第11講兩點(diǎn)間的距離公式（學(xué)生版）高二數(shù)學(xué)講義（人教A2019選擇性）

第11講兩點(diǎn)間的距離公式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.理解向量的模與向量的坐標(biāo)的關(guān)系，由此可以理解平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離以及兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過程.2.會(huì)用兩點(diǎn)間的距離公式求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離.3.利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式及意義，解決與之相關(guān)的平面幾何問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握利用向量法推導(dǎo)兩點(diǎn)間距離公式的方法，并能用兩點(diǎn)間距離公式求兩點(diǎn)間的距離，以及解決與平面距離相關(guān)的問題.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為.特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離．2．兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)法一：已知平面上的任意兩點(diǎn)，向量，則.因此得到平面上的任意兩點(diǎn)的距離公式為：.法二：已知平面上的任意兩點(diǎn)，如何求點(diǎn)間的距離?如圖，過點(diǎn)分別向y軸和x軸作垂線和，垂足分別為，，直線與相交于點(diǎn)Q．在中，，過點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為；過點(diǎn)向軸作垂線，垂足為，所以，同理可得．所以．由此得到平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為．【即學(xué)即練1】點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)為(3，4)，則|AB|等于（）A．10 B．5C．8 D．6【即學(xué)即練2】若過點(diǎn)A(3，a)和點(diǎn)B(4，b)的直線與y＝2x＋3平行，則|AB|的值為（）A．3B．C．5D．【即學(xué)即練3】設(shè)x，，，，且，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是（）A．2 B．3 C． D．知識(shí)點(diǎn)02坐標(biāo)法（解析法）1．坐標(biāo)法的定義通過建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而利用代數(shù)知識(shí)使問題得以解決，這種解決問題的方法叫做坐標(biāo)法，也稱為解析法．2．坐標(biāo)法解決問題的基本步驟（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）設(shè)出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出未知點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用已學(xué)的坐標(biāo)公式列出方程（組），通過計(jì)算得出代數(shù)結(jié)論；（4）反演回去，得到幾何問題的結(jié)論．也可簡記為：【微點(diǎn)撥】對解析幾何的理解就是將幾何問題代數(shù)化，也就是用代數(shù)方法解決平面幾何問題，是數(shù)與形的最好結(jié)合.【即學(xué)即練4】以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是（）A．等邊 B．等腰直角 C．等腰 D．直角【即學(xué)即練5】在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)有四點(diǎn)，，，，為該平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則到、、、四點(diǎn)的距離之和的最小值為（）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03對稱問題對稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱、直線關(guān)于點(diǎn)的對稱．1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎(chǔ)，一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決這種對稱問題．設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M（a，b）的對稱點(diǎn)為P′（x，y），則有，所以，即點(diǎn)．特別地，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為．2．點(diǎn)關(guān)于直線對稱對于點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，若點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，則直線l為線段的中垂線，于是有等量關(guān)系：①（直線l的斜率存在且不為零）；②線段的中點(diǎn)在直線l上；③直線l上任意一點(diǎn)M到P，的距離相等，即．常見的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)：點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于直線y=?x的對稱點(diǎn)；⑤點(diǎn)關(guān)于直線x=m（m≠0）的對稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于直線y=n（n≠0）的對稱點(diǎn)．【微點(diǎn)撥】對稱與距離有關(guān)，與垂直有關(guān).【即學(xué)即練6】點(diǎn)M(1,2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離為()A．2 B．1 C． D．5【即學(xué)即練7】已知點(diǎn)，，直線，在直線l上找一點(diǎn)P使得最小，則這個(gè)最小值為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練8】已知，，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．能力拓展能力拓展考法01求平面兩點(diǎn)間距離【典例1】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判斷△ABC的形狀；（2）求△ABC的面積．【即學(xué)即練9】已知點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．考法02兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用平面上兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用主要有以下兩種：（1）已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時(shí)，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或方程組求解．（2）利用兩點(diǎn)間距離公式可以判斷三角形的形狀．從三邊長入手，如果邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形，如果滿足勾股定理，則是直角三角形．