專項(xiàng)21-一元二次方程的應(yīng)用綜合-重難點(diǎn)題型

一元二次方程的應(yīng)用綜合-重難點(diǎn)題型【題型1與一元二次方程有關(guān)的三角形動(dòng)點(diǎn)問題】【例1】（興城市月考）如圖，在△ABC內(nèi)，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【變式1-1】（茶陵縣期末）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CA方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts（t＞0）．（1）當(dāng)t＝4時(shí)，求△APQ的面積．（2）經(jīng)過多少秒時(shí)，△APQ的面積是△ABC面積的一半．【變式1-2】（廣州模擬）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．（2）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？【變式1-3】（鶴城區(qū)期末）已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于210cm（3）△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．【題型2與一元二次方程有關(guān)的四邊形動(dòng)點(diǎn)問題】【例2】（天寧區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)；當(dāng)△PQC的面積等于16cm2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．【變式2-1】（渭濱區(qū)校級期中）如圖，在邊長為6cm正方形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC和CD邊向D點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．過了秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2．【變式2-2】（江岸區(qū)校級月考）如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（1）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2？（2）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm？【變式2-3】如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝8cmBD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向以2cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿BD方向以1cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，若M，N同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)之間的距離是多少？（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，用含t的代數(shù)式表示OM的長；設(shè)W＝MN2，求W關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MON的面積為14cm2【題型3一元二次方程與一次函數(shù)的綜合】【例3】（平潭縣校級月考）北京國家體育場“鳥巢”的模型深受游客喜愛．圖中折線（AB∥CD∥x軸）反映了某種規(guī)格“鳥巢”模型的單價(jià)y（元）與購買數(shù)量x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）求當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知某旅游團(tuán)購買該種規(guī)格的“鳥巢”模型的總金額為2625元，問該旅游團(tuán)共購買這種模型多少個(gè)？（總金額＝數(shù)量×單價(jià)）【變式3-1】（天心區(qū)期末）為積極響應(yīng)新舊功能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)售價(jià)為35萬元時(shí)，年銷售量為550臺(tái)；每臺(tái)售價(jià)為40萬元時(shí)，年銷售量為500臺(tái)．假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺(tái)）和銷售單價(jià)x（單位：萬元）成一次函數(shù)關(guān)系．（1）求年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于60萬元，如果該公司想獲得8000萬元的年利潤，則該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬元？【變式3-2】（西湖區(qū)校級月考）某商店代銷一種智能學(xué)習(xí)機(jī)，促銷廣告顯示“如果購買不超過40臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)，則每臺(tái)售價(jià)800元，如果超出40臺(tái)，則每超過1臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)將均減少5元”該學(xué)習(xí)機(jī)的進(jìn)貨價(jià)與進(jìn)貨數(shù)量關(guān)系如圖所示：（1）當(dāng)x＞40時(shí)，用含x的代數(shù)式表示每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的售價(jià)；（2）當(dāng)該商店一次性購進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)60臺(tái)，每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)可以獲利多少元；（3）若該商店在一次銷售中獲利4800元，則該商店可能購進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)多少臺(tái)．【變式3-3】（麻城市校級月考）某商店以20元/千克的單價(jià)新進(jìn)一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②若某段時(shí)間內(nèi)該商品的銷售單價(jià)為70元，則銷售利潤為多少元？（利潤＝（銷售單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量）③要使銷售利潤達(dá)到800元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？④在一段時(shí)間內(nèi)，銷售利潤能達(dá)到1000元嗎？若能，求出此時(shí)的銷售單價(jià)；若不能，說明理由．【題型4與一元二次方程有關(guān)的閱讀探究問題】【例4】（洛寧縣月考）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，那么稱這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“減半”矩形．任務(wù)：當(dāng)矩形的長為8，寬為1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？如果存在，請求出“減半”矩形的長和寬；如果不存在，請說明理由．【變式4-1】（樂清市期末）閱讀探究：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組x+y=72xy=3，消去y化簡得：2x2∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴滿足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？【變式4-2】（任城區(qū)三模）閱讀下面材料：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，它通常用字母d表示，我們可以用公式S＝na+n(n?1)2×d來計(jì)算等差數(shù)列的和．