2024−2025學年高二上學期第一次月考（10月）數(shù)學試題含答案

2024?2025學年高二上學期第一次月考（10月）數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知直線與圓交于不同的兩點，O是坐標原點，且有，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．“”是“直線和直線平行且不重合”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件5．已知圓關于直線對稱，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．46．已知，直線：與：的交點在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．7．已知，分別是橢圓的左、右焦點，是坐標原點，是橢圓上一點，與軸交于點．若，，則橢圓的離心率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．在平面直線坐標系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:（

）①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(3,1)和直線則③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；④定點動點滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個命題表述正確的是（

）A．過兩點的直線方程為B．已知直線l過點，且在x，y軸上截距相等，則直線l的方程為C．“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件D．直線的距離為10．已知，是圓O：上兩點，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若點到直線的距離為，則C．若，則的最小值為D．若，則的最大值為11．已知，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點，為坐標原點，則（

）A．最大時， B．的最小值為C． D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．與圓同圓心，且過點的圓的方程是.13．圓與圓的公共弦所在直線被圓：所截得的弦長為．14．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，，過點作橢圓的切線，切點為T，若M為x軸上的點，滿足，則點M的坐標為.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知直線經(jīng)過點且與直線垂直，求直線的方程.

（2）已知直線與軸，軸分別交于兩點，的中點為，求直線的方程.16．為了開發(fā)古城旅游觀光，鎮(zhèn)政府決定在護城河上建一座圓形拱橋，河面跨度為32米，拱橋頂點C離河面8米，(1)如果以跨度所在直線為軸，以中垂線為軸建立如圖的直角坐標系，試求出該圓形拱橋所在圓的方程；(2)現(xiàn)有游船船寬8米，船頂離水面7米，為保證安全，要求行船頂部與拱橋頂部的豎直方向高度差至少要米．問這條船能否順利通過這座拱橋，并說出理由．17．已知橢圓的焦點為和，且橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在定點，使得的值為定值？若存在，求出點的坐標和該定值；若不存在，請說明理由.18．已知平面直角坐標系上一動點到點的距離是點到點的距離的倍.(1)求點的軌跡方程；(2)若點與點關于點對稱，點，求的最大值和最小值；(3)過點的直線與點的軌跡相交于兩點，點，則是否存在直線，使取得最大值，若存在，求出此時的方程，若不存在，請說明理由.19．已知橢圓：（，）的左、右焦點分別為、，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求異面直線和所成角的余弦值；②是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

