2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何8.5第1課時(shí)橢圓及幾何性質(zhì)學(xué)案新人教A版

8.5橢圓第1課時(shí)橢圓及幾何性質(zhì)必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù).(1)若ac,則點(diǎn)M的軌跡為橢圓;

(2)若ac,則點(diǎn)M的軌跡為線段;

(3)若ac,則點(diǎn)M不存在.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2a2+圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸:坐標(biāo)軸,對(duì)稱(chēng)中心:點(diǎn)(0,0)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a;短軸B1B2的長(zhǎng)為2b離心率e=ca,且e∈a,b,c的關(guān)系c2=a2-b2焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓x2a2+y2(1)當(dāng)r1=r2,即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí),θ最大;(2)S=b2tanθ2=c|y0|,當(dāng)|y0|=b,即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí),S取最大值,最大值為bc考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.()(2)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.()(3)關(guān)于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲線是橢圓.()(4)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓y2a(5)橢圓上一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成的△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),c為橢圓的半焦距).()2.已知橢圓x24+y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F2,M是橢圓上一點(diǎn),且|MF1|-|MF2|=1,則△MF1A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形3.如圖所示,某瓷器菜盤(pán)的外輪廓線是橢圓,依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該橢圓的離心率為()A.25 B.35 C.234.如圖,圓O的半徑是定長(zhǎng)r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)(不與圓心O重合),P是圓上隨意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓5.“0<m<2”是“方程x2m+y22-m=1表示橢圓”的條件(填“充分不必要”“必要不充分關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)橢圓的定義及應(yīng)用【例1】(1)已知F1,F2分別是橢圓E:x225+y29=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上一點(diǎn),直線l為∠F1PF2的外角平分線,過(guò)點(diǎn)F2作l的垂線,交F1P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則A.10 B.8C.6 D.4(2)已知橢圓x28+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),則|AF2|+|BFA.32 B.42C.62 D.72解題心得常利用橢圓的定義求解的問(wèn)題(1)求解問(wèn)題的結(jié)論中含有橢圓上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離;(2)求解問(wèn)題的條件中含有橢圓上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2024廣東惠州調(diào)研)設(shè)F1,F2為橢圓x29+y25=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,A.514 B.C.49 D.(2)已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點(diǎn),P是此橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),A(1,1)是肯定點(diǎn),則|PA|+|PF|的最大值為,最小值為.