（公式中的n例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10?1)用上面的知識(shí)解決下列問題．（1）計(jì)算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某縣決定對坡荒地進(jìn)行退耕還林．從2009年起在坡荒地上植樹造林，以后每年植樹后坡荒地的實(shí)際面積按一定規(guī)律減少，如表為2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面積的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．問到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木．2009年2010年2011年2012年植樹后坡荒地的實(shí)際面積（公頃）25200240002240020400【變式4-3】（順昌縣校級月考）實(shí)驗(yàn)與探究：三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算．如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)的和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)的和嗎？如果要用試驗(yàn)的方法，由上而下地逐行的相加其點(diǎn)數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和與n的數(shù)量關(guān)系前n行的點(diǎn)數(shù)的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以發(fā)現(xiàn)．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把兩個(gè)中括號(hào)中的第一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)相加…第n項(xiàng)相加，上式等號(hào)的后邊變形為這n個(gè)小括號(hào)都等于n+1，整個(gè)式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）這就是說，三角點(diǎn)陣中前n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)的和是n（n+1）．下列用一元二次方程解決上述問題設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為300，則有12n（n+1）＝300整理這個(gè)方程，得：n2+n﹣600＝0解方程得：n1＝24，n2＝﹣25，根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定n（1）三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．（2）如果把圖中的三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的點(diǎn)數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎？這個(gè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600嗎？如果能，求出n；如果不能，試用一元二次方程說明道理．

一元二次方程的應(yīng)用綜合-重難點(diǎn)題型（解析版）【題型1與一元二次方程有關(guān)的三角形動(dòng)點(diǎn)問題】【例1】（興城市月考）如圖，在△ABC內(nèi)，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【解題思路】過點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出QE=12QB，設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ得面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根據(jù)△PBQ的面積等于4cm2，即可得出關(guān)于【解答過程】解：如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE=12設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ得面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根據(jù)題意得：12?（6﹣t）?t整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．當(dāng)t＝4時(shí)，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，∴t＝2．答：經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【變式1-1】（茶陵縣期末）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CA方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts（t＞0）．（1）當(dāng)t＝4時(shí)，求△APQ的面積．（2）經(jīng)過多少秒時(shí)，△APQ的面積是△ABC面積的一半．【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面積公式求解；（2）設(shè)經(jīng)過t秒△APQ的面積是△ABC面積的一半，則BP＝2tcm，CQ＝2tcm，進(jìn)而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣t）cm，利用面積公式表示出方程求解但是由于題目給的是射線，注意分類討論．【解答過程】解：（1）∵點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1m/s，當(dāng)t＝4時(shí)，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，∴AP＝4cm，AQ＝4cm，∴S△APQ=12×4×4＝8（（2）設(shè)經(jīng)過t秒△APQ的面積是△ABC面積的一半．根據(jù)題意得：12S△ABC=12×當(dāng)0＜t＜6時(shí)如圖1：S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12（舍去）或t＝2．當(dāng)6＜t＜8時(shí)如圖2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣整理得t2﹣14t+72＝0，△＜0，無解．當(dāng)t＞8時(shí)如圖3：S△APQ=12（2t﹣12）（整理得t2﹣14t+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．綜上所述：經(jīng)過2秒或12秒△APQ的面積是△ABC面積的一半．【變式1-2】（廣州模擬）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．（2）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？【解題思路】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)面積之間的等量關(guān)系和判別式即可求解；（2）分三種情況：①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（0＜t≤4）；②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（4＜t≤6）；③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（t＞6）；進(jìn)行討論即可求解．