河北省邯鄲市武安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試 數(shù)學(xué)試題含答案

河北省邯鄲市武安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則等于（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．21 B．19 C．12 D．425．已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，且，則（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知正四棱臺下底面邊長為，若內(nèi)切球的體積為，則其外接球表面積是（

）A．49π B．56π C．65π D．130π二、多選題9．如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形C．平面 D．平面平面10．已知函數(shù)，則（

）A．的一個(gè)對稱中心為B．的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的是奇函數(shù)的圖象C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則11．我們知道正.余弦定理推導(dǎo)的向量法，是在中的向量關(guān)系的基礎(chǔ)上平方或同乘的方法構(gòu)造數(shù)量積，進(jìn)而得到長度與角度之間的關(guān)系.如圖，直線與的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．D．三、填空題12．已知集合中的三個(gè)實(shí)數(shù)，按一定順序排列后可以排成一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列，則．13．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為.14．已知點(diǎn)為扇形的弧上任意一點(diǎn)，且，若，則的取值范圍是.四、解答題15．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)若角的平分線交于點(diǎn)，求的長．16．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.17．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，等差數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)的前項(xiàng)和，求證：．18．分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)．(1)當(dāng)P為C的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線PQ的斜率；(2)求四邊形的面積的最大值．19．我們稱復(fù)數(shù)列為廣義等差的，若實(shí)數(shù)列和均為等差數(shù)列．(1)若等比復(fù)數(shù)列（即）是廣義等差的，證明：；(2)已知，若復(fù)數(shù)列為廣義等差的，求的所有可能值；(3)若復(fù)數(shù)列是廣義等差的，且，證明：對于任意實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)列中至多存在兩項(xiàng)，使得．參考答案：題號12345678910答案BCAACCDCBDBD題號11答案ABD1．B【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集運(yùn)算可得.【詳解】解不等式，得，所以.故選：B2．C【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算可得，再由模長公式即可得出結(jié)果.【詳解】依題意可得，所以.故選：C3．A【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A4．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解公差和首項(xiàng)，進(jìn)而由求和公式求解.【詳解】是等差數(shù)列，，即，所以故公差，，故選：A5．C【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算出點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?所以，將向量順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到化簡得，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為；故選：C.6．C【分析】由，采用構(gòu)造數(shù)列的方法，，則可以確定數(shù)列為等比數(shù)列，然后進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以．故選：C.7．D【分析】利用兩角差的余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系建立等式求解，再由兩角和的余弦公式求解即可．【詳解】由已知可得，解得，，，，故選：D．8．C【分析】作出正四棱臺及其內(nèi)切球的軸截面，求出正四棱臺的上底面邊長，再求出外接球半徑即可得解.【詳解】正四棱臺下底面邊長，設(shè)其內(nèi)接球半徑為，則，解得，取的中點(diǎn)，則四邊形內(nèi)切圓是正四棱臺內(nèi)接球的截面大圓，則四邊形是等腰梯形，，而，，整理得，而，則，設(shè)為正四棱臺外接球球心，為該球半徑，則，令分別為正四棱臺上下底面的中心，則，，，，當(dāng)球心在線段時(shí)，，解得，球的表面積為；當(dāng)球心在線段的延長線時(shí)，，無解，所以所求外接球表面積是.故選：C9．BD【分析】可得過三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，判斷A；分別連接和，截面是等腰梯形，判斷B；分別取的中點(diǎn)，易證顯然不平行平面，可判斷C；平面，可判斷D.【詳解】對于A：如圖經(jīng)過三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，點(diǎn)在平面外，四點(diǎn)不共面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：分別連接和，則平面即平面，截面是等腰梯形，選項(xiàng)B正確；對于C：分別取的中點(diǎn)，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)槭堑妊切危?，，，是的中點(diǎn)，易證，由正方體可得平面，平面，又平面，，平面，平面，平面，平面平面故選項(xiàng)D正確．故選：BD．10．BD【分析】代入即可驗(yàn)證A，根據(jù)平移可得函數(shù)圖象，即可由正弦型函數(shù)的奇偶性求解B，利用整體法即可判斷C，由求解所以根，即可求解D.【詳解】對于A，由，故A錯(cuò)誤；對于B，的圖象向右平移個(gè)單位長度后得：，為奇函數(shù)，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，則，由余弦函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得，解得或，在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為：，而第7個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，故D正確.