2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題四第1講文科專題訓(xùn)練16概率含解析新人教版

PAGE其次部分專題四第1講(文科)專題訓(xùn)練十六概率一、選擇題1．(2024·安慶模擬)在1,2,3,4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)a，在－1，－2，－3，－4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)b，則a2＋b2被3整除的概率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,8)【解析】在1,2,3,4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)a，在－1，－2，－3，－4中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)b，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝4×4＝16，a2＋b2被3整除包含的基本領(lǐng)件(a，b)有(3，－3)，只有一個(gè)，則a2＋b2被3整除的概率為P＝eq\f(1,16).故選C．2．(2024·葫蘆島二模)已知曲線C：x2＋y2＝2(x·y≥0)，曲線C與坐標(biāo)軸圍成封閉圖形M以及函數(shù)y＝x3的部分圖象如圖所示，若向M內(nèi)隨意投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入陰影部分的概率為(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)【解析】如圖，由對(duì)稱性可知，兩陰影部分的面積和為四分之一圓的面積，由測(cè)度比為面積比，向M內(nèi)隨意投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入陰影部分的概率為：eq\f(\f(1,4)S圓,\f(1,2)S圓)＝eq\f(1,2).故選A．3．(2024四川省綿陽(yáng)市二診)甲、乙、丙三位客人在參與中國(guó)(綿陽(yáng))科技城國(guó)際科技博覽會(huì)期間，安排到綿陽(yáng)的九皇山、七曲山大廟兩個(gè)景點(diǎn)去參觀考察，由于時(shí)間關(guān)系，每個(gè)人只能選擇一個(gè)景點(diǎn)，則甲、乙、丙三人恰好到同一景點(diǎn)旅游參觀的概率為(B)A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,2)【解析】?jī)删包c(diǎn)用1,2表示，三人選擇景點(diǎn)的各種情形為：甲1乙1丙1，甲1乙1丙2，甲1乙2丙1，甲2乙1丙1，甲2乙2丙1，甲2乙1丙2，甲1乙2丙2，甲2乙2丙2共8種，其中三人去同一景點(diǎn)的有甲1乙1丙1和甲2乙2丙2兩種，所以概率為P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).故選B．4．(2024·衡陽(yáng)模擬)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC＝150°，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)則該點(diǎn)到菱形的頂點(diǎn)距離都大于1的概率是(D)B．eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C．eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)【解析】P＝eq\f(4×4×sin150°－π×12,4×4×sin150°)＝1－eq\f(π,8)，故選D．5．(2024·內(nèi)江三模)某城市有連接8個(gè)小區(qū)A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齊方格形道路網(wǎng)，每個(gè)小方格均為正方形，如圖所示，某人從道路網(wǎng)中隨機(jī)地選擇一條最短路徑，由小區(qū)A前往小區(qū)C，則他不經(jīng)過(guò)市中心O的概率是(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)【解析】此人從小區(qū)A前往C的全部最短路徑為：A→G→B→F→C，A→G→O→F→C，A→G→O→H→C，A→E→O→F→C，A→E→O→H→C，A→E→D→H→C，共6條．記“此人不經(jīng)過(guò)市中心O”為事務(wù)M，則M包含的基本領(lǐng)件為：A→G→B→F→C，A→E→D→H→C，共2條．∴P(M)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，即他不經(jīng)過(guò)市中心的概率為eq\f(1,3).故選A．6．劉徽是一個(gè)宏大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國(guó)珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到隨意精度．割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是(B)A．eq\f(3\r(3),4π) B．eq\f(3\r(3),2π)C．eq\f(1,2π) D．eq\f(1,4π)【解析】如題圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，則所求概率P＝eq\f(S六邊形,S圓)＝eq\f(\f(\r(3),4)×12×6,π×12)＝eq\f(3\r(3),2π).7．(2024·成都期末)在[0，π]上隨機(jī)取一數(shù)x，使－eq\f(\r(3),2)≤cosx≤eq\f(\r(3),2)的概率為(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,8) D．eq\f(5,8)【解析】滿意cosx∈[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]的區(qū)間長(zhǎng)度為eq\f(5,6)π－eq\f(π,6)＝eq\f(2,3)π，則P＝eq\f(\f(2,3)π,π－0)＝eq\f(2,3)，選B．8．(2024·四川模擬)以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國(guó)機(jī)械工程專家、數(shù)學(xué)家勒洛首先發(fā)覺(jué)．如圖，D，E，F(xiàn)為正三角形ABC各邊中點(diǎn)，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(陰影部分)，若在△ABC中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于該勒洛三角形部分的概率為(C)A．eq\f(π－\r(3),2) B．eq\f(2\r(3)π－3,9)C．eq\f(\r(3)π－3,6) D．eq\f(\r(3)π－2,6)【解析】設(shè)三角形ABC邊長(zhǎng)為2，則正三角形DEF邊長(zhǎng)為1，以D為圓心的扇形面積是eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)△DEF的面積是eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π－\r(3),2)，△ABC面積為eq\r(3)，所求概率P＝eq\f(π－\r(3),2\r(3))＝eq\f(\r(3)π－3,6).故選C．二、填空題9．(2024·全國(guó)三模)隨著國(guó)內(nèi)疫情形勢(shì)好轉(zhuǎn)，暫停的中國(guó)正在重啟，為了盡快提升經(jīng)濟(jì)、吸引顧客，哈西某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，凡當(dāng)日購(gòu)物滿1000元的顧客，可參與抽獎(jiǎng)，規(guī)則如下：盒中有大小質(zhì)地均相同5個(gè)球，其中2個(gè)紅球和3個(gè)白球，不放回地依次摸出2個(gè)球，若在第一次和其次次均摸到紅球則獲得特等獎(jiǎng)，否則獲得紀(jì)念獎(jiǎng)，則顧客獲得特等獎(jiǎng)的概率是__eq\f(1,10)__.