【解答過程】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，線段PQ能將△ABC分成面積相等的兩部分由題意知：AP＝x，BQ＝2x，則BP＝6﹣x，∴12（6﹣x）?2x=∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程無解，∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；（2）設(shè)t秒后，△PBQ的面積為1①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上時(shí)此時(shí)0＜t≤4由題意知：12（6﹣t）（8﹣2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2（不合題意，應(yīng)舍去），t2＝5?②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB的延長線上時(shí)此時(shí)4＜t≤6，由題意知：12（6﹣t）（2t整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，點(diǎn)Q在線段CB的延長線上時(shí)此時(shí)t＞6，由題意知：12（t﹣6）（2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2，t2＝5?綜上所述，經(jīng)過5?2秒、5秒或5+2秒后，△【變式1-3】（鶴城區(qū)期末）已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于210cm（3）△PQB的面積能否等于7cm2？請說明理由．【解題思路】（1）經(jīng)過x秒鐘，△PBQ的面積等于4cm2，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）令S△PQB＝7，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，再根據(jù)b2﹣4ac得出原方程沒有實(shí)數(shù)根，從而得出△PQB的面積不能等于7cm2．【解答過程】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后，△PBQ面積為4cm2（0＜x≤3.5）此時(shí)AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，由12BP?BQ=4，得整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍）；答：1秒后△PBQ的面積等于4cm2；（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于210cm，由PQ2＝BP2+BQ即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或3．則3秒后，PQ的長度為210（3）假設(shè)經(jīng)過t秒后，△PBQ的面積等于7cm2，即BP×BQ2=7整理得：t2﹣5t+7＝0，由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，則原方程沒有實(shí)數(shù)根，所以△PQB的面積不能等于7cm2．【題型2與一元二次方程有關(guān)的四邊形動(dòng)點(diǎn)問題】【例2】（天寧區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)；當(dāng)△PQC的面積等于16cm2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．【解題思路】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs（0≤x≤6），則PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面積的計(jì)算公式結(jié)合△PQC的面積等于16cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs（0≤x≤6），則PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，依題意，得：12（12﹣2x）（6﹣x整理，得：x2﹣12x+20＝0，解得：x1＝2，x2＝10（不合題意，舍去）．故答案為：2．【變式2-1】（渭濱區(qū)校級期中）如圖，在邊長為6cm正方形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC和CD邊向D點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．過了秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2．【解題思路】設(shè)經(jīng)過x秒，△PBQ的面積等于8cm2，分類討論當(dāng)0＜x＜3秒時(shí)，Q點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)，P在AB上運(yùn)動(dòng)，求出面積的表達(dá)式，求出一個(gè)值，當(dāng)3＜x＜6秒時(shí)，Q點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，P在AB上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)條件列出一個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)值．【解答過程】解：設(shè)經(jīng)過x秒，△PBQ的面積等于8cm2，當(dāng)0＜x＜3秒時(shí)，Q點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)，P在AB上運(yùn)動(dòng)，PB＝6﹣x，BQ＝2x，所以S△PBQ=12PB?BQ=12×解得x＝2或4，又知x＜3，故x＝2符合題意，當(dāng)3＜x＜6秒時(shí)，Q點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，P在AB上運(yùn)動(dòng)，S△PBQ=12（6﹣解得x=10故答案為：2或103【變式2-2】（江岸區(qū)校級月考）如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（1）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2？（2）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm？【解題思路】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）利用梯形的面積公式結(jié)合四邊形PBCQ的面積為33cm2，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，則PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理結(jié)合PQ＝10cm，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答過程】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．（1）依題意，得：12×（16﹣3t+2解得：t＝5．答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2．（2）過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示．∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：t1=85，t2答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到85秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm【變式2-3】如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝8cmBD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向以2cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿BD方向以1cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，若M，N同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)之間的距離是多少？