考點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用【例2】(1)橢圓的離心率為22,F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)與F關(guān)于直線y=x+4對(duì)稱(chēng),則橢圓的方程為.(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸,且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(6,1),P2(3,2),則橢圓的方程為(3)與橢圓x24+y23=1有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-(4)已知方程x2|m|-1+y22-m=解題心得1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,詳細(xì)過(guò)程是先定形,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后依據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.2.若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定,則要分焦點(diǎn)在x軸上或在y軸上兩種狀況求解,有時(shí)為了解題便利,也可把橢圓方程設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避開(kāi)探討.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用:(1)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與橢圓x2a(2)與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為x2a2+k4.用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟.(1)作推斷:依據(jù)條件推斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,還是在y軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能;(2)設(shè)方程:依據(jù)上述推斷設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找關(guān)系:依據(jù)已知條件對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(-5,0)為橢圓C的左焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),滿(mǎn)意|OP|=|OF|且|PF|=6,則橢圓C的方程為()A.x236+y216=C.x249+y224=(2)(2024湖南郴州二模)已知橢圓E的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為22-2,離心率為22,則橢圓E的方程為.考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究)考向1橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距【例3】(2024河南洛陽(yáng)一模)已知橢圓x211-m+y2m-3=1的長(zhǎng)軸在yA.5 B.6 C.9 D.10解題心得利用橢圓幾何性質(zhì)的留意點(diǎn)及技巧(1)留意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些范圍問(wèn)題時(shí),常常用到x,y的范圍、離心率的范圍等不等關(guān)系.(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要理清頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、焦距等基本量的內(nèi)在聯(lián)系.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2024陜西漢中高三模擬)已知橢圓x2m+y24=1(m>0)的焦距為2,A.5 B.5或3C.3 D.8(2)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8,離心率是34,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(A.x216B.x216+y27C.x216D.x216+y225考向2求橢圓的離心率【例4】(多選)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,F為其右焦點(diǎn),若AF⊥BF,設(shè)∠ABF=α,且α∈A.22 B.33 C.63 D.解題心得1.求橢圓離心率或其范圍的方法(1)求a,b,c的值,由e2=c2a2=a2-(2)列出含有a,b,c的方程(組)或不等式(組),借助b2=a2-c2消去b,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(組)或不等式(組)求解.2.當(dāng)離心率e=ca越接近1時(shí),橢圓的短半軸長(zhǎng)b=a2-c2越小,橢圓就越“扁”,當(dāng)e越接近0時(shí),b=a2-c對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A為橢圓C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A且斜率為36的直線上,△PF1F2為等腰三角形,∠F1F2P=A.23 B.12 C.13考向3依據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)【例5】(1)(2024年1月8省適應(yīng)測(cè)試)橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點(diǎn)為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,若∠F1AFA.1 B.2 C.3 D.2(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且|F1F2|=2c,若橢圓上存在點(diǎn)M使得在△MF1F2A.(0,2-1) B.22C.0,22 D.(對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線,切點(diǎn)為T(mén),且|PT|的最小值不小于328.5橢圓第1課時(shí)橢圓及幾何性質(zhì)必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.(1)>(2)=(3)<考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.B由題意可知|解得|MF1|=52所以|F所以△MF1F2為直角三角形.故選B.3.B由題意,得2b=16.4,2a=20.5,則ba=45,故離心率e=14.A連接QA.由已知得|QA|=|QP|.所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又點(diǎn)A在圓O內(nèi),且不與圓心O重合,所以0<|OA|<r.依據(jù)橢圓的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè),A為焦點(diǎn),r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.5.必要不充分方程x2m+y22-m=1表示橢圓,即m>0,2-m>0,m≠2-m,解得關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)A(2)D(1)如圖,由直線l為∠F1PF2的外角平分線,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在橢圓E:x225+y29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1(2)由已知得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4×22=82.所以|AF2|+|BF2|=82-|AB|,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|最小,|AF2|+|BF2|最大.|AB|min=2b2a=2×222=2,所以|AF2|+|BF2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)D(2)6+26-2(1)如圖,設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M,因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PF2,由題意可得PF2⊥x軸,易得|PF2|=53,|PF1|=2a-|PF2|=133,|(2)如圖,設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F1,則|PF|+|PF1|=6,F1(2,0).所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.因?yàn)?|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P,A,F1共線時(shí)等號(hào)成立).又|AF1|=2.所以|PA|+|PF|≤6+2,|PA|+|PF|≥6-2.故|PA|+|PF|的最大值為6+2,最小值為6-2.例2(1)x218+y29=1或y218+x29=1(2)x29+y23=1(3)x28+y26=1或y2253+x2254=1(4)m|m<-1或1<m<32(1)由題意知ca=22,得a2=2b2=2c2.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),在橢圓上任取一點(diǎn)P(x0,y0),取焦點(diǎn)F(-c,0),則PF的中點(diǎn)M為x0-c(2)設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,P2,故點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)適合橢圓方程,則6m+所求橢圓的方程為x29+(3)若焦點(diǎn)在x軸上,則設(shè)所求橢圓方程為x24+y23=t(t>0),將點(diǎn)P(2,-3)的坐標(biāo)代入,得t=2.故所求橢圓方程為x28+y26=1.若焦點(diǎn)在y軸上,則設(shè)所求橢圓方程為y24+x23=λ(λ>0),將點(diǎn)P(2,-3)的坐標(biāo)代入,得(4)由x2|m|-1+y22-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,得2-m>|m|-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)C(2)x28+y24=1(1)由題意可得c=5,設(shè)右焦點(diǎn)為F',連接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',所以∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',所以∠FPO+∠OPF'=90°在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'由橢圓的定義,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,則a=7,a2=49,所以b2=a2-c2=49-52=24,所以橢圓C的方程為x249+y224(2)因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為a-c,所以a-c=22-2,因?yàn)殡x心率e=22,所以c解得a=22,c=2,則b2=a2-c2=4,所以橢圓E的方程為x28+例3C由橢圓x211-m+y2m-3=1的長(zhǎng)軸在y軸上,且焦距為4,可得對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)B(2)B(1)焦距2c=2,所以c=1.當(dāng)m>4時(shí),m-4=1,m=5;當(dāng)0<m<4時(shí),4-m=1,m=3.綜上所述,m=5或m=3.故選B.(2)因?yàn)閍=4,e=34,所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因?yàn)榻裹c(diǎn)的位置不確定,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216+y27例4AD由題意知,點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)B也在橢圓上.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F',原點(diǎn)為O,則依據(jù)橢圓定義,有|AF|+|AF'|=2a.依據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知|AF'|=|BF|,因此|AF|+|BF|=2a.①因?yàn)锳F⊥BF,且在Rt△ABF中,O為斜邊的中點(diǎn),所以|AB|=2|OF|=2c,所以|AF|=2csinα,②|BF|=2ccosα.③將②③代入①,得2a=2ccosα+2csinα,所以e=2c2a=1sinα+cosα=12sinα+π4.因?yàn)棣痢师?,π4對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4D∵∠F1F2P=120°,△PF1F2為等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,∴∠PF2E=60°.∴|F2E|=c,|PE|=3c,∴P(2c,3c).∵kPA=36,∴PA所在直線方程為y=36(x+a∴3c=36(2c+a).∴e=c例5(1)C(2)D(2)由正弦定理,可得|M