河南省南陽市2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考 數(shù)學(xué)試題含答案

河南省南陽市2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．集合，若．則實(shí)數(shù)a的范圍是（

）A． B．C．或 D．或2．已知、為非零向量，未知數(shù)，則“函數(shù)為一次函數(shù)”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令，則的值為（）A．2020 B．2019 C．1 D．－14．已知向量滿足，，若，則向量的夾角為（

）A． B． C．或 D．或5．設(shè)函數(shù)是定義在0,+∞上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列an滿足，，若數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則的的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列滿足且的前項(xiàng)和為，則（

）A．是等差數(shù)列 B．為周期數(shù)列C．成等差數(shù)列 D．成等比數(shù)列10．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（

）A．在中，若，則B．若在線段上，且，，，，則的面積為8C．若，則是等腰三角形D．若，動(dòng)點(diǎn)在所在平面內(nèi)且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為11．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．當(dāng)和時(shí)，函數(shù)分別取得極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)C．無最大值，有最小值D．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．已知向量，，，滿足，，，，則在方向上的投影向量為.14．已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，其中，且.(1)求an(2)設(shè)，求bn的前項(xiàng)和.16．如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．17．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；（3）若恒成立，求的取值范圍.18．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：．19．我們規(guī)定：若數(shù)列為遞增數(shù)列且也為遞增數(shù)列，則為“—數(shù)列”.(1)已知：，，，數(shù)列，，中其中只有一個(gè)—數(shù)列，它是：__________（不需說明理由）；并從另外兩個(gè)數(shù)列中任選一個(gè)證明其不是一數(shù)列；(2)已知數(shù)列滿足：，，為的前項(xiàng)和，試求的通項(xiàng)并判斷數(shù)列是否為—數(shù)列并證之；(3)已知數(shù)列、均為—數(shù)列，且，，求證：數(shù)列也為—數(shù)列.

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，不成立，所以，所以滿足，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，所以，綜上可知：.故選：A.2．【答案】A【詳解】，若，則，如果同時(shí)有，則函數(shù)恒為0，不是一次函數(shù)，故是不必要條件；如果是一次函數(shù)，則，故，故是充分條件.故選：A．3．【答案】D【分析】對曲線求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)，再把點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中，求出，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以切線方程是，所以，所以故選：D.4．【答案】B【分析】利用，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可解方程求得，結(jié)合可確定，由此可得結(jié)果.【詳解】由得：，即，，解得：或；，，，又，.故選：B.5．【答案】A【詳解】由條件，∴在0,+∞上單調(diào)遞減，所求不等式可化為，故，∴.故選：A．6．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故，，，又因?yàn)?，，，由基本不等式就可得，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：C.7．【答案】A【詳解】由題意可得：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，解得：，又在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，所以，，結(jié)合，所以，所以這個(gè)零點(diǎn)可能為或或，當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，無解，綜上：的取值范圍為.故選：A.8．【答案】C【詳解】數(shù)列滿足①，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，②，

由②①得，數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)，，數(shù)列的所有偶數(shù)項(xiàng)，，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.記，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，由得，即，因?yàn)椋S著的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，剛好滿足，所以，的最小值為.

故選：C.9．【答案】AB【分析】根據(jù)已知可得、為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，結(jié)合等差、等比數(shù)列定義判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由且則且，故，所以在上成立，A對；綜上，為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，B對；為奇數(shù)，為偶數(shù)，不成等差數(shù)列，C錯(cuò)；不成等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：AB10．【答案】ABD【詳解】對于A，，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，由在線段上，且，，，，則，設(shè)，，在中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，，在中，可得，則，所以的面積為，故B正確；對于C，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D，在中，因?yàn)?，，則點(diǎn)在以為弦的一個(gè)圓上，由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，如圖所示，因?yàn)?，可得，所以，所以的長度為，同理，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，可得對應(yīng)的弧長也是，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為，故D正確．故選：ABD.11．【答案】ACD【詳解】，對于A，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，但不存在，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，的大致圖象如圖所示：所以的值域?yàn)椋杂凶钚≈?，無最大值，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，結(jié)合的大致圖象可知，在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).故D正確.

故選：ACD.12．【答案】【詳解】，則，故.故答案為：.13．【答案】【詳解】，，，，，，則在方向上的投影向量為.故答案為：.14．【答案】【詳解】令，可得，當(dāng)時(shí)，可得f'x<0，當(dāng)時(shí)，可得f'x>0，可得，即，所以，由不等式，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到時(shí)，，再由，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求和，即可求解.【詳解】（1）由，可得，則，兩式相減，可得，即，又由，易知，所以當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，可得，則，所以，兩式相減得，所以.16．【答案】(1)；(2)﹒【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根據(jù)即可求；(2)在△、△中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得cosA與cosC的關(guān)系式；又由的sinA與sinC的關(guān)系式；兩個(gè)關(guān)系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒【詳解】(1)在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．(2)在△、△中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．17．【答案】（1）；（2）無零點(diǎn)，理由見解析；（3）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直接求切線方程；（2）首先求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，以及利用零點(diǎn)存在性定理說明存在使，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)的最小值的正負(fù)，說明零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）不等式等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可知，利用參變分離的方法，求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，切線方程為，即（2）當(dāng)時(shí)，，易知在0,+∞單調(diào)遞增，且，存在唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.對兩邊取對數(shù)，得：無零點(diǎn).（3）由題意得，，即，即，易知函數(shù)單調(diào)遞增，，0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減，令，則，令得，列表得，.18．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.【詳解】（1）由已知，，所以，，令，得，解得，令，得，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）要證，只需證：．設(shè)，，則．記，則．當(dāng)時(shí)，，又，，所以；

當(dāng)時(shí)，，，所以，又，，所以．

綜上，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．所以，，即，

所以，在上遞增，則，證畢．19．【答案】(1)；條件選擇見解析，證明見解析(2)；不是，證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）空格處填.原因如下：因?yàn)?，則，由冪函數(shù)與在上都是增函數(shù)，由，故數(shù)列與都是遞增數(shù)列，則為“數(shù)列”.若選，下面證明不是數(shù)列.證明：由，則，.故，所以不是遞增數(shù)