江蘇省南京市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次調(diào)研（10月）數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇省南京市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次調(diào)研（10月）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若，則（

）A． B． C． D．2．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．63．已知三個單位向量滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．4．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點P(x,y)是陰影部分（包括邊界）的動點，則yx?2的最小值為（

A．?23 B．?32 C．5．已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為（

）A． B． C． D．6．設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在三棱柱中，平面是棱上的動點，直線與平面所成角的最大值是，點在底面內(nèi)，且，則點的軌跡長是（

）A． B． C． D．8．已知圓，設(shè)其與軸?軸正半軸分別交于，兩點.已知另一圓的半徑為，且與圓相外切，則的最大值為（

）A．20 B． C．10 D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)為兩個隨機事件，以下命題正確的是（

）A．若與對立，則B．若與互斥，，則C．若，且，則與相互獨立D．若與相互獨立，，則10．已知點A，B在圓上，點P在直線上，則（

）A．直線l與圓O相離B．當(dāng)時，的最小值是C．當(dāng)PA、PB為圓O的兩條切線時，為定值D．當(dāng)PA、PB為圓O的兩條切線時，直線AB過定點11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，則（

）A．曲線C上兩點間距離的最大值為B．若點在曲線內(nèi)部（不含邊界），則C．若曲線C與直線有公共點，則D．若曲線C與圓有公共點，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．若直線和直線將圓的周長四等分，則．14．“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點，的曼哈頓距離為：．已知點M在圓上，點N在直線上，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，點和點分別是直線上一動點.(1)若直線經(jīng)過原點，且，求直線的方程；(2)設(shè)線段的中點為，求點到原點的最短距離.16．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長.17．在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，．(1)證明：平面PAD；(2)若為等邊三角形，求點C到平面PBD的距離．18．已知以點為圓心的圓經(jīng)過原點，且與軸交于點，與軸交于點．(1)求證：的面積為定值．(2)設(shè)直線與圓交于點，，若，求圓的方程．(3)在（2）的條件下，設(shè)，分別是直線和圓上的動點，求的最小值及此時點的坐標(biāo).19．已知圓與直線交于、兩點，點為線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為.(1)求的值；(2)求的面積；(3)若圓與軸交于兩點，點是圓上異于的任意一點，直線、分別交于兩點.當(dāng)點變化時，以為直徑的圓是否過圓內(nèi)的一定點，若過定點，請求出定點；若不過定點，請說明理由.

參考答案1．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.2．【答案】C【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故選：C.3．【答案】C【分析】對等式兩邊同時平方即可得到，再利用向量數(shù)量積定義和向量夾角的范圍即可得到答案.【詳解】，即，，即，則，又，的夾角為，故選C.4．【答案】C【詳解】記A2,0，則k=yx?2故當(dāng)直線AP與半圓x2+y?1設(shè)lAP:y=kx?2，則|?1?2k|k2+1=1，解得k=?故選：C.

5．【答案】B【詳解】依題意兩直線和的交點為，所以在直線上，所以過兩點所在直線方程為，故選：B6．【答案】C【分析】當(dāng)時，可得傾斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時，方程變?yōu)椋鋬A斜角為，當(dāng)時，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C.7．【答案】B【詳解】連接，因為平面，所以為直線與平面所成角，所以，又直線與平面所成角的最大值是，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取最小值時取得最大值，因為，所以當(dāng)時取最小值，此時，所以，又點在底面內(nèi)，且，連接，因為平面，平面，所以，所以，所以點在以為圓心，為半徑的圓（圓?。┥?，且圓心角為，所以點的軌跡長為.故選：B8．【答案】A【分析】分析可知，，點的軌跡方程為，整理可得，利用基本不等式運算求解.【詳解】對于圓，整理可得：，可知圓心為，半徑為，令，則，解得或，即；令，則，解得或，即；因為與相外切，則，可知點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