【解析】設(shè)2個(gè)紅球分別為A，B,3個(gè)白球分別為a，b，c，不放回地依次摸出2個(gè)球，基本領(lǐng)件總數(shù)有10個(gè)，分別為：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，第一次和其次次均摸到紅球包含的基本領(lǐng)件只有(A，B)，則顧客獲得特等獎(jiǎng)的概率是P＝eq\f(1,10).10．(2024·新疆二模)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部隨意一點(diǎn)，則△PAB的面積小于△ABC面積一半的概率為_(kāi)_eq\f(3,4)__.【解析】設(shè)D，E分別為CB，AC的中點(diǎn)，由題意可知，△PAB的面積小于△ABC面積一半P，∴P到BA的距離小于C到BA的距離的一半，P所在的區(qū)域?yàn)槿鐖DDE下方所示的陰影部分，∵S△ADE＝eq\f(1,4)S△ABC，則P＝eq\f(3,4)11．(2024·鄂南一中模擬)在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝45°，邊BC上任取一點(diǎn)M，則∠CAM<30°的概率為_(kāi)_eq\f(\r(3),3)__.【解析】設(shè)BC＝a，則P＝eq\f(\f(\r(3),3)a,a)＝eq\f(\r(3),3).12．(2024·樂(lè)山模擬)七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的獨(dú)創(chuàng)之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形組成．如圖是一塊用七巧板組成的正方形，若在此正方形中隨意取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來(lái)自于陰影部分的概率為_(kāi)_eq\f(3,8)__.【解析】設(shè)拼成的正方形的面積為1，由圖知，最大的三角形面積為eq\f(1,4)，最小的三角形面積為eq\f(1,16)，平行四邊形的面積是最小三角形面積的2倍，由此可得陰影部分的面積為eq\f(3,8)，則所求的概率為eq\f(3,8).三、解答題13．(2024·和平區(qū)校級(jí)期末)某校參與夏令營(yíng)的同學(xué)有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其所屬年級(jí)狀況如表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問(wèn)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同)(1)用表中字母寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)設(shè)M為事務(wù)“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，寫(xiě)出事務(wù)M的樣本點(diǎn)，并求事務(wù)M發(fā)生的概率．【解析】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種．(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種．因此，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).14．(2024·貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo)，為了了解A市空氣質(zhì)量狀況，從2024年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取40天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示．將PM2.5值劃分成區(qū)間[0,100)、[100,150)、[150,200)、[200,250]，分別稱為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)和四級(jí)，統(tǒng)計(jì)時(shí)用頻率估計(jì)概率．(1)依據(jù)2024年的數(shù)據(jù)估計(jì)該市在2024年中空氣質(zhì)量為一級(jí)的天數(shù)；(2)依據(jù)分層抽樣的方法，從樣本二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)中抽取6天的PM2.5數(shù)據(jù)，再?gòu)倪@6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求僅有二級(jí)天氣的概率．【解析】(1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，其頻率分布如下表：PM2.5值[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]頻率0.1250.1250.3750.250.125由上表可知，假如A市維持現(xiàn)狀不變，那么該市2024年的某一天空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率為0.25，因此在365天中空氣質(zhì)量為一級(jí)的天數(shù)約有365×0.25≈91(天)．(2)在樣本中，依據(jù)分層抽樣的方法抽取6天的PM2.5值數(shù)據(jù)，則這6個(gè)數(shù)據(jù)中二級(jí)、三級(jí)、四級(jí)天氣的數(shù)據(jù)分別有3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)．分別記為A1，A2，A3，B1，B2，C，從這6個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本領(lǐng)件為：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C}，{B1，B2}，{B1，C}，{B2，C}，共15個(gè)基本領(lǐng)件，事務(wù)A＝“僅有二級(jí)天氣”包含{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3個(gè)基本領(lǐng)件，故所求概率為P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).15．(2024·南寧一模)某電子商務(wù)平臺(tái)的管理員隨機(jī)抽取了1000位上網(wǎng)購(gòu)物者，并對(duì)其年齡(在10歲到69歲之間)進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)狀況如下表所示.年齡[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人數(shù)100150a200b50已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購(gòu)物的人數(shù)依次構(gòu)成遞減的等比數(shù)列．(1)求a，b的值；(2)若將年齡在[30,50)內(nèi)的上網(wǎng)購(gòu)物者定義為“消費(fèi)主力軍”，其他年齡段內(nèi)的上網(wǎng)購(gòu)物者定義為“消費(fèi)潛力軍”．現(xiàn)采納分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者中抽取5人，再?gòu)倪@5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費(fèi)潛力軍的概率．【解析】(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝500,ab＝40000,a>b))，解得a＝400，b＝100．(2)由題意可