（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，用含t的代數(shù)式表示OM的長；設(shè)W＝MN2，求W關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MON的面積為14cm2【解題思路】（1）利用菱形的性質(zhì)得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，利用勾股定理求得MN的平方即可；（3）根據(jù)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中與O點(diǎn)的位置關(guān)系，分當(dāng)t＜2時(shí)，點(diǎn)M在線段AO上，點(diǎn)N在線段BO上、當(dāng)2＜t＜3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段BO上和當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段OD上三種情況分別討論，利用三角形的面積建立方程求得答案即可．【解答過程】解：（1）∵菱形ABCD中，AC＝8cmBD＝6cm，∴OA＝4，OB＝3，∵當(dāng)t＝1秒時(shí)，OM＝4﹣2＝2，ON＝3﹣1＝2，∴MN=22+（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，OM＝2t﹣4，ON＝3﹣t，W＝MN2＝OM2+ON2＝（2t﹣4）2+（3﹣t）2＝5t2﹣22t+25；（3）①當(dāng)t＜2時(shí)，點(diǎn)M在線段AO上，點(diǎn)N在線段BO上．12（4﹣2t）（3﹣t）=解得t1=5+22，t∵t＜2，∴t=5?②當(dāng)2＜t＜3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段BO上，12（2t﹣4）（3﹣t）=解得t1＝t2=5③當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)M在線段OC上，點(diǎn)N在線段OD上，12（2t﹣4）（t﹣3）=解得t1=5+22，t∵t＞3，∴t=5+綜上所述，出發(fā)后5?22s或52s或5+22s時(shí)，△MON【題型3一元二次方程與一次函數(shù)的綜合】【例3】（平潭縣校級月考）北京國家體育場“鳥巢”的模型深受游客喜愛．圖中折線（AB∥CD∥x軸）反映了某種規(guī)格“鳥巢”模型的單價(jià)y（元）與購買數(shù)量x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）求當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知某旅游團(tuán)購買該種規(guī)格的“鳥巢”模型的總金額為2625元，問該旅游團(tuán)共購買這種模型多少個(gè)？（總金額＝數(shù)量×單價(jià)）【解題思路】（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得所求函數(shù)關(guān)系式；（2）所用金額既不是200的倍數(shù)，也不是150的倍數(shù)，可得模型的單價(jià)在150和200之間，根據(jù)總價(jià)等于2625得到一元二次方程，求解即可．【解答過程】解：（1）當(dāng)10≤x≤20時(shí)，設(shè)y＝kx+b（k≠0）（11分）依題意，得10k+b=20020k+b=150解得k=?5b=250∴當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y＝﹣5x+250；（2）∵10×200＜2625＜20×150∴10＜x＜20，依題意，得xy＝x（﹣5x+250）＝2625，即x2﹣50x+525＝0，解得x1＝15，x2＝35（舍去）∴只取x＝15．答：該旅游團(tuán)共購買這種模型15個(gè)．【變式3-1】（天心區(qū)期末）為積極響應(yīng)新舊功能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)售價(jià)為35萬元時(shí)，年銷售量為550臺(tái)；每臺(tái)售價(jià)為40萬元時(shí)，年銷售量為500臺(tái)．假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺(tái)）和銷售單價(jià)x（單位：萬元）成一次函數(shù)關(guān)系．（1）求年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于60萬元，如果該公司想獲得8000萬元的年利潤，則該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬元？【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)此設(shè)備的銷售單價(jià)為x萬元/臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數(shù)量為（﹣10x+900）臺(tái)，根據(jù)總利潤＝單臺(tái)利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出結(jié)論．【解答過程】解：（1）設(shè)年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（35，550）、（40，500）代入y＝kx+b，得35k+b=55040k+b=500解得：k=?10b=900∴年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+900；（2）設(shè)此設(shè)備的銷售單價(jià)為x萬元/臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的利潤為（x﹣30）萬元，銷售數(shù)量為（﹣10x+900）臺(tái)，根據(jù)題意得：（x﹣30）（﹣10x+900）＝8000．整理，得：x2﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x2＝70．∵此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于60萬元，∴x＝50．答：該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是50萬元/臺(tái)．【變式3-2】（西湖區(qū)校級月考）某商店代銷一種智能學(xué)習(xí)機(jī)，促銷廣告顯示“如果購買不超過40臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)，則每臺(tái)售價(jià)800元，如果超出40臺(tái)，則每超過1臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)將均減少5元”該學(xué)習(xí)機(jī)的進(jìn)貨價(jià)與進(jìn)貨數(shù)量關(guān)系如圖所示：（1）當(dāng)x＞40時(shí)，用含x的代數(shù)式表示每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的售價(jià)；（2）當(dāng)該商店一次性購進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)60臺(tái)，每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)可以獲利多少元；（3）若該商店在一次銷售中獲利4800元，則該商店可能購進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)多少臺(tái)．【解題思路】（1）根據(jù)如果超出40臺(tái)，則每超過1臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)將均減少5元，可列式；（2）先根據(jù)待定系數(shù)法計(jì)算直線的解析式，再計(jì)算x＝60時(shí)的進(jìn)價(jià)和售價(jià)，可得利潤；（3）分當(dāng)x＞40和當(dāng)x≤40時(shí)，分別計(jì)算每臺(tái)的售價(jià)，列方程解出即可．