故選：BD11．ABD【分析】利用余弦定理可判斷A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判斷B；利用特殊值可判斷C錯(cuò)誤；設(shè)，在兩邊同乘向量，根據(jù)數(shù)量積定義即可判斷D.【詳解】對A，由余弦定理知，，，上述三個(gè)等式相加得，A正確；對B，因?yàn)?，所以，B正確；對C，當(dāng)時(shí)，式子左邊，右邊，由得，此時(shí)，只有當(dāng)時(shí)，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C錯(cuò)誤；對D，設(shè)，則，則，因?yàn)?，所以，即，整理得，D正確.故選：ABD12．5【分析】由已知可得?2是與的等比中項(xiàng)，求得，然后分，再結(jié)合等差中項(xiàng)的概念列式求解與的值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?2是與的等比中項(xiàng)，則，若，則為與?2的等差中項(xiàng)，可得，解得，，所以；若，則為與?2的等差中項(xiàng)，可得，解得，，所以；綜上所述：.故答案為：5.13．【分析】由可得，由函數(shù)在上是增函數(shù)可得，然后對的取值逐一驗(yàn)證，然后可得取值.【詳解】由可知，，得，所以，又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即，所以，所以，的可能取值為.當(dāng)時(shí)，由解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)滿足題意.所以，的可能取值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于能從已知中發(fā)現(xiàn)周期的所滿足的條件，然后根據(jù)周期確定的可能取值，再通過驗(yàn)證即可求解.14．【分析】建系設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合向量關(guān)系表示，最后應(yīng)用三角恒等變換及三角函數(shù)值域求范圍即可.【詳解】方法一：設(shè)圓的半徑為1，由已知可設(shè)為軸的正半軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O點(diǎn)作x軸垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，其中，其中，由，即，整理得，解得，則，所以.方法二：設(shè)，如圖，當(dāng)位于點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)共線，所以；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，，所以故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦定理整理得到，再利用三角形的內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）利用正弦定理得出，再由余弦定理求出，，再根據(jù)三角形的面積建立等式求解．【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，則，所以，整理得，因?yàn)榫鶠槿切蝺?nèi)角，所以，因此，所以．（2）因?yàn)槭墙堑钠椒志€，，所以在和中，由正弦定理可得，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以．又，即，即，所以．16．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【詳解】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因?yàn)?，平面平面，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查線面位置關(guān)系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在,平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.17．(1)，(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量運(yùn)算列式求解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求和得證.【詳解】（1）由題，設(shè)數(shù)列an的公比為（），bn的公差為，由，即，解得，，又，即，解得，.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，所以，，，所以.18．(1)(2)3【分析】（1）結(jié)合圖形，易得，求得的斜率，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)，即得直線PQ的斜率；（2）結(jié)合圖形，由對稱性可知，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是面積的一半，設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出和點(diǎn)到直線的距離，得到四邊形的面積函數(shù)式，利用換元和對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.【詳解】（1）由可知,橢圓上頂點(diǎn)為，即,直線的斜率為，則直線的方程為：，將其代入整理得，，解得，或，因點(diǎn)在x軸上方,故得點(diǎn)，于是直線PQ的斜率為：；（2）如圖，設(shè)過點(diǎn)的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)和，利用對稱性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形的面積是面積的一半.顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為代入，整理得：，顯然，設(shè)，則，于是，，點(diǎn)到直線的距離為，則四邊形的面積為，令，則，且，代入得，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值為4，此時(shí).19．(1)證明過程見解析(2)(3)證明過程見解析【分析】（1）由題意只需證明，結(jié)合以及復(fù)數(shù)運(yùn)算即可得證；（2）先由（1）中結(jié)論可得，求出對應(yīng)的的可能值，再驗(yàn)證是否滿足即可；（3）根據(jù)等差數(shù)列的幾何意義以及橢圓的定義、復(fù)數(shù)模的概念，以及直線與橢圓的位置關(guān)系即可得證.【詳解】（1）若等比復(fù)數(shù)列（即）是廣義等差的，設(shè)，則實(shí)數(shù)列和均為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為，要證，只需證，只需證，由題意，從而；綜上所述，命題得證；（2）設(shè)，則，所以等比復(fù)數(shù)列為廣義等差的，由（1）可知，事實(shí)上結(jié)合（1）的分析過程可得更一般的結(jié)論：，在這里，我們先考慮方程或，即或，而當(dāng)時(shí)，滿足，由以上分析，這表明復(fù)數(shù)列為廣義等差的，故符合題意；當(dāng)時(shí)，，這意味著，而這與矛盾，故復(fù)數(shù)列不為廣義等差的，故不符合題意，綜上所述，