參考答案1．【答案】C【解析】根據(jù)直線方程求得直線的斜率，由此求得直線傾斜角.【詳解】依題意可知直線的斜率為，故傾斜角為120°.故選：C.2．【答案】A【詳解】試題分析：由二元二次方程表示圓的充要條件可知：，解得，故選A．考點：圓的一般方程．3．【答案】C【分析】設中點為C，由條件得出與的關系結合點到直線的距離解不等式即可.【詳解】設中點為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點，∴，故，則，.故選C．4．【答案】C【詳解】當時，兩直線分別為：，，∴兩直線斜率相等且，∴兩條直線平行且不重合；充分性成立，若兩直線平行且不重合，則，∴，必要性成立，綜上所述，是兩直線平行且不重合的充要條件，故選：C．5．【答案】D【詳解】因為圓關于直線對稱，所以直線過圓心，即，則因為，且，所以，所以，當且僅當即等號成立，則的最小值是4.故選：D.6．【答案】A【詳解】，所以直線恒過點，，所以直線恒過點，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點在以為直徑的圓上，線段中點為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A7．【答案】B【詳解】由，得，則，則，則，即，解得，則，因為，所以，即，整理得，則，解得或，故或．故選：B.8．【答案】A【詳解】解：①對任意三點、、，若它們共線，設，、，，，，如右圖，結合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則，，，；若，或，對調(diào)，可得，，，；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，，，，；則對任意的三點，，，都有，，，；故①正確；設點是直線上一點，且，可得，，由，解得，即有，當時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，，，．無最值，綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；③由題意，到原點的“切比雪夫距離”等于的點設為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；④定點、，動點滿足，，，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足，，，即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點．故④正確；綜上可得，真命題的個數(shù)為4個，故選:.9．【答案】CD【詳解】A：若兩點的縱坐標或者橫坐標相等，則不能用該方程表示直線，故錯誤；B：直線l過點，且在x，y軸上截距相等，除直線外，還可以是直線y=2x，故錯誤；C：直線與直線垂直的充要條件是，解得或；故，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故正確；D：因為直線，平行，則兩平行直線的距離，故正確.綜上所述，正確的選項是CD.故選：CD.10．【答案】AD【詳解】因為，是圓O：上兩點，當時，為正三角形，所以，A正確；點到直線的距離為時，，B錯誤；的值可轉化為單位圓上的到直線的距離之和，又，所以為等腰三角形，設是的中點，則，且，則在以點為圓心，半徑為的圓上，兩點到直線的距離之和為點到直線的距離的倍，點到直線的距離為，所以點到直線的距離的最大值為，最小值為，則兩點到直線的距離之和最大值為，最小值為.所以的最大值為，最小值為，C錯誤，D正確；故選：AD11．【答案】BCD【詳解】由，得，，，A選項：設，則，，，所以當點在短軸端點時，面積最大值為，此時由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，則，A選項錯誤；設，，則，B選項：如圖所示，設中點為，則，所以，又，同理，所以，當且僅當時，等號成立，B選項正確；C選項：設與交于點，由角分線定理可知，即，即，所以，所以，C選項正確；D選項：設，由正弦定理得，即，由余弦定理得，則，且，即，當且僅當時取等號，所以，，所以，則，D選項正確；故選：BCD.12．【答案】【詳解】依題意，設所求圓的方程為，由于所求圓過點，所以，解得.所以所求圓的方程為．故答案為:.13．【答案】【詳解】圓與圓的兩方程作差得，即公共弦所在直線方程為，又圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，則圓被直線所截得的弦長為.故答案為：.14．【答案】（，0）或（，0）【詳解】設的方程等于,不妨設在軸上方，即.則聯(lián)立與橢圓的方程，得,整理得，令，解得,此時方程為,解得因此可知,由橢圓方程可知，所以,又因為，所以，，（如圖）過T做x軸的垂線，記垂足為N，則可知,因此,設,則,,在中，由正弦定理，,即，解得或故答案為：（，0）或（，0）15．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）直線的斜率，則，故直線的方程為；（2）設，的中點為，知，則直線的方程為．16．【答案】(1)(2)船可以通過，理由見解析【詳解】（1）B（16，0），C（0，8），設圓心（0，b），圓的方程為：由圓過點、可得，解得，∴拱橋所在的圓方程是：（2）可設船右上角豎直方向0.5米處點為P（4，7.5），代入圓方程左端得396.25＜400，所以點在圓內(nèi)，故船可以通過17．【答案】(1)(2)存在，，定值為【詳解】（1）已知橢圓的焦點為和，設橢圓的方程為，將點代入橢圓方程，得，解得（舍去），，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，設定點.聯(lián)立方程組，消掉可得，恒成立.設，可得，所以.要使上式為定值，則，解得，此時.當直線的斜率為0時，，此時，也符合.所以存在點，使得為定值.18．【答案】(1)(2)；(3)存在，或【詳解】（1）由已知，化簡得，即，所以點P的軌跡方程為；（2）依題意，設，因為點與點關于點對稱，，所以點P坐標為，因為點P在圓上運動，所以，即點Q的軌跡方程為，不妨設，，其中，則當時，取得最大值；當時，取得最小值；（3）由題意知的斜率一定存在，不妨假設存直線的斜率為k，且，則，聯(lián)立方程：，所以，又因為直線不經(jīng)過點，則，因為點到直線的距離，，所以，因為，所以當時，取得最大值2，此時，所以直線的方程為或.19．【答案】（1）；（2）①；②存在；．【詳解】解：（1）由橢圓的定義知：，所以的周長，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，由題意，橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的標準方程為；（2）①由直線：與，聯(lián)立求得，（因為點在軸上方