【典例2】已知點(diǎn)A（–1，2），B（2，），在x軸上求一點(diǎn)P，使，并求|PA|的值．【典例3】已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（?1，0），B（1，0），，則為（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【即學(xué)即練10】若直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是____________．考法03解析法證明平面幾何問題利用解析法解題的步驟：先建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量，然后進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．用解析法解決平面幾何問題的關(guān)鍵是利用圖形的對稱性等建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，簡化運(yùn)算過程．【典例4】用解析法證明：如果四邊形ABCD是長方形，則對任一點(diǎn)M，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立．考法04對稱問題利用對稱性可解決下列問題：（1）在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之和最小．①當(dāng)兩定點(diǎn)不在直線的同一側(cè)時(shí)，兩點(diǎn)連線與直線的交點(diǎn)即所求；②當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，可借助點(diǎn)關(guān)于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為①的情形來解決．（2）在直線上求一點(diǎn)，使它到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值最大．①當(dāng)兩定點(diǎn)在直線的同一側(cè)時(shí)，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可知兩定點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即所求；當(dāng)兩定點(diǎn)不在直線的同一側(cè)時(shí)，可借助點(diǎn)關(guān)于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為①的情形來解決．【典例5】某地A，B兩村在一直角坐標(biāo)系下的位置分別為A（1，2），B（4，0），一條河所在直線l的方程為x+2y–10=0．在河邊上建一座供水站P分別向A，B兩鎮(zhèn)供水，若要使所用管道最省，則供水站P應(yīng)建在什么地方?【典例6】已知點(diǎn)P，Q在直線上．（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)Q到點(diǎn)A（4，1）和C（3，4）的距離之和最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，那么（）A．2 B． C． D．42．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(－a，0)，B(a，0)和C，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．斜三角形3．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的最小值為（）A．6 B． C． D．4．已知平面上兩點(diǎn)，，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．5．某地街道呈現(xiàn)東西?南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)，，，，為報(bào)刊零售點(diǎn).為使5個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.發(fā)行站應(yīng)確定在格點(diǎn)（）A． B． C． D．6.直線：與：及：所得兩交點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．7.已知的頂點(diǎn)為A（2，1），B(2，3)，C(0，1)，則AC邊上的中線長為（）A．3 B． C．4 D．8.過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線垂直，則（）A． B．4 C． D．2題組B能力提升練1.若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長度為（）A．10 B．5 C．8 D．62.已知，直線上存在唯一點(diǎn)，使得，則的值為（）A． B．或 C．1或 D．3.函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．4.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（）A．5 B． C． D．5.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且被兩條平行直線：和：截得的線段長為，則直線的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或6.已知，，，則四邊形的形狀為（）A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．正方形7.（多選題）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且被兩條平行直線：和：截得的線段長為，則直線的方程為（）A． B．C． D．8.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，從而將函數(shù)變形為，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增B．函數(shù)的最小值為，沒有最大值C．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為29.已知A(1，4)，B(8，3)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|＋|BP|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．10.已知直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，直線l的方程為________________．C培優(yōu)拔尖練1.已知AO是邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明．2.已知點(diǎn)，，直線，（1）求直線和交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P在直線上，求的最小值．3.在直角坐標(biāo)系中，已知射線，過點(diǎn)作直線分別交射線，于點(diǎn)．（1）若直線的斜率為，求線段的長度；（2）當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí)，求直線的方程.4.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心、重心位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線，若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線的方程為．（1）求線段的垂直平分線方程；（2）求外心（外接圓圓心）的坐標(biāo)；（3）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．5.已知，直線和直線相交于點(diǎn)P，和y軸交于點(diǎn)A，和x軸交于點(diǎn)B．（1）判斷