福建省廈門市2024−2025學年高二上學期10月階段性檢測數(shù)學試題含答案

福建省廈門市2024?2025學年高二上學期10月階段性檢測數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的一個方向向量為（

）A． B． C． D．2．直線平分圓C：，則（

）A． B．1 C．-1 D．-33．已知，且，則（

）A． B．C． D．4．已知向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C． D．5．瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點坐標為（

）A． B． C． D．6．已知點在圓上運動，點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，已知點滿足，記為點到直線的距離.當變化時，的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，則B．若，則是鈍角C．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面D．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線10．已知直線與，則下列說法正確的是（

）A．與的交點坐標是B．過與的交點且與垂直的直線的方程為C．，與x軸圍成的三角形的面積是D．的傾斜角是銳角11．在棱長為1的正方體中，為側(cè)面（不含邊界）內(nèi)的動點，為線段上的動點，若直線與的夾角為，則下列說法正確的是（）A．線段的長度為B．的最小值為1C．對任意點，總存在點，便得D．存在點，使得直線與平面所成的角為60°三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與直線，在上任取一點A，在上任取一點B，連接AB，取AB的靠近點A的三等分點C，過C作的平行線，則與間的距離為．13．已知四面體ABCD滿足，則點A到平面BCD的距離為.14．已知點，直線將分割成面積相等的兩部分，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，已知的頂點為，，是邊AB的中點，AD是BC邊上的高，AE是的平分線．

(1)求高AD所在直線的方程；(2)求AE所在直線的方程．16．如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，分別為的中點．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點B到平面的距離.17．如圖，在平行六面體中，平面，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.18．已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．(1)若為的中點，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時平面與平面的夾角的余弦值．(2)在（1）的條件下，設，，，且四面體的體積為，求的值．19．人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）．(1)若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)若點，，求的最大值；(3)已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．

參考答案1．【答案】A【詳解】因為直線的斜率為，對A，，A正確；對B，方向向量為的直線斜率不存在，B錯誤；對C，，C錯誤；對D，，D錯誤；故選:A.2．【答案】D【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.故選：D3．【答案】B【詳解】向量，則，因，于是得，解得，所以.故選：B.4．【答案】C【詳解】，設向量在向量的夾角為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，所以.故選：C.5．【答案】B【詳解】由的頂點坐標，可知其重心為.注意到，直線BC斜率不存在，則為直角三角形，則其垂心為其直角頂點，則歐拉線方程為：.因其與垂直，則.則，則直線與的歐拉線的交點坐標滿足，即交點為.故選：B6．【答案】A【詳解】由圓，可得圓心，半徑，又A?2,0，所以，所以，因為，所以.故選：A.7．【答案】C【詳解】直線過定點，對于任意確定的點，當時，此時，當不垂直時，過點作，此時，如圖所示：因為，所以，所以，由上可知：當確定時，即為，且此時；又因為在如圖所示的正方形上運動，所以，當取最大值時，點與重合，此時，所以，故選：C.8．【答案】A【詳解】因為直線，直線，易知，且分別過定點，取其中點C?2,0，易知，則P點在以C為圓心，3為半徑的圓上，取點，連接,不難發(fā)現(xiàn)，則，所以，則，當且僅當三點共線，且與線段和圓C的交點重合時取得等號.故選：A.9．【答案】CD【詳解】對于A，，所以，即，A錯誤；對于B，若，則小于0，則是鈍角或者180°，B錯誤；對于C，對空間中任意一點O，有，滿足，則P，A，B，C四點共面，可知C正確；對于D，兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線，D正確.故選：CD.10．【答案】BC【詳解】與可得，，解得交點坐標為，所以A錯誤；由所求直線與直線垂直得所求直線的斜率為，由點斜式得，即，所以B正確；如圖，與軸相交于，與軸相交于，與相交于

所以，與x軸圍成的三角形的面積，所以C正確；的斜率，所以的傾斜角是鈍角，所以D錯誤.故選：BC.11．【答案】ABC【詳解】建立如上圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意，可得：，，，，，，，設點，，由直線與的夾角為，則有：，故有：解得：為線段上的動點，則有：（）解得：對選項，則有：，故選項正確；對選項，過點作平面的垂線，垂足為易知：（由于）故的最小值等價于求故有：當且僅當時成立，結(jié)合，可得此時故選項正確；對選項，若，則有：，，又則有：則有：又，則有：，故對任意點，總存在點，便得，故選項正確；對選項，易知平面的法向量為，若直線與平面所成的角為，即直線與平面的法向量成，則有：解得：，矛盾，故選項錯誤.故選：12．【答案】55/【詳解】過A做于D，交于E，如圖所示：因為，且由題意得，所以，所以，又直線與間的距離，所以與間的距離，故答案為：.13．【答案】【詳解】因為四面體滿足，可得，設平面的一個法向量，則，令，解得，所以，所以，設點到平面的距離為，則.故答案為：.14．【答案】【詳解】，由已知得，由得，，，直線與軸交于，當在點與點之間（包括點）時，，，則有..，所以，，，故，所以，，又，，故；當在點的左側(cè)時，解得，，由得，此時，，點到直線的距離，，得，則有，所以，，又，，故，，即.綜上所述：實數(shù)b的取值范圍.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為是邊AB的中點，所以，因為，所以，因此高AD所在直線的方程為：；（2）因為AE是的平分線，所以，所以，設，所以，所以AE所在直線的方程為：.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為底面ABCD是正方形，所以，且，所以以為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，因為，則，可得，設平面的法向量為，則，可取，設直線與平面所成角為，則.（2）求得，因為平面的法向量，所以點到平面的距離.17．【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）解法一：因為平面，平面，所以，所以因為，所以又因為，所以，化簡得所以，所以解法二：在平面內(nèi)過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設，則，所以，由得，所以，又因為，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面的一個法向量為，假設存在點滿足條件，設，則，設平面的一個法向量為，由，得，令，則，，所以，所以，因為平面與平面的夾角為，即，解得，又因為，所以舍去，所以線段上不存在點使得平面與平面的夾角為.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，，，，平面，可得平面，且為二面角的平面角，即，連接，而，則為正三角形，取的中點，連接，則，由平面，平面，所以平面平面，而平面平面，平面，可得平面，取的中點，連接，由矩形得，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則點，可得，設點，則，設平面的法向量，則，令，則，，可得，因為直線與平面所成的角為，則，解得或（舍，即，設平面的法向量為，則，令，則，，可得，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．（2）因為，，可知，分別為，的中點，又因為為的中點，則，可得，，設平面的一個法向量為，則，令，則，，可得，因為，，，由余弦定理得，可知為銳角，可得，則，因為四面體的體積為，設點到平面的距離為，則，解得，因為，則，可得，則，解得．所以的值為19．【答案】(1)，(2)(3)存在，和【詳解