【解答過程】解：（1）由題意得：當(dāng)x＞40時(shí)，每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的售價(jià)為（單位：元）：800﹣5（x﹣40）＝﹣5x+1000；（2）設(shè)圖中直線解析式為：y＝kx+b，把（0，700）和（50，600）代入得：50k+b=600b=700解得：k=?2b=700直線解析式為：y＝﹣2x+700，當(dāng)x＝60時(shí)，進(jìn)價(jià)為：y＝﹣2×60+700＝580，售價(jià)為：800﹣5×（60﹣40）＝700，則每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)可以獲利：700﹣580＝120（元）；（3）當(dāng)x＞40時(shí)，每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的利潤是：（﹣5x+1000）﹣（﹣2x+700）＝﹣3x+300，則x（﹣3x+300）＝4800，解得：x1＝80，x2＝20（舍），當(dāng)x≤40時(shí)，每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的利潤是：800﹣（﹣2x+700）＝2x+100，則x（2x+100）＝4800，解得：x1＝30，x2＝﹣80（舍），答：則該商店可能購進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)80臺(tái)或30臺(tái)．【變式3-3】（麻城市校級月考）某商店以20元/千克的單價(jià)新進(jìn)一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②若某段時(shí)間內(nèi)該商品的銷售單價(jià)為70元，則銷售利潤為多少元？（利潤＝（銷售單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量）③要使銷售利潤達(dá)到800元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？④在一段時(shí)間內(nèi)，銷售利潤能達(dá)到1000元嗎？若能，求出此時(shí)的銷售單價(jià)；若不能，說明理由．【解題思路】①當(dāng)20≤x≤80時(shí)，利用待定系數(shù)法即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)表達(dá)式；②把x＝70代入函數(shù)式求得銷量，然后由利潤＝（銷售單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量求得答案；③根據(jù)銷售利潤達(dá)到800元，可得方程，解方程即可得到銷售單價(jià)；④根據(jù)銷售利潤達(dá)到1000元，可得方程，解方程即可得到銷售單價(jià)．【解答過程】解：①當(dāng)0＜x＜20時(shí)，y＝60；當(dāng)20≤x≤80時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，把（20，60），（80，0）代入，可得60=20k+b0=80k+b解得k=?1b=80∴y＝﹣x+80，∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=60(0≤x≤20)②把x＝70代入y＝﹣x+80，得到：y＝﹣70+80＝10，故w＝（70﹣20）×10＝500（元）；③若銷售利潤達(dá)到800元，若20≤x≤80，則（x﹣20）（﹣x+80）＝800，解得x1＝40，x2＝60，若0＜x＜20，則（x﹣20）×60＝800，解得x=100∴要使銷售利潤達(dá)到800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克40元或60元．④根據(jù)題意，得（x﹣20）（﹣x+80）＝1000，整理，得x2﹣100x+2600＝0．因?yàn)椤鳎?002﹣4×2600＝﹣400＜0，所以方程無實(shí)數(shù)根，所以不能達(dá)到1000元．【題型4與一元二次方程有關(guān)的閱讀探究問題】【例4】（洛寧縣月考）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，那么稱這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“減半”矩形．任務(wù)：當(dāng)矩形的長為8，寬為1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？如果存在，請求出“減半”矩形的長和寬；如果不存在，請說明理由．【解題思路】假設(shè)存在，設(shè)“減半”矩形的長為x，則寬為（92?x），根據(jù)矩形的面積公式，即可得出關(guān)于【解答過程】解：假設(shè)存在，設(shè)“減半”矩形的長為x，則寬為（92?依題意，得：x（92?x）整理，得：x2?92解得：x1=9+174，x當(dāng)x=9+174時(shí)，9當(dāng)x=9?174時(shí)，9∴長為8，寬為1的矩形存在“減半”矩形，且“減半”矩形的長為9+174，寬為【變式4-1】（樂清市期末）閱讀探究：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半？”（完成下列空格）（1）當(dāng)已知矩形A的邊長分別為6和1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組x+y=72xy=3，消去y化簡得：2x2∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴滿足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．（3）如果矩形A的邊長為m和n，請你研究滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？【解題思路】（1）利用求根公式即可求出方程的兩根；（2）仿照（1）找準(zhǔn)關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式△＝﹣7＜0，可得出方程無解，即不存在滿足要求的矩形B；（3）仿照（1）找準(zhǔn)關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式△≥0，可找出m、n之間的關(guān)系．【解答過程】解：（1）利用求根公式可知：x1=7?12×2=32故答案為：32（2）設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，根據(jù)題意得：x+y=3消去y化簡得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴該方程無解，∴不存在滿足要求的矩形B．（3）設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，根據(jù)題意得：x+y=m+n消去y化簡得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故當(dāng)m、n滿足（m﹣n）2≥4mn時(shí)，矩形B存在．【變式4-2】（任城區(qū)三模）閱讀下面材料：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，它通常用字母d表示，我們可以用公式S＝na+n(n?1)2×d來計(jì)算等差數(shù)列的和．（公式中的n例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10?1)用上面的知識(shí)解決下列問題．（1）計(jì)算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某縣決定對坡荒地進(jìn)行退耕還林．從2009年起在坡荒地上植樹造林，以后每年植樹后坡荒地的實(shí)際面積按一定規(guī)律減少，如表為2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面積的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．問到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木．2009年2010年2011年2012年植樹后坡荒地的實(shí)際面積（公頃）25200240002240020400【解題思路】（1）利用材料中的公式解答；（2）設(shè)在2009年的基礎(chǔ)上，再過x年可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹木．從