則點的軌跡方程為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為20.故選A.【關(guān)鍵點撥】根據(jù)題意分析可知點的軌跡方程為，且，進而利用基本不等式即可得結(jié)果.9．【答案】BD【分析】根據(jù)互斥（或?qū)αⅲ┦录怕实男再|(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)獨立事件的定義和性質(zhì)可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，若與對立，則，故A錯誤；對于B，與互斥，則，故B正確；對于C，因為，故，故，故與不相互獨立，故C錯誤；對于D，因為，所以，而與相互獨立，故與相互獨立，故，故D正確.故選BD.10．【答案】ACD【詳解】對A：圓心O0,0到直線：的距離：.所以直線l與圓O相離，故A正確；對B：如圖：

當(dāng)時，設(shè)中點為D，則，.所以的最小值為，故B錯誤；對C：如圖：

當(dāng)PA、PB為圓O的兩條切線時，，.所以為定值.故C正確；對D：如圖：

當(dāng)PA、PB為圓O的兩條切線時，，是圓與以為直徑的圓的交點.設(shè)，則以為直徑的圓的方程為：即，由得直線的方程為：.即.由，所以直線經(jīng)過定點.故D正確.故選：ACD11．【答案】BC【詳解】當(dāng)時，曲線，圓心，半徑當(dāng)時，曲線，圓心，半徑當(dāng)時，曲線，圓心，半徑當(dāng)時，曲線，圓心，半徑曲線如圖所示：曲線上兩點間距離的最大值為，A選項錯誤.如圖直線：，則在線段上，，，∴，B選項正確；曲線C與直線有公共點，則圓心、到直線的距離小于或等于半徑，則，則或者，則，∴，C選項正確.原點到圓上的點最小距離，最大距離，故，D選項錯誤.故選：BC12．【答案】【詳解】因為，所以，所以.故答案為：13．【答案】/【詳解】由圓，可知圓心為，又直線和直線互相垂直，且兩直線將圓的周長四等分，則圓心在兩條直線上，即，解得，所以，故答案為：.14．【答案】【詳解】如圖（1）所示，過點作平行于軸的直線交直線于點，過點作于點，表示的長度，因為直線的方程為，即直線的斜率，則，又因為，所以，所以，可得，即，所以，當(dāng)固定點時，且平行軸時，此時點與點重合，此時為定值，此時AB為0時，最小，如圖（2）所示，過點作直線的垂線，垂足為，交圓于點，可得，又由直線的斜率，可得，在直角中，可得.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）將化為一般式方程，得，,則兩直線平行，故兩直線的距離為，因為，所以和兩直線垂直.因為的斜率為，所以.又因為直線經(jīng)過原點，所以直線的方程為.（2）因為互相平行，所以線段的中點的軌跡為，即所以點到原點的最短距離即點到直線的距離，因為點到直線的距離為.所以點到原點的最短距離為.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）由面積公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周長.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，即，化簡得，又，所以.（2）由（1）及三角形面積公式，得，解得，由余弦定理得，所以的周長為.17．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)梯形邊長利用勾股定理可得，再利用面面垂直性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）利用面面垂直的性質(zhì)可得三棱錐的高為，再利用等體積法計算即可求得點C到平面PBD的距離為.【詳解】（1）因為，所以，又因為，所以，則．因為平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，所以平面PAD．（2）在面PAD內(nèi)過點P作，因為平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD，如下圖所示：因為，由（1）知平面PAD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，在中，，而，．設(shè)點C到平面PBD的距離為h，由得，解得，所以點C到平面PBD的距離為．18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)最小值為，【分析】（1）由已知直接可得圓的方程，進而可得點與的坐標(biāo)，進而可得證；（2）由已知可得，進而可得參數(shù)，及圓的方程；（3）根據(jù)對稱可得點關(guān)于直線的對稱點，進而可知，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可得的最小值，進而可得點的坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得圓的方程為：，化簡可得，與坐標(biāo)軸的交點分別為：，，為定值.（2）如圖所示，，原點在線段的垂直平分線上，設(shè)線段的中點為，則，，三點共線，又的斜率，，解得，又，所以，可得圓心，圓的方程為：；（3）如圖所示，由（2）可知：圓心，半徑，，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則中點為，且，解得，即，則，又點到圓上點的最短距離為，則的最小值為，此時直線的方程為：，點為直線與直線的交點，則，解得，即點.19．【答案】(1)(2)(3)過定點，【詳解】