中,我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征,即由自變量的統(tǒng)計規(guī)律性出發(fā)研究因變量的統(tǒng)計性規(guī)律.一般地,對任意區(qū)間,令,則注:隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系確定,為從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為易見,的函數(shù)顯然還是離散型隨機(jī)變量.如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布?其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值,然后對的每一個可能取值確定相應(yīng)的于是從而求得的概率分布.三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量,但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,此時我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù),而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù),則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:其中而常?？捎傻姆植己瘮?shù)來表達(dá)或用其概率密度函數(shù)的積分來表達(dá):進(jìn)而可通過的分布函數(shù),求出的密度函數(shù).定理1設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有),則是一個連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中是的反函數(shù),且例題選講：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1（講義例1）設(shè)隨機(jī)變量具有以下的分布律,試求的分布律.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2（講義例2）對一圓片直徑進(jìn)行測量,其值在[5,6]上均勻分布,求圓片面積的概率分布密度.例3（講義例3）設(shè),求的概率密度.例4設(shè),求的密度函數(shù).例5（講義例4）已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從上的均勻分布.例6（講義例5）也服從正態(tài)分布.例7（講義例6）設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,求的概率密度.例8（講義例8）(對數(shù)正態(tài)分布)隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為的對數(shù)正態(tài)分布,如果服從正態(tài)分布.試求對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注：在實際中,通常用對數(shù)正態(tài)分布來描述價格的分布,特別是在金融市場的理論